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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年甘肃警察职业学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.已知z1=5+3i,z2=5+4i,下列各式中正确的是()A.z1>z2B.z1<z2C.|z1|>|z2|D.|z1|<|z2|答案:∵z1=5+3i,z2=5+4i,∴z1与z2为虚数,故不能比较大小,可排除A,B;又|z1|=34,|z2|=52+42=41,∴|z1|<|z2|,可排除C.故选D.2.某商人将彩电先按原价提高40%,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠”,结果是每台彩电比原价多赚了270元,则每台彩电原价是______元.答案:设每台彩电的原价是x元,则有:(1+40%)x×0.8-x=270,解得:x=2250,故为:2250.3.某次考试,满分100分,按规定x≥80者为良好,60≤x<80者为及格,小于60者不及格,画出当输入一个同学的成绩x时,输出这个同学属于良好、及格还是不及格的程序框图.答案:第一步:输入一个成绩X(0≤X≤100)第二步:判断X是否大于等于80,若是,则输出良好;否则,判断X是否大于等于60,若是,则输出及格;否则,输出不及格;第三步:算法结束4.某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行,比赛采用五局三胜制,按以往比赛经验,甲胜乙的概率为23.
(1)求比赛三局甲获胜的概率;
(2)求甲获胜的概率;
(3)设甲比赛的次数为X,求X的数学期望.答案:记甲n局获胜的概率为Pn,n=3,4,5,(1)比赛三局甲获胜的概率是:P3=C33(23)3=827;(2)比赛四局甲获胜的概率是:P4=C23(23)3
(13)=827;比赛五局甲获胜的概率是:P5=C24(13)2(23)3=1681;甲获胜的概率是:P3+P4+P5=6481.(3)记乙n局获胜的概率为Pn′,n=3,4,5.P3′=C33(13)3=127,P4′=C23(13)3
(23)=227;P5′=C24(13)3(23)2=881;故甲比赛次数的分布列为:X345P(X)P3+P3′P4+P4′P5+P5′所以甲比赛次数的数学期望是:EX=3(127+827)+4(827+227)+5(1681+881
)=10727.5.正方体AC1中,S,T分别是棱AA1,A1B1上的点,如果∠TSC=90°,那么∠TSB=______.答案:由题意,BC⊥平面A1B,∵S,T分别是棱AA1,A1B1上的点,∴BC⊥ST∵∠TSC=90°,∴ST⊥SC∵BC∩SC=C∴ST⊥平面SBC∴ST⊥SB∴∠TSB=90°,故为:90°6.求原点至3x+4y+1=0的距离?答案:由原点坐标为(0,0),得到原点到已知直线的距离d=|3?0+4?0+1|32+42=15.7.函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为
______.答案:∵y=ax与y=loga(x+1)具有相同的单调性.∴f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上单调,∴f(0)+f(1)=a,即a0+loga1+a1+loga2=a,化简得1+loga2=0,解得a=12故为:128.抛物线的顶点在原点,焦点与椭圆=1的一个焦点重合,则抛物线方程是()
A.x2=±8y
B.y2=±8x
C.x2=±4y
D.y2=±4x答案:A9.(不等式选讲)
已知a>0,b>0,c>0,abc=1,试证明:.答案:略解析::证明:由,所以同理:
,
相加得:左³……………(10分)10.一个箱子中装有质量均匀的10个白球和9个黑球,一次摸出5个球,在已知它们的颜色相同的情况下,该颜色是白色的概率是______.答案:10个白球中取5个白球有C105种9个黑球中取5个黑球有C95种∴一次摸出5个球,它们的颜色相同的有C105+C95种∴一次摸出5个球,在已知它们的颜色相同的情况下,该颜色是白色的概率=C510C510+C59=23故为:2311.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2),则它的离心率为()
A.
B.
C.
D.答案:D12.如图是《集合》的知识结构图,如果要加入“子集”,那么应该放在()
A.“集合”的下位
B.“含义与表示”的下位
C.“基本关系”的下位
D.“基本运算”的下位
答案:C13.若f(x)=exx≤0lnxx>0,则f(f(12))=______.答案:∵f(x)=ex,x≤0lnx,x>0,∴f(f(12))=f(ln12)=eln12=12.故为:12.14.由1、2、3可以组成______个没有重复数字的两位数.答案:没有重复数字的两位数共有3×2=6个故为:615.已知直线的斜率为3,则此直线的倾斜角为()A.30°B.60°C.45°D.120°答案:∵直线的斜率为3,∴直线倾斜角α满足tanα=3结合α∈[0°,180°),可得α=60°故选:B16.已知函数f(x)=f(x+1)(x<4)2x(x≥4),则f(log23)=______.答案:因为1<log23<2,所以4<log23+3<5,所以f(log23)=f(log23+3)=f(log224)=2log224=24.故为:24.17.已知Sn=1+12+13+14+…+12n(n>1,n∈N*).求证:S2n>1+n2(n≥2,n∈N*).答案:证明:(1)当n=2时,左边=1+12+13+14=2512,右边=1+22=2,∴左边>右边(2)假设n=k(k≥2)时不等式成立,即S
