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![2023年陕西财经职业技术学院高职单招(数学)试题库含答案解析_第4页](http://file4.renrendoc.com/view/bf852a6b3158614d867cda24a840a7f8/bf852a6b3158614d867cda24a840a7f84.gif)
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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年陕西财经职业技术学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.在统计中,样本的标准差可以近似地反映总体的()
A.平均状态
B.频率分布
C.波动大小
D.最大值和最小值答案:C2.定义xn+1yn+1=1011xnyn为向量OPn=(xn,yn)到向量OPn+1=(xn+1,yn+1)的一个矩阵变换,其中O是坐标原点,n∈N*.已知OP1=(2,0),则OP2010的坐标为______.答案:A=1011,B=20AA=1011
1011
=1021A3=111
121
=1031依此类推A2009=1020101∴A2009B=1020101
20=24018∴OP2010的坐标为(2,4018)故为:(2,4018)3.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x=5cosθ-1y=5sinθ+2(θ为参数)和直线l:x=4t+6y=-3t-2(t为参数),则直线l与圆C相交所得的弦长等于______.答案:∵在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x=5cosθ-1y=5sinθ+2(θ为参数),∴(x+1)2+(y-2)2=25,∴圆心为(-1,2),半径为5,∵直线l:x=4t+6y=-3t-2(t为参数),∴3x+4y-10=0,∴圆心到直线l的距离d=|-3+8-10|5=1,∴直线l与圆C相交所得的弦长=2×52-1=46.故为46.4.如图,△ABC中,D,E,F分别是边BC,AB,CA的中点,在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段中所表示的向量中,
(1)与向量FE共线的有
______.
(2)与向量DF的模相等的有
______.
(3)与向量ED相等的有
______.答案:(1)∵EF是△ABC的中位线,∴EF∥BC且EF=12BC,则与向量FE共线的向量是BC、BD、DC、CB、DB、CD;(2))∵DF是△ABC的中位线,∴DF∥AC且DF=12AC,则与向量DF的模相等的有CE,EA,EC,AF;(3)∵DE是△ABC的中位线,∴DE∥AB且DE=12AB,则与向量ED相等的有AF,FB.5.已知直线l的斜率为k=-1,经过点M0(2,-1),点M在直线上,以M0M的数量t为参数,则直线l的参数方程为______.答案:∵直线l经过点M0(2,-1),斜率为k=-1,倾斜角为3π4,∴直线l的参数方程为x=2+tcos3π4y=-1+tsin3π4
(t为参数);即为x=2-22ty=-1+22t(t为参数).故为:x=2-22ty=-1+22t(t为参数).6.已知命题p:“△ABC是等腰三角形”,命题q:“△ABC是直角三角形”,则命题“△ABC是等腰直角三角形”的形式是()A.p或qB.p且qC.非pD.以上都不对答案:因为“△ABC是等腰直角三角形”即为“△ABC是等腰且直角三角形”,所以命题“△ABC是等腰直角三角形”的形式是p且q,故选B.7.某学校准备调查高三年级学生完成课后作业所需时间,采取了两种抽样调查的方式:第一种由学生会的同学随机对24名同学进行调查;第二种由教务处对年级的240名学生编号,由001到240,请学号最后一位为3的同学参加调查,则这两种抽样方式依次为()A.分层抽样,简单随机抽样B.简单随机抽样,分层抽样C.分层抽样,系统抽样D.简单随机抽样,系统抽样答案:学生会的同学随机对24名同学进行调查,是简单随机抽样,对年级的240名学生编号,由001到240,请学号最后一位为3的同学参加调查,是系统抽样,故选D8.中心在原点,一个焦点坐标为(0,5),短轴长为4的椭圆方程为______.答案:依题意,此椭圆方程为标准方程,且焦点在y轴上,设为y2a2+x2b2=1∵椭圆的焦点坐标为(0,5),短轴长为4,∴c=5,b=2∵a2=b2+c2,∴椭圆的长半轴长为a=4+25=29∴此椭圆的标准方程为y229+x24=1故为y229+x24=19.某农科所种植的甲、乙两种水稻,连续六年在面积相等的两块稻田中作对比试验,试验得出平均产量==415㎏,方差是=794,=958,那么这两个水稻品种中产量比较稳定的是()
A.甲
B.乙
C.甲、乙一样稳定
D.无法确定答案:A10.某处有供水龙头5个,调查表明每个水龙头被打开的可能性为,随机变量ξ表示同时被打开的水龙头的个数,则P(ξ=3)为A.0.0081B.0.0729C.0.0525D.0.0092答案:A解析:本题考查n次独立重复试验中,恰好发生k次的概率.对5个水龙头的处理可视为做5次试验,每次试验有2种可能结果:打开或未打开,相应的概率为0.1或1-0.1="0.9."根据题意ξ~B(5,0.1),从而P(ξ=3)=(0.1)3(0.9)2=0.0081.11.点P(1,2,2)到原点的距离是()
A.9
B.3
C.1
D.5答案:B12.在复平面内,记复数3+i对应的向量为OZ,若向量OZ饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量OZ所对应的复数为______.答案:向量OZ饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量所对应的复数为(3+i)(cos60°+isin60°)=(3+i)(12+32i)=2i,故为2i.13.设F1,F2是双曲线x29-y216=1的两个焦点,点P在双曲线上,且∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积.答案:双曲线x29-y216=1的a=3,c=5,不妨设PF1>PF2,则PF1-PF2=2a=6F1F22=PF12+PF22,而F1F2=2c=10得PF12+PF22=(PF1-PF2)2+2PF1•PF2=100∴PF1•PF2=32∴S=12PF1•PF2=16△F1PF2的面积16.14.等腰梯形ABCD,上底边CD=1,腰AD=CB=2,下底AB=3,按平行于上、下底边取x轴,则直观图A′B′C′D′的面积为
