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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线的焦距是虚轴长的2倍,则双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.2.已知等比数列满足,,则()A. B. C. D.3.集合的真子集的个数是()A. B. C. D.4.观察下列各式:,,,,,,,,根据以上规律,则()A. B. C. D.5.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”,主要指德育;“乐”,主要指美育;“射”和“御”,就是体育和劳动;“书”,指各种历史文化知识;“数”,指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求:“数”必须排在第三节,且“射”和“御”两门课程相邻排课,则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有()A.12种 B.24种 C.36种 D.48种6.已知数列为等比数列,若,且,则()A. B.或 C. D.7.已知,则下列关系正确的是()A. B. C. D.8.已知函数f(x)=xex2+axeA.1 B.-1 C.a D.-a9.已知集合,,则A. B.C. D.10.数学中的数形结合,也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物,曲线恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论:①曲线C经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2;③曲线C围成区域的面积大于;④方程表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是()A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④11.已知函数为奇函数,且,则()A.2 B.5 C.1 D.312.已知双曲线的左、右焦点分别为、,抛物线与双曲线有相同的焦点.设为抛物线与双曲线的一个交点,且,则双曲线的离心率为()A.或 B.或 C.或 D.或二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.正三棱柱的底面边长为2,侧棱长为,为中点,则三棱锥的体积为________.14.若变量x,y满足:,且满足,则参数t的取值范围为_______.15.函数的定义域是.16.已知x,y满足约束条件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0,则三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)求下列函数的导数:(1)(2)18.(12分)为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度,在普通行人中随机选取了200人进行调查,当不处罚时,有80人会闯红灯,处罚时,得到如表数据:处罚金额(单位:元)5101520会闯红灯的人数50402010若用表中数据所得频率代替概率.(1)当罚金定为10元时,行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少?(2)将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类:类市民在罚金不超过10元时就会改正行为;类是其他市民.现对类与类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷,则前两位均为类市民的概率是多少?19.(12分)已知矩阵的逆矩阵.若曲线:在矩阵A对应的变换作用下得到另一曲线,求曲线的方程.20.(12分)如图,在四棱锥中,底面,,,,为的中点,是上的点.(1)若平面,证明:平面.(2)求二面角的余弦值.21.(12分)设函数f(x)=ax2–a–lnx,g(x)=,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)证明:当x>1时,g(x)>0;(Ⅲ)确定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立.22.(10分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程;(Ⅱ)设点,直线与曲线相交于,,求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍,可得出,结合,得出,即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】解:由双曲线可知,焦点在轴上,则双曲线的渐近线方程为:,由于焦距是虚轴长的2倍,可得:,∴,即:,,所以双曲线的渐近线方程为:.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,以及双曲线的渐近线方程.2.B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=,选B.3.C【解析】
根据含有个元素的集合,有个子集,有个真子集,计算可得;【详解】解:集合含有个元素,则集合的真子集有(个),故选:C【点睛】考查列举法的定义,集合元素的概念,以及真子集的概念,对于含有个元素的集合,有个子集,有个真子集,属于基础题.4.B【解析】
每个式子的值依次构成一个数列,然后归纳出数列的递推关系后再计算.【详解】以及数列的应用根据题设条件,设数字,,,,,,,构成一个数列,可得数列满足,则,,.故选:B.【点睛】本题主要考查归纳推理,解题关键是通过数列的项归纳出递推关系,从而可确定数列的一些项.5.C【解析】
根据“数”排在第三节,则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法,再考虑两者的顺序,有种,剩余的3门全排列,即可求解.【详解】由题意,“数”排在第三节,则“射”和“御”两门课程相邻时,可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节,有3种,再考虑两者的顺序,有种,剩余的3门全排列,安排在剩下的3个位置,有种,所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有种不同的排法.故选:C.【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用,其中解答中认真审题,根据题设条件,先排列有限制条件的元素是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.6.A【解析】
根据等比数列的性质可得,通分化简即可.【详解】由题意,数列为等比数列,则,又,即,所以,,.故选:A.【点睛】本题考查了等比数列的性质,考查了推理能力与运算能力,属于基础题.7.A【解析】
