![2023年黑龙江林业职业技术学院高职单招(数学)试题库含答案解析_第1页](http://file4.renrendoc.com/view/818ce6c5cc6949383e1b06e0a8b36777/818ce6c5cc6949383e1b06e0a8b367771.gif)
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![2023年黑龙江林业职业技术学院高职单招(数学)试题库含答案解析_第3页](http://file4.renrendoc.com/view/818ce6c5cc6949383e1b06e0a8b36777/818ce6c5cc6949383e1b06e0a8b367773.gif)
![2023年黑龙江林业职业技术学院高职单招(数学)试题库含答案解析_第4页](http://file4.renrendoc.com/view/818ce6c5cc6949383e1b06e0a8b36777/818ce6c5cc6949383e1b06e0a8b367774.gif)
![2023年黑龙江林业职业技术学院高职单招(数学)试题库含答案解析_第5页](http://file4.renrendoc.com/view/818ce6c5cc6949383e1b06e0a8b36777/818ce6c5cc6949383e1b06e0a8b367775.gif)
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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年黑龙江林业职业技术学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.已知a>0,b>0且a+b>2,求证:1+ba,1+ab中至少有一个小于2.答案:证明:假设1+ba,1+ab都不小于2,则1+ba≥2,1+ab≥2(6分)因为a>0,b>0,所以1+b≥2a,1+a≥2b,1+1+a+b≥2(a+b)即2≥a+b,这与已知a+b>2相矛盾,故假设不成立(12分)综上1+ba,1+ab中至少有一个小于2.(14分)2.下面是一个算法的伪代码.如果输出的y的值是10,则输入的x的值是______.答案:由题意的程序,若x≤5,y=10x,否则y=2.5x+5,由于输出的y的值是10,当x≤5时,y=10x=10,得x=1;当x>5时,y=2.5x+5=10,得x=2,不合,舍去.则输入的x的值是1.故为:1.3.在repeat语句的一般形式中有“until
A”,其中A是
(
)A.循环变量B.循环体C.终止条件D.终止条件为真答案:D解析:此题考查程序语句解:Until标志着直到型循环,直到终止条件为止,因此until后跟的是终止条件为真的语句.答案:D.4.已知直线l1:3x-y+2=0,l2:3x+3y-5=0,则直线l1与l2的夹角是______.答案:因为直线l1的斜率为3,故倾斜角为60°,直线l2的斜率为-3,倾斜角为120°,故两直线的夹角为60°,即两直线的夹角为π3,故为
π3.5.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,若两人各投2次,则两人都投中1次的概率为______.答案:两人都投中1次的概率为C210.6×0.4×C210.7×0.3=0.2016故为:0.20166.已知集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则A∩B=()A.{3,5}B.{3,6}C.{3,7}D.{3,9}答案:因为A∩B={1,3,5,7,9}∩{0,3,6,9,12}={3,9}故选D7.在四边形ABCD中有AC=AB+AD,则它的形状一定是______.答案:由向量加法的平行四边形法则及AC=AB+AD,知四边形ABCD为平行四边形,故为:平行四边形.8.命题“有的三角形的三个内角成等差数列”的否定是______.答案:根据特称命题的否定为全称命题可知,“有的三角形的三个内角成等差数列”的否定为“任意三角形的三个内角不成等差数列”,故为:任意三角形的三个内角不成等差数列9.已知函数y=f(x)是R上的奇函数,其零点为x1,x2,…,x2011,则x1+x2+…+x2011=______.答案:∵f(x)是R上的奇函数,∴0是函数y=f(x)的零点.其他非0的零点关于原点对称.∴x1+x2+…+x2011=0.故为:0.10.赋值语句M=M+3表示的意义()
A.将M的值赋给M+3
B.将M的值加3后再赋给M
C.M和M+3的值相等
D.以上说法都不对答案:B11.满足f(xy)=f(x)+f(y)(x>0,y>0)且f(3)=2的函数可以是f(x)=______.答案:若函数为对数函数,不妨令f(x)=logax则f(xy)=loga(xy)=logax+logay=f(x)+f(y)满足条件又∵f(3)=2∴loga3=2解得a=3故f(x)=log3x故为:log3x12.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点P的轨迹是()A.双曲线B.双曲线右支C.一条射线D.不存在答案:∵|PM|-|PN|=3,M(-2,0),N(2,0),且3<4=|MN|,根据双曲线的定义,∴点P是以M(-2,0),N(2,0)为两焦点的双曲线的右支.故选B.13.如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1.在三角形内挖去半圆(圆心O在边AC上,半圆与BC、AB相切于点C、M,与AC交于N,见图中非阴影部分),则该半圆的半径长为______.答案:连接OM,则OM⊥AB.设⊙O的半径OM=OC=r.在Rt△OAM中,OA=OMsin30°=2r.在Rt△ABC中,AC=BCtan30°=3,∴3=AC=OA+OC=3r,∴r=33.故为33.14.已知x∈R,a=x2+12,b=2-x,c=x2-x+1,试证明a,b,c至少有一个不小于1.答案:证明:假设a,b,c均小于1,即a<1,b<1,c<1,则有a+b+c<3而a+b+c=2x2-2x+12+3=2(x-12)2+3≥3,两者矛盾;故a,b,c至少有一个不小于1.15.(选做题)已知矩阵.122x.的一个特征值为3,求另一个特征值及其对应的一个特征向量.答案:矩阵M的特征多项式为.λ-1-2-2λ-x.=(λ-1)(λ-x)-4…(1分)因为λ1=3方程f(λ)=0的一根,所以x=1…(3分)由(λ-1)(λ-1)-4=0得λ2=-1,…(5分)设λ2=-1对应的一个特征向量为α=xy,则-2x-2y=0-2x-2y=0得x=-y…(8分)令x=1则y=-1,所以矩阵M的另一个特征值为-1,对应的一个特征向量为α=1-1…(10分)16.函数f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])的最小、最大值分别为()A.3,5B.-3,5C.1,5D.5,-3答案:因为f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])是单调递减函数,所以当x=2时,函数的最小值为-3.当x=-2时,函数的最大值为5.故选B.17.某总体容量为M,其中带有标记的有N个,现用简单随机抽样方法从中抽出一个容量为m的样本,则抽取的m个个体中带有标记的个数估计为()A.mNMB.mMNC.MNmD.N答案:由题意知,总体中带有标记的鱼所占比例是NM,故样本中带有标记的个数估计为mNM,故选A.18.随机变量ξ的分布列为
ξ01xP15p310且Eξ=1.1,则p=______;x=______.答案:由15+p+310=1,得p=12.由Eξ=0×15+1×12+310x=1.1,得x=2.故为12;2.19.正方形ABCD的边长为1,=,=,则|+|=(
)
A.0
B.2
C.