______.答案:等腰梯形ABCD,上底边CD=1,腰AD=CB=2,下底AB=3,所以梯形的高为:1,按平行于上、下底边取x轴,则直观图A′B′C′D′的高为:12sin45°=24所以直观图的面积为:12×(1+3)×24=22故为:2215.现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有两个边长都是a的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为a24.类比到空间,有两个棱长均为a的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为______.答案:∵同一个平面内有两个边长都是a的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为a24,类比到空间有两个棱长均为a的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为a38,故为a38.16.如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且
DF=CF=2,AF:FB:BE=4:2:1.若CE与圆相切,则CE的长为.答案:设AF=4k,BF=2k,BE=k,由DF?FC=AF?BF,得2=8k2,即k=12,∴AF=2,BF=1,BE=12,AE=72,由切割定理得CE2=BE?EA=12×72=74∴CE=7217.设两圆C1、C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|=______.答案:∵两圆C1、C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),故两圆圆心在第一象限的角平分线上,设圆心的坐标为(a,a),则有|a|=(a-4)2-(a-1)2,∴a=5+22,或a=5-22,故圆心为(5+22,5+22
)
和(5-22,5-22
),故两圆心的距离|C1C2|=2[(5+22)-(5-22)]=8,故为:818.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b,组成复数a+bi,其中虚数有()
A.36个
B.42个
C.30个
D.35个答案:A19.设直线l过点P(-3,3),且倾斜角为56π
(1)写出直线l的参数方程;
(2)设此直线与曲线C:x=2cosθy=4sinθ(θ为参数)交A、B两点,求|PA|•|PB|答案:(1)由于过点(a,b)倾斜角为α的直线的参数方程为
x=a+t•cosαy=b+t•sinα(t是参数),∵直线l经过点P(-3,3),倾斜角α=5π6,故直线的参数方程是x=-3-32ty=3+12t(t是参数).…(5分)(2)因为点A,B都在直线l上,所以可设它们对应的参数为t1和t1,则点A,B的坐标分别为A(-3-32t1,3+12t1),B(2-32t1,3+12t1).把直线L的参数方程代入椭圆的方程4x2+y2=16整理得到t2+(123+3)t+11613=0①,…(8分)因为t1和t2是方程①的解,从而t1t2=11613,由t的几何意义可知|PA||PB|=|t1||t2|=11613.…(10分)即|PA|•|PB|=11613.20.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值为()
A.
B.
C.2
D.4答案:A21.若方程sin2x+4sinx+m=0有实数解,则m的取值范围是(
)
A、R
B、(-∞,-5]∪[3,+∞)
C、(-5,3)
D、[-5,3]答案:D22.若有以下说法:
①相等向量的模相等;
②若a和b都是单位向量,则a=b;
③对于任意的a和b,|a+b|≤|a|+|b|恒成立;
④若a∥b,c∥b,则a∥c.
其中正确的说法序号是()A.①③B.①④C.②③D.③④答案:根据定义,大小相等且方向相同的两个向量相等.因此相等向量的模相等,故①正确;因为单位向量的模等于1,而方向不确定.所以若a和b都是单位向量,则不一定有a=b成立,故②不正确;根据向量加法的三角形法则,可得对于任意的a和b,都有|a+b|≤|a|+|b|成立,当且仅当a和b方向相同时等号成立,故③正确;若b=0,则有a∥b且c∥b,但是a∥c不成立,故④不正确.综上所述,正确的命题是①③故选:A23.已知Sn=1+12+13+14+…+12n(n>1,n∈N*).求证:S2n>1+n2(n≥2,n∈N*).答案:证明:(1)当n=2时,左边=1+12+13+14=2512,右边=1+22=2,∴左边>右边(2)假设n=k(k≥2)时不等式成立,即S
2k=1+12+13+14+…+12k≥1+k2,当n=k+1时,不等式左边S2(k+1)=1+12+13+14+…+12k+1+…+12k+1>1+k2+12k+1+…+12k+1>1+k2+2k2k+2k=1+k2+12=1+k+12,综上(1)(2)可知S2n>1+n2对于任意的n≥2正整数成立.24.已知点A(1,0,-3)和向量AB=(-1,-2,0),则点B的坐标为______.答案:设B(x,y,z),根据向量的坐标运算,AB=(x,y,z)
-
(1,0,-3)=(x-1,y,z+3)=(-1,-2,0)∴x=0,y=-2,z=-3.故为:(0,-2,-3).25.由直角△ABC勾上一点D作弦AB的垂线交弦于E,交股的延长线于F,交外接圆于G,求证:EG为EA和EB的比例中项,又为ED和EF的比例中项.
答案:证明:连接GA、GB,则△AGB也是一个直角三角形,因为EG为直角△AGB的斜边AB上的高,所以,EG为EA和EB的比例中项,即EG2=EA?EB∵∠AFE=∠ABC,∴直角△AEF∽直角△DEB,EAEF=EDEB即EA?EB=ED?EF.又∵EG2=EA?EB,∴EG2=ED?EF(等量代换),故EG也是ED和EF的比例中项.26.一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径,该正三棱锥的高等于这个球的直径,则球的体积与正三棱锥体积的比值为()
A.
B.
C.