2k=1+12+13+14+…+12k≥1+k2,当n=k+1时,不等式左边S2(k+1)=1+12+13+14+…+12k+1+…+12k+1>1+k2+12k+1+…+12k+1>1+k2+2k2k+2k=1+k2+12=1+k+12,综上(1)(2)可知S2n>1+n2对于任意的n≥2正整数成立.18.选做题:如图,点A、B、C是圆O上的点,且AB=4,∠ACB=30°,则圆O的面积等于______.答案:连接OA,OB,∵∠ACB=30°,∴∠AoB=60°,∴△AOB是一个等边三角形,∴OA=AB=4,∴⊙O的面积是16π故为16π19.某市为抽查控制汽车尾气排放的执行情况,选择了抽取汽车车牌号的末位数字是6的汽车进行检查,这样的抽样方式是(
)
A.抽签法
B.简单随机抽样
C.分层抽样
D.系统抽样答案:D20.整数630的正约数(包括1和630)共有______个.答案:首先将630分解质因数630=2×32×5×7;然后注意到每一因数可出现的次幂数,如2可有20,21两种情况,3有30,31,32三种情况,5有50,51两种情况,7有70,71两种情况,按分步计数原理,整数630的正约数(包括1和630)共有2×3×2×2=24个.故为:24.21.一位母亲记录了她的儿子3~9岁的身高数据,并由此建立身高与年龄的回归模型为y=7.19x+73.93,用这个模型预测她的儿子10岁时的身高,则正确的叙述是()A.身高一定是145.83
cmB.身高在145.83
cm以上C.身高在145.83
cm左右D.身高在145.83
cm以下答案:∵身高与年龄的回归模型为y=7.19x+73.93.∴可以预报孩子10岁时的身高是y=7.19x+73.93.=7.19×10+73.93=145.83则她儿子10岁时的身高在145.83cm左右.故选C.22.若直线x=1的倾斜角为α,则α等于()A.0°B.45°C.90°D.不存在答案:直线x=1与x轴垂直,故直线的倾斜角是90°,故选C.23.(本小题满分10分)数学的美是令人惊异的!如三位数153,它满足153=13+53+33,即这个整数等于它各位上的数字的立方的和,我们称这样的数为“水仙花数”.请您设计一个算法,找出大于100,小于1000的所有“水仙花数”.
(1)用自然语言写出算法;
(2)画出流程图.答案:(1)算法如下:第一步,i=101.第二步,如果i不大于999,则执行第三步,否则算法结束.第三步,若这个数i等于它各位上的数字的立方的和,则输出这个数.第四步,i=i+1,返回第二步.(2)程序框图,如右图所示.24.化简:AB+CD+BC=______.答案:如图:AB+CD+BC=AB+BC+CD=AC+CD=AD.故为:AD.25.某种肥皂原零售价每块2元,凡购买2块以上(包括2块),商场推出两种优惠销售办法。第一种:一块肥皂按原价,其余按原价的七折销售;第二种:全部按原价的八折销售。你在购买相同数量肥皂的情况下,要使第一种方法比第二种方法得到的优惠多,最少需要买(
)块肥皂。
A.5
B.2
C.3
D.4答案:D26.袋中装着标有数字1,2,3,4的小球各3个,从袋中任取3个小球,每个小球被取出的可能性都相等.
(Ⅰ)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率;
(Ⅱ)用X表示取出的3个小球上所标的最大数字,求随机变量X的分布列和均值.答案:(I)由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的事件数C123,满足条件的事件是取出的3个小球上的数字互不相同,共有C43C31C31C31记“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,∴P(A)=C34?C13?C13?C13C312=2755.(II)由题意X所有可能的取值为:1,2,3,4.P(X=1)=1C312=1220;P(X=2)=C23?C13+C23?C13+C33C312=19220;P(X=3)=C26?C13+C16?C23+C33C312=64220=1655;P(X=4)=C29?C13+C19?C23+C33C312=136220=3455.∴随机变量X的分布列为∴随机变量X的期望为EX=1×1220+2×19220+3×1655+4×3455=15544.27.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在20~80mg/100mL(不含80)之间,属于酒后驾车;血液酒精浓度在80mg/100mL(含80)以上时,属醉酒驾车.据有关报道,2009年8月15日至8
月28日,某地区查处酒后驾车和醉酒驾车共500人,如图是对这500人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图,则属于醉酒驾车的人数约为()A.25B.50C.75D.100答案:∵血液酒精浓度在80mg/100ml(含80)以上时,属醉酒驾车,通过频率分步直方图知道属于醉驾的频率是(0.005+0.01)×10=0.15,∵样本容量是500,∴醉驾的人数有500×0.15=75故选C.28.若集合S={a,b,c}(a、b、c∈R)中三个元素为边可构成一个三角形,那么该三角形一定不可能是()
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形答案:D29.平面向量与的夹角为60°,=(2,0),||=1,则|+2|()
A.
B.2
C.4
D.12答案:B30.复数z=sin1+icos2在复平面内对应的点位于第______象限.答案:z对应的点为(sin1,cos2)∵1是第一象限的角,2是第二象限的角∵sin1>0,cos2<0所以(sin1,cos2)在第四象限故为:四31.用数学归纳法证明等式时,第一步验证n=1时,左边应取的项是()
A.1
B.1+2
C.1+2+3
D.1+2+3+4答案:D32.