D.2答案:C20.下列各个对应中,从A到B构成映射的是()A.
B.
C.
D.
答案:按照映射的定义,A中的任何一个元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.而在选项A和选项B中,前一个集合中的元素2在后一个集合中没有元素与之对应,故不符合映射的定义.选项C中,前一个集合中的元素1在后一集合中有2个元素和它对应,也不符合映射的定义,只有选项D满足映射的定义,故选D.21.如图,O为直线A0A2013外一点,若A0,A1,A2,A3,A4,A5,…,A2013中任意相邻两点的距离相等,设OA0=a,OA2013=b,用a,b表示OA0+OA1+OA2+…+OA2013,其结果为______.答案:设A0A2013的中点为A,则A也是A1A2012,…A1006A1007的中点,由向量的中点公式可得OA0+OA2013=2OA=a+b,同理可得OA1+OA2012=OA2+OA2011=…=OA1006+OA1007,故OA0+OA1+OA2+…+OA2013=1007×2OA=1007(a+b)故为:1007(a+b)22.整数630的正约数(包括1和630)共有______个.答案:首先将630分解质因数630=2×32×5×7;然后注意到每一因数可出现的次幂数,如2可有20,21两种情况,3有30,31,32三种情况,5有50,51两种情况,7有70,71两种情况,按分步计数原理,整数630的正约数(包括1和630)共有2×3×2×2=24个.故为:24.23.已知z=1+i,则|z|=______.答案:由z=1+i,所以|z|=12+12=2.故为2.24.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形,且底面边长与各侧棱长相等,这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1,h2,h,则h1:h2:h3=()
A.:1:1
B.:2:2
C.:2:
D.:2:答案:B25.为了参加奥运会,对自行车运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度的数据如表所示:
甲273830373531乙332938342836请判断:谁参加这项重大比赛更合适,并阐述理由.答案:.X甲=27+38+30+37+35+316=33S甲=946≈3.958,(
4分).X乙=33+29+38+34+28+366=33S乙=383≈3.559(8分).X甲=.X乙,S甲>S乙
(10分)乙参加更合适
(12分)26.如图,已知⊙O的直径AB=5,C为圆周上一点,BC=4,过点C作⊙O的切线l,过点A作l的垂线AD,垂足为D,则CD=______.
答案:如图,连接OC,由题意DC是切线可得出OC⊥DC,再过过A作AE⊥OC于E,故有四边形AECD是矩形,可得AE=CD又⊙O的直径AB=5,C为圆周上一点,BC=4,∴AC=3故S△AOC=12S△ABC=12×12×4×3=3又OC=52,故12×52×AE=3解得AE=125所以CD=125故为:125.27.若P=+,Q=+(a≥0),则P,Q的大小关系是()
A.P>Q
B.P=Q
C.P<Q
D.由a的取值确定答案:C28.已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示,则时速在[60,70]的汽车大约有()辆.A.90B.80C.70D.60答案:由已知可得样本容量为200,又∵数据落在区间[60,70]的频率为0.04×10=0.4∴时速在[60,70]的汽车大约有200×0.4=80故选B.29.已知复数z的模为1,且复数z的实部为13,则复数z的虚部为______.答案:设复数的虚部是b,∵复数z的模为1,且复数z的实部为13,∴(13)2+b2=1,∴b2=89,∴b=±223故为:±22330.已知图形F上的点A按向量平移前后的坐标分别是和,若B()是图形F上的又一点,则在F按向量平移后得到的图形F,上B,的坐标是(
)A.B.C.D.答案:选D解析:设向量,则平移公式为依题意有∴平移公式为将B点坐标代入可得B,点的坐标为.所以选D.31.某制药厂为了缩短培养时间,决定优选培养温度,试验范围定为29℃至50℃,现用分数法确定最佳温度,设第1,2,3次试验的温度分别为x1,x2,x3,若第2个试点比第1个试点好,则x3的值为(
)。答案:34℃或45℃32.在极坐标系中,若等边三角形ABC(顶点A,B,C按顺时针方向排列)的顶点A,B的极坐标分别为(2,π6),(2,7π6),则顶点C的极坐标为______.答案:如图所示:由于A,B的极坐标(2,π6),(2,7π6),故极点O为线段AB的中点.故等边三角形ABC的边长为4,AB边上的高(即点C到AB的距离)OC等于23.设点C的极坐标为(23,π6+π2),即(23,2π3),故为(23,2π3).33.一个单位有职工800人,其中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的200人,其余人员120人,为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中具有初级职称的职工为10人,则样本容量为()
A.10
B.20
C.40
D.50答案:C34.抛物线x2+y=0的焦点位于()
A.y轴的负半轴上
B.y轴的正半轴上
C.x轴的负半轴上
D.x轴的正半轴上答案:A35.若a1-i=1-bi,其中a,b都是实数,i是虚数单位,则|a+bi|=______.答案:a1-i=a(1+i)(1-i)(1+i)=a2+a2i=1-bi∴a=2,b=-1∴|a+bi|=a2+b2=5故为:5.36.设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD的交点,对于下列向量组:①AD与AB;②DA与BC;③CA与DC;④OD与OB.其中能作为一组基底的是______(只填写序号).答案:解析:由于①AD与AB不共线,③CA与DC不共线,所以都可以作为基底.②DA与BC共线,④OD与OB共线,不能作为基底.故为:①③.37.在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下:
90
89
90
95
93
94
93
去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数的平均值和方差分别为()
A.92,2
B.92,2.8
C.93,2
D.93,2.8答案:B38.某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化,10000个卵能孵化出7645尾鱼苗.根据概率的统计定义解答下列问题:
(1)求这种鱼卵的孵化概率(孵化率);
(2)30000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗?
