2023年广东科学技术职业学院高职单招（数学）试题库含答案解析

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年广东科学技术职业学院高职单招（数学）试题库含答案解析（图片大小可自由调整）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第1卷一.综合题(共50题)1.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（）

A．

B．

C．

D．答案：D2.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，=（

）

A．

B．4

C．

D．-4答案：D3.已知P（B|A）=，P（A）=，则P（AB）=（）

A．

B．

C．

D．答案：D4.下列关于算法的说法中正确的个数是（）

①求解某一类问题的算法是唯一的；

②算法必须在有限步操作之后停止；

③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；

④算法执行后一定产生确定的结果．A．1B．2C．3D．4答案：由算法的概念可知：求解某一类问题的算法不是唯一的，故①不正确；算法是有限步，结果明确性，②④是正确的．对于③，算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊是正确的；故③正确．∴关于算法的说法中正确的个数是3．故选C．5.函数y=ax2+a与（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）

A．

B．

C．

D．

答案：D6.已知e1，e2是夹角为60°的单位向量，且a=2e1+e2，b=-3e1+2e2

（1）求a•b；

（2）求a与b的夹角＜a，b＞．答案：（1）求a•b=(2e1+e2)•

(-3e1+2e2)=

-6e12+e1

•e2+2e22=-6+1×1×cos60°+2=-72．（2）|a|=|2e1+e2|=(2e1+e2)2=4e12+2e1•e2+e22=7同样地求得|b|=7．所以cos＜a，b＞=a•b|a||b|=-727

×7=-12，又0＜＜a，b＞＜π，所以＜a，b＞=2π3．7.根据下列条件，求圆的方程：

（1）过点A（1，1），B（-1，3）且面积最小；

（2）圆心在直线2x-y-7=0上且与y轴交于点A（0，-4），B（0，-2）．答案：（1）过A、B两点且面积最小的圆就是以线段AB为直径的圆，∴圆心坐标为（0，2），半径r=12|AB|=12(-1+1)2+(1-3)2=12×8=2，∴所求圆的方程为x2+（y-2）2=2；（2）由圆与y轴交于点A（0，-4），B（0，-2）可知，圆心在直线y=-3上，由2x-y-7=0y=-3，解得x=2y=-3，∴圆心坐标为（2，-3），半径r=5，∴所求圆的方程为（x-2）2+（y+3）2=5．8.随机变量X的概率分布规律为P（X=n）=（n=1，2，3，4），其中a是常数，则P（）的值为（）

A．

B．

C．

D．

答案：D9.设z是复数，a（z）表示zn=1的最小正整数n，则对虚数单位i，a（i）=（）A．8B．6C．4D．2答案：a（i）=in=1，则最小正整数n为4．故选C．10.如图，D、E分别在AB、AC上，下列条件不能判定△ADE与△ABC相似的有（）

A．∠AED=∠B

B．

C．

D．DE∥BC

答案：C11.若e1、e2、e3是三个不共面向量，则向量a=3e1+2e2+e3，b=-e1+e2+3e3，c=2e1-e2-4e3是否共面？请说明理由．答案：解：设c=1a+2b，则即∵a、b不共线，向量a、b、c共面．12.求由曲线围成的图形的面积．答案：面积为解析：当，时，方程化成，即．上式表示圆心在，半径为的圆．所以，当，时，方程表示在第一象限的部分以及轴，轴负半轴上的点，．同理，当，时，方程表示在第四象限的部分以及轴负半轴上的点；当，时，方程表示圆在第二象限的部分以及轴负半轴上的点；当，时，方程表示圆在第三象限部分．以上合起来构成如图所示的图形，面积为．13.若角α和β的两边分别对应平行且方向相反，则当α=45°时，β=______．答案：由题意知∠α=45°°，AB∥CE，AE∥BD∵AE∥BD∴∠BDC=∠α=45°∵AB∥CE∴∠β=∠BDC=45°故为45°．14.参数方程x=sinθ+cosθy=sinθ•cosθ化为普通方程是______．答案：把x=sinθ+cosθy=sinθ•cosθ利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为普通方程可得x2=1+2y，故为x2=1+2y．15.整数630的正约数（包括1和630）共有______个．答案：首先将630分解质因数630=2×32×5×7；然后注意到每一因数可出现的次幂数，如2可有20，21两种情况，3有30，31，32三种情况，5有50，51两种情况，7有70，71两种情况，按分步计数原理，整数630的正约数（包括1和630）共有2×3×2×2=24个．故为：24．16.袋子A和袋子B均装有红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是13，从B中摸出一个红球的概率是P．

（1）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次，求恰好有3次摸到红球的概率；

（2）若A、B两个袋子中的总球数之比为1：2，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率为25，求P的值．答案：（1）每次从A中摸一个红球的概率是13，摸不到红球的概率为23，根据独立重复试验的概率公式，故共摸5次，恰好有3次摸到红球的概率为：P=C35(13)3(23)2=10×127×49=40243．（2）设A中有m个球，A、B两个袋子中的球数之比为1：2，则B中有2m个球，∵将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是25，∴13m+2mp3m=25，解得p=1330．17.电子手表厂生产某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则P（1≤X≤2013）等于（）

A．1-()2012

B．1-()2013

C．1-()2012

D．1-()2013答案：B18.已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0．x2+y2-10x-12y+m=0．

（1）m取何值时两圆外切？

（2）m取何值时两圆内切？

（3）当m=45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．答案：（1）由已知可得两个圆的方程分别为（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=61-m，两圆的圆心距d=(5-1)2+(6-3)2=5，两圆的半径之和为11+61-m，由两圆的半径之和为11+61-m=5，可得m=25+1011．（2）由两圆的圆心距d=(5-1)2+(6-3)2=5等于两圆的半径之差为|11-61-m|，即|11-61-m|=5，可得

11-61-m=5（舍去），或

11-61-m=-5，解得m=25-1011．（3）当m=45时，两圆的方程分别为（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=16，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为4x+3y-23=0．第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离为d=|4+9-23|5=2，可得弦长为211-4=27．19.已知直线l：ax+by=1（ab＞0）经过点P（1，4），则l在两坐标轴上的截距之和的最小值是______．答案：∵直线l：ax+by=1（ab＞0）经过点P（1，4），∴a+4b=1，故a、b都是正数．故直线l：ax+by=1，此直线在x、y轴上的截距分别为1a、1b，则l在两坐标轴上的截距之和为1a+1b=a+4ba+a+4bb=5+4ba+ab≥5+24ba?ab=9，当且仅当4ba=ab时，取等号，故为9．20.已知随机变量ξ～N（3，22），若ξ=2η+3，则Dη=（）