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线交y轴正半轴于点P,交抛物线于A,B两点,其中点A在第一象限,若,,,则μ的取值范围是()
A.[1,]
B.[,2]
C.[2,3]
D.[3,4]答案:B33.已知正方形的边长为2,AB=a,BC=b,AC=c,则|a+b+c|=()A.0B.2C.2D.4答案:由题意可得:AB+BC=AC,所以c=a+b,所以|a+b+c|=2|c|.因为正方形的边长为2,所以|AC|=|c|=2,所以|a+b+c|=2|c|=4.故选D.34.用随机数表法从100名学生(男生35人)中选20人作样本,男生甲被抽到的可能性为()A.15B.2035C.35100D.713答案:由题意知,本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件是用随机数表法从100名学生选一个,共有100种结果,满足条件的事件是抽取20个,∴根据等可能事件的概率公式得到P=20100=15,故选A.35.向量a=i+
2j在向量b=3i+4j上的投影是______.答案:根据投影的定义可得:a在b方向上的投影为:|a|cos<a,b>=a?b|b|=1×3+2×452=115.故为:115.36.已知a,b是非零向量,且a,b夹角为π3,则向量p=a丨a丨+b丨b丨的模为______.答案:∵|a|a||=|a||a|=1=|b|b||,a?b=|a|
|b|cosπ3=12|a|
|b|∴p2=|(a|a|+b|b|)2=1+1+2?a|a|?b|b|=2+2×12=3,∴|p|=3.故为3.37.下列关于算法的说法中正确的个数是()
①求解某一类问题的算法是唯一的;
②算法必须在有限步操作之后停止;
③算法的每一步操作必须是明确的,不能有歧义或模糊;
④算法执行后一定产生确定的结果.A.1B.2C.3D.4答案:由算法的概念可知:求解某一类问题的算法不是唯一的,故①不正确;算法是有限步,结果明确性,②④是正确的.对于③,算法的每一步操作必须是明确的,不能有歧义或模糊是正确的;故③正确.∴关于算法的说法中正确的个数是3.故选C.38.已知椭圆C的中心在原点,焦点F1,F2在轴上,离心率e=22,且经过点M(0,2),求椭圆c的方程答案:若焦点在x轴很明显,过点M(0,2)点M即椭圆的上端点,所以b=2ca=22c2=12a2∵a2=b2+c2所以b2=c2=2a2=4椭圆:x24+y22=1若焦点在y轴,则a=2,ca=22,c=1∴b=1椭圆方程:x22+y2=1.39.若直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相离,则点P(a,b)的位置是()
A.在圆上
B.在圆外
C.在圆内
D.以上都有可能答案:C40.下列四个散点图中,使用线性回归模型拟合效果最好的是()
A.
B.
C.
D.
答案:D41.经过原点,圆心在x轴的负半轴上,半径等于2的圆的方程是______.答案:∵圆过原点,圆心在x轴的负半轴上,∴圆心的横坐标的相反数等于圆的半径,又∵半径r=2,∴圆心坐标为(-2,0),由此可得所求圆的方程为(x+2)2+y2=2.故为:(x+2)2+y2=242.“△ABC中,若∠C=90°,则∠A、∠B都是锐角”的否命题为()
A.△ABC中,若∠C≠90°,则∠A、∠B都不是锐角
B.△ABC中,若∠C≠90°,则∠A、∠B不都是锐角
C.△ABC中,若∠C≠90°,则∠A、∠B都不一定是锐角
D.以上都不对答案:B43.已知当m∈R时,函数f(x)=m(x2-1)+x-a的图象和x轴恒有公共点,求实数a的取值范围.答案:(1)m=0时,f(x)=x-a是一次函数,它的图象恒与x轴相交,此时a∈R.(2)m≠0时,由题意知,方程mx2+x-(m+a)=0恒有实数解,其充要条件是△=1+4m(m+a)=4m2+4am+1≥0.又只需△′=(4a)2-16≤0,解得-1≤a≤1,即a∈[-1,1].∴m=0时,a∈R;m≠0时,a∈[-1,1].44.在边长为1的正方形中,有一个封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机的撒入100粒豆子,恰有60粒落在阴影区域内,那么阴影区域的面积为______.
答案:设阴影部分的面积为x,由概率的几何概型知,则60100=x1,解得x=35.故为:35.45.用反证法证明命题:“三角形的内角至多有一个钝角”,正确的假设是()
A.三角形的内角至少有一个钝角
B.三角形的内角至少有两个钝角
C.三角形的内角没有一个钝角
D.三角形的内角没有一个钝角或至少有两个钝角答案:B46.在极坐标系中,直线l经过圆ρ=2cosθ的圆心且与直线ρcosθ=3平行,则直线l与极轴的交点的极坐标为______.答案:由ρ=2cosθ可知此圆的圆心为(1,0),直线ρcosθ=3是与极轴垂直的直线,所以所求直线的极坐标方程为ρcosθ=1,所以直线l与极轴的交点的极坐标为(1,0).故为:(1,0).47.已知复数z的模为1,且复数z的实部为13,则复数z的虚部为______.答案:设复数的虚部是b,∵复数z的模为1,且复数z的实部为13,∴(13)2+b2=1,∴b2=89,∴b=±223故为:±22348.否定结论“至少有一个解”的说法中,正确的是()
A.至多有一个解
B.至少有两个解
C.恰有一个解
D.没有解答案:D49.将参数方程化为普通方程为(
)
A.y=x-2
B.y=x+2
C.y=x-2(2≤x≤3)
D.y=x+2(0≤y≤1)答案:C50.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6),骰子朝上的面的点数分别为X、Y,则log2XY=1的概率为()A.16B.536C.112D.12答案:∵log2XY=1∴Y=2X,满足条件的X、Y有3对而骰子朝上的点数X、Y共有36对∴概率为336=112故选C.第2卷一.综合题(共50题)1.从一堆苹果中任取5只,称得它们的质量为(单位:克):125124121123127,则该样本标准差s=______(克)(用数字作答).答案:由题意得:样本平均数x=15(125+124+121+123+127)=124,样本方差s2=15(12+02+32+12+32)=4,∴s=2.故为2.2.已知向量a与向量b,|a|=2,|b|=3,a、b的夹角为60°,当1≤m≤2,0≤n≤2时,|ma+nb|的最大值为______.答案:∵|a|=2,|b|=3,a、b的夹角为60°,∴|ma+nb|2=m2a2+2mna?b+n2b2=4m2+2mn×2×3×cos60°+9n2=4m2+6mn+9n2,∵1≤m≤2,0≤n≤2,∴当m=2且n=2时,|ma+nb|2取到最大值,即|ma+nb|2max=100,∴,|ma+nb|的最大值为10.故为:10.3.若直线过点(1,2),(),则此直线的倾斜角是()
A.60°
B.45°
C.30°
D.90°答案:C4.已知命题p:“有的实数没有平方根.”,则非p是______.答案:∵命题p:“有的实数没有平方根.”,是一个特称命题,非P是它的否定,应为全称命题“所有实数都有平方根”故为:所有实数都有平方根.5.已知曲线C上的动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l:y=-2的距离小1.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)动点E在直线l上,过点E分别作曲线C的切线EA,EB,切点为A、B.
