新高考数学二轮复习专题33 单变量不等式能成立之参变分离法 (教师版)_第1页
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文档简介

(1)曲线y＝f(x)在x＝e处的切线与直线l平行，求实数k的值；(2)若至少存在一个x0∈[1，e]，使f(x0)＜g(x0)成立，求实数a的取值范围；(3)设k∈Z，当x＞1时，函数f(x)的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．7．解析(1)由已知得f′(x)＝lnx＋1，且f′(e)＝lne＋1＝2＝k－3，解得k＝5．(2)因为至少存在一个x0∈[1，e]，使f(x0)＜g(x0)成立，所以至少存在一个x0∈[1，e]，使x0lnx0＜eq\f(axeq\o\al(2,0),2)成立，即至少存在一个x0∈[1，e]，使a＞eq\f(2lnx0,x0)成立．令h(x)＝eq\f(2lnx,x)，当x∈[1，e]时，h′(x)＝eq\f(2(1－lnx),x2)≥0恒成立，因此h(x)＝eq\f(2lnx,x)在[1，e]上单调递增．故当x＝1时，h(x)min＝0，故实数a的取值范围为(0，＋∞)．(3)由已知得，xlnx＞(k－3)x－k＋2在(1，＋∞)上恒成立，即k＜eq\f(xlnx＋3x－2,x－1)在(1，＋∞)上恒成立，令F(x)＝eq\f(xlnx＋3x－2,x－1)，则F′(x)＝eq\f(x－lnx－2,(x－1)2)，令m(x)＝x－lnx－2，则m′(x)＝1－eq\f(1,x)＝eq\f(x－1,x)＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以m(x)在(1，＋∞)上单调递增，且m(3)＝1－ln3＜0，m(4)＝2－ln4＞0，所以在(1，＋∞)上存在唯一实数x0(x0∈(3，4))使m(x0)＝0，即x0－lnx0－2＝0．当1＜x＜x0时，m(x)＜0，即F′(x)＜0，当x＞x0时，m(x)＞0，即F′(x)＞0，所以F(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，故F(x)min＝F(x0)＝eq\f(x0lnx0＋3x0－2,x0－1)＝eq\f(x0(x0－2)＋3x

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