D.答案:A27.把函数y=ex的图像按向量=(2,3)平移,得到y=f(x)的图像,则f(x)=(
)
A.ex+2+3
B.ex+2-3
C.ex-2+3
D.ex-2-3答案:C28.一个单位有职工800人,其中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的200人,其余人员120人,为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中具有初级职称的职工为10人,则样本容量为()
A.10
B.20
C.40
D.50答案:C29.已知,求证:答案:证明略解析:∵
∴①
又∵②
③由①②③得
∴,又不等式①、②、③中等号成立的条件分别为,,故不能同时成立,从而.30.对于回归方程y=4.75x+2.57,当x=28时,y
的估计值是______.答案:∵回归方程y=4.75x+2.57,∴当x=28时,y的估计值是4.75×28+2.57=135.57.故为:135.57.31.螺母是由
______和
______两个简单几何体构成的.答案:根据螺母的结构特征知,是由正六棱柱里面挖去的一个圆柱构成的,故为:正六棱柱,圆柱.32.参数方程x=sin2θy=cosθ+sinθ(θ为参数)的普通方程为______.答案:把参数方程x=sin2θy=cosθ+sinθ(θ为参数)利用同角三角函数的基本关系消去参数化为普通方程为y2=1+x,故为y2=1+x.33.设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合S={1,3,5},T={3,6},则CU(S∪T)等于()A.φB.{2,4,7,8}C.{1,3,5,6}D.{2,4,6,8}答案:∵S∪T={1,3,5,6},∴CU(S∪T)={2,4,7,8}.故选B.34.铁路托运行李,从甲地到乙地,按规定每张客票托运行李不超过50kg时,每千克0.2元,超过50kg时,超过部分按每千克0.25元计算,画出计算行李价格的算法框图.答案:程序框图:35.如果执行如图的程序框图,那么输出的S=______.答案:根据题意可知该循环体运行4次第一次:i=2,s=4,第二次:i=3,s=10,第三次:i=4,s=22,第四次:i=5,s=46,因为i=5>4,结束循环,输出结果S=46.故为:46.36.|a|=4,a与b的夹角为30°,则a在b方向上的投影为______.答案:a在b方向上的投影为|a|cos30°=4×32=23故为:2337.点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的正投影,则|OB|等于()
A.
B.
C.
D.答案:B38.已知点A分BC所成的比为-13,则点B分AC所成的比为______.答案:由已知得B是AC的内分点,且2|AB|=|BC|,故B分AC
的比为ABBC=|AB||BC|=12,故为12.39.m为何值时,关于x的方程8x2-(m-1)x+(m-7)=0的两根,
(1)为正数;
(2)一根大于2,一根小于2.答案:(1)设方程两根为x1,x2,则∵方程的两根为正数,∴△≥0x1+x2>0x1x2>0即[-(m-1)]2-4×8×(m-7)>0--(m-1)8>0m-78>0解得7<m≤9或m≥25.(2)令f(x)=8x2-(m-1)x+(m-7),由题意得f(2)<0,解得m>27.40.袋中装着标有数字1,2,3,4的小球各3个,从袋中任取3个小球,每个小球被取出的可能性都相等.
(Ⅰ)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率;
(Ⅱ)用X表示取出的3个小球上所标的最大数字,求随机变量X的分布列和均值.答案:(I)由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的事件数C123,满足条件的事件是取出的3个小球上的数字互不相同,共有C43C31C31C31记“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,∴P(A)=C34?C13?C13?C13C312=2755.(II)由题意X所有可能的取值为:1,2,3,4.P(X=1)=1C312=1220;P(X=2)=C23?C13+C23?C13+C33C312=19220;P(X=3)=C26?C13+C16?C23+C33C312=64220=1655;P(X=4)=C29?C13+C19?C23+C33C312=136220=3455.∴随机变量X的分布列为∴随机变量X的期望为EX=1×1220+2×19220+3×1655+4×3455=15544.41.下列函数中,与函数y=x相等的是()A.y=(x)4B.y=5x5C.y=x2D.y=x2x答案:函数y=x的定义域为R,选项中A,D定义域不是R,是A、D不正确.选项C的对应法则不同,C不正确.故选B.42.直线(a+1)x-(2a+5)y-6=0必过一定点,定点的坐标为(
)。答案:(-4,-2)43.已知命题p、q,若命题“p∨q”与命题“¬p”都是真命题,则()A.命题q一定是真命题B.命题q不一定是真命题C.命题p不一定是假命题D.命题p与命题q的真值相等答案:∵命题“¬p”与命题“p∨q”都是真命题,∴命题p为假命题,q为真命题.故选A.44.用数学归纳法证明等式时,第一步验证n=1时,左边应取的项是()
A.1
B.1+2
C.1+2+3
D.1+2+3+4答案:D45.甲乙两人在罚球线投球命中的概率为,甲乙两人在罚球线上各投球一次,则恰好两人都中的概率为()
A.
B.
C.
D.答案:A46.在极坐标系中,点(2,π6)到直线ρsinθ=2的距离等于______.答案:在极坐标系中,点(2
,
π6)化为直角坐标为(3,1),直线ρsinθ=2化为直角坐标方程为y=2,(3,1),到y=2的距离1,即为点(2
,
π6)到直线ρsinθ=2的距离1,故为:1.47.甲、乙、丙、丁四名射击选手在选拨赛中所得的平均环数,其方差S2如下表所示,则选送参加决赛的最佳人选是()
甲
乙
丙
丁
8
9
9
8
S2
5.7
6.2
5.7
6.4
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁答案:C48.将y=sin2x的图象向右按作最小的平移,使平移后的图象在[k,k+](kz)上递减,试求平移后的函数解析式和.答案:y=-cos2x,
=(,0)解析:将y=sin2x的图象向右按作最小的平移,使平移后的图象在[k,k+](kz)上递减,试求平移后的函数解析式和.49.“cosα=12”是“α=π3”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:∵“coa=12”?“a=π3+2kπ,k∈Z,或a=53π+2kπ,k∈Z”,“a=π3”?“coa=12”.故选D.50.以下四组向量中,互相平行的是.()
(1)=(1,2,1),=(1,-2,3);
(2)=(8,4,-6),=(4,2,-3);
(3)=(0,1,-1),=(0,-3,3);
(4)=(-3,2,0),=(4,-3,3).