(3)要孵化5000尾鱼苗,大概得准备多少鱼卵?(精确到百位)答案:(1)这种鱼卵的孵化概率为:764510000=0.7645(2)由(1)知,30000个鱼卵大约能孵化:30000×0.7645=22935尾鱼苗(3)要孵化5000尾鱼苗,需准备50000.7645=6500个鱼卵.39.(几何证明选讲选做题)
如图,已知AB是⊙O的一条弦,点P为AB上一点,PC⊥OP,PC交⊙O于C,若AP=4,PB=2,则PC的长是______.答案:∵AB是⊙O的一条弦,点P为AB上一点,PC⊥OP,PC交⊙O于C,∴AP×PB=PC2,∵AP=4,PB=2,∴PC2=8,解得PC=22.故为:22.40.设xi,yi
(i=1,2,…,n)是实数,且x1≥x2≥…≥xn,y1≥y2≥…≥yn,而z1,z2,…,zn是y1,y2,…,yn的一个排列.求证:n
i-1(xi-yi)2≥n
i-1(xi-zi)2.答案:证明:要证ni-1(xi-yi)2≥ni-1(xi-zi)2,只需证
ni=1
yi2-2ni=1
xi•yi≥ni=1
zi2-2ni=1
xi•zi,由于ni=1
yi2=ni=1
zi2,故只需证ni=1
xi•zi≤ni=1
xi•yi
①.而①的左边为乱序和,右边为顺序和,根据排序不等式可得①成立,故要证的不等式成立.41.在甲、乙两个盒子里分别装有标号为1、2、3、4的四个小球,现从甲、乙两个盒子里各取出1个小球,每个小球被取出的可能性相等.
(1)求取出的两个小球上标号为相邻整数的概率;
(2)求取出的两个小球上标号之和能被3整除的概率;
(3)求取出的两个小球上标号之和大于5整除的概率.答案:甲、乙两个盒子里各取出1个小球计为(X,Y)则基本事件共有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)总数为16种.(1)其中取出的两个小球上标号为相邻整数的基本事件有:(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)共6种故取出的两个小球上标号为相邻整数的概率P=38;(2)其中取出的两个小球上标号之和能被3整除的基本事件有:(1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2)共5种故取出的两个小球上标号之和能被3整除的概率为516;(3)其中取出的两个小球上标号之和大于5的基本事件有:(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)共6种故取出的两个小球上标号之和大于5的概率P=3842.方程组的解集是()
A.{-1,2}
B.(-1,2)
C.{(-1,2)}
D.{(x,y)|x=-1或y=2}答案:C43.对于函数y=f(x),在给定区间上有两个数x1,x2,且x1<x2,使f(x1)<f(x2)成立,则y=f(x)()A.一定是增函数B.一定是减函数C.可能是常数函数D.单调性不能确定答案:解析:由单调性定义可知,不能用特殊值代替一般值.故选D.44.袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球,今从袋子里随机取球.
(Ⅰ)若有放回地取3次,每次取1个球,求取出1个红球2个黑球的概率;
(Ⅱ)若无放回地取3次,每次取1个球,
①求在前2次都取出红球的条件下,第3次取出黑球的概率;
②求取出的红球数X
的分布列和数学期望.答案:(Ⅰ)记“取出1个红球2个黑球”为事件A,根据题意有P(A)=C13(37)×(47)2=144343;
所以取出1个红球2个黑球的概率是144343.(Ⅱ)①记“在前2次都取出红球”为事件B,“第3次取出黑球”为事件C,则P(B)=3×27×6=17,P(BC)=3×2×47×6×5=435,所以P(C|B)=P(BC)P(B)=43517=45.所以在前2次都取出红球的条件下,第3次取出黑球的概率是45.②随机变量X
的所有取值为0,1,2,3.P(X=0)=C34?A33A37=435,P(X=1)=C24C13?A33A37=1835,P(X=2)=C14C23?A33A37=1235,P(X=3)=C33?A33A37=135.所以X的分布列为:所以EX=0×435+1×1835+2×1235+3×135=4535=97.45.已知抛物线的参数方程为(t为参数),其中p>0,焦点为F,准线为l,过抛物线上一点M作l的垂线,垂足为E.若|EF|=|MF|,点M的横坐标是3,则p=(
)。答案:246.已知抛物线C的参数方程为x=8t2y=8t(t为参数),设抛物线C的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的斜率为-3,那么|PF|=______.答案:把抛物线C的参数方程x=8t2y=8t(t为参数),消去参数化为普通方程为y2=8x.故焦点F(2,0),准线方程为x=-2,再由直线FA的斜率是-3,可得直线FA的倾斜角为120°,设准线和x轴的交点为M,则∠AFM=60°,且MF=p=4,∴∠PAF=180°-120°=60°.∴AM=MF•tan60°=43,故点A(0,43),把y=43代入抛物线求得x=6,∴点P(6,43),故|PF|=(6-2)2+(43-0)2=8,故为8.47.若f(x)=x2,则对任意实数x1,x2,下列不等式总成立的是(
)
A.f()≤
B.f()<
C.f()≥
D.f()>答案:A48.已知焦点在x轴上的双曲线渐近线方程是y=±4x,则该双曲线的离心率是()
A.
B.
C.
D.答案:A49.若随机变量X的概率分布如下表,则表中a的值为()
X
1
2
3
4
P
0.2
0.3
0.3
a
A.1
B.0.8
C.0.3
D.0.2答案:D50.已知下列命题(其中a,b为直线,α为平面):
①若一条直线垂直于一个平面内无数条直线,则这条直线与这个平面垂直;
②若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面;
③若a∥α,b⊥α,则a⊥b;
④若a⊥b,则过b有且只有一个平面与a垂直.
上述四个命题中,真命题是()A.①,②B.②,③C.②,④D.③,④答案:①平面内无数条直线均为平行线时,不能得出直线与这个平面垂直,将“无数条”改为“所有”才正确;故①错误;②垂直于这条直线的直线与这个平面可以是任何的位置关系,有可能是平行、相交、线在面内,故②错误.③若a∥α,b⊥α,则必有a⊥b,正确;④若a⊥b,则过b有且只有一个平面与a垂直,显然正确.故选D.第2卷一.综合题(共50题)1.A、B、C、D、E五种不同的商品要在货架上排成一排,其中A、B两种商品必须排在一起,而C、D两种商品不能排在一起,则不同的排法共有______种.答案:先把A、B进行排列,有A22种排法,再把A、B看成一个元素,和E进行排列,有A22种排法,最后再把C、D插入进去,有A23种排法,根据分步计数原理可得A22A22A23=24种排法.故为:242.复数Z=arccosx-π+(-2x)i(x∈R,i是虚数单位),在复平面上的对应点只可能位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:∵a=arccosx-π,arccosx∈[0,π],∴a<0,∵b=-2x<0,∴复数Z对应的点的实部和虚部都小于零,∴复数在第三象限,故选C.3.圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为()
A.内切
B.相交
C.外切
D.相离答案:B4.袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球,今从袋子里随机取球.
