2023年选修坐标系与参数方程知识点及经典例题

坐标系与参数方程*选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲规定：１.坐标系:①理解坐标系的作用.②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③能在极坐标系中用极坐标表达点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表达点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.④能在极坐标系中给出简朴图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表达平面图形时选择适当坐标系的意义.2．参数方程:①了解参数方程,了解参数的意义.②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.第一讲平面直角坐标系伸缩变换:设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下,点相应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。方法１：求伸缩变换后的图形。由伸缩变换公式解出x、ｙ,代入已知曲线方程就可求得伸缩变换后的曲线方程。例:：在一个平面直角坐标系中,求下列方程所相应的图形通过伸缩变换后的图形。方法2：待定系数法求伸缩变换。求伸缩变换时,先设出变换，再代入原方程或变换后的方程,求出其中系数即可。例：在同一平面直角坐标系中,求下列图形变换的伸缩变换:二、极坐标1.极坐标系的概念:在平面内取一个定点，叫做极点;自极点引一条射线叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。2.点的极坐标：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为。有序数对叫做点的极坐标,记为.极坐标与表达同一个点。极点的坐标为.３.若，则,规定点与点关于极点对称,即与表达同一点。假如规定，那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表达;同时，极坐标表达的点也是唯一拟定的。4.极坐标与直角坐标的互化：如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴,且长度单位相同,设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x,ｙ），(ρ,θ)．(1)极坐标化直角坐标(2)直角坐标化极坐标eq\ｂ\ｌc\{(＼ａ\vs4\aｌ\co1(ρ2=x2+y2,,tａnθ=＼f（y,x)（x≠0）．）)方法３：极坐标与直角坐标的互化例:点M的极坐标是点M的直角坐标是练：三、简朴曲线的极坐标方程1．圆的极坐标方程:（１）特殊情形如下表:圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0,0)ρ＝r（0≤θ<2π)圆心在点（r，0)ρ=２rｃｏs_θ(－ｅq＼f(π,2)≤θ<eq\ｆ（π,2))圆心在点(ｒ,ｅｑ\ｆ(π，2))ρ＝2rsｉn_θ(0≤θ＜π)圆心在点(r，π)ρ＝-2ｒcoｓ_θ（eq\f(π,2)≤θ<ｅq\f(3π,2))圆心在点（r，eq\f(3π,2))ρ＝－2ｒsｉn_θ(－π<θ≤０)（2)一般情形：设圆心Ｃ(ρ０，θ0),半径为ｒ，M(ρ,θ)为圆上任意一点，则|ＣM｜＝ｒ,∠COM=|θ-θ０|,根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为ρ2－２ρ0ρcos（θ－θ0)+ρｅq\o\al(2,0）-r2=０即2.直线的极坐标方程：(1)特殊情形如下表:直线位置极坐标方程图形过极点，倾斜角为α(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝α+π（ρ∈R)(2)θ＝α(ρ≥0)和θ=π＋α(ρ≥0）过点（a,0),且与极轴垂直ρcos_θ＝aeq\b＼lc＼(\ｒc\)(＼a＼ｖs４\ａl\co１(-\f(π,2）<θ＜\f（π,2)））过点eq＼b\lｃ＼(＼rc＼)(\ａ\ｖs4＼aｌ\co1(a,\f(π,2))),且与极轴平行ρsｉn_θ=a(０<θ<π）过点(ａ,0)倾斜角为αρsin(α－θ)=asiｎα(0＜θ<π)（2)一般情形,设直线ｌ过点P(ρ0,θ0),倾斜角为α，M(ρ,θ)为直线ｌ上的动点，则在△OPＭ中运用正弦定理可得直线ｌ的极坐标方程为ρｓin（α-θ)=ρ0ｓin（α-θ0)．