电磁场与电磁波第二章

电磁场与电磁波

第二章静电场回顾梯度、散度、旋度惟一性定理亥姆霍兹定理无旋场与无散场静电场主要内容：电场强度与电通场方程（真空）电位电偶极子与介质极化与电通密度静电场的边界条件电容电场能量电场力静电场静电场：当静止电荷的电荷量不随时间变化时，其产生的电场也不随时间变化。电荷周围场的特性与观察者和电荷之间的相对运动状态有关。电场强度、电通及电场线电场强度：电场对某点单位正电荷的作用力称为该点的电场强度，以表示：式中q

为试验电荷的电量，为电荷q

受到的作用力。电通：电场强度通过任一曲面的通量称为电通，以

表示,即电场强度、电通及电场线电场线：为形象描述电场强度的分布特性，引入一组曲线，令曲线上各点的切线方向表示该点的电场强度方向，该曲线称为电场线。电场线方程：带电平行板

负电荷

正电荷

几种典型的电场线分布电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。

电场强度、电通及电场线真空中静电场方程积分方程：物理实验表明，真空中静电场的电场强度

满足（高斯定律）

左式表明真空中静电场的电场强度通过任一封闭曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电量与真空介电常数之比。右式表明，真空中静电场的电场强度沿任一条闭合曲线的环量为零（保守性）。真空中静电场方程微分方程：利用高斯散度定理和斯托克斯旋度定理，可得左式表明，真空中静电场的电场强度在某点的散度等于该点的电荷体密度与真空介电常数之比。右式表明，真空中静电场的电场强度的旋度处处为零。真空中静电场是有散无旋场。电位已知静电场的电场强度的散度及旋度以后，根据亥姆霍兹定理，有：式中因此xPzy0标量函数称为电位，写为

真空中静电场在某点的电场强度等于该点电位梯度的负值。

取B点作为参考零点（无穷远处），则A点电位可表为静电场中某点电位的物理意义：单位正电荷在电场力的作用下，自该点沿任一条路径移至无限远处过程中电场力作的功。静电场中任意两点间电场强度的线积分（电位差）等于电场力作的功，与路径无关。电位等位面：电位相等的点组成的曲面。由于电场强度的方向为电位梯度的负方向，而电位梯度方向总是垂直于等位面，因此，电场线与等位面一定处处保持垂直。若规定相邻的等位面之间的电位差保持恒定，那么等位面密集处表明电位变化较快，因而场强较强。这样，等位面分布的疏密程度也可表示电场强度的强弱。电场线等位面E电位静电场特性高斯定律中的电量q

应理解为封闭面S所包围的全部正负电荷的总和。静电场的电场线是不可能闭合的，而且也不可能相交。任意两点之间电场强度的线积分与路径无关。真空中的静电场和重力场一样，它是一种保守场。静电场求解：高斯定律、分布电荷、微分方程＋边值条件静电场问题的求解方法高斯定律：电场分布具有对称性时，可先尝试用高斯定律求解电场强度。（例2－2－1，2－2－3）要点：1、“左边”电场在空间任意封闭面的总流出通量2、“右边”封闭面包围的总电荷除以…已知电荷分布，求解电场强度(例2－2－4)若电荷分布在一个有限的表面上，或者分布在一个有限的线段内，那么可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的面密度及线密度的关系分别为静电场问题的求解方法电偶极子电偶极子：由间距“很小”的2个等量正负“点”电荷组成。