(Ⅰ)若有放回地取3次,每次取1个球,求取出1个红球2个黑球的概率;
(Ⅱ)若无放回地取3次,每次取1个球,
①求在前2次都取出红球的条件下,第3次取出黑球的概率;
②求取出的红球数X
的分布列和数学期望.答案:(Ⅰ)记“取出1个红球2个黑球”为事件A,根据题意有P(A)=C13(37)×(47)2=144343;
所以取出1个红球2个黑球的概率是144343.(Ⅱ)①记“在前2次都取出红球”为事件B,“第3次取出黑球”为事件C,则P(B)=3×27×6=17,P(BC)=3×2×47×6×5=435,所以P(C|B)=P(BC)P(B)=43517=45.所以在前2次都取出红球的条件下,第3次取出黑球的概率是45.②随机变量X
的所有取值为0,1,2,3.P(X=0)=C34?A33A37=435,P(X=1)=C24C13?A33A37=1835,P(X=2)=C14C23?A33A37=1235,P(X=3)=C33?A33A37=135.所以X的分布列为:所以EX=0×435+1×1835+2×1235+3×135=4535=97.5.以椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程是()
A.
B.
C.
D.答案:C6.教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有()
A.10种
B.25种
C.52种
D.24种答案:D7.在四面体O-ABC中,OA=a,OB=b,OC=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则OE=______(用a,b,c表示)答案:在四面体O-ABC中,OA=a,OB=b,OC=c,D为BC的中点,E为AD的中点,∴OE=12(OA+OD)=OA2+OD2=12a+12×12(OB+OC)=12a+14(b+c)=12a+14b+14c,故为:12a+14b+14c.8.设抛物线y2=2px(p>0)上一点A(1,2)到点B(x0,0)的距离等于到直线x=-1的距离,则实数x0的值是______.答案:∵点A(1,2)在抛物线y2=2px(p>0)上,∴4=2p,p=2,故抛物线方程为y2=4x,准线方程为x=1.由点A(1,2)到点B(x0,0)的距离等于到直线x=-1的距离,故点B(x0,0)为抛物线y2=4x的焦点,故x0=1.故为1.9.△OAB中,OA=a,OB=b,OP=p,若p=t(a|a|+b|b|),t∈R,则点P一定在()A.∠AOB平分线所在直线上B.线段AB中垂线上C.AB边所在直线上D.AB边的中线上答案:∵△OAB中,OA=a,OB=b,OP=p,p=t(a|a|+b|b|),t∈R,∵a|a|
和b|b|
是△OAB中边OA、OB上的单位向量,∴(a|a|+b|b|
)在∠AOB平分线线上,∴t(a|a|+b|b|
)在∠AOB平分线线上,∴则点P一定在∠AOB平分线线上,故选A.10.两个样本甲和乙,其中=10,=10,=0.055,=0.015,那么样本甲比样本乙波动()
A.大
B.相等
C.小
D.无法确定答案:A11.以过椭圆+=1(a>b>0)的右焦点的弦为直径的圆与直线l:x=的位置关系是()
A.相交
B.相切
C.相离
D.不能确定答案:C12.平面向量、的夹角为60°,=(2,0),=1,则=(
)
A.
B.
C.3
D.7答案:B13.试比较nn+1与(n+1)n(n∈N*)的大小.
当n=1时,有nn+1______(n+1)n(填>、=或<);
当n=2时,有nn+1______(n+1)n(填>、=或<);
当n=3时,有nn+1______(n+1)n(填>、=或<);
当n=4时,有nn+1______(n+1)n(填>、=或<);
猜想一个一般性的结论,并加以证明.答案:当n=1时,nn+1=1,(n+1)n=2,此时,nn+1<(n+1)n,当n=2时,nn+1=8,(n+1)n=9,此时,nn+1<(n+1)n,当n=3时,nn+1=81,(n+1)n=64,此时,nn+1>(n+1)n,当n=4时,nn+1=1024,(n+1)n=625,此时,nn+1>(n+1)n,根据上述结论,我们猜想:当n≥3时,nn+1>(n+1)n(n∈N*)恒成立.①当n=3时,nn+1=34=81>(n+1)n=43=64即nn+1>(n+1)n成立.②假设当n=k时,kk+1>(k+1)k成立,即:kk+1(k+1)k>1则当n=k+1时,(k+1)k+2(k+2)k+1=(k+1)?(k+1k+2)k+1>(k+1)?(kk+1)k+1=kk+1(k+1)k>1即(k+1)k+2>(k+2)k+1成立,即当n=k+1时也成立,∴当n≥3时,nn+1>(n+1)n(n∈N*)恒成立.14.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F
是棱CD上的动点.
(Ⅰ)试确定点F的位置,使得D1E⊥平面AB1F;
(Ⅱ)当D1E⊥平面AB1F时,求二面角C1-EF-A的余弦值以及BA1与面C1EF所成的角的大小.答案:(I)由题意可得:以A为原点,分别以直线AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1,且DF=x,则A1(0,0,1),A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),B1(1,0,1),D1(0,1,1),E(1,12,0),F(x,1,0)所以D1E=(1,-12,-1),AB1=(1,0,1),AF=(x,1,0)由D1E⊥面AB1F⇔D1E⊥AB1且D1E⊥AF,所以D1E•AB1=0D1E•AF=0,可解得x=12所以当点F是CD的中点时,D1E⊥平面AB1F.(II)当D1E⊥平面AB1F时,F是CD的中点,F(12,1,0)由正方体的结构特征可得:平面AEF的一个法向量为m=(0,0,1),设平面C1EF的一个法向量为n=(x,y,z),在平面C1EF中,EC1=(0,12,1),EF=(-12,12,0),所以EC1•n=0EF•n
=0,即y=-2zx=y,所以取平面C1EF的一个法向量为n=(2,2,-1),所以cos<m,n>=-13,所以<m,n>=π-arccos13,又因为当把m,n都移向这个二面角内一点时,m背向平面AEF,而n指向平面C1EF,所以二面角C1-EF-A的大小为π-arccos13又因为BA1=(-1,0,1),所以cos<BA1,n>=-22,所以<BA1,n>=135∘,∴BA1与平面C1EF所成的角的大小为45°.15.关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m的取值范围。答案:解:令f(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14,依题意得或,即或,解得。16.