A．0

B．1

C．2

D．4答案：B21.直线y=2x+1的参数方程是（）

A.（t为参数）

B.（t为参数）

C.（t为参数）

D.（θ为参数）

答案：B22.将函数="2x"+1的图像按向量平移得函数=的图像则

A=（1）B=（1，1）C=()

D(1，1）答案：C解析：分析：本小题主要考查函数图象的平移与向量的关系问题．依题由函数y=2x+1的图象得到函数y=2x+1的图象，需将函数y=2x+1的图象向左平移1个单位，向下平移1个单位；故=(-1，-1)．解：设=（h，k）则函数y=2x+1的图象平移向量后所得图象的解析式为y=2x-h+1+k∴∴∴=（-1，-1）故答案为：C．23.已知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为60°，则a+b在a方向上的投影为______．答案：∵|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为60°，∴a?b=a|×|b|×cos60°=1由此可得（a+b）2=|a|2+2a?b+|b|2=1+2+4=7∴|a+b|=7．设a+b与a的夹角为θ，则∵（a+b）?a=|a|2+a?b=2∴cosθ=(a+b)?a|a+b|?|a|=277，可得向量a+b在a方向上的投影为|a+b|cosθ=7×277=2故为：224.在直角梯形ABCD中，已知A（-5，-10），B（15，0），C（5，10），AD是腰且垂直两底，求顶点D的坐标．答案：设D（x，y），则∵DC∥AB，∴y-10x-5=0+1015+5，又∵DA⊥AB，∴y+10x+5•0+1015+5=-1．由以上方程组解得：x=-11，y=2．∴D（-11，2）．25.已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线l：y=p2于点M，当|FD|=2时，∠AFD=60°．

（1）求证：△AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程；

（2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，交直线l于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时的x1值．答案：（1）设A(x1，x122p)，则A处的切线方程为l1：y=x1px-x122p，可得：D(x12，0)，Q(0，-x212p)∴|FQ|=p2+x212p=|AF|；∴△AFQ为等腰三角形．由点A，Q，D的坐标可知：D为线段AQ的中点，∴|AF|=4，得：p2+x212p=4x21+p2=16∴p=2，C：x2=4y．（2）设B（x2，y2）（x2＜0），则B处的切线方程为y=x22x-x224联立y=x22x-x224y=x12x-x214得到点P(x1+x22，x1x24)，联立y=x12x-x214y=1得到点M(x12+2x1，1)．同理N(x22+2x2，1)，设h为点P到MN的距离，则S△=12|MN|•h=12×(x12+2x1-x22-2x2)(1-x1x24)=(x2-x1)(4-x1x2)216x1x2

①设AB的方程为y=kx+b，则b＞0，由y=kx+bx2=4y得到x2-4kx-4b=0，得x1+x2=4kx1x2=-4b代入①得：S△=16k2+16b(4+4b)264b=(1+b)2k2+bb，要使面积最小，则应k=0，得到S△=(1+b)2bb②令b=t，得S△(t)=(1+t2)2t=t3+2t+1t，则S′△(t)=(3t2-1)(t2+1)t2，所以当t∈(0，33)时，S（t）单调递减；当t∈(33，+∞)时，S（t）单调递增，所以当t=33时，S取到最小值为1639，此时b=t2=13，k=0，所以y1=13，解得x1=233．故△PMN面积取得最小值时的x1值为233．26.若两直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，则下列四个命题中正确的是（）

A．若α1＜α2，则两直线斜率k1＜k2

B．若α1=α2，则两直线斜率k1=k2

C．若两直线斜率k1＜k2，则α1＜α2

D．若两直线斜率k1=k2，则α1=α2答案：D27.如图所示，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线

BD′上,∠PDA=60°.

(1)求DP与CC′所成角的大小;

(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.答案：(1)DP与CC′所成的角为45°(2)DP与平面AA′D′D所成的角为30°解析：如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D—xyz.则=（1，0，0），=(0,0,1).连接BD,B′D′.在平面BB′D′D中,延长DP交B′D′于H.设="(m,m,1)"(m＞0),由已知〈,〉=60°,由·=||||cos〈,〉,可得2m=.解得m=,所以=（,,1）.(1)因为cos〈,〉==,所以〈,〉=45°,即DP与CC′所成的角为45°.(2)平面AA′D′D的一个法向量是=(0,1,0).因为cos〈,〉==,所以〈,〉=60°,可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.28.若长方体的三个面的对角线长分别是a，b，c，则长方体体对角线长为（）A．a2+b2+c2B．12a2+b2+c2C．22a2+b2+c2D．32a2+b2+c2答案：解析：设同一顶点的三条棱分别为x，y，z，则x2+y2=a2，y2+z2=b2，x2+z2=c2得x2+y2+z2=12(a2+b2+c2)，则对角线长为12(a2+b2+c2)=22a2+b2+c2．故选C．29.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A．若m∥n，m∥α，则n∥α

B．若α⊥β，m∥α，则m⊥β

C．若α⊥β，m⊥β，则m∥α

D．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β答案：D30.设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”．那么，下列命题总成立的是A．若成立，则当时，均有成立B．若成立，则当时，均有成立C．若成立，则当时，均有成立D．若成立，则当时，均有成立答案：D解析：若成立，依题意则应有当时，均有成立，故A不成立,若成立，依题意则应有当时，均有成立，故B不成立,因命题“当成立时，总可推出成立”．“当成立时，总可推出成立”．因而若成立，则当时，均有成立，故C也不成立。对于D，事实上，依题意知当时，均有成立，故D成立。31.已知圆C：x2+y2-4x-6y+12=0的圆心在点C，点A（3，5），求：

（1）过点A的圆的切线方程；

（2）O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S．答案：（1）⊙C：（x-2）2+（y-3）2=1．当切线的斜率不存在时，对直线x=3，C（2，3）到直线的距离为1，满足条件；当k存在时，设直线y-5=k（x-3），即y=kx+5-3k，∴|-k+2|k2+1=1，得k=34．∴得直线方程x=3或y=34x+114．（2）|AO|=9+25=34，l：5x-3y=0，d=134，S=12d|AO|=12．32.三个数a=60.5，b=0.56，c=log0.56的大小顺序为______．（按大到小顺序）答案：∵a=60.5＞60=1，0＜b=0.56＜0.50=1，c=log0.56＜log0.51=0．∴a＞b＞c．故为a＞b＞c．33.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位（）