(ⅰ)求证:直线AB恒过一定点,并求出该定点的坐标;
(ⅱ)在直线l上是否存在一点E,使得△ABM为等边三角形(M点也在直线l上)?若存在,求出点E坐标,若不存在,请说明理由.答案:(Ⅰ)曲线C的方程x2=4y(5分)(Ⅱ)(ⅰ)设E(a,-2),A(x1,x214),B(x2,x224),∵y=x24∴y′=12x过点A的抛物线切线方程为y-x214=12x1(x-x1),∵切线过E点,∴-2-x214=12x1(a-x1),整理得:x12-2ax1-8=0同理可得:x22-2ax2-8=0,∴x1,x2是方程x2-2ax-8=0的两根,∴x1+x2=2a,x1•x2=-8可得AB中点为(a,a2+42)又kAB=y1-y2x1-x2=x214-x224x1-x2=x1+x24=a2,∴直线AB的方程为y-(a22+2)=a2(x-a)即y=a2x+2,∴AB过定点(0,2)(10分)(ⅱ)由(ⅰ)知AB中点N(a,a2+42),直线AB的方程为y=a2x+2当a≠0时,则AB的中垂线方程为y-a2+42=-2a(x-a),∴AB的中垂线与直线y=-2的交点M(a3+12a4,-2)∴|MN|2=(a3+12a4-a)2+(-2-a2+42)2=116(a2+8)2(a2+4)∵|AB|=1+a24(x1+x2)2-4x1x2=(a2+4)(a2+8)若△ABM为等边三角形,则|MN|=32|AB|,∴116(a2+8)2(a2+4)=34(a2+4)(a2+8),解得a2=4,∴a=±2,此时E(±2,-2),当a=0时,经检验不存在满足条件的点E综上可得:满足条件的点E存在,坐标为E(±2,-2).(15分)6.|a|=4,|b|=5,|a+b|=8,则a与b的夹角为______.答案:设a与b的夹角为θ因为|a|=4,|b|=5,|a+b|=8,所以a2+2a?b+b2=64即16+2×4×5cosθ+25=64解得cosθ=2340所以θ=arccos2340故为arccos23407.设e1,e2为单位向量.且e1、e2的夹角为π3,若a=e1+3e2,b=2e1,则向量a在b方向上的射影为______.答案:∵e1、e2为单位向量,且e1和e2的夹角θ等于π3,∴e1?e2=1×1×cosπ3=12.∵a=e1+3e2,b=2e1,∴a?b=(e1+3e2)?(2e1)=2e12+6e1?e2=2+3=5.∴a在b上的射影为a?b|b|=52,故为52.8.已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1,E分别是棱C1D1的中点,试求:
(1)AE与平面BB1C1C所成的角的正弦值;
(2)二面角C1-DB-A的余弦值.答案:以D为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示:(1)设正方体棱长为2.则E(0,1,2),A(2,0,0).AE=(-2,1,2),平面BCC1B1的法向量为n=(0,1,0).设AE与平面BCC1B1所成的角为θ.sinθ=|cos<AE,n>|=|AE•n||AE|
|n|=19=13.∴sinθ=13.(2)A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),∴DA=(1,0,0),DB=(1,1,0),DC1=(0,1,1).设平面DBC1的法向量为n1=(x,y,z),则n1•DB=x+y=0n1•DC1=y+z=0,令y=-1,则x=1,z=1.∴n1=(1,-1,1).取平面ADB的法向量为n2=(0,0,1).设二面角C1-DB-A的大小为α,从图中可知:α为钝角.∵cos<n1,n2>=n1•n2|n1|
|n2|=13=33,∴cosα=-33.9.复数i2000=______.答案:复数i2009=i4×500=i0=1故为:110.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周,所得的几何体是(
)答案:B11.(选做题)方程ρ=cosθ与(t为参数)分别表示何种曲线(
)。答案:圆,双曲线12.在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=1,BC=2.在BC边上任取一点M,则∠AMB≥90°的概率为______.答案:过A点做BC的垂线,垂足为M',当M点落在线段BM'(含M'点不含B点)上时∠AMB≥90由∠A=90°,AB=1,BC=2解得BM'=12,则∠AMB≥90°的概率p=122=14.故为:1413.若a=(1,1),则|a|=______.答案:由题意知,a=(1,1),则|a|=1+1=2,故为:2.14.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),若ξ在(0,2)内取值的概率为0.6,则ξ在(0,1)内取值的概率为()
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.4答案:C15.设矩阵M=.32-121232.的逆矩阵是M-1=.abcd.,则a+c的值为______.答案:由题意,矩阵M的行列式为.32-121232.=32×32+12×12=1∴矩阵M=.32-121232.的逆矩阵是M-1=.3212-1232.∴a+c=3-12故为3-1216.已知点P(t,t),t∈R,点M是圆x2+(y-1)2=上的动点,点N是圆(x-2)2+y2=上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是(
)
A.-1
B.