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线交y轴正半轴于点P,交抛物线于A,B两点,其中点A在第一象限,若,,,则μ的取值范围是()
A.[1,]
B.[,2]
C.[2,3]
D.[3,4]答案:B17.用反证法证明命题“若a2+b2=0,则a、b全为0(a、b∈R)”,其反设正确的是()
A.a、b至少有一个不为0
B.a、b至少有一个为0
C.a、b全不为0
D.a、b中只有一个为0答案:A18.某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错得0分,假设这位同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6,且各题答对与否相互之间没有影响,则这名同学得300分的概率为
;这名同学至少得300分的概率为
.答案:0.228;0.564解析:得300分可能是答对第一、三题或第二、三题,其概率为0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6=0.228;答对4道题可得400分,其概率为0.8×0.7×0.6=0.336,所以至少得300分的概率为0.228+0.336=0.564。19.已知A(-1,2),B(2,-2),则直线AB的斜率是()
A.
B.
C.
D.答案:A20.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=3-22ty=5+22t(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=25sinθ.
(I)求圆C的参数方程;
(II)设圆C与直线l交于点A,B,求弦长|AB|答案:(Ⅰ)∵ρ=25sinθ,∴ρ2=25ρsinθ…(1分)所以,圆C的直角坐标方程为x2+y2-25y=0,即x2+(y-5)2=5…(3分)所以,圆C的参数方程为x=5cosθy=5+5sinθ(θ为参数)
…(4分)(Ⅱ)将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得(3-22t)2+(22t)2=5即t2-32t+4=0…(5分)设两交点A,B所对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=32t1t2=4…(7分)∴|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=18-16=2…(8分)21.用数学归纳法证明:12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6.答案:证明:(1)当n=1时,左边=12=1,右边=1×2×36=1,等式成立.(4分)(2)假设当n=k时,等式成立,即12+22+32+…+k2=k(k+1)(2k+1)6(6分)那么,当n=k+1时,12+22+32+…+k2+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)26=(k+1)(2k2+7k+6)6=(k+1)(k+2)(2k+3)6=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]6这就是说,当n=k+1时等式也成立.(10分)根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N*都成立.(12分)22.设a,b是不共线的两个向量,已知=2+m,=+,=-2.若A,B,D三点共线,则m的值为()
A.1
B.2
C.-2
D.-1答案:D23.已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间.若用0.618法安排试验,则第一次试点的加入量可以是(
)g。答案:171.8或148.224.已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0.x2+y2-10x-12y+m=0.
(1)m取何值时两圆外切?
(2)m取何值时两圆内切?
(3)当m=45时,求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.答案:(1)由已知可得两个圆的方程分别为(x-1)2+(y-3)2=11、(x-5)2+(y-6)2=61-m,两圆的圆心距d=(5-1)2+(6-3)2=5,两圆的半径之和为11+61-m,由两圆的半径之和为11+61-m=5,可得m=25+1011.(2)由两圆的圆心距d=(5-1)2+(6-3)2=5等于两圆的半径之差为|11-61-m|,即|11-61-m|=5,可得
11-61-m=5(舍去),或
11-61-m=-5,解得m=25-1011.(3)当m=45时,两圆的方程分别为(x-1)2+(y-3)2=11、(x-5)2+(y-6)2=16,把两个圆的方程相减,可得公共弦所在的直线方程为4x+3y-23=0.第一个圆的圆心(1,3)到公共弦所在的直线的距离为d=|4+9-23|5=2,可得弦长为211-4=27.25.已知一种材料的最佳加入量在100g到200g之间,若用0.618法安排试验,则第一次试点的加入量可以是(
)g。答案:161.8或138.226.要使直线y=kx+1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆x27+y2a=1总有公共点,实数a的取值范围是______.答案:要使方程x27+y2a=1表示焦点在x轴上的椭圆,需a<7,由直线y=kx+1(k∈R)恒过定点(0,1),所以要使直线y=kx+1(k∈R)与椭圆x27+y2a=1总有公共点,则(0,1)应在椭圆上或其内部,即a>1,所以实数a的取值范围是[1,7).故为[1,7).27.椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一焦点.一水平放置的椭圆形台球盘,F1,F2是其焦点,长轴长2a,焦距为2c.一静放在F1点处的小球(半径忽略不计),受击打后沿直线运动(不与直线F1F2重合),经椭圆壁反弹后再回到点F1时,小球经过的路程是()
A.4c
B.4a
C.2(a+c)
D.4(a+c)答案:B28.若直线l与直线2x+5y-1=0垂直,则直线l的方向向量为______.答案:直线l与直线2x+5y-1=0垂直,所以直线l:5x-2y+k=0,所以直线l的方向向量为:(2,5).故为:(2,5)29.已知向量,满足:||=3,||=5,且=λ,则实数λ=()
A.
B.
C.±
D.±答案:C30.在△ABC中,DE∥BC,DE将△ABC分成面积相等的两部分,那么DE:BC=()
A.1:2
B.1:3
C.