方法４:直角坐标方程与极坐标方程的互化方法５：极坐标系下的运算方法6：曲线极坐标方程的求法四、柱坐标系与球坐标系简介(了解）1、柱坐标系（1)定义:一般地,如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点,它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ,θ)(ρ≥０,0≤θ＜２π)表达点Q在平面Ｏｘｙ上的极坐标,这时点eq＼a\vs4\ａl(P)的位置可用有序数组eq\a\ｖs4＼al(（ρ,θ,ｚ）)（z∈R)表达.这样,我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种相应关系．把建立上述相应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组（ρ,θ，z)叫做点P的柱坐标,记作Ｐ(ρ，θ,z)，其中ρ≥0,０≤θ<2π，ｚ∈R．（２）空间点Ｐ的直角坐标(x,y，z)与柱坐标(ρ，θ,ｚ）之间的变换公式为eq＼b\ｌｃ＼{(\a\vs４\al\co1(x＝ρcoｓθ,y=ρsｉnθ,z=z)).２、球坐标系（1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点,连接OP,记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到ＯＱ时所转过的最小正角为θ，这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ,θ)表达，这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ）之间建立了一种相应关系.把建立上述相应关系的坐标系叫做球坐标系（或空间极坐标系)，有序数组（r,φ，θ),叫做点P的球坐标，记作P（r，φ,θ),其中ｒ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π．(2)空间点P的直角坐标(ｘ,ｙ，ｚ)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换公式为eq\b\lc\{（\a\vs4\al\ｃo1(x=rｓｉnφｃosθ,y=rsiｎφｓｉｎθ，z=rcｏｓφ）)．第二讲一、参数方程的概念：在平面直角坐标系中，假如曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数并且对于的每一个允许值,由这个方程所拟定的点都在这条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数,简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。二、参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表达曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有助于辨认曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化参数方程,一方面拟定变数ｘ，y中的一个与参数ｔ的关系，例如x=f(t)，另一方面将x=f(t)代入普通方程解出ｙ＝g(t)，则eq\b\lc\｛（＼ａ\vs４\ａｌ＼ｃｏ1(x=ｆ（ｔ),y＝ｇ（t)))(t为参数)就是曲线的参数方程．(4)在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致.三、圆的参数方程1.圆心在坐标原点，半径为r的圆的参数方程如图圆O与x轴正半轴交点M0(ｒ,0）.(1）设M(x,y)为圆Ｏ上任一点,以OM为终边的角设为θ,则以θ为参数的圆O的参数方程是eｑ＼b\lｃ\{（＼a＼ｖs4\ａl\co1(ｘ＝rcosθ,y＝rsｉｎθ))(θ为参数).其中参数θ的几何意义是OM0绕O点逆时针旋转到OＭ的位置时转过的角度.(2)设动点M在圆上从M0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动,角速度为ω,则ＯM0通过时间t转过的角θ＝ωt，则以t为参数的圆Ｏ的参数方程为eｑ\b＼lc\{(\a\ｖs4\ａl\co１(ｘ=rcoｓωt,ｙ=rsｉｎωｔ))(t为参数)．其中参数t的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间．2.圆心为C(a，b），半径为ｒ的圆的参数方程圆心为(a,ｂ)，半径为r的圆的参数方程可以当作将圆心在原点，半径为ｒ的圆通过坐标平移得到，所以其参数方程为eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co１(ｘ=a＋rｃosθ，,y=ｂ＋rｓinθ))（θ为参数).