A．南

B．北

C．西

D．下

答案：B34.某医院计划从10名医生（7男3女）中选5人组成医疗小组下乡巡诊．

（I）设所选5人中女医生的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；

（II）现从10名医生中的张强、李军、王刚、赵永4名男医生，李莉、孙萍2名女医生共6人中选一正二副3名组长，在张强被选中的情况下，求李莉也被选中的概率．答案：（I）ξ的所有可能的取值为0，1，2，3，…．…．（2分）则P（ξ=0）=C57C510=112P（ξ=1）=C47C13C510=512P（ξ=2）=C27C23C510=512；P（ξ=3）=C27C33C510=112…（6分）ξ．的分布列为ξ0123P112512512112Eξ=1×112+2×512+3×112=32…（9分）（II）记“张强被选中”为事件A，“李莉也被选中”为事件B，则P（A）=C25C36=12，P（BA）=C14C36=15，所以P（B|A）=P(BA)P(A)=25…（12分）35.已知R为实数集，Q为有理数集．设函数f(x)=0，(x∈CRQ)1，(x∈Q)，则（）A．函数y=f（x）的图象是两条平行直线B．limx→∞f(x)=0或limx→∞f(x)=1C．函数f[f（x）]恒等于0D．函数f[f（x）]的导函数恒等于0答案：函数y=f（x）的图象是两条平行直线上的一些孤立的点，故A不正确；函数f（x）的极限只有唯一的值，左右极限不等，则该函数不存在极限，故B不正确；若x是无理数，则f（x）=0，f[f（x）]=f（0）=1，故C不正确；∵f[f（x）]=1，∴函数f[f（x）]的导函数恒等于0，故D正确；故选D．36.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）

A．至少有1个白球；都是白球

B．至少有1个白球；至少有1个红球

C．恰有1个白球；恰有2个白球

D．至少有一个白球；都是红球答案：C37.求圆Cx=3+4cosθy=-2+4sinθ(θ为参数)的圆心坐标，和圆C关于直线x-y=0对称的圆C′的普通方程．答案：圆Cx=3+4cosθy=-2+4sinθ(θ为参数)

即

（x-3）2+（y+2）2=16，表示圆心坐标（3，-2），半径等于4的圆．C（3，-2）关于直线x-y=0对称的点C′（-2，3），半径还是4，故圆C′的普通方程（x+2）2+（y-3）2=16．38.设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）

A．

B．

C．

D．答案：C39.“若x、y全为零，则xy=0”的否命题为______．答案：由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x、y全为零，则xy=0”的否命题为“若x、y不全为零，则xy≠0”．故为：若x、y不全为零，则xy≠0．40.在某路段检测点对200辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为如图所示的频率分布直方图，则车速不小于90km/h的汽车有辆．（）A．60B．90C．120D．150答案：频率=频率组距×组距=（0.02+0.01）×10=0.3，频数=频率×样本总数=200×0.3=60（辆）．故选A．41.已知当m∈R时，函数f（x）=m（x2-1）+x-a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．答案：（1）m=0时，f（x）=x-a是一次函数，它的图象恒与x轴相交，此时a∈R．（2）m≠0时，由题意知，方程mx2+x-（m+a）=0恒有实数解，其充要条件是△=1+4m（m+a）=4m2+4am+1≥0．又只需△′=（4a）2-16≤0，解得-1≤a≤1，即a∈[-1，1]．∴m=0时，a∈R；m≠0时，a∈[-1，1]．42.

若平面向量，，两两所成的角相等，||=||=1，||=3，则|++|=（）

A．2

B．4

C．2或5

D．4或5答案：C43.在△ABC中，DE∥BC，DE将△ABC分成面积相等的两部分，那么DE：BC=（）

A．1：2

B．1：3

C．

D．1：1答案：C44.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）A．（x+1）2+（y-1）2=2B．（x-1）2+（y+1）2=2C．（x-1）2+（y-1）2=2D．（x+1）2+（y+1）2=2答案：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（-1，1）到两直线x-y=0的距离是|2|2=2；圆心（-1，1）到直线x-y-4=0的距离是62=32≠2．故A错误．故选B．45.每一吨铸铁成本y

（元）与铸件废品率x%建立的回归方程y=56+8x，下列说法正确的是（）A．废品率每增加1%，成本每吨增加64元B．废品率每增加1%，成本每吨增加8%C．废品率每增加1%，成本每吨增加8元D．如果废品率增加1%，则每吨成本为56元答案：∵回归方程y=56+8x，∴当x增加一个单位时，对应的y要增加8个单位，这里是平均增加8个单位，故选C．46.直线y=33x绕原点逆时针方向旋转30°后，所得直线与圆（x-2）2+y2=3的交点个数是______．答案：∵直线y=33x的斜率为33，∴此直线的倾斜角为30°，∴此直线绕原点逆时针方向旋转30°后倾斜角为60°，∴此直线旋转后的方程为y=3x，由圆（x-2）2+y2=3，得到圆心坐标为（2，0），半径r=3，∵圆心到直线y=3x的距离d=232=3=r，∴该直线与圆相切，则直线与圆（x-2）2+y2=3的交点个数是1．故为：147.一个样本a，99，b，101，c中五个数恰成等差数列，则这个样本的极差与标准差分别为（

）。答案：4；48.在区间[0，1]产生的随机数x1，转化为[-1，3]上的均匀随机数x，实施的变换为（）

A．x=3x1-1

B．x=3x1+1

C．x=4x1-1

D．x=4x1+1答案：C49.2008年9月25日下午4点30分，“神舟七号”载人飞船发射升空，其运行的轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，若这个椭圆的长轴长为2a，离心率为e，则“神舟七号”飞船到地球中心的最大距离为______．答案：如图，根据椭圆的几何性质可知，顶点B到椭圆的焦点F的距离最大．最大为a+c=a+ae．故为：a+ae．50.直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（