C.2
D.1答案:C17.设,求证:。答案:证明略解析:证明:因为,所以有。又,故有。…………10分于是有得证。
…………20分18.已知f(x+1)=x2+2x+3,则f(2)的值为______.答案:由f(x+1)=x2+2x+3,得f(1+1)=12+2×1+3=6,故为:6.19.已知空间四边形ABCD中,M、G分别为BC、CD的中点,则等于()
A.
B.
C.
D.
答案:A20.各项都为正数的数列{an},满足a1=1,an+12-an2=2.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)证明1a1+1a2+…+1an≤2n-1对一切n∈N+恒成立.答案:(Ⅰ)∵an+12-an2=2,∴an2为首项为1,公差为2的等差数列,∴an2=1+(n-1)×2=2n-1,又an>0,则an=2n-1(Ⅱ)只需证:1+13+…+12n-1≤
2n-1.1当n=1时,左边=1,右边=1,所以命题成立.当n=2时,左边<右边,所以命题成立②假设n=k时命题成立,即1+13+…+12k-1≤2k-1,当n=k+1时,左边=1+13+…+12K-1+12K+1≤2K-1+12K+1.<2K-1+22K+1+2K-1=2K-1+2(2K+1-2K-1)
2=2(K+1)-1.命题成立由①②可知,1a1+1a2+…+1an≤2n-1对一切n∈N+恒成立.21.在曲线(t为参数)上的点是()
A.(1,-1)
B.(4,21)
C.(7,89)
D.答案:A22.方程x2+y2=1(xy<0)的曲线形状是()
A.
B.
C.
D.
答案:C23.已知直线经过点,倾斜角,设与圆相交与两点,求点到两点的距离之积。答案:2解析:把直线代入得,则点到两点的距离之积为24.已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,焦点在x轴上,短轴的一个顶点B与两个焦点F1,F2组成的三角形的周长为4+23,且∠F1BF2=2π3,求椭圆的标准方程.答案::设长轴长为2a,焦距为2c,则在△F2OB中,由∠F2BO=π3得:c=32a,所以△F2BF1的周长为2a+2c=2a+3a=4+23,∴a=2,c=3,∴b2=1;故所求椭圆的标准方程为x24+y2=1.25.抛物线y2=4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|=4,则点M的横坐标x=______.答案:∵抛物线y2=4x=2px,∴p=2,由抛物线定义可知,抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的,∴|MF|=4=x+p2=4,∴x=3,故为:3.26.动点P到直线x+2=0的距离减去它到M(1,0)的距离之差等于1,则动点P的轨迹是______.答案:将直线x+2=0向右平移1个长度单位得到直线x+1=0,则动点到直线x+1=0的距离等于它到M(1,0)的距离,由抛物线定义知:点P的轨迹是以点M为焦点的抛物线.:以点M为焦点以x=-1为准线的抛物线.27.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为()
A.0.9
B.0.5
C.0.6
D.0.8答案:D28.与直线2x+y+1=0的距离为的直线的方程是()
A.2x+y=0
B.2x+y-2=0
C.2x+y=0或2x+y-2=0
D.2x+y=0或2x+y+2=0答案:D29.某厂2011年的产值为a万元,预计产值每年以7%的速度增加,则该厂到2022年的产值为______万元.答案:2011年产值为a,增长率为7%,2012年产值为a+a×7%=a(1+7%),2013年产值为a(1+7%)+a(1+7%)×7%=a(1+7%)2,…,2022年的产值为a(1+7%)11.故为:a(1+7%)11.30.设点P(+,1)(t>0),则||(O为坐标原点)的最小值是()
A.
B.
C.5
D.3答案:A31.已知点P为△ABC所在平面上的一点,且,其中t为实数,若点P落在△ABC的内部,则t的取值范围是()
A.
B.
C.
D.答案:D32.直线x=1和函数y=f(x)的图象的公共点的个数为______.答案:由函数定义知当函数在x=1处有定义时,直线x=1和函数y=f(x)的图象的公共点的个数为1,若函数在x=1处有无定义时,直线x=1和函数y=f(x)的图象的公共点的个数为0故线x=1和函数y=f(x)的图象的公共点的个数为0或1故为0或133.与原数据单位不一样的是()
A.众数
B.平均数
C.标准差
D.方差答案:D34.若某简单组合体的三视图(单位:cm)如图所示,说出它的几何结构特征,并求该几何体的表面积。答案:解:该几何体由球和圆台组成。球的半径为1,圆台的上下底面半径分别为1、4,高为4,母线长为5,S球=4πcm2,S台=π(12+42+1×5+4×5)=42πcm2,故S表=S球+S台=46πcm2。35.若f(x)=exx≤0lnxx>0,则f(f(12))=______.答案:∵f(x)=ex,x≤0lnx,x>0,∴f(f(12))=f(ln12)=eln12=12.故为:12.36.已知直线l1:y=kx+(k<0=被圆x2+y2=4截得的弦长为,则l1与直线l2:y=(2+)x的夹角的大小是()
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°答案:B37.若f(x)在定义域[a,b]上有定义,则在该区间上()A.一定连续B.一定不连续C.可能连续也可能不连续D.以上均不正确答案:f(x)有定义是f(x)在区间上连续的必要而不充分条件.有定义不一定连续.还需加上极限存在才能推出连续.故选C.38.2008年北京奥运会期间,计划将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作,每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为()A.540B.300C.150D.180答案:将5个人分成满足题意的3组有1,1,3与2,2,1两种,分成1、1、3时,有C53?A33种分法,分成2、2、1时,有C25C23A22?A33种分法,所以共有C53?A33+C25C23A22?A33=150种分法,故选C.39.如图表示空间直角坐标系的直观图中,正确的个数为()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个答案:C40.中,是边上的中线(如图).