A.(1)(2)
B.(2)(3)
C.(2)(4)
D.(1)(3)答案:B第2卷一.综合题(共50题)1.下列程序表示的算法是辗转相除法,请在空白处填上相应语句:
(1)处填______;
(2)处填______.答案:∵程序表示的算法是辗转相除法,根据辗转相除法,先求出m除以n的余数,然后利用辗转相除法,将n的值赋给m,将余数赋给n,一直算到余数为零时m的值即可,∴(1)处应该为r=mMODn;(2)处应该为r=0.故为r=mMODn;r=0.2.设e1,e2为单位向量.且e1、e2的夹角为π3,若a=e1+3e2,b=2e1,则向量a在b方向上的射影为______.答案:∵e1、e2为单位向量,且e1和e2的夹角θ等于π3,∴e1?e2=1×1×cosπ3=12.∵a=e1+3e2,b=2e1,∴a?b=(e1+3e2)?(2e1)=2e12+6e1?e2=2+3=5.∴a在b上的射影为a?b|b|=52,故为52.3.将图形F按=(,)(其中)平移,就是将图形F()A.向x轴正方向平移个单位,同时向y轴正方向平移个单位.B.向x轴负方向平移个单位,同时向y轴正方向平移个单位.C.向x轴负方向平移个单位,同时向y轴负方向平移个单位.D.向x轴正方向平移个单位,同时向y轴负方向平移个单位.答案:A解析:根据图形容易得出结论.4.已知A,B两点的极坐标为(6,)和(8,),则线段AB中点的直角坐标为()
A.(,-)
B.(-,)
C.(,-)
D.(-,-)答案:D5.{,,}=是空间向量的一个基底,设=+,=+,=+,给出下列向量组:①{,,},②{,},③{,,},④{,,},其中可以作为空间向量基底的向量组有()组.
A.1
B.2
C.3
D.4答案:C6.若点(2,-2)在圆(x-a)2+(y-a)2=16的内部,则实数a的取值范围是()
A.-2<a<2
B.0<a<2
C.a<-2或a>2
D.a=±2答案:A7.从1,2,…,9这九个数中,随机抽取3个不同的数,则这3个数的和为偶数的概率是()A.59B.49C.1121D.1021答案:基本事件总数为C93,设抽取3个数,和为偶数为事件A,则A事件数包括两类:抽取3个数全为偶数,或抽取3数中2个奇数1个偶数,前者C43,后者C41C52.∴A中基本事件数为C43+C41C52.∴符合要求的概率为C34+C14C25C39=1121.8.如图,在等边△ABC中,以AB为直径的⊙O与BC相交于点D,连接AD,则∠DAC的度数为
______度.答案:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC;又∵△ABC是等边三角形,∴DA平分∠BAC,即∠DAC=12∠BAC=30°.故为:30.9.在极坐标系中,过点(22,π4)作圆ρ=4sinθ的切线,则切线的极坐标方程是______.答案:(22,π4)的直角坐标为:(2,2),圆ρ=4sinθ的直角坐标方程为:x2+y2-4y=0;显然,圆心坐标(0,2),半径为:2;所以过(2,2)与圆相切的直线方程为:x=2,所以切线的极坐标方程是:ρcosθ=2故为:ρcosθ=210.如图是《集合》一章的知识结构图,如果要加入“交集”,则应该放在()
A.“集合”的下位
B.“概念”的下位
C.“表示”的下位
D.“基本运算”的下位
答案:D11.若点M是△ABC的重心,则下列向量中与AB共线的是______.(填写序号)
(1)AB+BC+AC
(2)AM+MB+BC
(3)AM+BM+CM
(4)3AM+AC.答案:对于(1)AB+BC+AC=2AC不与AB共线对于(2)AM+MB+BC=AB+BC=AC不与AB对于(3)AM+BM+CM=13(AB+AC)+13(BA+BC)+13(CA+CB)=0与AB对于(4)3AM+AC=AB+AC+AC不与AB故为:(3)12.已知圆O的两弦AB和CD延长相交于E,过E点引EF∥CB交AD的延长线于F,过F点作圆O的切线FG,求证:EF=FG.答案:证明:∵FG为⊙O的切线,而FDA为⊙O的割线,∴FG2=FD?FA①又∵EF∥CB,∴∠1=∠2.而∠2=∠3,∴∠1=∠3,∠EFD=∠AFE为公共角∴△EFD∽△AFE,FDEF=EFFA,即EF2=FD?FA②由①,②可得EF2=FG2∴EF=FG.13.如图,过点P作⊙O的割线PAB与切线PE,E为切点,连接AE、BE,∠APE的平分线分别与AE、BE相交于点C、D,若∠AEB=30°,则∠PCE=______.答案:如图,PE是圆的切线,∴∠PEB=∠PAC,∵AE是∠APE的平分线,∴∠EPC=∠APC,根据三角形的外角与内角关系有:∠EDC=∠PEB+∠EPC;∠ECD=∠PAC+∠APC,∴∠EDC=∠ECD,∴△EDC为等腰三角形,又∠AEB=30°,∴∠EDC=∠ECD=75°,即∠PCE=75°,故为:75°.14.已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求3a+1+3b+1+3c+1的最大值.答案:根据柯西不等式,可得(3a+1+3b+1+3c+1)2=(1?3a+1+1?3b+1+1?3c+1)2≤(12+12+12)[(3a+1)2+(3b+1)2+(3c+1)2]=3[3(a+b+c)+3]=18当且仅当3a+1=3b+1=3c+1,即a=b=c=13时,(3a+1+3b+1+3c+1)2的最大值为18因此,3a+1+3b+1+3c+1的最大值为18=3215.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F
是棱CD上的动点.