）

A．-3

B．2

C．-3或2

D．3或-2答案：A第2卷一.综合题(共50题)1.在同一坐标系中，y=ax与y=a+x表示正确的是（）A．

B．

C．

D．

答案：由y=x+a得斜率为1排除C，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上，由此排除B；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上，由此排除D，知A是正确的；故选A．2.如图，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，AB=3，BC=2，则切线AD的长为______．答案：由切割线定理可得AD2=AB?AC=3×5，∴AD=15．故为15．3.如图，在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标．答案：点A为y=0与x-2y+1=0两直线的交点，∴点A的坐标为（-1，0）．∴kAB=2-01-(-1)=1．又∵∠A的平分线所在直线的方程是y=0，∴kAC=-1．∴直线AC的方程是y=-x-1．而BC与x-2y+1=0垂直，∴kBC=-2．∴直线BC的方程是y-2=-2（x-1）．由y=-x-1，y=-2x+4，解得C（5，-6）．∴点A和点C的坐标分别为（-1，0）和（5，-6）4.下列函数中，与函数y=x相等的是（）A．y=(x)4B．y=5x5C．y=x2D．y=x2x答案：函数y=x的定义域为R，选项中A，D定义域不是R，是A、D不正确．选项C的对应法则不同，C不正确．故选B．5.有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中7个球标有字母A、3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一号盒子中任取一球，若取得标有字母A的球，则在第二号盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三号盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，那么试验成功的概率为（）

A．0.59

B．0.54

C．0.8

D．0.15答案：A6.某种灯泡的耐用时间超过1000小时的概率为0.2，有3个相互独立的灯泡在使用1000小时以后，最多只有1个损坏的概率是（）

A．0.008

B．0.488

C．0.096

D．0.104答案：D7.在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为x=4cosθy=2sinθ（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ-4sinθ（ρ＞0）．

（Ⅰ）化曲线C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（Ⅱ）设曲线C1与x轴的一个交点的坐标为P（m，0）（m＞0），经过点P作曲线C2的切线l，求切线l的方程．答案：（Ⅰ）曲线C1：x216+y24=1；曲线C2：（x-1）2+（y+2）2=5；（3分）曲线C1为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是4，短半轴长是2的椭圆；曲线C2为圆心为（1，-2），半径为5的圆（2分）（Ⅱ）曲线C1：x216+y24=1与x轴的交点坐标为（-4，0）和（4，0），因为m＞0，所以点P的坐标为（4，0），（2分）显然切线l的斜率存在，设为k，则切线l的方程为y=k（x-4），由曲线C2为圆心为（1，-2），半径为5的圆得|k+2-4k|k2+1=5，解得k=3±102，所以切线l的方程为y=3±102(x-4)（3分）8.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F

是棱CD上的动点．

（Ⅰ）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；

（Ⅱ）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1-EF-A的余弦值以及BA1与面C1EF所成的角的大小．答案：（I）由题意可得：以A为原点，分别以直线AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，且DF=x，则A1（0，0，1），A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），B1(1，0，1)，D1(0，1，1)，E(1，12，0)，F(x，1，0)所以D1E=(1，-12，-1)，AB1=(1，0，1)，AF=(x，1，0)由D1E⊥面AB1F⇔D1E⊥AB1且D1E⊥AF，所以D1E•AB1=0D1E•AF=0，可解得x=12所以当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F．（II）当D1E⊥平面AB1F时，F是CD的中点，F(12，1，0)由正方体的结构特征可得：平面AEF的一个法向量为m=(0，0，1)，设平面C1EF的一个法向量为n=（x，y，z），在平面C1EF中，EC1=(0，12，1)，EF=(-12，12，0)，所以EC1•n=0EF•n

=0，即y=-2zx=y，所以取平面C1EF的一个法向量为n=(2，2，-1)，所以cos＜m，n＞=-13，所以＜m，n＞=π-arccos13，又因为当把m，n都移向这个二面角内一点时，m背向平面AEF，而n指向平面C1EF，所以二面角C1-EF-A的大小为π-arccos13又因为BA1=(-1，0，1)，所以cos＜BA1，n＞=-22，所以＜BA1，n＞=135∘，∴BA1与平面C1EF所成的角的大小为45°．9.如图为某平面图形用斜二测画法画出的直观图，则其原来平面图形的面积是（

）

A．4

B．

C．

D．8

答案：A10.六个不同大小的数按如图形式随机排列，设第一行这个数为M1，M2，M3分别表示第二、三行中最大数，则满足M1＜M2＜M3所有排列的个数______．答案：首先M3一定是6个数中最大的，设这六个数分别为a，b，c，d，e，f，不妨设a＞b＞c＞d＞e＞f．因为如果a在第三行，则a一定是M3，若a不在第三行，则a一定是M1或M2，此时无法满足M1＜M2＜M3，故a一定在第三行．故

M2一定是b，c，d中一个，否则，若M2是e，则第二行另一个数只能是f，那么第一行的数就比e大，无法满足M1＜M2＜M3．当M2是b时，此时，a在第三行，b在第二行，其它数任意排，所有的排法有C31

C21

A44=144（种），当M2是c时，此时a和b必须在第三行，c在第二行，其它数任意排，所有的排法有A32

C21

A33=72（种），当M2是d时，此时，a，b，c在第三行，d在第二行，其它数任意排，所有的排法有A33

C21

A22=24（种），故满足M1＜M2＜M3所有排列的个数为：24+72+144=240种，故为：240．11.随机变量X的概率分布规律为P（X=n）=（n=1，2，3，4），其中a是常数，则P（）的值为（）

A．

B．

C．

D．

答案：D12.已知平面上直线l的方向向量=（-，），点O（0，0）和A（1，-2）在l上的射影分别是O'和A′，则=λ，其中λ等于（）

A．

B．-

C．2

D．-2答案：D13.过椭圆4x2+y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F1构成的△ABF2的周长为（）

A．2

B．2

C．4

D．8答案：C14.现有以下两项调查：①某校高二年级共有15个班，现从中选择2个班，检查其清洁卫生状况；②某市有大型、中型与小型的商店共1500家，三者数量之比为1：5：9．为了调查全市商店每日零售额情况，抽取其中15家进行调查．完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A．简单随机抽样法，分层抽样法B．系统抽样法，简单随机抽样法C．分层抽样法，系统抽样法D．系统抽样法，分层抽样法答案：从15个班中选择2个班，检查其清洁卫生状况；总体个数不多，而且差异不大，故可采用简单随机抽样的方法，1500家大型、中型与小型的商店的每日零售额存在较大差异，故可采用分层抽样的方法故完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是简单随机抽样法，分层抽样法故选A15.四名志愿者和两名运动员排成一排照相，要求两名运动员必须站在一起，则不同的排列方法为（）A．A44A22B．A55A22C．A55D．A66A22答案：根据题意，要求两名运动员站在一起，所以使用捆绑法，两名运动员站在一起，有A22种情况，将其当做一个元素，与其他四名志愿者全排列，有A55种情况，结合分步计数原理，其不同的排列方法为A55A22种，故选B．16.解关于x的不等式(k≥0，k≠1).答案：不等式的解集为{x|x2}解析：原不等式即，1°若k=0，原不等式的解集为空集；2°若1－k>0，即0，所以原不等式的解集为{x|x2}.</k<1，由原不等式的解集为{x|2<x<</k<1时，原不等式等价于17.复数i2000=______．答案：复数i2009=i4×500=i0=1故为：118.函数f（x）=x2+ax+3，