首先判断和1的大小关系,再由换底公式和对数函数的单调性判断的大小即可.【详解】因为,,,所以,综上可得.故选:A【点睛】本题考查了换底公式和对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.8.A【解析】
令xex=t,构造g(x)=xex,要使函数f(x)=xex2+axex-a有三个不同的零点x1,x2,【详解】令xex=t,构造g(x)=xex,求导得g'(x)=故g(x)在-∞,1上单调递增,在1,+∞上单调递减,且x<0时,g(x)<0,x>0时,g(x)>0,g(x)max=g(1)=1e,可画出函数g(x)的图象(见下图),要使函数f(x)=xex2+axex-a有三个不同的零点x1,x若a>0,即t1+t2=-a<0t1故1-x若a<-4,即t1+t2=-a>4t1故选A.【点睛】解决函数零点问题,常常利用数形结合、等价转化等数学思想.9.D【解析】
因为,,所以,,故选D.10.B【解析】
利用基本不等式得,可判断②;和联立解得可判断①③;由图可判断④.【详解】,解得(当且仅当时取等号),则②正确;将和联立,解得,即圆与曲线C相切于点,,,,则①和③都错误;由,得④正确.故选:B.【点睛】本题考查曲线与方程的应用,根据方程,判断曲线的性质及结论,考查学生逻辑推理能力,是一道有一定难度的题.11.B【解析】
由函数为奇函数,则有,代入已知即可求得.【详解】.故选:.【点睛】本题考查奇偶性在抽象函数中的应用,考查学生分析问题的能力,难度较易.12.D【解析】
设,,根据和抛物线性质得出,再根据双曲线性质得出,,最后根据余弦定理列方程得出、间的关系,从而可得出离心率.【详解】过分别向轴和抛物线的准线作垂线,垂足分别为、,不妨设,,则,为双曲线上的点,则,即,得,,又,在中,由余弦定理可得,整理得,即,,解得或.故选:D.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求解,涉及双曲线和抛物线的简单性质,考查运算求解能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
试题分析:因为正三棱柱的底面边长为,侧棱长为为中点,所以底面的面积为,到平面的距离为就是底面正三角形的高,所以三棱锥的体积为.考点:几何体的体积的计算.14.【解析】
根据变量x,y满足:,画出可行域,由,解得直线过定点,直线绕定点旋转与可行域有交点即可,再结合图象利用斜率求解.【详解】由变量x,y满足:,画出可行域如图所示阴影部分,由,整理得,由,解得,所以直线过定点,由,解得,由,解得,要使,则与可行域有交点,当时,满足条件,当时,直线得斜率应该不小于AC,而不大于AB,即或,解得,且,综上:参数t的取值范围为.故答案为:【点睛】本题主要考查线性规划的应用,还考查了转化运算求解的能力,属于中档题.15.【解析】解:因为,故定义域为16.3【解析】
先根据约束条件画出可行域,再由y=2x-z表示直线在y轴上的截距最大即可得解.【详解】x,y满足约束条件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0,画出可行域如图所示.目标函数z=2x-y,即平移直线y=2x-z,截距最大时即为所求.2y+1=0x-y-1=0点A(12,z在点A处有最小值:z=2×1故答案为:32【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用,利用数形结合,结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2).【解析】
(1)根据复合函数的求导法则可得结果.(2)同样根据复合函数的求导法则可得结果.【详解】(1)令,,则,而,,故.(2)令,,则,而,,故,化简得到.【点睛】本题考查复合函数的导数,此类问题一般是先把函数分解为简单函数的复合,再根据复合函数的求导法则可得所求的导数,本题属于容易题.18.(1)降低(2)【解析】
(1)计算出罚金定为10元时行人闯红灯的概率,和不进行处罚时行人闯红灯的概率,求解即可;(2)闯红灯的市民有80人,其中类市民和类市民各有40人,根据分层抽样法抽出4人依次排序,计算所求的概率值.【详解】解:(1)当罚金定为10元时,行人闯红灯的概率为;不进行处罚,行人闯红灯的概率为;所以当罚金定为10元时,行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低;(2)由题可知,闯红灯的市民有80人,类市民和类市民各有40人故分别从类市民和类市民各抽出两人,4人依次排序记类市民中抽取的两人对应的编号为,类市民中抽取的两人编号为则4人依次排序分别为,,,,,,,,,,,,共有种前两位均为类市民排序为,,有种,所以前两位均为类市民的概率是.【点睛】本题主要考查了计算古典概型的概率,属于中档题.19.【解析】
根据,可解得,设为曲线任一点,在矩阵对应的变换作用下得到点,则点在曲线上,根据变换的定义写出相应的矩阵等式,再用表示出,代入曲线的方程中,即得.【详解】,,即.,解得,.设为曲线任一点,则,又设在矩阵A变换作用得到点,则,即,所以即代入,得,所以曲线的方程为.【点睛】本题考查逆矩阵,矩阵与变换等,是基础题.20.(1)证明见解析(2)【解析】
(1)因为,利用线面平行的判定定理可证出平面,利用点线面的位置关系,得出和,由于底面,利用线面垂直的性质,得出,且,最后结合线面垂直的判定定理得出平面,即可证出平面.(2)由(1)可知,,两两垂直,建立空间直角坐标系,标出点坐标,运用空间向量坐标运算求出所需向量,分别求出平面和平面的法向量,最后利用空间二面角公式,即可求出的余弦值.【详解】(1)证明:因为,平面,平面,所以平面,因为平面,平面,所以可设平面平面,又因为平面,所以.因为平面,平面,所以,从而得.因为底面,所以.因为,所以.因为,所以平面.综上,平面.(2)解:由(1)可得,,两两垂直,以为原点,,,所在直线分别为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为,所以,则,,,,所以,,,.设是平面的法向量,由取取,得.设是平面的法向量,由得取,得,所以,即的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定和空间二面角的计算,还运用线面平行的性质、线面垂直的判定定理、点线面的位置关系、空间向量的坐标运算等,同时考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.21.(Ⅰ)当时,<0,单调递减;当时,>0,单调递增;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ).【解析】试题分析:本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性,解决恒成立问题,考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.第(Ⅰ)问,对求导,再对a进行讨论,判断函数的单调性;第(Ⅱ)问,利用导数判断函数的单调性,从而证明结论,第(Ⅲ)问,构造函数=(),利用导数判断函数的单调性,从而求解a的值.试题解析:(Ⅰ)<0,在内单调递减.由=0有.当时,<
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