(Ⅰ)试确定点F的位置,使得D1E⊥平面AB1F;
(Ⅱ)当D1E⊥平面AB1F时,求二面角C1-EF-A的余弦值以及BA1与面C1EF所成的角的大小.答案:(I)由题意可得:以A为原点,分别以直线AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1,且DF=x,则A1(0,0,1),A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),B1(1,0,1),D1(0,1,1),E(1,12,0),F(x,1,0)所以D1E=(1,-12,-1),AB1=(1,0,1),AF=(x,1,0)由D1E⊥面AB1F⇔D1E⊥AB1且D1E⊥AF,所以D1E•AB1=0D1E•AF=0,可解得x=12所以当点F是CD的中点时,D1E⊥平面AB1F.(II)当D1E⊥平面AB1F时,F是CD的中点,F(12,1,0)由正方体的结构特征可得:平面AEF的一个法向量为m=(0,0,1),设平面C1EF的一个法向量为n=(x,y,z),在平面C1EF中,EC1=(0,12,1),EF=(-12,12,0),所以EC1•n=0EF•n
=0,即y=-2zx=y,所以取平面C1EF的一个法向量为n=(2,2,-1),所以cos<m,n>=-13,所以<m,n>=π-arccos13,又因为当把m,n都移向这个二面角内一点时,m背向平面AEF,而n指向平面C1EF,所以二面角C1-EF-A的大小为π-arccos13又因为BA1=(-1,0,1),所以cos<BA1,n>=-22,所以<BA1,n>=135∘,∴BA1与平面C1EF所成的角的大小为45°.16.函数y=5x,x∈N+的值域是()A.RB.N+C.ND.{5,52,53,54,…}答案:解析:因为函数y=5x,x∈N+的定义域为正整数集N+,所以当自变量x取1,2,3,4,…时,其相应的函数值y依次是5,52,53,54,….因此,函数y=5x,x∈N+的值域是{5,52,53,54,…}.故选D.17.如图,O为直线A0A2013外一点,若A0,A1,A2,A3,A4,A5,…,A2013中任意相邻两点的距离相等,设OA0=a,OA2013=b,用a,b表示OA0+OA1+OA2+…+OA2013,其结果为______.答案:设A0A2013的中点为A,则A也是A1A2012,…A1006A1007的中点,由向量的中点公式可得OA0+OA2013=2OA=a+b,同理可得OA1+OA2012=OA2+OA2011=…=OA1006+OA1007,故OA0+OA1+OA2+…+OA2013=1007×2OA=1007(a+b)故为:1007(a+b)18.在半径为1的圆内任取一点,以该点为中点作弦,则所做弦的长度超过3的概率是()A.15B.14C.13D.12答案:如图,C是弦AB的中点,在直角三角形AOC中,AC=12AB=32,OA=1,∴OC=12.∴符合条件的点必须在半径为12圆内,则所做弦的长度超过3的概率是P=S小圆S大圆=(12)2ππ=14.故选B.19.设随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),且函数f(x)=x2+4x+ξ没有零点的概率为,则μ为()
A.1
B.4
C.2
D.不能确定答案:B20.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程.
在如图中纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则如图中的四个图形中较符合该学生走法的是()A.
B.
C.
D.
答案:由题意可知:由于怕迟到,所以一开始就跑步,所以刚开始离学校的距离随时间的推移应该相对较快.而等跑累了再走余下的路程,则说明离学校的距离随时间的推移在后半段时间应该相对较慢.所以适合的图象为:故选B.21.每一吨铸铁成本y
(元)与铸件废品率x%建立的回归方程y=56+8x,下列说法正确的是()A.废品率每增加1%,成本每吨增加64元B.废品率每增加1%,成本每吨增加8%C.废品率每增加1%,成本每吨增加8元D.如果废品率增加1%,则每吨成本为56元答案:∵回归方程y=56+8x,∴当x增加一个单位时,对应的y要增加8个单位,这里是平均增加8个单位,故选C.22.如图,正六边形ABCDEF中,=()
A.
B.
C.
D.
答案:D23.不等式0.52x>0.5x-1的解集为______.答案:由于函数y=0.5x
是R上的减函数,故由0.52x>0.5x-1可得2x<x-1,解得x<-1.故不等式0.52x>0.5x-1的解集为(-∞,-1),故为(-∞,-1).24.设直线l与平面α相交,且l的方向向量为a,α的法向量为n,若<a,n>=,则l与α所成的角为()
A.
B.
C.