间距：l“点”电荷：q1=q、q2=-q解决问题的入手点——矢量叠加原理！电矩矢量式中

的方向规定由负电荷指向正电荷。-q+ql电偶极子电偶极子产生的电位为利用关系式，求得电偶极子的电场强度为电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强度的大小与距离的三次方成反比。而且两者均与方位角有关。介质极化自由电荷：导体中的电子通常称为自由电子，它们所携带的电荷称为自由电荷。束缚电荷：低于击穿场强的电场作用下，介质中的电荷是不会自由运动的，这些电荷称为束缚电荷。介质击穿：如果外加电场很强，介质中的电子也可能脱离原子核而运动，即形成自由电子，从而使介质能够导电，这种现象称为介质击穿。有极分子无极分子无极分子有极分子Ea介质极化极化：在电场作用下，介质中束缚电荷发生位移的现象。无极分子的极化称为位移极化，有极分子的极化称为取向极化。因极化产生的面分布及体分布的束缚电荷又称为极化电荷。介质的极化介质中“束缚电荷”受电场影响感应出的电偶极子——极化研究感应出的电偶极子电场=原+偶极子电场介质极化电极化强度：单位体积中电矩的矢量和。极化率：实验结果表明，大多数介质在电场的作用下发生极化时，其电极化强度与合成的电场强度成正比，即其中称为电极化率，为正实数。介质极化更一般的情况各向同性介质各向异性介质（电场强度的方向）均匀介质非均匀介质（空间坐标）线性介质非线性介质（电场强度的大小）

静止介质运动介质（时间）介质极化为正实常数，表明…。方向相同？介质极化束缚电荷面分布:介质表面上一定有“束缚电荷”分布。束缚电荷体分布:如果介质内部是不均匀的，则极化产生的电偶极子的分布也是不均匀的，这样，在介质内部出现束缚电荷的体分布。介质内部体分布的束缚电荷总量与介质块的表面束缚电荷总量是等值异性的。介质中的静电场介质＋电场束缚电荷束缚电荷束缚电荷产生电场束缚电荷电场＋原有电场新电场

令（电通密度、电位移），有介质中穿过任一闭合面的电通密度的通量等于该闭合面包围的自由电荷，与束缚电荷无关。介质中的静电场方程介质中束缚电荷产生的仍为静电场，其场强旋度仍处处为零，因此场方程可写为积分形式微分形式介质中的静电场由各向同性介质的电极化强度定义可知令则

称为介质的介电常数。已知极化率e为正实数，因此，一切介质的介电常数均大于真空的介电常数。相对介电常数：任何介质的相对介电常数大于1。介质中的静电场对于均匀线性各向同性介质，介电常数与空间坐标及场强无关，因此场方程可写为积分形式微分形式介质中的静电场束缚电荷的分布特性均匀介质内自由电荷为零的区域中，束缚电荷体密度为零。静电场的边界条件边界条件：当讨论的空间存在多种介质时，由于介质特性不同，场量在两种介质的交界面上发生突变，其变化规律即为静电场的边界条件。边界条件的讨论：场量突变时，函数的连续性无法保证，因而描述点特性的散度和旋度在边界上不存在。因此边界条件的讨论归结为积分形式下的静电场方程在分界面上任一点处极限情况的表述。两种边界条件：两种介质、介质与导体两种介质的边界条件切向分量：将方程应用于跨越分界面的一狭小矩形回路，其长度为l，高度为h，则电场强度沿该矩形曲线的环量为

令h0，则线积分

令l足够短，以致于在l

内可以认为场量是相等的，则上述环量为

两种介质的边界条件已知静电场中电场强度的环量处处为零，因此——在两种介质形成的边界上，两侧的电场强度的切向分量相等，即电场强度的切向分量连续。（无条件）对于各向同性的线性介质——在两种各向同性的线性介质形成的边界上，电通密度的切向分量不连续。两种介质的边界条件法向分量：将方程应用于跨分界面的一个扁平圆柱面，其高度为h，端面为S。令h0，则通过侧面的通量为零，又考虑到S必须足够小，则上述通量应为hS

1

2enD2D1

D1n及D2n分别代表对应介质中电通密度与边界垂直的法向分量。边界法线的正方向规定为由介质1指向介质2，有两种介质的边界条件考虑到在两种介质形成的边界上通常不可能存在表面自由电荷，因此——在分界面无自由电荷面分布的条件下，两种介质边界上电通密度的法向分量相等，即电通密度的法向分量连续。对于各向同性的线性介质

