武汉科技大学《机械工程控制基础》第五章 系统的稳定性

第五章系统的稳定性本章主要教学内容5.1系统稳定性的初步概念5.2Routh(劳斯)稳定判据5.5系统的相对稳定性5.4Bode稳定判据5.3Nyquist稳定判据5.3节为本章难点，5.2、5.4、5.5节为本章重点5.1

稳定性的基本概念

本节教学内容5.1.1稳定性的定义

5.1.2稳定的充要条件

5.1.3稳定的必要条件本节教学要求1.了解系统稳定性的物理概念3.掌握用稳定的必要条件判断系统稳定性的方法2.熟悉系统稳定性的数学定义及充要条件5.系统的稳定性

不稳定的现象5.1.1稳定性的定义5.1稳定性的基本概念

稳定的摆不稳定的摆稳定临界稳定不稳定稳定性的定义——

一个系统称之为稳定的，是指控制系统在外部扰动作用下偏离其原来的平衡状态，当扰动作用消失后，系统仍能自动恢复到原来的平衡状态。5.1.1稳定性的定义稳定不稳定线性系统的稳定性是控制系统自身的固有特性，取决于系统本身的结构和参数，与输入无关。以上定义只适用于线性定常系统。5.1.1稳定性的定义稳定性的其他说法——大范围渐近稳定：不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态，否则就称为小范围(小偏差)稳定。注意：对于线性系统，小范围稳定大范围稳定。临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。说明：经典控制论中,临界稳定也视为不稳定。因为分析时依赖的模型通常是简化或线性化的；实际系统参数的时变特性；系统必须具备一定的稳定裕量。稳定性条件的分析方法——脉冲响应法：假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号δ(t)的作用，此时系统的输出为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题，显然，当t→∞时，若：则系统（渐近）稳定。5.1.2系统稳定的充要条件5.1稳定性的基本概念

脉冲响应法分析5.1.2系统稳定的充要条件如果pi和i均为负值,当t时,x0(t)0。稳定性与零点无关.线性系统的脉冲响应线性系统稳定的充要条件自动控制系统稳定的充分必要条件是：系统特征方程的根全部具有负实部，或闭环系统的极点全部在S平面左半部。由已知条件知系统具有负实根或具有负实部的共轭复根，因此系统稳定。5.1.2系统稳定的充要条件举例——某单位反馈系统，其开环传递函数为其闭环传递函数为：系统特征方程和特征根为：系统稳定的必要条件是

——系统特征方程各项系数具有相同的符号，且无零系数。5.1.3系统稳定的必要条件5.1稳定性的基本概念

设系统特征根为s1、s2、…、sn-1、sn，则5.1.3系统稳定的必要条件各根之和每次取两根乘积之和每次取三根乘积之和各根之积系统特征方程的全部根具有负实部则特征方程的系数必然同号（不妨设为均大于零）。用待定系数法分析特征方程根与系数的关系例

某水位控制系统如图，讨论该系统的稳定性。：被控对象水箱的传递函数：执行电动机的传递函数K1：进水阀门的传递系数Kp

：杠杆比H0：希望水位H：实际水位5.1.3系统稳定的必要条件5.1.3系统稳定的必要条件系统闭环传递函数和特征方程K=KpkmK1K0为系统的开环放大系数该系统为三阶系统，但缺少s项，即对应的特征多项式的中有系数为0，不满足系统稳定的必要条件，所以该系统不稳定。这种系统属于结构不稳定系统，无论怎样调整该系统的参数，如(K、Tm)，都不能使系统稳定，要使系统稳定，必须对系统进行校正。系统稳定性分析5.2

Routh

（劳斯）稳定判据5.系统的稳定性本节教学内容5.2.1Routh行列式

5.2.2Routh判据

5.2.3Routh判据的特殊情况本节教学要求1.掌握利用Routh判据判断系统稳定性的方法2.了解特殊情况下Routh判据的运用牢斯(Routh

)判据无需求解特征根，直接通过特征方程的系数判别系统的稳定性，属于稳定性判断中的一种代数方法。5.2.1Routh行列式列写Routh行列式，是利用Routh判据进行系统稳定性分析的主要工作，其步骤如下:列写系统特征方程由系统特征方程的各项系数排成Routh行列表的前两行其中，第一行为sn、sn-2、sn-4的各项系数依次排成；第二行为sn-1、sn-3、sn-5的各项系数依次排成。计算Routh行列式的每一行都要用到该行前面两行的数据。计算行列式的其余各行5.2.1Routh行列式例如6阶特征方程

