2023年高中数学选修极坐标与参数方程知识点与题型

选做题部分极坐标系与参数方程一、极坐标系１.极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系:如图4－4－1所示,在平面内取一个定点O,叫做极点，自极点Ｏ引一条射线Ｏx，叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度）及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系．(２)极坐标:平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画,这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.其中ρ称为点M的极径,θ称为点M的极角.2．极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x,y）极坐标(ρ,θ)互化公式题型一极坐标与直角坐标的互化1、已知点Ｐ的极坐标为，则点P的直角坐标为()A．(1,1)Ｂ.(1,-1)Ｃ.(-1,1）D．(－1，-1）2、设点的直角坐标为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标为(）A.B．C．D．３．若曲线的极坐标方程为ρ＝2ｓinθ+4ｃoｓθ，以极点为原点，极轴为ｘ轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为______＿＿.4.在极坐标系中,过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是()Ａ．ρ＝cosθB.ρ＝siｎθC.ρcoｓθ=1D.ρsｉnθ＝1５．曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x＝0,以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为＿＿__＿___.6.在极坐标系中，求圆ρ＝２cｏsθ与直线θ=eq\f(π,4）（ρ＞0)所表达的图形的交点的极坐标．题型二极坐标方程的应用由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，假如不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.1.在极坐标系中，已知圆C通过点P(eq\ｒ(２)，eq\f(π,4)),圆心为直线ρｓineq\b\lｃ\(＼rc\)(\a\vs4\al\co１（θ－\f（π，３)))=-eｑ＼f（＼r(３）,2)与极轴的交点，求圆C的直角坐标方程．2．圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为Ｃ，点Ｐ的极坐标为eq\b＼lｃ\(＼ｒc＼)(\ａ＼ｖs4\al＼ｃo1(4，\f(π,3))),则|CＰ|=＿＿___＿＿_.３.在极坐标系中,已知直线l的极坐标方程为ρsineq\b\lc\（＼rc\）(＼ａ\vs4＼al\ｃｏ１(θ+＼f(π,4)))＝１，圆C的圆心的极坐标是Ｃeq\ｂ\lｃ\（＼ｒｃ\)(\a\vs４\al\ｃo1(１，＼f(π,4))）,圆的半径为1.（i)则圆Ｃ的极坐标方程是＿___＿＿_＿；(ｉi）直线l被圆C所截得的弦长等于_＿__＿___.４.在极坐标系中,已知圆C：ρ＝4cosθ被直线l：ρsiｎeq＼b\ｌｃ\(\ｒｃ\）(\a\vｓ４＼al\ｃｏ１(θ-\f（π,6））)=ａ截得的弦长为２ｅq\ｒ(３),则实数a的值是___＿＿＿_＿．二、参数方程1.参数方程和普通方程的互化（1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．（2)假如知道变数x，y中的一个与参数ｔ的关系,例如x＝ｆ(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y=g(t)，那么,eｑ\ｂ＼ｌc\{\ｒc\（\ａ\ｖs4\al\ｃo1（x=ft，,ｙ=ｇt))就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y０=taｎα(ｘ-ｘ0)ｅq＼b＼ｌc\｛\rｃ\(\a＼vs4\aｌ＼ｃo１(x＝x０+tcosα，y＝y0+tｓｉnα）)（t为参数)圆x2＋y2=r2ｅq＼b＼lc＼{\rｃ\（\ａ\ｖs4＼ａl\co１（x＝rcosθ,y=ｒsinθ）)（θ为参数）椭圆ｅq＼f（x2,a２)+ｅｑ\f（y2，ｂ2)＝1（ａ>b>0）ｅq＼b\lc＼{\rc\（＼a\vs４\ａl\co１(ｘ=ａcｏsφ,y＝bｓｉnφ))(φ为参数）题型一参数方程与普通方程的互化【例1】把下列参数方程化为普通方程:(１）eq\b\lｃ\{\rc\(\a\vs4\ａl\ｃｏ1(x=3＋cosθ,,ｙ=２-sinθ;)）（2)eｑ\b\lc\{\ｒc\（\a＼ｖｓ４＼ａｌ\cｏ1(x＝1＋\f（１,２)t,,ｙ＝5+\f(\r（３),2)t.）)题型二直线与圆的参数方程的应用１、已知直线ｌ的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4＼aｌ\co1(x＝1+ｔ,，y＝4－2t))（参数t∈Ｒ),圆C的参数方程为eq＼b\ｌc＼{\rｃ\(\ａ\vｓ４\aｌ\ｃｏ1(ｘ=2cosθ+2，,y=2sinθ))(参数θ∈［０，２π])，求直线ｌ被圆Ｃ所截得的弦长．２、曲线C的极坐标方程为：ρ=aｃosθ(a>0）,直线l的参数方程为:（1）求曲线Ｃ与直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线Ｃ相切,求a值．3、在直角坐标系xoy中，曲线C１的参数方程为,（α为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线Ｃ１的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;（Ⅱ)设P为曲线Ｃ1上的动点，求点Ｐ到C2上点的距离最小值．综合应用１、曲线与坐标轴的交点是(）AＢHYPERＬINＫ＂＂ＣDHYＰERLINK""3、参数方程(为参数)化为普通方程为(）A.B．C.D．3．判断下列结论的正误.(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一相应关系,在极坐标系中点与坐标也是一一相应关系()(2)若点Ｐ的直角坐标为(1，-eｑ＼ｒ(3）),则点P的一个极坐标是（2,-eｑ\f(π，3)）(）（３）在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的(）(4)极坐标方程θ＝π（ρ≥０）表达的曲线是一条直线()４.参数方程为表达的曲线是（)A．一条直线B．两条直线C.一条射线Ｄ．两条射线５.与参数方程为等价的普通方程为（)A．Ｂ.C.D．15．参数方程所表达的曲线是（) A．直线ﻩﻩB.两条射线ﻩC.线段 ﻩﻩD．圆１６.下列参数方程（t是参数）与普通方程表达同一曲线的方程是:(）ﻩA．ﻩB. Ｃ．Ｄ.3.由参数方程给出曲线在直角坐标系下的方程是 ﻩﻩ 。４.若直线的参数方程是(t是参数），则过点(4,-１）且与l平行的直线在y轴上的截距是 ﻩ。5．方程（t是参数)表达的是过点 ，倾斜角为直线。8.在极坐标系有点M(3,)，若规定极径＜０,极角[0，2]，则M的极坐标为;若规定极径<0，极角（-,），则M的极坐标为.９.的一个顶点在极点O,其它两个顶点分别为，则的面积为 ﻩﻩ 。６．（2０23·北京高考)在极坐标系中,点ｅq\b\lc\(＼rc\)(\ａ\vs4\aｌ\cｏ1(2,\f(π,6）))到直线ρｓiｎθ=２的距离等于_____＿＿_．7、平面直角坐标系中,将曲线为参数)上的每一点横坐标不变,纵坐标变为本来的倍得到曲线,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立的极坐标系中,曲线的方程为（Ⅰ)求和的普通方程:(Ⅱ)求和公共弦的垂直平分线的极坐标方程.8、已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是(t为参数)．（１）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若直线与曲线交于两点，求的值.7、已知圆C：ｅq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=1＋coｓθ,,ｙ=sinθ))(θ为参数)和直线l:eｑ\b\ｌc\{\ｒｃ\(\ａ\vs4\ａl＼co1(x=2+tｃｏsα，,y