——在两种各向同性的线性介质形成的边界上，电场强度的法向分量不连续。两种介质的边界条件边界上束缚电荷与法向分量的关系因故

——分界面两侧电场强度法向分量不连续是由分界面上的束缚电荷引起的。hS

1

2enD2D1介质和导体的边界条件静电平衡：导体内部和表面都没有电荷定向移动的状态。过程：当孤立导体放入静电场中以后，导体中自由电子发生运动，这一运动将改变导体上的电荷分布，这电荷的分布反过来又改变导体内部和周围的电场分布。这种电荷和电场的分布将一直改变到导体内部场强处处为零方才停止。介质和导体的边界条件静电平衡时导体内部场强处处为零：1、导体内部不可能存在自由电荷的体分布（高斯定律）。——自由电荷只能分布在导体的表面上。2、导体中的电位梯度为零。——导体中电位不随空间变化。——处于静电平衡状态的导体是一个等位体，导体表面是一个等位面。介质和导体的边界条件3、切向分量连续——电场强度垂直于导体的表面，即4、导体表面可以存在表面自由电荷，因此

对各向同性的线性介质，有由知介质E,D导体en导体围成的封闭空腔静电屏蔽：当封闭的导体空腔中没有自由电荷时，即使腔外存在电荷，腔中静电场仍然为零。这就意味着封闭的导体腔可以屏蔽外部静电场，这种效应称为静电屏蔽。

当金属空壳处于静电平衡时，壳体内的场强为零。这时如果在壳体内作一个封闭面包围空腔，由高斯定律可知空腔内表面上的净电荷为零。这有两种情况。一种情况是空腔内表面上没有电荷，则此时腔中不可能存在电场；另一种情况是内表面有等量的正负电荷，此时若以正负电荷间任一根电场线和腔壁中任一根曲线组成闭合曲线，则沿该曲线的电场强度的环量不为零，这就违背了静电场的基本特性，因此这种情况是不存在的。求极板间电场。假定两种介质中只存在垂直与极板的电场

边界条件

唯一性定理

电容电容：由物理学得知，平板电容器正极板上携带的电量q与极板间的电位差U的比值是一个常数，此常数称为平板电容器的电容，即电容为事实上，任意两个导体间的电容都可以用上式来表示。电容的单位F（法拉）太大。例如半径大如地球的弧立导体的电容只有F。实际中，通常取F（微法）及pF（皮法）作为电容单位。电容孤立导体的电容：和无限远处的另一个导体组成一个电容器。对于多导体之间的电容计算，需要引入部分电容概念。多导体系统中，每个导体的电位不仅与导体本身电荷有关，同时还与其他导体上的电荷有关，因为周围导体上电荷的存在必然影响周围空间静电场的分布，而多导体的电场是由它们共同产生的。半径为a的孤立导体球电容：b例一平行板电容器，两极板间距为b、面积为S，在其间平行地插入一厚度为t，相对介电常数为r，面积为S/2的均匀介质板。设极板带电Q，忽略边缘效应。

求(1)该电容器的电容C，(2)两极板间的电位差U。(3)Q在极板上均匀分布吗？Ue1R1e2R2例

同轴电缆内外导体半径分别为R1和R2，中间为两种介质，介电常数分别为1和2，分界面过直径，电压为U。试求该电缆单位长度电容。边界上电场强切线分量

E1t=E2t因此，根据唯一性定理，可知E1=E2小结介质中的静电场方程（电通密度、介电常数的引入、特殊形式）介质中：

均匀线性各向同性介质中：小结无自由电荷有自由电荷hS

1

2enE2E1小结两种介质形成的边界条件（注意条件）切向分量：

无条件：有条件（各向同性线性介质中）：法向分量：

无自由电荷面密度：

无自由电荷面密度且各向同性线性介质中：无自由电荷,束缚电荷与电场强度法向分量的关系：小结介质和导体形成的边界条件静电平衡时导体内部场强处处为零。切向分量,无条件满足：

法向分量：

有自由电荷面密度：

有自由电荷面密度且各向同性线性介质中：束缚电荷、自由电荷与电场强度法向分量的关系：一体电荷密度为ρ的带电球体中，现已挖去一球形空腔，求空腔内任意一点的场强。假定该球由半径为R电荷密度为ρ的带电球体1和半径为r电荷密度为-ρ的带电球2体组合而成。利用矢量叠加原理电场能量静电场具有能量：根据电场力作功或外力作功与静电场能量之间的转换关系，可以计算静电场能量。