D.1:1答案:C31.复数z=sin1+icos2在复平面内对应的点位于第______象限.答案:z对应的点为(sin1,cos2)∵1是第一象限的角,2是第二象限的角∵sin1>0,cos2<0所以(sin1,cos2)在第四象限故为:四32.命题“对于正数a,若a>1,则lg
a>0”及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.4答案:原命题“对于正数a,若a>1,则lga>0”是真命题;逆命题“对于正数a,若lga>0,则a>1”是真命题;否命题“对于正数a,若a≤1,则lga≤0”是真命题;逆否命题“对于正数a,若lga≤0,则a≤1”是真命题.故选D.33.用反证法证明命题“在函数f(x)=x2+px+q中,|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|至少有一个不小于”时,假设正确的是()
A.假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|至多有一个小于
B.假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|至多有两个小于
C.假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都不小于
D.假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于答案:D34.在极坐标系中,直线l经过圆ρ=2cosθ的圆心且与直线ρcosθ=3平行,则直线l与极轴的交点的极坐标为______.答案:由ρ=2cosθ可知此圆的圆心为(1,0),直线ρcosθ=3是与极轴垂直的直线,所以所求直线的极坐标方程为ρcosθ=1,所以直线l与极轴的交点的极坐标为(1,0).故为:(1,0).35.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果a为______.答案:由题设循环体要执行3次,图知第一次循环结束后c=a+b=2,a=1.b=2,第二次循环结束后c=a+b=3,a=2.b=3,第三次循环结束后c=a+b=5,a=3.b=5,第四次循环结束后不满足循环的条件是b<4,程序输出的结果为3故为:3.36.已知|a=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,求向量.a+2b与2a+b的夹角.答案:由题意得,a?b=2×1×12=1,∴(a+2b)?(2a+b)=2a2+5a?b+2b2=15,|a+2b|=a2+4a?b+4b2=23,|2a+b|=4a2+4a?b+b2=21,设a+2b与2a+b夹角为θ,则cosθ=(a+2b)?(2a+b)|a+2b||2a+b|=1523×21=5714,则θ=arccos571437.已知:如图,CD是⊙O的直径,AE切⊙O于点B,DC的延长线交AB于点A,∠A=20°,则
∠DBE=______.答案:连接BC,∵CD是⊙O的直径,∴∠CBD=90°,∵AE是⊙O的切线,∴∠DBE=∠1,∠2=∠D;又∵∠1+∠D=90°,即∠1+∠2=90°---(1),∠A+∠2=∠1----(2),(1)-(2)得∠1=55°即∠DBE=55°.故为:∠DBE=55°.38.将1,2,3,9这9个数字填在如图的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法数为()
A.6种
B.12种
C.18种
D.24种
答案:A39.已知A(4,1,3),B(2,-5,1),C是线段AB上一点,且,则C点的坐标为()
A.
B.
C.
D.答案:C40.关于如图所示几何体的正确说法为______.
①这是一个六面体;
②这是一个四棱台;
③这是一个四棱柱;
④这是一个四棱柱和三棱柱的组合体;
⑤这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱.答案:①因为有六个面,属于六面体的范围,②这是一个很明显的四棱柱,因为侧棱的延长线不能交与一点,所以不正确.③如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱,④可以有四棱柱和三棱柱组成,⑤和④的想法一样,割补方法就可以得到.故为:①③④⑤.41.如图,△ABC内接于圆⊙O,CT切⊙O于C,∠ABC=100°,∠BCT=40°,则∠AOB=()
A.30°
B.40°
C.80°
D.70°
答案:C42.函数y=ax2+1的图象与直线y=x相切,则a=______.答案:设切点为(x0,y0),∵y′=2ax,∴k=2ax0=1,①又∵点(x0,y0)在曲线与直线上,即y0=ax20+1y0=x0,②由①②得a=14.故为14.43.已知点A(1,-2,0)和向量a=(-3,4,12),若AB=2a,则点B的坐标为______.答案:∵向量a=(-3,4,12),AB=2a,∴AB=(-6,8,24)∵点A(1,-2,0)∴B(-6+1,8-2,24-0)=(-5,6,24)故为:(-5,6,24)44.在空间直角坐标系0xyz中有两点A(2,5,1)和B(2,4,-1),则|AB|=______.答案:∵点A(2,5,1)和B(2,4,-1),∴AB=(0,-1,-2).∴|AB|=0+(-1)2+(-2)2=5.故为5.45.甲、乙两人共同投掷一枚硬币,规定硬币正面朝上甲得1分,否则乙得1分,先积3分者获胜,并结束游戏.
①求在前3次投掷中甲得2分,乙得1分的概率.
②设ξ表示到游戏结束时乙的得分,求ξ的分布列以及期望.答案:(1)由题意知本题是一个古典概型试验发生的事件是掷一枚硬币3次,出现的所有可能情况共有以下8种.(正正正)、(正正反)、(正反反)、(反反反)、(正反正)、(反正正)、(反反正)、(反正反)、其中甲得(2分),乙得(1分)的情况有以下3种,(正正反)、(正反正)、(反正正)∴所求概率P=38(2)ξ的所有可能值为:0、1、2、3P(ξ=0)=12×12×12=18P(ξ=1)=C13×12×(12)2×12=316,P(ξ=2)=C24(12)2(12)212=316P(ξ=3)=12×12×12+C1312(12)212+C24(12)2(12)212=12∴ξ的分布列为:∴Eξ=1×316+2×316+3×12=331646.下列叙述中:
①变量间关系有函数关系,还有相关关系;②回归函数即用函数关系近似地描述相关关系;③=x1+x2+…+xn;④线性回归方程一定可以近似地表示所有相关关系.其中正确的有()
A.①②③
B.①②④
C.①③
D.③④答案:A47.若a>0,使不等式|x-4|+|x-3|<a在R上的解集不是空集的a的取值是()
A.0<a<1
B.a=1
C.a>1
D.以上均不对答案:C48.直线y=k(x-2)+3必过定点,该定点的坐标为()
A.(3,2)
B.(2,3)
C.(2,-3)
D.(-2,3)答案:B49.用反证法证明命题:“三角形的内角至多有一个钝角”,正确的假设是()
A.三角形的内角至少有一个钝角
B.三角形的内角至少有两个钝角
C.三角形的内角没有一个钝角
D.三角形的内角没有一个钝角或至少有两个钝角答案:B50.设x>0,y>0且x≠y,求证答案:证明略解析:由x>0,y>0且x≠y,要证明只需
即只需由条件,显然成立.∴原不等式成立第3卷一.综合题(共50题)1.如图所示的多面体,它的正视图为直角三角形,侧视图为矩形,俯视图为直角梯形(尺寸如图所示)
(1)求证:AE∥平面DCF;
(2)若M是AE的中点,AB=3,∠CEF=90°,求证:平面AEF⊥平面BMC.答案:(1)证法1:过点E作EG⊥CF交CF于G,连结DG,可得四边形BCGE为矩形,又四边形ABCD为矩形,所以AD=EG,从而四边形ADGE为平行四边形故AE∥DG
因为AE?平面DCF,DG?平面DCF,所以AE∥平面DCF
证法2:(面面平行的性质法)因为四边形BEFC为梯形,所以BE∥CF.又因为BE?平面DCF,CF?平面DCF,所以BE∥平面DCF.因为四边形ABCD为矩形,所以AB∥DC.同理可证AB∥平面DCF.又因为BE和AB是平面ABE内的两相交直线,所以平面ABE∥平面DCF.又因为AE?平面ABE,所以AE∥平面DCF.(2)在Rt△EFG中,∠CEF=90°,EG=3,EF=2.∴∠GEF=30°,GF=12EF=1.在RT△CEG中,∠CEG=60°,∴CG=EGtan60°=3,BE=3.∵AB=3,M是AE中点,∴BM⊥AE,由侧视图是矩形,俯视图是直角梯形,得BC⊥AB,BC⊥BE,∵AB∩BM=B,∴AE⊥平面BCM又∵AE?平面ACE,∴平面ACE⊥平面BCM.2.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点是F2(2,0),且b=3a.