其牢斯行列式为

5.2.1Routh行列式如果符号相同，说明系统具有正实部的特征根的个数等于零，系统稳定；如果符号不同，则符号改变的次数等于系统具有正实部的特征根的个数，系统不稳定。控制系统稳定的充分必要条件

——

牢斯行列式的第一列元素不改变符号！Routh判据——

牢斯判据的实质是对Routh行列表中的“第一列”各数的符号进行判断：5.2.2

Routh判据注：通常a0>0，因此，劳斯稳定判据可以简述为——劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。

例1牢斯判据判定稳定性符号改变二次,系统有两个不稳定的特征根.5.2.2

Routh判据5.2.2

Routh判据例2牢斯判据判定稳定性系统特征方程牢斯判据002-(9/7)Ks100Ks00K7/3s2023s3K31s45.2.2

Routh判据例3牢斯判据判定系统相对稳定性已知系统特征方程：s3+7s2+14s+8=0试判断该系统有几个特征方程根位于与虚轴平行的直线s=-1的右侧。将s平面虚轴左移一个单位距离，即构造一个z平面，则直线s=-1右侧的极点即为z平面右侧的极点。劳斯行列表系统有两个特征根位于平行于虚轴的直线s=-1的右侧。5.2.2

Routh判据例3牢斯判据判定系统相对稳定性已知系统特征方程：s3+7s2+14s+8=0试判断该系统有几个特征方程根位于与虚轴平行的直线s=-1的右侧。将s平面虚轴左移一个单位距离，即构造一个z平面，则直线s=-1右侧的极点即为z平面右侧的极点。劳斯行列表系统有一个特征根位于（-1，j0）点。5.2.3Routh

判据的特殊情况特殊情况1：第一列出现0第一列出现0(各项系数均为正数)解决方法：用任意小正数代之。（因第一列符号改变两次，该系统不稳定。）特殊情况2：某一行元素均为0(各项系数均为正数)解决方法：用全0行的上一行元素构成辅助方程,用对该方程求导后的方程系数替代全0行.求导得:例如：出现全0行5.2.3Routh

判据的特殊情况还可由辅助方程求出相应的极点

劳斯阵列出现全零行表明——系统在s平面有对称分布的根共轭虚根对称于虚轴的两对共轭复根对称于虚轴的一对实根5.2.3Routh

判据的特殊情况5.2Routh(劳斯)稳定判据【习题5.5】图示系统,确定K、a取何值时,系统维持以=2s-1的持续振荡。＋－Xi(s)Xo(s)系统产生持续振荡，说明系统为临界稳定系统，则劳斯行列式的第一列会出现0元素。5.2Routh(劳斯)稳定判据课后作业教材185~186页：5.3，5.4

5.7(选做题)5.3

Nyquist稳定判据5.系统的稳定性本节教学内容

5.3.1幅角原理

5.3.2Nyquist稳定判据

5.3.3开环含有积分环节情况本节教学要求1.了解Nyquist判据的依据——幅角原理2.掌握Nyquist判据的使用方法3.熟悉开环含有积分环节时奈氏轨迹的绘制判断Nyquist稳定性判据是利用系统开环频率特性G(j)H(j)来判断系统特征方程1+G(s)H(s)=0

的根是否全部具有负实部，是一种几何判据，并且还能够判断系统的相对稳定性。奈氏判据的依据是幅角原理。开环传递函数闭环传递函数5.3.1幅角原理系统开环特征多项式与闭环特征多项式关系设新变量F(s)Db(s):闭环特征多项式Dk(s):开环特征多项式F(s)建立了系统的闭环特征多项式、开环特征多项式和开环传递函数G(s)H(s)之间的关系.5.3.1幅角原理