求证:.
答案:证明见解析解析:取线段所在的直线为轴,点为原点建立直角坐标系.设点的坐标为,点的坐标为,则点的坐标为.可得,,,.,..41.设F1,F2是双曲线的两个焦点,点P在双曲线上,且·=0,则|PF1|·|PF2|值等于()
A.2
B.2
C.4
D.8答案:A42.设随机变量x~B(n,p),若Ex=2.4,Dx=1.44则()
A.n=4,p=0.6
B.n=6,p=0.4
C.n=8,p=0.3
D.n=24,p=0.1答案:B43.设a=log132,b=log1213,c=(12)0.3,则()A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c答案:解;∵a=log132<log131=0,b=log1213>log1212=1,c=(12)0.3∈(0,1)∴b>c>a.故选B.44.已知△ABC∽△DEF,且相似比为3:4,S△ABC=2cm2,则S△DEF=______cm2.答案:∵△ABC∽△DEF,且相似比为3:4∴S△ABC:S△DEF=9:16∴S△DEF=329.故为:329.45.在如图所示的茎叶图中,甲、乙两组数据的中位数分别是______.答案:由茎叶图可得甲组共有9个数据中位数为45乙组共9个数据中位数为46故为45、4646.若随机变量X的概率分布如下表,则表中a的值为()
X
1
2
3
4
P
0.2
0.3
0.3
a
A.1
B.0.8
C.0.3
D.0.2答案:D47.赋值语句M=M+3表示的意义()
A.将M的值赋给M+3
B.将M的值加3后再赋给M
C.M和M+3的值相等
D.以上说法都不对答案:B48.证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是:对于空间任一点O,存在实数x、y、z且x+y+z=1,使得OA=xOB+yOC+zOD.答案:(必要性)依题意知,B、C、D三点不共线,则由共面向量定理的推论知:四点A、B、C、D共面⇔对空间任一点O,存在实数x1、y1,使得OA=OB+x1BC+y1BD=OB+x1(OC-OB)+y1(OD-OB)=(1-x1-y1)OB+x1OC+y1OD,取x=1-x1-y1、y=x1、z=y1,则有OA=xOB+yOC+zOD,且x+y+z=1.(充分性)对于空间任一点O,存在实数x、y、z且x+y+z=1,使得OA=xOB+yOC+zOD.所以x=1-y-z得OA=(1-y-z)OB+yOC+zOD.OA=OB+yBC+zBD,即:BA=yBC+zBD,所以四点A、B、C、D共面.所以,空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是:对于空间任一点O,存在实数x、y、z且x+y+z=1,使得OA=xOB+yOC+zOD.49.设、、为实数,,则下列四个结论中正确的是(
)A.B.C.且D.且答案:D解析:若,则,则.若,则对于二次函数,由可得结论.50.已知矩阵A=abcd,若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为α1=11,属于特征值-1的一个特征向量为α2=1-1,则矩阵A=______.答案:由矩阵A属于特征值3的一个特征向量为α1=11可得abcd11=311,即a+b=3c+d=3;(4分)由矩阵A属于特征值2的一个特征向量为α2=1-1,可得abcd1-1=(-1)1-1,即a-b=-1c-d=1,(6分)解得a=1b=2c=2d=1,即矩阵A=1221.(10分)故为:1221.第3卷一.综合题(共50题)1.已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,F为焦点,A,B,C为抛物线上的三点,且满足FA+FB+FC=0,|FA|+|FB|+|FC|=6,则抛物线的方程为______.答案:设向量FA,FB,FC的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)由FA+FB+FC=0得x1+x2+x3=0∵XA=x1+p2,同理XB=x2+p2,XC=x3+p2∴|FA|=x1+p2+p2=x1+p,同理有|FB|=x2+p2+p2=x2+p,|FC|=x3+p2+p2=x3+p,又|FA|+|FB|+|FC|=6,∴x1+x2+x3+3p=6,∴p=2,∴抛物线方程为y2=4x.故为:y2=4x.2.三行三列的方阵.a11a12
a13a21a22
a23a31a32
a33.中有9个数aji(i=1,2,3;j=1,2,3),从中任取三个数,则它们不同行且不同列的概率是()A.37B.47C.114D.1314答案:从给出的9个数中任取3个数,共有C39;从三行三列的方阵中任取三个数,使它们不同行且不同列:从第一行中任取一个数有C13种方法,则第二行只能从另外两列中的两个数任取一个有C12种方法,第三行只能从剩下的一列中取即可有1中方法,∴共有C13×C12×C11=6.∴从三行三列的方阵中任取三个数,则它们不同行且同列的概率P=6C39=114.故选C.3.设抛物线y2=2px(p>0)上一点A(1,2)到点B(x0,0)的距离等于到直线x=-1的距离,则实数x0的值是______.答案:∵点A(1,2)在抛物线y2=2px(p>0)上,∴4=2p,p=2,故抛物线方程为y2=4x,准线方程为x=1.由点A(1,2)到点B(x0,0)的距离等于到直线x=-1的距离,故点B(x0,0)为抛物线y2=4x的焦点,故x0=1.故为1.4.用数学归纳法证明:1n+1+1n+2+1n+3+…+1n+n>1124
(n∈N,n≥1)答案:证明:(1)当n=1时,左边=12>1124,∴n=1时成立(2分)(2)假设当n=k(k≥1)时成立,即1k+1+1k+2+1k+3+…+1k+k>1124那么当n=k+1时,左边=1k+2+1k+3+…+1k+k
+1K+1+k+1k+1+k+1=1k+1+1k+2+1k+3+…+1k+k+1k+k+1
+1k+1+k+1-1k+1>1124+12k+1-12k+2>1124.∴n=k+1时也成立(7分)根据(1)(2)可得不等式对所有的n≥1都成立(8分)5.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,=(
)
A.