（1）若f（1-x）=f（1+x），求a的值；

（2）在第（1）的前提下，当x∈[-2，2]时，求f（x）的最值，并说明当f（x）取最值时的x的值；

（3）若f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．答案：（1）∵f（1+x）=f（1-x）∴y=f（x）的图象关于直线x=1对称∴-a2=1即a=-2（2）a=-2时，函数f（x）=x2-2x+3在区间[-2，1]上递减，在区间[1，2]上递增，∴当x=-2时，fmax（x）=f（-2）=11当x=1时，fmin（x）=f（1）=2（3）∵x∈R时，有x2+ax+3-a≥0恒成立，须△=a2-4（3-a）≤0，即a2+4a-12≤0，所以-6≤a≤2．19.在线性回归模型y=bx+a+e中，下列说法正确的是（）A．y=bx+a+e是一次函数B．因变量y是由自变量x唯一确定的C．随机误差e是由于计算不准确造成的，可以通过精确计算避免随机误差e的产生D．因变量y除了受自变量x的影响外，可能还受到其它因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生答案：线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析．A不正确，根据线性回归方程做出的y的值是一个预报值，不是由x唯一确定，故B不正确，随机误差不是由于计算不准造成的，故C不正确，y除了受自变量x的影响之外还受其他因素的影响，故D正确，故选D．20.直线L1：x-y=0与直线L2：x+y-10=0的交点坐标是（）

A．（5，5）

B．（5，-5）

C．（-1，1）

D．（1，1）答案：A21.若双曲线与椭圆x216+y225=1有相同的焦点，与双曲线x22-y2=1有相同渐近线，求双曲线方程．答案：依题意可设所求的双曲线的方程为y2-x22=λ(λ＞0)…（3分）即y2λ-x22λ=1…（5分）又∵双曲线与椭圆x216+y225=1有相同的焦点∴λ+2λ=25-16=9…（9分）解得λ=3…（11分）∴双曲线的方程为y23-x26=1…（13分）22.甲乙两人在罚球线投球命中的概率为，甲乙两人在罚球线上各投球一次，则恰好两人都中的概率为（）

A．

B．

C．

D．答案：A23.设随机变量x～B（n，p），若Ex=2.4，Dx=1.44则（）

A．n=4，p=0.6

B．n=6，p=0.4

C．n=8，p=0.3

D．n=24，p=0.1答案：B24.如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点．过P作⊙O的切线，切点为C，PC=23，若∠CAP=30°，则⊙O的直径AB=______．答案：连接BC，设圆的直径是x则三角形ABC是一个含有30°角的三角形，∴BC=12AB，三角形BPC是一个等腰三角形，BC=BP=12AB，∵PC是圆的切线，PA是圆的割线，∴PC2=PB?PC=12x?32x=34x2，∵PC=23，∴x=4，故为：425.已知0≤θ＜2π，复数icosθ+isinθ＞0，则θ的值是（）A．π2B．3π2C．（0，π）内的任意值D．（0，π2）∪(3π2，2π)内的任意值答案：复数icosθ+isinθ＞0，可得icosθ+sinθ＞0，因为0≤θ＜2π，所以θ=π2．故选A．26.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（ρ＞0，0≤θ＜π2）中，曲线ρ=2sinθ与ρ=2cosθ的交点的极坐标为______．答案：两式ρ=2sinθ与ρ=2cosθ相除得tanθ=1，∵0≤θ＜π2，∴θ=π4，∴ρ=2sinπ4=2，故交点的极坐标为（2，π4）．故为：（2，π4）．27.过A（-2，3），B（2，1）两点的直线的斜率是（）

A．

B．

C．-2

D．2答案：B28.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）

①y=sin

x（x∈R

）是三角函数；②三角函数是周期函数；

③y=sin

x（x∈R

）是周期函数．

A．①②③

B．②①③

C．②③①

D．③②①答案：B29.如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P．若PB=1，PD=3，则BCAD的值为______．答案：因为A，B，C，D四点共圆，所以∠DAB=∠PCB，∠CDA=∠PBC，因为∠P为公共角，所以△PBC∽△PAD，所以BCAD=PBPD=13．故为：13．30.为求方程x5-1=0的虚根，可以把原方程变形为（x-1）（x2+ax+1）（x2+bx+1）=0，由此可得原方程的一个虚根为______．答案：由题可知（x-1）（x2+ax+1）（x2+bx+1）=（x-1）[x4+（a+b）x3+（2+ab）x2+（a+b）x+1]比较系数可得a+b=1ab+2=1，∴a=1+52，b=1-52∴原方程的一个虚根为-1-5±10-25i4，-1+5±10+25i4中的一个故为：-1-5+10-25i4．31.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程y=0.68x+54.6

表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（）A．68B．68.2C．69D．75答案：设表中有一个模糊看不清数据为m．由表中数据得：.x=30，.y=m+3075，由于由最小二乘法求得回归方程y=0.68x+54.6．将x=30，y=m+3075代入回归直线方程，得m=68．故选A．32.（Ⅰ）已知z∈C，且|z|-i=.z+2+3i（i为虚数单位），求复数z2+i的虚部．