幅角原理——设Ls为[s]平面上一条封闭曲线，F(s)在Ls上解析，Z、P分别为F(s)在Ls内零、极点个数。当s按顺时针方向沿Ls变化一周时，向量F(s)在[F]平面所形成的曲线LF将包围原点N次，且N=Z-P。Ls[s]joF(s)[F]ReImoN=-2N>0：F(s)绕[F]平面原点顺时针转N圈；

N<0：F(s)绕[F]平面原点逆时针转N

圈。幅角原理基本思想利用F(s)沿封闭曲线Ls一圈的相位变化，确定F(s)绕[F]平面原点的圈数和方向,进而判断其在Ls内的零、极点个数之差：

Nyquist判据基本思想为判断F(s)在[s]右半平面有无零点，作封闭曲线Ls包围整个[s]右半平面。(该曲线由整个虚轴和无穷大右半圆组成。)R=Ls[S]F(s)在

[s

]

右半平面零、极点个数之差，可由[F(s)]平面上的封闭轨迹绕该平面原点的圈数和方向来确定。[F]o由F(s)=1+G(s)H(s),

得G(s)H(s)=F(s)-1,即绕[F]

平面原点的封闭轨迹，等价于绕[GH]平面上(-1，j0)的封闭轨迹。[GH](-1,j0)根据G(s)H(s)绕[GH]平面(-1，j0)点的N及G(s)H(s)的极点数P，可判断F(s)在[s]右半平面的零点数:Z=N+P。5.3.2Nyquist稳定判据

Gk(s)的形状即:[GK]平面上的Nyquist轨迹为当由-∞到+∞变化时，GK(j)所形成的轨迹。记P为GK(s)在[s]右半平面的极点数，则当由-∞到+∞变化时，[GK]平面的轨迹GK(j)逆时针包围点(-1,j0)P圈(N=-P)，则闭环系统稳定。

Nyquist

稳定判据5.3.2Nyquist稳定判据注：由于Gk(-j)关于Gk(j)共轭，因此只需作出从0~+的Gk(j)即可。Nyquist判据可简单地用下式表示：若则系统闭环稳定。开环稳定系统(P=0)的Nyquist判据系统在开环状态稳定的条件下，闭环稳定的充要条件是：当

由-∞到+∞变化时，开环G(j)H(j)

轨迹不包围[GH]（或[GK]）平面的(-1,j0)点。5.3.2Nyquist稳定判据系统(a)因为开环Nyquist轨迹不包围(-1,j0)点，且P=0则系统闭环稳定。系统(b)因为开环Nyquist轨迹顺时针包围(-1,j0)点2圈，且P=0则系统闭环不稳定，且不稳定的极点数:Z=N=2.例1

图(a)、(b)为P=0的系统的开环Nyquist图，判断相应闭环系统的稳定性。5.3.2Nyquist稳定判据=+=-=-=+[GH][GH]P=0P=0例2已知系统开环传递函数应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性。因为P=1，所以当N=-1时有Z=N+P=0，系统闭环稳定:当K>1时，Nyquist轨迹逆时针包围（-1，j0）点一圈，系统闭环稳定（N=-1）；当0<K<1时，系统闭环不稳定（N=0）；当K=1时，系统临界稳定（Nyquist轨迹穿过(-1，j0)点对应F(s)穿过[F]平面的原点）。5.3.2Nyquist稳定判据例3已知系统开环传递函数系统开环有一个不稳定极点(P=1),而由-∞到+∞变化时，[GH]平面的轨迹GK(j)

逆时针包围点(-1,j0)一圈(N=-1)，因此Z=N+P=0,系统闭环稳定。-KG(j)ImRe0n(-1,j0)5.3.2Nyquist稳定判据的Nyquist轨迹如图，试分析系统的稳定性。虽然开环不稳定的系统，闭环可以稳定，但这种系统的动、静态品质通常不好，应当尽量避免。5.3.3开环含有积分环节情况