D.答案:C25.指数函数y=ax的图象经过点(2,16)则a的值是()A.14B.12C.2D.4答案:设指数函数为y=ax(a>0且a≠1)将(2,16)代入得16=a2解得a=4所以y=4x故选D.26.已知直线l的方程为x=2-4
ty=1+3
t,则直线l的斜率为______.答案:直线x=2-4
ty=1+3
t,所以直线的普通方程为:(y-1)=-34(x-2);所以直线的斜率为:-34;故为:-34.27.直线x=-2+ty=1-t(t为参数)被圆x=2+2cosθy=-1+2sinθ(θ为参数)所截得的弦长为______.答案:∵圆x=2+2cosθy=-1+2sinθ(θ为参数),消去θ可得,(x-2)2+(y+1)2=4,∵直线x=-2+ty=1-t(t为参数),∴x+y=-1,圆心为(2,-1),设圆心到直线的距离为d=|2-1+1|2=2,圆的半径为2∴截得的弦长为222-(2)2=22,故为22.28.设A、B、C表示△ABC的三个内角的弧度数,a,b,c表示其对边,求证:aA+bB+cCa+b+c≥π3.答案:证明:法一、不妨设A>B>C,则有a>b>c由排序原理:顺序和≥乱序和∴aA+bB+cC≥aB+bC+cAaA+bB+cC≥aC+bA+cBaA+bB+cC=aA+bB+cC上述三式相加得3(aA+bB+cC)≥(A+B+C)(a+b+c)=π(a+b+c)∴aA+bB+cCa+b+c≥π3.法二、不妨设A>B>C,则有a>b>c,由排序不等式aA+bB+cC3≥A+B+C3?a+b+c3,即aA+bB+cC≥π3(a+b+c),∴aA+bB+cCa+b+c≥π3.29.已知平面向量a,b,c满足a+b+c=0,且a与b的夹角为135°,c与b的夹角为120°,|c|=2,则|a|=______.答案:∵a+b+c=0∴三个向量首尾相接后,构成一个三角形且a与b的夹角为135°,c与b的夹角为120°,|c|=2,故所得三角形如下图示:其中∠C=45°,∠A=60°,AB=2∴|a|=AB?Sin∠Asin∠C=6故为:630.两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为()
A.4
B.
C.
D.答案:D31.三直线ax+2y+8=0,4x+3y=10,2x-y=10相交于一点,则a的值是(
)
A.-2
B.-1
C.0
D.1答案:B32.已知x1,x2,…,xn都是正数,且x1+x2+…+xn=1,求证:
++…+≥n2.答案:证明略解析:证明
++…+=(x1+x2+…+xn)(
++…+)≥=n2.33.设A1,A2,A3,A4是平面直角坐标系中两两不同的四点,若A1A3=λA1A2(λ∈R),A1A4=μA1A2(μ∈R),且1λ+1μ=2,则称A3,A4调和分割A1,A2,已知点C(c,0),D(d,O)(c,d∈R)调和分割点A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是()A.C可能是线段AB的中点B.D可能是线段AB的中点C.C,D可能同时在线段AB上D.C,D不可能同时在线段AB的延长线上答案:由已知可得(c,0)=λ(1,0),(d,0)=μ(1,0),所以λ=c,μ=d,代入1λ+1μ=2得1c+1d=2(1)若C是线段AB的中点,则c=12,代入(1)d不存在,故C不可能是线段AB的中,A错误;同理B错误;若C,D同时在线段AB上,则0≤c≤1,0≤d≤1,代入(1)得c=d=1,此时C和D点重合,与条件矛盾,故C错误.故选D34.中,是边上的中线(如图).
求证:.
答案:证明见解析解析:取线段所在的直线为轴,点为原点建立直角坐标系.设点的坐标为,点的坐标为,则点的坐标为.可得,,,.,..35.已知向量,,则“=λ,λ∈R”成立的必要不充分条件是()
A.+=
B.与方向相同
C.⊥
D.∥答案:D36.已知:集合A={x,y},B={2,2y},若A=B,则x+y=______.答案:∵集合A={x,y},B={2,2y},而A=B∴x=2y=0或x=2yy=2即x=4y=2∴x+y=2或6故为:2或637.已知数列{an}的前n项和Sn=an2+bn=c
(a、b、c∈R),则“c=0”是“{an}是等差数列”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件答案:数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c根据等差数列的前n项和的公式,可以看出当c=0时,Sn=an2+bn表示等差数列的前n项和,则数列是一个等差数列,当数列是一个等差数列时,表示前n项和时,c=0,故前者可以推出后者,后者也可以推出前者,∴前者是后者的充要条件,故选C.38.点A(-,1)关于y轴的对称点A′的坐标为(
)
A.(-,-1)
B.(,-1)
C.(-,1)
D.(,1)答案:D39.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的=(m,n),=(p,q)
,令⊙=mq-np,下面说法错误的序号是()
①若若a与共线,则⊙=0
②⊙=⊙a
③对任意的λ∈R,有(λ)⊙=λ(⊙)
④(⊙)2+(a)2=||2||2
A.②
B.①②
C.②④
D.③④答案:A40.某处有供水龙头5个,调查表明每个水龙头被打开的可能性为,随机变量ξ表示同时被打开的水龙头的个数,则P(ξ=3)为A.0.0081B.0.0729C.0.0525D.0.0092答案:A解析:本题考查n次独立重复试验中,恰好发生k次的概率.对5个水龙头的处理可视为做5次试验,每次试验有2种可能结果:打开或未打开,相应的概率为0.1或1-0.1="0.9."根据题意ξ~B(5,0.1),从而P(ξ=3)=(0.1)3(0.9)2=0.0081.41.不等式≥0的解集为[-2,3∪[7,+∞,则a-b+c的值是(
)A.2B.-2C.8D.6答案:B解析:∵-a、b的值为-2,7中的一个,x≠c
c=3∴a-b=-(b-a)=-(-2+7)=-5a-b+c=-5+3=-2
选B评析:考察考生对不等式解集的结构特征的理解,关注不等式中等号与不等号的关系。42.一个样本a,99,b,101,c中五个数恰成等差数列,则这个样本的极差与标准差分别为(
)。答案:4;43.