（Ⅱ）已知z1=a+2i，z2=3-4i（i为虚数单位），且z1z2为纯虚数，求实数a的值．答案：（Ⅰ）设z=x+yi，代入方程|z|-i=.z+2+3i，得出x2+y2-i=x-yi+2+3i=（x+2）+（3-y）i，故有x2+y2=x+23-y=-1，解得x=3y=4，∴z=3+4i，复数z2+i=3+4i2+i=2+i，虚部为1（Ⅱ）z1z2=a+2i3-4i=3a-8+(4a+6)i25，且z1z2为纯虚数则3a-8=0，且4a+6≠0，解得a=8333.直线过原点且倾角的正弦值是45，则直线方程为______．答案：因为倾斜角α的范围是：0≤α＜π，又由题意：sinα=45所以：tanα=±43x直线过原点，由直线的点斜式方程得到：y=±43x故为：y=±43x34.若数列{an}（n∈N+）为等差数列，则数列bn=a1+a2+a3+…+ann(n∈N+)也为等差数列，类比上述性质，相应地，若数列{cn}是等比数列且cn＞0（n∈N+），则有数列dn=______（n∈N+）也是等比数列．答案：从商类比开方，从和类比到积，可得如下结论：nC1C2C3Cn故为：nC1C2C3Cn35.已知直线l经过点A（2，4），且被平行直线l1：x-y+1=0与l2：x-y-1=0所截得的线段的中点M在直线x+y-3=0上．求直线l的方程．答案：∵点M在直线x+y-3=0上，∴设点M坐标为（t，3-t），则点M到l1、l2的距离相等，即|2t-2|2=|2t-4|2，解得t=32∴M（32，32）又l过点A（2，4），即5x-y-6=0，故直线l的方程为5x-y-6=0．36.有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．

（1）选修4-2：矩阵与变换

已知点A（1，0），B（2，2），C（3，0），矩阵M表示变换”顺时针旋转45°”．

（Ⅰ）写出矩阵M及其逆矩阵M-1；

（Ⅱ）请写出△ABC在矩阵M-1对应的变换作用下所得△A1B1C1的面积．

（2）选修4-4：坐标系与参数方程

过P（2，0）作倾斜角为α的直线l与曲线E：x=cosθy=22sinθ（θ为参数）交于A，B两点．

（Ⅰ）求曲线E的普通方程及l的参数方程；

（Ⅱ）求sinα的取值范围．

（3）（选修4-5

不等式证明选讲）

已知正实数a、b、c满足条件a+b+c=3，

（Ⅰ）求证：a+b+c≤3；

（Ⅱ）若c=ab，求c的最大值．答案：（1）（Ⅰ）M=cos(-45°)-sin(-45°)sin(-45°)

cos(-45°)=2222-2222∵矩阵M表示变换“顺时针旋转45°”∴矩阵M-1表示变换“逆时针旋转45°”∴M-1=cos45°-sin45°sin45°

cos45°=22-2222

22（Ⅱ）三角形ABC的面积S△ABC=12×（3-1）×2=2，由于△ABC在旋转变换下所得△A1B1C1与△ABC全等，故三角形的面积不变，即S△A1B1C1=2．（2）（Ⅰ）曲线E的普通方程为x2+2y2=1L的参数方程为x=2+tcosαy=tsinα（t为参数）

（Ⅱ）将L的参数方程代入由线E的方程得（1+sin2α）t2+（4cosα）t+3=0由△=（4cosα）2-4（1+sin2α）×3≥0得sin2α≤17∴0≤sinα≤77（3）（Ⅰ）证明：由柯西不等式得(a+b+c)2≤(a+b+c)(1+1+1)代入已知a+b+c=3，∴(a+b+c)2≤9a+b+c≤3当且仅当a=b=c=1，取等号．（Ⅱ）由a+b≥2ab得2ab+c≤3，若c=ab，则2c+c≤3，(c+3)(c-1)≤0，所以c≤1，c≤1，当且仅当a=b=1时，c有最大值1．37.全称命题“任意x∈Z，2x+1是整数”的逆命题是（）

A．若2x+1是整数，则x∈Z

B．若2x+1是奇数，则x∈Z

C．若2x+1是偶数，则x∈Z

D．若2x+1能被3整除，则x∈Z

E．若2x+1是整数，则x∈Z答案：A38.设F1，F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且·=0，则|PF1|·|PF2|值等于（）

A．2

B.2

C.4

D．8答案：A39.如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是（）

A．2

B．

C．

D．

答案：D40.在平面直角坐标中，h为坐标原点，设向量OA=a，OB=b，其中a=（3，1），b=（1，3），若OC=λa+μb，且0≤λ≤μ≤1，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（）A．

B．

C．

D．

答案：∵向量OA=a，OB=b，a=（3，1），b=（1，3），OC=λa+μb，∴OC=(3λ，λ)+(μ，3μ)=（3λ+μ，λ+3μ），∵0≤λ≤μ≤1，∴0≤3λ+μ≤4，0≤λ+3μ≤4，且3λ+μ≤λ+3μ．故选A．41.给定点A（x0，y0），圆C：x2+y2=r2及直线l：x0x+y0y=r2，给出以下三个命题：

①当点A在圆C上时，直线l与圆C相切；

②当点A在圆C内时，直线l与圆C相离；

③当点A在圆C外时，直线l与圆C相交．

其中正确的命题个数是（）

A．0

B．1

C．2

D．3答案：D42.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则=（）

A．

B．

C．

D.

答案：C43.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为32，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A、B两点，若AF=3FB，则k=______．答案：设l为椭圆的右准线，过A、B作AA1，BB1垂直于l，A1，B1为垂足，过B作BE⊥AA1于E，则|AA1|=|AF|e，|BB1|=|BF|e，由AF=3FB知，|AA1|=3|BF|e，∴cos＜BAE=|AE||AB|=2|BF|e4|BF|=12e=33，∴sin∠BAE=63，∴tan∠BAE=2．∴k=2．故：2．44.甲、乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛，它们都参加了全部的7场比赛，平均得分均为16分，标准差分别为5.09和3.72，则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动中，发挥得更稳定的是（）

A．甲

B．乙

C．甲、乙相同

D．不能确定答案：B45.某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（）A．110B．120C．140D．1120答案：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有：A1010；满足条件的事件要得到“一班有3位同学恰好被排在一起而二班的2位同学没有被排在一起的演讲的顺序”可通过如下步骤：①将一班的3位同学“捆绑”在一起，有A33种方法；②将一班的“一梱”看作一个对象与其它班的5位同学共6个对象排成一列，有A66种方法；③在以上6个对象所排成一列的7个间隙（包括两端的位置）中选2个位置，将二班的2位同学插入，有A72种方法．根据分步计数原理（乘法原理），共有A33?A66?A72种方法．∴一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：P=A33?A66?A27A1010=120．故选B．46.某品牌平板电脑的采购商指导价为每台2000元，若一次采购数量达到一定量，还可享受折扣．如图为某位采购商根据折扣情况设计的算法程序框图，若一次采购85台该平板电脑，则S=______元．答案：分析程序中各变量、各语句，其作用是：表示一次采购共需花费的金额，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数S=200×0.8?x，x＞100200×0.9?x，50＜x≤100200?x，0＜x≤50的值，∵x=85，∴S=200×0.9×85=15300（元），故为：15300．47.若施化肥量x与小麦产量y之间的回归方程为y=250+4x（单位：kg），当施化肥量为50kg时，预计小麦产量为______kg．答案：根据回归方程为y=250+4x，当施化肥量为50kg，即x=50kg时，y=250+4x=250+200=450kg故为：45048.如图，已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°．