B.4
C.
D.-4答案:D6.函数y=ax的反函数的图象过点(9,2),则a的值为______.答案:依题意,点(9,2)在函数y=ax的反函数的图象上,则点(2,9)在函数y=ax的图象上将x=2,y=9,代入y=ax中,得9=a2解得a=3故为:3.7.已知Sn=1+12+13+14+…+12n(n>1,n∈N*).求证:S2n>1+n2(n≥2,n∈N*).答案:证明:(1)当n=2时,左边=1+12+13+14=2512,右边=1+22=2,∴左边>右边(2)假设n=k(k≥2)时不等式成立,即S
2k=1+12+13+14+…+12k≥1+k2,当n=k+1时,不等式左边S2(k+1)=1+12+13+14+…+12k+1+…+12k+1>1+k2+12k+1+…+12k+1>1+k2+2k2k+2k=1+k2+12=1+k+12,综上(1)(2)可知S2n>1+n2对于任意的n≥2正整数成立.8.下列说法中正确的有()
①平均数不受少数几个极端值的影响,中位数受样本中的每一个数据影响;
②抛掷两枚硬币,出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大
③用样本的频率分布估计总体分布的过程中,样本容量越大,估计越准确.
④向一个圆面内随机地投一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,则该随机试验的数学模型是古典概型.A.①②B.③C.③④D.④答案:中位数数不受少数几个极端值的影响,平均数受样本中的每一个数据影响,故①不正确,抛掷两枚硬币,出现“两枚都是正面朝上”的概率是14“两枚都是反面朝上的概率是14、“恰好一枚硬币正面朝上的概率是12”,故②不正确,用样本的频率分布估计总体分布的过程中,样本容量越大,估计越准确.正确向一个圆面内随机地投一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,则该随机试验的数学模型是几何概型,故④不正确,故选B.9.设圆O1和圆O2是两个定圆,动圆P与这两个定圆都相切,则圆P的圆心轨迹不可能是()
A.
B.
C.
D.
答案:A10.如图所示,有两个独立的转盘(A)、(B),其中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°.用这两个转盘玩游戏,规则是:依次随机转动两个转盘再随机停下(指针固定不动,当指针恰好落在分界线时,则这次转动无效,重新开始)为一次游戏,记转盘(A)指针所对的数为X转盘(B)指针对的数为Y设X+Yξ,每次游戏得到的奖励分为ξ分.
(1)求X<2且Y>1时的概率
(2)某人玩12次游戏,求他平均可以得到多少奖励分?答案:(1)由几何概型知P(x=1)=16,P(x=2)=13,P(x=3)=12;
P(y=1)=13,P(y=2)=12,P(y=3)=16.则P(x<2)=P(x=1)=16,P(y>1)=p(y=2)+P(y=3)=23,P(x<2且y>1)=P(x<2)?P(y>1)=19.(2)ξ的取值范围为2,3,4,6.P(ξ=2)=P(x=1)?P(y=1)=16×13=118;P(ξ=3)=P(x=1)?P(y=2)+P(x=2)?P(y=1)=16×12+13×13=736;P(ξ=4)=P(x=1)?P(y=3)+P(x=2)?P(y=2)+P(x=3)?P(y=1)=16×16+13×12+12×13=1336;P(ξ=5)=P(x=2)P(y=3)+P(x=3)P(y=2)=13×16+12×12=1136;P(ξ=6)=P(x=3)?P(y=3)=12×16=112.其分布为:ξ23456P11873613361136112他平均每次可得到的奖励分为Eξ=2×118+3×736+4×1336+5×1136+6×112=256,所以,他玩12次平均可以得到的奖励分为12×Eξ=50.11.点P(1,3,5)关于平面xoz对称的点是Q,则向量=()
A.(2,0,10)
B.(0,-6,0)
C.(0,6,0)
D.(-2,0,-10)答案:B12.制作一个面积为1
m2,形状为直角三角形的铁架框,有下列四种长度的铁管供选择,较经济的(既够用又耗材量少)是().A.5.2mB.5mC.4.8mD.4.6m答案:设一条直角边为x,则另一条直角边是2x,斜边长为x2+4x2故周长
l=x+2x+x2+4x2≥22+2≈4.82当且仅当x=2时等号成立,故较经济的(既够用又耗材量少)是5m故应选B.13.已知曲线,
θ∈[0,2π)上一点P到点A(-2,0)、B(2,0)的距离之差为2,则△PAB是()
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形答案:C14.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为()A.4,6,1,7B.7,6,1,4C.6,4,1,7D.1,6,4,7答案:∵明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,∴当接收方收到密文14,9,23,28时,则a+2b=142b+c=92c+3d=234d=28,解得a=6b=4c=1d=7,解密得到的明文为6,4,1,7故选C.15.已知一个四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积是______.答案:因为三视图复原的几何体是正四棱锥,底面边长为2,高为1,所以四棱锥的体积为13×2×2×1=43.故为:43.16.已知向量=(1,1,-2),=(2,1,),若≥0,则实数x的取值范围为()
A.(0,)
B.(0,]
C.(-∞,0)∪[,+∞)
D.(-∞,0]∪[,+∞)答案:C17.下列说法中正确的是()
A.以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥
B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台
C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆
D.圆锥侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径答案:C18.(几何证明选讲选做题)如图,梯形,,是对角线和的交点,,则