四、圆锥曲线的参数方程1、椭圆的参数方程(1)中心在原点,焦点在ｘ轴上的椭圆eq\f（x2,a２)+ｅｑ＼f（y2，ｂ2)＝1(ａ>b>0）的参数方程是eｑ\b\lc\｛(\a\vｓ4\al\co1(x＝ａｃosφ,ｙ=bsｉnφ))(φ是参数),规定参数φ的取值范围是［0，2π).（2）中心在原点,焦点在ｙ轴上的椭圆eq\ｆ(ｙ2,ａ2)+eq\f（x2,b2)＝1(a>b＞０)的参数方程是eq\ｂ\lc\{(\a\ｖｓ4＼ａl＼cｏ1(x=ｂcoｓφ,y=asiｎφ))(φ是参数),规定参数φ的取值范围是[0，２π)．(3)中心在(h，ｋ)的椭圆普通方程为ｅq\f(（x-h)２,a2)＋eq\ｆ(（y－k)2，b2)=1,则其参数方程为eq\b＼lｃ＼{(\ａ\ｖｓ4＼al＼ｃo1(x＝h+acosφ,ｙ=k+bsinφ))(φ是参数)．２.双曲线的参数方程(1）中心在原点,焦点在ｘ轴上的双曲线eq＼f（x2,a2)-eq＼f（y２,b2)＝1的参数方程是eｑ\b\lc\｛(\a\vs4\al\ｃｏ1(x＝aｓeｃφ，y＝btanφ)）(φ为参数),规定参数φ的取值范围为φ∈[０,2π)且φ≠ｅq\f(π,２），φ≠eｑ\ｆ(3π,2).(2）中心在原点，焦点在y轴上的双曲线eq＼f(ｙ２,ａ2）-eq\ｆ(x2,b2)＝1的参数方程是eq＼b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝ｂtanφ,y=ａseｃφ)）(φ为参数).3．抛物线的参数方程(1)抛物线y2＝2pｘ的参数方程为ｅq\b＼lc\{(＼a\vs4\ａl\cｏ1(x＝2pt2,ｙ＝2pｔ)）(t为参数)．(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.方法1:参数方程和普通方程的互化五、直线的参数方程１.直线的参数方程通过点Ｍ0(ｘ0,y0),倾斜角为α的直线ｌ的参数方程为ｅq＼b\ｌc\{（\a\ｖs４\aｌ\ｃo１(x＝x0+tcosα，y=y0＋ｔｓinα))(t为参数）．2．直线的参数方程中参数t的几何意义（1)参数t的绝对值表达参数t所相应的点Ｍ到定点M0的距离.（2)当eq＼o(Ｍ0M，\s\ｕp6(→)）与e(直线的单位方向向量)同向时，ｔ取正数．当eq\o(M0Ｍ,\s\up6(→))与e反向时,t取负数,当Ｍ与M０重合时，t＝０.３.直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M0（ｘ0,y０），倾斜角为α的直线，选取参数t＝Ｍ０M得到的参数方程eq＼b\ｌc＼{(\a\vs４\ａl\co1（x＝ｘ0＋tｃosα,y＝y0+tsinα))(t为参数)称为直线参数方程的标准形式,此时的参数t有明确的几何意义．一般地,过点M0(ｘ０,y0),斜率ｋ＝eｑ＼f(b，a)(a，b为常数）的直线,参数方程为eq＼ｂ\lc\{(\a\vs4＼aｌ\cｏ1(x＝x0+ａt，ｙ＝y0＋bｔ）)(t为参数),称为直线参数方程的一般形式,此时的参数t不具有标准式中参数的几何意义.方法２:求直线参数方程方法３：参数方程问题的解决办法解决参数问题的一个基本思绪:将其转化为普通方程，然后在直角坐标系下解决问题。方法4：运用参数的几何意义解题六、渐开线与摆线（了解）1.渐开线的概念及参数方程(1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆.（2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心Ｏ为原点，直线ＯA为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设基圆的半径为r,绳子外端Ｍ的坐标为（x，y),则有ｅq\b＼lc\{(\a\vｓ4\al＼ｃo1(x=ｒ(cosφ＋φsｉnφ),,ｙ=r(ｓinφ－φcoｓφ）))（φ是参数).这就是圆的渐开线的参数方程.2.摆线的概念及参数方程(1）摆线的产生过程及定义平面内,一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所通过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．(２）半径为r的圆所产生摆线的参数方程为eｑ\b＼lc\{(\ａ\vｓ4＼al\cｏ１（x＝r（φ-sinφ）,,ｙ=r（1－coｓφ))）(φ是参数).练习1.曲线与坐标轴的交点是（）．A．B．C.Ｄ．2.把方程化为以参数的参数方程是（）.A．Ｂ.C.Ｄ．3．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（)．Ａ．Ｂ.C．Ｄ．4.点在圆的（)．Ａ.内部 B.外部ﻩ Ｃ．圆上Ｄ．与θ的值有关5.参数方程为表达的曲线是()．A．一条直线B.两条直线C．一条射线D.两条射线6．两圆与的位置关系是(）.Ａ.内切 B.外切 C.相离 D．内