（Ⅰ）求DP与CC′所成角的大小；

（Ⅱ）求DP与平面AA′D′D所成角的大小．答案：方法一：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D-xyz．则DA=(1，0，0)，CC′=(0，0，1)．连接BD，B'D'．在平面BB'D'D中，延长DP交B'D'于H．设DH=(m，m，1)(m＞0)，由已知＜DH，DA＞=60°，由DA•DH=|DA||DH|cos＜DA，DH＞可得2m=2m2+1．解得m=22，所以DH=(22，22，1)．（4分）（Ⅰ）因为cos＜DH，CC′＞=22×0+22×0+1×11×2=22，所以＜DH，CC′＞=45°．即DP与CC'所成的角为45°．（8分）（Ⅱ）平面AA'D'D的一个法向量是DC=(0，1，0)．因为cos＜DH，DC＞=22×0+22×1+1×01×2=12，所以＜DH，DC＞=60°．可得DP与平面AA'D'D所成的角为30°．（12分）方法二：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D-xyz．则DA=(1，0，0)，CC′=(0，0，1)，BD′=(-1，-1，1)．设P（x，y，z）则BP=λBD′，∴（x-1，y-1，z）=（-λ，-λ，λ）∴x=1-λy=1-λz=λ，则DP=(1-λ，1-λ，λ)，由已知，＜DP，DA＞=60°，∴λ2-4λ+2=0，解得λ=2-2，∴DP=(2-1，2-1，2-2)（4分）（Ⅰ）因为cos＜DP，CC′＞=2-22(2-1)=22，所以＜DP，CC′＞=45°．即DP与CC'所成的角为45°．（8分）（Ⅱ）平面AA'D'D的一个法向量是DC=(0，1，0)．因为cos＜DP，DC＞=2-12(2-1)=12，所以＜DP，DC＞=60°．可得DP与平面AA'D'D所成的角为30°．（12分）49.某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（）

A．8

B．11

C．16

D．10答案：A50.已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3，ρ=4cosθ(ρ≥0，0≤θ＜π2)，则曲线C1与C2交点的极坐标为______．答案：我们通过联立解方程组ρcosθ=3ρ=4cosθ(ρ≥0，0≤θ＜π2)解得ρ=23θ=π6，即两曲线的交点为(23，π6)．故填：(23，π6)．第3卷一.综合题(共50题)1.设曲线C的方程是，将C沿x轴，y轴正向分别平移单位长度后，得到曲线C1.（1）写出曲线C1的方程；（2）证明曲线C与C1关于点A（，）对称.答案：（1）（2）证明略解析：（1）由已知得，，则平移公式是即代入方程得曲线C1的方程是(2)在曲线C上任取一点,设是关于点A的对称点，则有，，代入曲线C的方程，得关于的方程，即可知点在曲线C1上.反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上，因此，曲线C与C1关于点A对称.2.利用斜二侧画法画直观图时，①三角形的直观图还是三角形；②平行四边形的直观图还是平行四边形；③正方形的直观图还是正方形；④菱形的直观图还是菱形．其中正确的是

______．答案：由斜二侧直观图的画法法则可知：①三角形的直观图还是三角形；正确；②平行四边形的直观图还是平行四边形；正确．③正方形的直观图还是正方形；应该是平行四边形；所以不正确；④菱形的直观图还是菱形．也是平行四边形，所以不正确．故为：①②3.在平面直角坐标系xOy中，设P（x，y）是椭圆上的一个动点，则S=x+y的最大值是（）

A．1

B．2

C．3

D．4答案：B4.已知z是纯虚数，z+21-i是实数，则z=______．答案：令Z=bi，则z+21-i=(2+bi)(1+i)(1-i)(1+i)=(2-b)+(2+b)i2又z+21-i是实数，故b=-2则Z=-2i故为：-2i5.三个数a=0.52，b=log20.5，c=20.5之间的大小关系是（）A．a＜c＜bB．b＜c＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c答案：∵0＜a=0.52＜1，b=log20.5＜log21=0，c=20.5＞20=1，∴b＜a＜c故选D．6.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若ξ在（0，2）内取值的概率为0.6，则ξ在（0，1）内取值的概率为（）

A．0.1

B．0.2

C．0.3

D．0.4答案：C7.如图，△ABC中，CD=2DB，设AD=mAB+nAC（m，n为实数），则m+n=______．答案：∵CD=2DB，∴B、C、D三点共线，由三点共线的向量表示，我们易得AD=23AB+13AC，由平面向量基本定理，我们易得m=23，n=13，∴m+n=1故为：18.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为BB1、C1D1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN的法向量.答案：（-3，2，-4）为平面AMN的一个法向量.解析：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系.（如图所示）.设棱长为1，则A（1，0，0），M(1，1，)，N（0，，1）.∴=（0，1，），=(-1，，1).设平面AMN的法向量n=（x，y，z）∴令y=2，∴x=-3，z=-4.∴n=（-3，2，-4）.∴（-3，2，-4）为平面AMN的一个法向量.9.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米．当水面升高1米后，水面宽度是______米．答案：由题意，建立如图所示的坐标系，抛物线的开口向下，设抛物线的标准方程为x2=-2py（p＞0）∵顶点距水面2米时，量得水面宽8米∴点（4，-2）在抛物线上，代入方程得，p=4∴x2=-8y当水面升高1米后，y=-1代入方程得：x=±22∴水面宽度是42米故为：4210.l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是[