孤立带电体能量：电位为φ，电荷量为Q的带电体电场能为电场能量多个带电体的静电场具有的总能量

线性媒质中，设各个带电体的电量增加一倍时，各个带电体的电位也升高一倍。第i

个带电体的电位最终值为i，电量的最终值为Qi

，若某一时刻第i

个带电体的电量为qi=Qi

，

<1，则此时刻该带电体的电位为i

=i。那么当各个带电体的电量均以同一比例

增长，且同时分别增至最终值时，该系统的总电场能为

平板电容电场的能量：电场能量能量守恒：虽然上述推导中假定电荷同时增长，但外力所作的功全部转化为静电场的能量，与过程无关。带电体电荷连续分布时，静电场具有的总能量电场能量静电场的能量分布在电场所占据的整个空间——区域特性静电场的能量分布密度——点特性由得:

两个导体携带的电量为Q1和Q2，其表面积分别为S1和S2，电荷分布在导体的表面上，因此，该系统的总能量为

S2Q2Q1S1Venen电场能量在无限远处再作一个无限大的球面S，由于电荷分布在有限区域，无限远处的电位及场强均趋于零。因此，积分SS2Q2Q1S1Venen式中。闭合面S包围了静电场所占据的整个空间。那么，利用高斯定理，上式可写区域V中没有自由电荷，又因此电场能量能量分布密度：各向同性的线性介质中静电场能量与电场强度平方成正比。因此，能量不符合叠加原理。这是因为在多电荷系统中，当一个带电体引入系统中时，外力必须反抗已有其它带电体对该带电体产生的电场力而作功，此功也转变为电场能量，这份能量通常称为互有能，而带电体单独存在时具有的能量称为固有能。静电场能量的两种求解思路课堂作业求半径为R0，体电荷密度为ρ的电荷球(如：电子云)所具有的电场能量。分析：什么物理概念？球的对称性有没有用途？用什么解法？题解解法1：直接利用能量密度公式

需要求解：题解解法2：按照物理过程——“糊泥”——外力做功“糊到”距离球心R处时，这个半径为R的“半成品”球的电位：糊上厚度为dR的球壳（“泥”）：糊上厚度为dR的球壳（“泥”）外力需要做的功：总的功（能量）：例两半径为R的平行长直导线，中心间距为d，且dR,求沿导线方向，单位长度的电场能量.设两金属线的电荷线密度为解例一球形电容器由两个同心导体球壳组成，其间充满相对介电常数为r的各向同性均匀电介质，外球壳以外为真空。内球壳半径为R1，带电量为q1；外球壳内、外半径分别为R2和R3，带电量为q2。求：(1)空间的电场分布；(2)该电容器的电容；(3)电介质中的电场能量。解(1)由高斯定理有：oR1R2R3roq1-q1q1+q2

(2)两球的电势差为：电容为q1(3)电介质中的电场能量：电场能量也可用下式求得：rdrR1R2R3roq1-q1q1+q2电场力库仑定律：静电学基础，适用于电荷分布简单的系统。虚位移法：电荷分布复杂的系统，为了计算分布电荷的带电体之间的电场力，通常采用虚位移法——假定带电体在电场作用下发生一定的位移，根据位移过程中电场能量的变化与外力及电场力所作的功之间的关系计算电场力。电场力平板电容器两极板上的电量分别为+q及-q，板间距离为l。为了计算方便，假定在电场力作用下，极板之间的距离增量为dl。而两极板间的相互作用力实际上导致板间距离减小。因此，求出的作用力应为负值。dll-q+q电场力若认为作用力F导致位移增加，因此，作用力F的方向为位移的增加方向。这样，为了产生dl

位移增量，电场力作的功为根据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量的减小值，即由此求得——常电荷系统电场力已知平板电容器的能量为。对于常电荷系统，发生位移时电量q未变，只有电容C

改变了。平板电容器的电容平板电容器两极板之间的作用力为负号表明作用力的实际方向是指向位