。
答案:1:6解析:,
,,∵,,而∴。19.下面的结论正确的是()A.一个程序的算法步骤是可逆的B.一个算法可以无止境地运算下去的C.完成一件事情的算法有且只有一种D.设计算法要本着简单方便的原则答案:算法需每一步都按顺序进行,并且结果唯一,不能保证可逆,故A不正确;一个算法必须在有限步内完成,不然就不是问题的解了,故B不正确;一般情况下,完成一件事情的算法不止一个,但是存在一个比较好的,故C不正确;设计算法要尽量运算简单,节约时间,故D正确,故选D.20.如图,在等边△ABC中,以AB为直径的⊙O与BC相交于点D,连接AD,则∠DAC的度数为
______度.答案:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC;又∵△ABC是等边三角形,∴DA平分∠BAC,即∠DAC=12∠BAC=30°.故为:30.21.试指出函数y=3x的图象经过怎样的变换,可以得到函数y=(13)x+1+2的图象.答案:把函数y=3x的图象经过3次变换,可得函数y=(13)x+1+2的图象,步骤如下:y=3x沿y轴对称y=(13)x左移一个单位y=(13)x+1上移2个单位y=(13)x+1+2.22.(理)某单位有8名员工,其中有5名员工曾经参加过一种或几种技能培训,另外3名员工没有参加过任何技能培训,现要从8名员工中任选3人参加一种新的技能培训;
(I)求恰好选到1名曾经参加过技能培训的员工的概率;
(Ⅱ)这次培训结束后,仍然没有参加过任何技能培训的员工人数X是一个随机变量,求X的分布列和数学期望.答案:(I)由题意知本题是一个等可能事件的概率,∵试验发生包含的事件是从8人中选3个,共有C83=56种结果,满足条件的事件是恰好选到1名曾经参加过技能培训的员工,共有C51C32=15∴恰好选到1名已参加过其他技能培训的员工的概率P=1556(II)随机变量X可能取的值是:0,1,2,3.P(X=0)=156P(X=1)=1556P(X=2)=1528P(X=3)=C35C38=528∴随机变量X的分布列是X0123P15615561528528∴X的数学期望是1×1556+2×
1528+3×528=15823.圆x2+y2-6x+4y+12=0与圆x2+y2-14x-2y+14=0的位置关系是______.答案:∵圆x2+y2-6x+4y+12=0化成标准形式,得(x-3)2+(y+2)2=1∴圆x2+y2-6x+4y+12=0的圆心为C1(3,-2),半径r1=1同理可得圆x2+y2-14x-2y+14=0的C2(7,1),半径r2=6∵两圆的圆心距|C1C2|=(7-3)2+(1+2)2=5∴|C1C2|=r2-r1=5,可得两圆的位置关系是内切故为:内切24.直线x=-2+ty=1-t(t为参数)被圆x=2+2cosθy=-1+2sinθ(θ为参数)所截得的弦长为______.答案:∵圆x=2+2cosθy=-1+2sinθ(θ为参数),消去θ可得,(x-2)2+(y+1)2=4,∵直线x=-2+ty=1-t(t为参数),∴x+y=-1,圆心为(2,-1),设圆心到直线的距离为d=|2-1+1|2=2,圆的半径为2∴截得的弦长为222-(2)2=22,故为22.25.把一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,则点(a,b)在直线x+y=5左下方的概率为()A.16B.56C.112D.1112答案:由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的事件数是6×6=36种结果,满足条件的事件是点(a,b)在直线x+y=5左下方即a+b<5,可以列举出所有满足的情况(1,1)(1,2)(1,3),(2,1),(2,2)(3,1)共有6种结果,∴点在直线的下方的概率是636=16故选A.26.已知二阶矩阵A=2ab0属于特征值-1的一个特征向量为1-3,求矩阵A的逆矩阵.答案:由矩阵A属于特征值-1的一个特征向量为α1=1-3,可得2ab01-3=-1-3,得2-3a=-1b=3即a=1,b=3;
…(3分)解得A=2130,…(8分)∴A逆矩阵是A-1=dad-bc-bad-bc-cad-bcaad-bc=0131-23.27.如图,O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,在图中所示的向量中:
(1)与AO相等的向量有
______;
(2)写出与AO共线的向量有
______;
(3)写出与AO的模相等的向量有
______;
(4)向量AO与CO是否相等?答
______.答案:(1)与AO相等的向量有BF(2)与AO共线的向量有DE,CO,BF(3)与AO的模相等的向量有DE,
DO,AE,CO,CF,BF,BO(4)模相等,方向相反故AO与CO不相等28.已知m2+n2=1,a2+b2=2,则am+bn的最大值是()
A.1
B.
C.
D.以上都不对答案:C29.若施化肥量x与小麦产量y之间的回归方程为y=250+4x(单位:kg),当施化肥量为50kg时,预计小麦产量为______kg.答案:根据回归方程为y=250+4x,当施化肥量为50kg,即x=50kg时,y=250+4x=250+200=450kg故为:45030.函数f(x)=x2+(a+1)x+2是定义在[a,b]上的偶函数,则a+b=______.答案:∵函数f(x)=x2+(a+1)x+2是定义在[a,b]上的偶函数,∴其定义域关于原点对称,既[a,b]关于原点对称.所以a与b互为相反数即a+b=0.故为:0.31.如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且
DF=CF=2,AF:FB:BE=4:2:1.若CE与圆相切,则CE的长为.答案:设AF=4k,BF=2k,BE=k,由DF?FC=AF?BF,得2=8k2,即k=12,∴AF=2,BF=1,BE=12,AE=72,由切割定理得CE2=BE?EA=12×72=74∴CE=7232.方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是()
A.0<a≤1
B.a<1
C.a≤1
D.0<a≤1或a<0答案:C33.点M(4,)化
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