]A．l1⊥l2，l2⊥l3l1∥l3

B．l1⊥l2，l2∥l3l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面答案：B11.直线l过点（-3，1），且它的一个方向向量n=(2，-3)，则直线l的方程为______．答案：设直线l的另一个方向向量为a=(1，k)，其中k是直线的斜率可得n=(2，-3)与a=(1，k)互相平行∴12=k-3⇒k=-32所以直线l的点斜式方程为：y-1=-32（x+3）化成一般式：3x+2y+7=0故为：3x+2y+7=012.直线x=-2+ty=1-t（t为参数）被圆x=2+2cosθy=-1+2sinθ（θ为参数）所截得的弦长为______．答案：∵圆x=2+2cosθy=-1+2sinθ（θ为参数），消去θ可得，（x-2）2+（y+1）2=4，∵直线x=-2+ty=1-t（t为参数），∴x+y=-1，圆心为（2，-1），设圆心到直线的距离为d=|2-1+1|2=2，圆的半径为2∴截得的弦长为222-(2)2=22，故为22．13.2007年10月24日18时05分，在西昌卫星发射中心，“嫦娥一号”卫星顺利升空，24分钟后，星箭成功分离，卫星首次进入以地心为焦点的椭圆形调相轨道，卫星近地点为约200公里，远地点为约51000公里．设地球的半经为R，则卫星轨道的离心率为______（结果用R的式子表示）答案：由题意卫星进入以地心为焦点的椭圆形调相轨道，卫星近地点为约200公里，远地点为约51000公里．设地球的半经为R，易知，a=25600+R，c=25400，则卫星轨道的离心率e=2540025600+R．故为：2540025600+R．14.在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）

A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2

B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2

C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1

D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1答案：B15.（选做题）方程ρ=cosθ与（t为参数）分别表示何种曲线（

）。答案：圆，双曲线16.函数f(x)=x+1x的定义域是______．答案：要使原函数有意义，则x≥0x≠0，所以x＞0．所以原函数的定义域为（0，+∞）．故为（0，+∞）．17.点M（4，）化成直角坐标为（）

A．（2，）

B．（-2，-）

C．（，2）

D．（-，-2）答案：B18.已知M和N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，且，若=a，=b，=c，则用a，b，c表示为（）

A．

B．

C．

D．

答案：B19.化简下列各式：

（1）AB+DF+CD+BC+FA=______；

（2）(AB+MB)+(BO+BC)+OM=______．答案：（1）AB+DF+CD+BC+FA=（AB+BC+CD+DF）+FA=AF+FA=0；（2）(AB+MB)+(BO+BC)+OM=（AB+BC）+MB+（BO+OM）=AC+MB+BM=AC+（MB+BM）=AC+0=AC，故为：（1）0；（2）AC20.已知集合A到B的映射f：x→y=2x+1，那么集合A中元素2在B中的象是（）A．2B．5C．6D．8答案：∵x=2，∴y=2x+1则y=2×2+1=5，那么集合A中元素2在B中的象是5故选B．21.用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a+b=1，c+d=1，且ac+bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（）

A．a，b，c，d中至少有一个正数

B．a，b，c，d全为正数

C．a，b，c，d全都大于等于0

D．a，b，c，d中至多有一个负数答案：C22.如果关于x的不等式组有解，那么实数a的取值范围（

）

A．（-∞，-3）∪（1，+∞）

B．（-∞，-1）∪（3，+∞）

C．（-1，3）

D．（-3，1）答案：C23.关于生活中的圆锥曲线，有下面几个结论：

（1）标准田径运动场的内道是一个椭圆；

（2）接受卫星转播的电视信号的天线设备，其轴截面与天线设备的交线是抛物线；

（3）大型热电厂的冷却通风塔，其轴截面与通风塔的交线是双曲线；

（4）地球围绕太阳运行的轨迹可以近似地看成一个椭圆．

其中正确命题的序号是______（把你认为正确命题的序号都填上）．答案：（1）标准田径运动场的内道是有直道和弯道部分是半圆组成，不是椭圆．故错误（2）接受卫星转播的电视信号的天线设备，其轴截面与天线设备的交线是抛物线．故正确．（3）大型热电厂的冷却通风塔，其轴截面与通风塔的交线是双曲线．故正确．（4）地球围绕太阳运行的轨迹可以近似地看成一个椭圆．故正确．故为：（2）（3）（4）24.曲线C：x=t-2y=1t+1（t为参数）的对称中心坐标是______．答案：曲线C：x=t-2y=1t+1（t为参数）即y-1=1x+2，其对称中心为（-2，1）．故为：（-2，1）．25.已知曲线，

θ∈[0，2π)上一点P到点A（-2，0）、B（2，0）的距离之差为2，则△PAB是（）

A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．直角三角形

D．等腰三角形答案：C26.试指出函数y=3x的图象经过怎样的变换，可以得到函数y=（13）x+1+2的图象．答案：把函数y=3x的图象经过3次变换，可得函数y=（13）x+1+2的图象，步骤如下：y=3x沿y轴对称y=（13）x左移一个单位y=（13）x+1上移2个单位y=（13）x+1+2．27.已知动点P（x，y）满足(x+2)2+y2-(x-2)2+y2=2，则动点P的轨迹是______．答案：∵(x+2)2+y2-(x-2)2+y2=2，即动点P（x，y）到两定点（-2，0），（2，0）的距离之差等于2，由双曲线定义知动点P的轨迹是双曲线的一支（右支）．：双曲线的一支（右支）．28.在空间直角坐标系中，O为坐标原点，设A（，，），B（，，0），C（

，，），则（

）

A．OA⊥AB

B．AB⊥AC

C．AC⊥BC

D．OB⊥OC答案：C29.下面五个命题：（1）所有的单位向量相等；（2）长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；（3）由于零向量的方向不确定，故0与任何向量不平行；（4）对于任何向量a，b，必有|a+b|≤|a|+|b|．其中正确命题的序号为：______．答案：（1）单位向量指模为1的向量，方向可为任意的，故错误；（2）由共线向量的定义，方向相反的两个向量一定是共线向量，故错误；（3）规定：零向量与任何向量为平行向量，故错误；（4）因为|a+b|2=a2+b2+2a?b≤a2+b2+2|a|?|b|=（|a|+|b|）2，故正确故为：（4）30.某公司招聘员工，经过笔试确定面试对象人数，面试对象人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y=4x，1≤x≤102x+10，10＜x≤1001.5x

，x＞100其中x代表拟录用人数，y代表面试对象人数．若应聘的面试对象人数为60人，则该公司拟录用人数为（）A．15B．40C．130D．25答案：∵y=4x，1≤x≤102x+10，10＜x≤1001.5x

，x＞100=60，∴当1≤x≤10时，由4x=60得x=15?[1，10]，不满足题意；当10＜x≤100时，由2x+10=60得x=25∈（10，100]，满足题意；当x＞100时，由1.5x=60得x=40?（100，+∞），不满足题意．∴该公司拟录用人数为25．故选D．31.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n∈N+)时，第一步验证n