选修1:几何证明选讲
如图,设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径,P是⊙O与l的公共点,AC⊥l,BD⊥l,垂足分别为C,D,且PC=PD,求证:
(1)l是⊙O的切线;
(2)PB平分∠ABD.答案:证明:(1)连接OP,因为AC⊥l,BD⊥l,所以AC∥BD.又OA=OB,PC=PD,所以OP∥BD,从而OP⊥l.因为P在⊙O上,所以l是⊙O的切线.(2)连接AP,因为l是⊙O的切线,所以∠BPD=∠BAP.又∠BPD+∠PBD=90°,∠BAP+∠PBA=90°,所以∠PBA=∠PBD,即PB平分∠ABD.44.现有含盐7%的食盐水为200g,需将它制成工业生产上需要的含盐5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水,设需要加入4%的食盐水xg,则x的取值范围是(
)。答案:(100,400)45.椭圆的短轴长是2,一个焦点是(3,0),则椭圆的标准方程是______.答案:∵椭圆的一个焦点是(3,0),∴c=3,又∵短轴长是2,∴2b=2.b=1,∴a2=4∵焦点在x轴上,∴椭圆的标准方程是x24+y2=1故为x24+y2=146.设圆O1和圆O2是两个定圆,动圆P与这两个定圆都相切,则圆P的圆心轨迹不可能是()
A.
B.
C.
D.
答案:A47.已知二项分布满足X~B(6,23),则P(X=2)=______,EX=______.答案:∵X服从二项分布X~B(6,23)∴P(X=2)=C26(13)4(23)2=20243∵随机变量ξ服从二项分布ξ~B(6,23),∴期望Eξ=np=6×23=4故为:20243;448.设A、B、C、D是半径为r的球面上的四点,且满足AB⊥AC、AD⊥AC、AB⊥AD,则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是[
]A、r2
B、2r2
C、3r2
D、4r2答案:B49.如图算法输出的结果是______.答案:当I=1时,满足循环的条件,进而循环体执行循环则S=2,I=4;当I=4时,满足循环的条件,进而循环体执行循环则S=4,I=7;当I=7时,满足循环的条件,进而循环体执行循环则S=8,I=10;当I=10时,满足循环的条件,进而循环体执行循环则S=16,I=13;当I=13时,不满足循环的条件,退出循环,输出S值16故为:1650.2012年3月2日,国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定:居民区的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.
某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据,数据统计如下:
组别PM2.5浓度
(微克/立方米)频数(天)频率
第一组(0,25]50.25第二组(25,50]100.5第三组(50,75]30.15第四组(75,100)20.1(Ⅰ)从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中,随机抽取2天,求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率;
(Ⅱ)求样本平均数,并根据样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由.答案:(Ⅰ)
设PM2.5的24小时平均浓度在(50,75]内的三天记为A1,A2,A3,PM2.5的24小时平均浓度在(75,100)内的两天记为B1,B2.所以5天任取2天的情况有:A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2共10种.
…(4分)其中符合条件的有:A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2共6种.
…(6分)所以所求的概率P=610=35.
…(8分)(Ⅱ)去年该居民区PM2.5年平均浓度为:12.5×0.25+37.5×0.5+62.5×0.15+87.5×0.1=40(微克/立方米).…(10分)因为40>35,所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准,故该居民区的环境需要改进.
…(12分)第3卷一.综合题(共50题)1.直线4x-3y+5=0与直线8x-6y+5=0的距离为______.答案:直线4x-3y+5=0即8x-6y+10=0,由两平行线间的距离公式得:直线4x-3y+5=0(8x-6y+10=0)与直线8x-6y+5=0的距离是
|10-5|62+82=12,故为:12.2.已知θ是三角形内角且sinθ+cosθ=,则表示答案:C3.某市某年一个月中30天对空气质量指数的监测数据如下:
61
76
70
56
81
91
55
91
75
81
88
67
101
103
57
91
77
86
81
83
82
82
64
79
86
85
75
71
49
45
(Ⅰ)完成下面的频率分布表;
(Ⅱ)完成下面的频率分布直方图,并写出频率分布直方图中a的值;
(Ⅲ)在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天,求这两天中至少有一天空气质量指数在区间[101,111)内的概率.
分组频数频率[41,51)2230[51,61)3330[61,71)4430[71,81)6630[81,91)[91,101)[101,111)2230答案:(Ⅰ)如下图所示.
…(4分)(Ⅱ)如下图所示.…(6分)由己知,空气质量指数在区间[71,81)的频率为630,所以a=0.02.…(8分)分组频数频率………[81,91)101030[91,101)3330………(Ⅲ)设A表示事件“在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天,这两天中至少有一天空气质量指数在区间[101,111)内”,由己知,质量指数在区间[91,101)内的有3天,记这三天分别为a,b,c,质量指数在区间[101,111)内的有2天,记这两天分别为d,e,则选取的所有可能结果为:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e).基本事件数为10.…(10分)事件“至少有一天空气质量指数在区间[101,111)内”的可能结果为:(a,d),(a,e),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e).基本事件数为7,…(12分)所以P(A)=710.…(13分)4.设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9,活到15岁的概率为0.6.现有一个10岁的这种动物,它能活到15岁的概率是______.答案:设活过10岁后能活到15岁的概率是P,由题意知0.9×P=0.6,解得P=23即一个10岁的这种动物,它能活到15岁的概率是23故为:23.5.证明不等式的最适合的方法是()
A.综合法
B.分析法
C.间接证法
D.合情推理法答案:B6.已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3,ρ=4cosθ(ρ≥0,0≤θ<π2),则曲线C1与C2交点的极坐标为______.答案:我们通过联立解方程组ρcosθ=3ρ=4cosθ(ρ≥0,0≤θ<π2)解得ρ=23θ=π6,即两曲线的交点为(23,π6).故填:(23,π6).7.为求方程x5-1=0的虚根,可以把原方程变形为(x-1)(x2+ax+1)(x2+bx+1)=0,由此可得原方程的一个虚根为______.答案:由题可知(x-1)(x2+ax+1)(x2+bx+1)=(x-1)[x4+(a+b)x3+(2+ab)x2+(a+b)x+1]比较系数可得a+b=1ab+2=1,∴a=1+52,b=1-52∴原方程的一个虚根为-1-5±10-25i4,-1+5±10+25i4中的一个故为:-1-5+10-25i4.8.已知直线ax+by+c=0(a,b,c都是正数)与圆x2+y2=1相切,则以a,b,c为三边长的三角形()
A.是锐角三角形
B.是钝角三角形
C.是直角三角形
D.不存在答案:C9.正多面体只有______种,分别为______.答案:正多面体只有5种,分别为正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.故为:5,正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.10.山东鲁洁棉业公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验,得到如下表所示的一组数据(单位:kg).