问题的提出

当系统开环传递函数含有积分环节（原点处存在极点）或者在虚轴上存在极点时，由于GK(s)在

Ls上不再是解析函数，因此不可直接应用Nyquist判据判断闭环系统的稳定性。解决这一问题的基本思路是：用半径→0的半圆在虚轴上极点的右侧绕过这些极点，即将这些极点划到s左半平面，从而使得GK(s)在Ls上仍然是解析函数。原点处右半圆弧的数学方程r0时系统开环传递函数[s]平面原点处极点所对应的Nyquist轨迹s=rej(r0)系统开环传递函数从00+：其Nyquist轨迹为[GH]上幅值为无穷大，弧度为-v/2的圆弧。5.3.3开环含有积分环节情况

rjO0+0-s从0/2：（[s]平面）（[Gk]平面）原点处有极点的系统开环Nyquist轨迹：（1）一般情况=0+=0+5.3.3开环含有积分环节情况

作出由0+→∞变化时的Nyquist曲线;从G(j0+)开始，以∞的半径逆时针补画v900的圆弧(辅助线)。

rjO0+其辅助线的起始点始终在无穷远的正实轴上。（如果是非最小相位系统，且v=2，应如何作辅助线？）对于最小相位系统，应当以半径为无穷大的圆弧顺时针方向连接正实轴端和G(j)H(j)轨迹的起始端。5.3.3开环含有积分环节情况

原点处有极点的系统开环Nyquist轨迹：（2）最小相位系统例1

已知系统开环传递函数，和开环Nyquist图，应用Nyquist判据判断闭环系统的稳定性。

由于开环Nyquist轨迹顺时针包围(-1，j0)两圈，且P=0，则闭环系统不稳定，且不稳定极点数Z=2。5.3.3开环含有积分环节情况

=+=-例2

系统的开环传递函数为

其开环Nyquist图如下，判断系统稳定性。曲线(2)为T4较大时，由于导前环节的正相位使Gk(j)过负实轴的频率增加，系统开环Nyquist轨迹不包围(-1,j0)点，系统稳定；5.3.3开环含有积分环节情况

曲线(1)为T4较小时，由于导前环节的正相位起作用的频率较高，Gk(j)在较低频率时即穿越负实轴，系统开环Nyquist轨迹顺时针包围(-1,j0)点两圈，系统不稳定。|Gk(j)|随频率的增加而单调衰减。例3

单位反馈系统的开环传递函数为应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性。

系统闭环稳定。作系统开环Nyquist曲线，如图。判断开环稳定P=0；开环Nyquist曲线不包围(-1,j0)点；5.3.3开环含有积分环节情况

＝0+：A(0+)＝∞,(0+)＝－180°＝：A()＝0,()＝－180°例4

系统的开环传递函数，绘制其Nyquist轨迹，并判别闭环系统的稳定性。T1<T2，Nyquist轨迹不包围(-1,j0)点，系统稳定T1>T2，Nyquist轨迹顺时针包围（-1,j0）点2次（N=2），而P＝0，即Z=N+P=2系统闭环不稳定。5.3.3开环含有积分环节情况

课后作业教材186页：5.9（1）、（2）

5.9（3）(选做题)（要求作出从-+Nyquist轨迹）5.3Nyquist稳定判据本节教学内容5.4.1Nyquist图与Bode

图的对应关系

5.4.2相位穿越的概念

5.4.3Bode稳定判据本节教学要求1.掌握Nyquist图与Bode图的对应关系2.熟悉Nyquist图与Bode

图的相位穿越的概念3.掌握用Bode判据分析系统稳定性的方法5.4

Bode稳定判据5.系统的稳定性5.4.1Nyquist图与Bode图的对应关系相连(v

为开环积分环节的数目)起始点

(0+)

Nyquist曲线的辅助线:(0+)+v90°线Nyquist图Bode图单位圆0分贝线单位圆以外

L()>0的部分单位圆内部

L()<0的部分负实轴-180°线5.4.1Nyquist图与Bode图的对应关系穿越频率幅值穿越频率cNyquist图：Nyquist轨迹与单位圆的交点频率。Bode图：对数幅频特性与0dB线的交点频率。相位穿越频率g