(1)求双曲线C的方程;
(2)设经过焦点F2的直线l的一个法向量为(m,1),当直线l与双曲线C的右支相交于A,B不同的两点时,求实数m的取值范围;并证明AB中点M在曲线3(x-1)2-y2=3上.
(3)设(2)中直线l与双曲线C的右支相交于A,B两点,问是否存在实数m,使得∠AOB为锐角?若存在,请求出m的范围;若不存在,请说明理由.答案:(1)c=2c2=a2+b2∴4=a2+3a2∴a2=1,b2=3,∴双曲线为x2-y23=1.(2)l:m(x-2)+y=0由y=-mx+2mx2-y23=1得(3-m2)x2+4m2x-4m2-3=0由△>0得4m4+(3-m2)(4m2+3)>012m2+9-3m2>0即m2+1>0恒成立又x1+x2>0x1•x2>04m2m2-3>04m2+3m2-3>0∴m2>3∴m∈(-∞,-3)∪(3,+∞)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x22=2m2m2-3y1+y22=-2m3m2-3+2m=-6mm2-3∴AB中点M(2m2m2-3,-6mm2-3)∵3(2m2m2-3-1)2-36m2(m2-3)2=3×(m2+3)2(m2-3)2-36m2(m2-3)2=3•m4+6m2+9-12m2(m2-3)2=3∴M在曲线3(x-1)2-y2=3上.(3)A(x1,y1),B(x2,y2),设存在实数m,使∠AOB为锐角,则OA•OB>0∴x1x2+y1y2>0因为y1y2=(-mx1+2m)(-mx2+2m)=m2x1x2-2m2(x1+x2)+4m2∴(1+m2)x1x2-2m2(x1+x2)+4m2>0∴(1+m2)(4m2+3)-8m4+4m2(m2-3)>0即7m2+3-12m2>0∴m2<35,与m2>3矛盾∴不存在3.下列数字特征一定是数据组中的数是()
A.众数
B.中位数
C.标准差
D.平均数答案:A4.圆锥的侧面展开图是一个半径长为4的半圆,则此圆锥的底面半径为
______.答案:设圆锥的底面半径为R,则由题意得,2πR=π×4,即R=2,故为:2.5.平面α的一个法向量为v1=(1,2,1),平面β的一个法向量为为v2=(-2,-4,10),则平面α与平面β()A.平行B.垂直C.相交D.不确定答案:∵平面α的一个法向量为v1=(1,2,1),平面β的一个法向量为v2=(-2,-4,10),∵v1•v2=1×(-2)+2×(-4)+1×10=0∴v1⊥v2,∴平面α⊥平面β故选B6.不等式-x≤1的解集是(
)。答案:{x|0≤x≤2}7.以过椭圆+=1(a>b>0)的右焦点的弦为直径的圆与直线l:x=的位置关系是()
A.相交
B.相切
C.相离
D.不能确定答案:C8.如图,P-ABCD是正四棱锥,ABCD-A1B1C1D1是正方体,其中AB=2,PA=6.
(1)求证:PA⊥B1D1;
(2)求平面PAD与平面BDD1B1所成锐二面角的余弦值.答案:以D1为原点,D1A1所在直线为x轴,D1C1所在直线为y轴,D1D所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则D1(0,0,0),A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D(0,0,2),A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),P(1,1,4).(1)证明:∵AP=(-1,1,2),D1B1=(2,2,0),∴AP•D1B1=-2+2+0=0,∴PA⊥B1D1.(2)平面BDD1B1的法向量为AC=(-2,2,0).DA=(2,0,0),OP=(1,1,2).设平面PAD的法向量为n=(x,y,z),则n⊥DA,n⊥DP.∴2x=0x+y+2z=0∴x=0y=-2z.取n=(0,-2,1),设所求锐二面角为θ,则cosθ=|n•AC||n|•|AC|=|0-4+0|22×5=105.9.若向量,则这两个向量的位置关系是___________。答案:垂直10.构成多面体的面最少是(
)
A.三个
B.四个
C.五个
D.六个答案:B11.如图是一个实物图形,则它的左视图大致为()A.
B.
C.
D.
答案:∵左视图是指由物体左边向右做正投影得到的视图,并且在左视图中看到的线用实线,看不到的线用虚线,∴该几何体的左视图应当是包含一条从左上到右下的对角线的矩形,并且对角线在左视图中为实线,故选D.12.如图是2010年青年歌手大奖赛中,七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0~9中的
一个),去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1,a2,则一定有()A.a1>a2B.a2>a1C.a1=a2D.a1,a2的大小与m的值有关答案:由题意知去掉一个最高分和一个最低分以后,两组数据都有五个数据,代入数据可以求得甲和乙的平均分a1=1+4+5×35+80=84,a2=4×3+6+75+80=85,∴a2>a1故选B13.如图,⊙O中弦AB,CD相交于点P,已知AP=3,BP=2,CP=1,则DP=()
A.3
B.4
C.5
D.6答案:D14.在坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案:分别以A、B为圆心,以1、2为半径作圆,两圆的公切线有两条,即为所求.故选B.15.阅读如图所示的程序框,若输入的n是100,则输出的变量S的值是()A.5051B.5050C.5049D.5048答案:根据流程图所示的顺序,该程序的作用是累加并输出S=100+99+98+…+2,∵100+99+98+…+2=5049,故选C.16.全称命题“任意x∈Z,2x+1是整数”的逆命题是()
A.若2x+1是整数,则x∈Z
B.若2x+1是奇数,则x∈Z
C.若2x+1是偶数,则x∈Z
D.若2x+1能被3整除,则x∈Z
E.若2x+1是整数,则x∈Z答案:A17.已知随机变量X满足D(X)=2,则D(3X+2)=()
A.2
B.8
C.18
D.20答案:C18.(坐标系与参数方程)
从极点O作直线与另一直线ρcosθ=4相交于点M,在OM上取一点P,使OM•OP=12.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设R为直线ρcosθ=4上任意一点,试求RP的最小值.答案:(1)设动点P的坐标为(ρ,θ),M的坐标为(ρ0,θ),则ρρ0=12.∵ρ0cosθ=4,∴ρ=3cosθ即为所求的轨迹方程.(2)由(1)知P的轨迹是以(32,0)为圆心,半径为32的圆,而直线l的解析式为x=4,所以圆与x轴的交点坐标为(3,0),易得RP的最小值为119.数列{an}满足a1=1且an+1=(1+1n2+n)an+12n(n≥1).