Nyquist图：

Nyquist轨迹与负实轴交点的频率。Bode图：对数相频特性与-线的交点频率。

GHImRe0(－1,j0)cg3g2g1=0-+→∞20lg|GH|/dB0-180°∠GHωg1ωcωg2ωg300Nyquist轨迹相位穿越——

开环奈氏轨迹在(-1,j0)点以左穿过负实轴，有正穿越:沿频率增加的方向，开环奈氏轨迹自上而下穿过负实轴；负穿越:沿频率增加的方向，开环奈氏轨迹自下而上穿过负实轴；半次穿越:沿频率增加的方向，开环奈氏轨迹自负实轴向下(向上)称为半次正(负)穿越（即G(j)H(j)轨迹起始或终止于(-1,j0)点以左的负实轴）。5.4.2相位穿越的概念正1次负1次正1/2次正2次负1次负1/2次Nyquist判据的穿越法——

当由0变化到+∞时，Nyquist轨迹在（-1,j0）点左边实轴上的正负穿越次数之差等于P/2时（P为系统开环右极点数），闭环系统稳定；否则闭环系统不稳定。5.4.2相位穿越的概念开环不稳定，闭环稳定P=0P=2开环稳定，闭环稳定正穿越：对应于对数相频特性曲线当增大时，从下向上穿越-180°线(相角滞后减小)。负穿越：对应于对数相频特性曲线当增大时，从上向下穿越-180°线(相角滞后增大)。

Bode图的相位穿越5.4.2相位穿越的概念5.4.3Bode稳定判据

Bode判据——若系统开环传递函数有P个位于右半s平面的特征根，则当在L()>0的所有频率范围内，对数相频特性曲线()(含辅助线)与-180°线的正负穿越次数之差等于P/2时，系统闭环稳定；否则，闭环不稳定。()自上而下()自下而上负穿越()自下而上()

自上而下正穿越对数值L()>0范围内相频(j)穿越-线G(j)H(j)穿过负实轴(-1~-)段Bode判据与Nyquist判据的对应关系例15.4.3Bode稳定判据开环特征方程有两个右根P=2,正负穿越数之差-1——闭环不稳定.P=2开环特征方程无右根P=0,正负穿越数之差0——闭环稳定。P=0开环特征方程有两个右根P=2,正负穿越数之差为+1，所以

闭环稳定.P=2开环特征方程无右根P=0，L()>0范围内()和-线不相交即正负穿越数之差为0——闭环稳定。例2

已知系统开环传递函数和Bode图如下，分析系统的闭环稳定性。5.4.3Bode稳定判据0.20.850200开环稳定系统的Bode判据——

特别地，当P=0(开环系统稳定)时，Bode判据可简述如下：c<g

闭环系统稳定;c=g

闭环系统临界稳定;c>g

闭环系统不稳定。5.4.3Bode稳定判据GHImReoGK(j)cgGHImReoGK(j)cgGHImReoGK(j)cg开环稳定系统Bode判据与Nyquist判据的对应关系十分明显，该判据的正确运用是本节必须要掌握的内容.说明：若有多个c，则取最大的c

进行判断。5.4.3Bode稳定判据上图中，对c3而言，因为c3<g，则系统闭环稳定.

-1020lg|GH|dB010

c3

-180°∠GH0°

c1

c2

g5.5

系统的相对稳定性5.系统的稳定性本节教学内容5.5.1系统的相对稳定性

5.5.2系统的稳定裕量本节教学要求1.了解系统相对稳定性的概念2.掌握判断系统相对稳定性的方法5.5.1系统的相对稳定性系统的相对稳定性

——

指系统稳定、不稳定的程度，或系统稳定性的好坏。可以用系统闭环极点至虚轴的距离来描述，也可用系统开环Nyquist轨迹与（-1,j0）点的靠近程度来反映。特征方程最近虚轴的根至虚轴的距离越大，系统稳定性越好。（虚轴是系统稳定与不稳定的边界.）(-1,j0)在[GH]平面上，G(j)H(j)轨迹不包围(-1，j0)点，且离(-1，j0)点越远，系统的稳定性越好。相位裕度

——

在幅值穿越频率c上系统达到稳定边界所需要的附加相位滞后量：5.5.2系统的稳定性裕量稳定系统不稳定系统正相位裕度