(Ⅰ)用数学归纳法证明:an≥2(n≥2);
(Ⅱ)已知不等式ln(1+x)<x对x>0成立,证明:an<e2(n≥1),其中无理数e=2.71828….答案:(Ⅰ)证明:①当n=2时,a2=2≥2,不等式成立.②假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即ak≥2(k≥2),那么ak+1=(1+1k(k+1))ak+12k≥2.这就是说,当n=k+1时不等式成立.根据(1)、(2)可知:ak≥2对所有n≥2成立.(Ⅱ)由递推公式及(Ⅰ)的结论有an+1=(1+1n2+n)an+12n≤(1+1n2+n+12n)an(n≥1)两边取对数并利用已知不等式得lnan+1≤ln(1+1n2+n+12n)+lnan≤lnan+1n2+n+12n故lnan+1-lnan≤1n(n+1)+12n(n≥1).上式从1到n-1求和可得lnan-lna1≤11×2+12×3+…+1(n-1)n+12+122+…+12n-1=1-12+(12-13)+…+1n-1-1n+12•1-12n1-12=1-1n+1-12n<2即lnan<2,故an<e2(n≥1).20.如果关于x的不等式|x-4|-|x+5|≥b的解集为空集,则实数b的取值范围为______.答案:|x-4|-|x+5|的几何意义就是数轴上的点到4的距离与到-5的距离的差,差的最大值为9,如果关于x的不等式|x-4|-|x+5|≥b的解集为空集,则实数b的取值范围为b>9;故为:b>9.21.若一元二次方程x2+(a-1)x+1-a2=0有两个正实数根,则a的取值范围是(
)
A.(-1,1)
B.(-∞,)∪[1,+∞)
C.(-1,]
D.[,1)答案:C22.若点A的坐标为(3,2),F是抛物线y2=2x的焦点,点M在抛物线上移动时,使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为()A.(0,0)B.(12,1)C.(1,2)D.(2,2)答案:由题意得F(12,0),准线方程为x=-12,设点M到准线的距离为d=|PM|,则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|,故当P、A、M三点共线时,|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=3-(-12)=72.把y=2代入抛物线y2=2x得x=2,故点M的坐标是(2,2),故选D.23.已知平面内一动点P到F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线x=-1于M点,且MA=λ1AF,MB=λ2BF,求λ1+λ2的值.答案:(1)由题意知动点P到F(1,0)的距离与直线x=-1的距离相等,由抛物线定义知,动点P在以F(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线上,方程为y2=4x.(2)由题设知直线的斜线存在,设直线AB的方程为:y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=k(x-1)y2=4x,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,∵x1+x2=2(k2+2)k2,x1x2=1,由MA=λ1AF,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,∴x1+x2=2(k2+2)k2,x1x2=1,由MA=λ1AF,得λ1=-1-2x2-1,同理λ2=-1-2x2-1,∴λ1+λ2=-2-2(1x1-1+1x2-1)=0.24.Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,该图中只有x个三角形与△ABC相似,则x的值为()A.1B.2C.3D.4答案:∵∠ACB=90°,CD⊥AB∴△ABC∽△ACD△ACD∽CBD△ABC∽CBD所以有三对相似三角形,该图中只有2个三角形与△ABC相似.故选B.25.F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1的两个焦点,点P是椭圆上任意一点,从F1引∠F1PF2的外角平分线的垂线,交F2P的延长线于M,则点M的轨迹是______.答案:设从F1引∠F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为R∵△PF1M中,PR⊥F1M且PR是∠F1PM的平分线∴|MP|=|F1P|,可得|PF1|+|PF2|=|PM|+|PF2|=|MF2|根据椭圆的定义,可得|PF1|+|PF2|=2a,∴|MF2|=2a,即动点M到点F2的距离为定值2a,因此,点M的轨迹是以点F2为圆心,半径为2a的圆.故为:以点F2为圆心,半径为2a的圆.26.已知x,y的取值如下表:
x0134y2.24.34.86.7从散点图分析,y与x线性相关,则回归方程为.y=bx+a必过点______.答案:.X=0+1+3+44=2,.Y=2.2+4.3+4.8+6.74=92,故样本中心点的坐标为(2,92).故为:(2,92).27.在极坐标系中,圆ρ=-2cosθ的圆心的极坐标是()
A.(1,)
B.(1,-)
C.(1,0)
D.(1,π)答案:D28.直线y=3x的倾斜角为______.答案:∵直线y=3x的斜率是3,∴直线的倾斜角的正切值是3,∵α∈[0°,180°],∴α=60°,故为:60°29.若方程sin2x+4sinx+m=0有实数解,则m的取值范围是(
)
A、R
B、(-∞,-5]∪[3,+∞)
C、(-5,3)
D、[-5,3]答案:D30.已知复数z满足(1-i)•z=1,则z=______.答案:∵复数z满足(1-i)•z=1,∴z=11-i=1+i(1-i)(1+i)=12+12i,故为12+i2.31.设A(1,-1,1),B(3,1,5),则线段AB的中点在空间直角坐标系中的位置是()
A.在y轴上
B.在xOy面内
C.在xOz面内
D.在yOz面内答案:C32.已知直线的斜率为3,则此直线的倾斜角为()A.30°B.60°C.45°D.120°答案:∵直线的斜率为3,∴直线倾斜角α满足tanα=3结合α∈[0°,180°),可得α=60°故选:B33.P在⊙O外,PC切⊙O于C,PAB交⊙O于A、B,则()
A.∠PCB=∠B
B.∠PAC=∠P
C.∠PCA=∠B
D.∠PAC=∠BCA答案:C34.下列说法:
①在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选择的模型比较合适;
②用相关指数可以刻画回归的效果,值越大说明模型的拟和效果越好;
③比较两个模型的拟和效果,可以比较残差平方和的大小,残差平方和越小的模型拟和效果越好.
其中说法正确的个数为()
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个答案:C35.过点P(2,3)且以a=(1,3)为方向向量的直线l的方程为______.答案:设直线l的另一个方向向量为a=(1,k),其中k是直线的斜率可得a=(1,3)与a=(1,k)互相
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