施化肥量x15202530354045棉花产量y330345365405445450455(1)画出散点图;
(2)判断是否具有相关关系.答案:(1)根据已知表格中的数据可得施化肥量x和产量y的散点图如下所示:(2)根据(1)中散点图可知,各组数据对应点大致分布在一个条形区域内(一条直线附近)故施化肥量x和产量y具有线性相关关系.11.从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是()
A.至少有一个黒球与都是红球
B.至少有一个黒球与都是黒球
C.至少有一个黒球与至少有1个红球
D.恰有1个黒球与恰有2个黒球答案:D12.直线3x+4y-7=0与直线6x+8y+3=0之间的距离是()
A.
B.2
C.
D.答案:C13.已知正方形的边长为2,AB=a,BC=b,AC=c,则|a+b+c|=()A.0B.2C.2D.4答案:由题意可得:AB+BC=AC,所以c=a+b,所以|a+b+c|=2|c|.因为正方形的边长为2,所以|AC|=|c|=2,所以|a+b+c|=2|c|=4.故选D.14.若双曲线的渐近线方程为y=±34x,则双曲线的离心率为______.答案:由题意可得,当焦点在x轴上时,ba=34,∴ca=a2+b2a=a2+(3a4)2a=54.当焦点在y轴上时,ab=34,∴ca=a2+b2a=a2+(4a3)2a=53,故为:53
或54.15.若=(2,0),那么=(
)
A.(1,2)
B.3
C.2
D.1答案:C16.已知a=4,b=1,焦点在x轴上的椭圆方程是(
)
A.
B.
C.
D.答案:C17.某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N*)时命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立.现已知当n=5时,该命题不成立,那么可推得()
A.当n=6时,该命题不成立
B.当n=6时,该命题成立
C.当n=4时,该命题不成立
D.当n=4时,该命题成立答案:C18.下面程序运行后,输出的值是()
A.42
B.43
C.44
D.45
答案:C19.比较大小:a=0.20.5,b=0.50.2,则()
A.0<a<b<1
B.0<b<a<1
C.1<a<b
D.1<b<a答案:A20.袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,现从袋中任意取出3个小球,假设每个小球被取出的可能性都相等.
(Ⅰ)求取出的3个小球上的数字分别为1,2,3的概率;
(Ⅱ)求取出的3个小球上的数字恰有2个相同的概率;
(Ⅲ)用X表示取出的3个小球上的最大数字,求P(X≥4)的值.答案:(I)记“取出的3个小球上的数字分别为1,2,3”的事件记为A,则P(A)=C12C12C12C310=8120=115;(Ⅱ)记“取出的3个小球上的数字恰有2个相同”的事件记为A,则P(B)=C15C18C310=40120=13;(Ⅲ)用X表示取出的3个小球上的最大数字,则X≥4包含取出的3个小球上的最大数字为4或5两种情况,当取出的3个小球上的最大数字为4时,P(X=4)=C12C26+C22C16C310=36120=310;当取出的3个小球上的最大数字为5时,P(X=5)=C12C28+C22C18C310=64120=815故P(X≥4)=56.21.过点A(1,4)且在x、y轴上的截距相等的直线共有______条.答案:当直线过坐标原点时,方程为y=4x,符合题意;当直线不过原点时,设直线方程为x+y=a,代入A的坐标得a=1+4=5.直线方程为x+y=5.所以过点A(1,4)且在x、y轴上的截距相等的直线共有2条.故为2.22.已知在△ABC中,A(2,-5,3),AB=(4,1,2),BC=(3,-2,5),则C点坐标为
______.答案:设C(x,y,z),则:
AC=AB+BC即:(x-2,y+5,z-3)=(4,1,2)+(3,-2,5)=(7,-1,7)所以得:x-2=7y+5=-1z-3=7,即x=9y=-6z=10故为:(9,-6,10)23.数据:1,1,3,3的众数和中位数分别是()
A.1或3,2
B.3,2
C.1或3,1或3
D.3,3答案:A24.P是直线3x+y+1=0上一点,P到点Q(0,2)距离的最小值是______.答案:过点Q作直线的垂线段,当P是垂足时,线段PQ最短,故最小距离是点Q(0,2)到直线3x+y+1=0的距离d,d=|0+2+1|3+1=32=1.5.∴P到点Q(0,2)距离的最小值是1.5;故为1.5.25.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得回归方程
y=
bx+
a中的
b为9.4,则
a=______.答案:由图表中的数据可知.x=14(4+2+3+5)=144=3.5,.y=14(49+26+39+54)=42,即样本中心为(3.5,42),将点代入回归方程y=bx+a,得42=9.4×3.5+a,解得a=9.1.故为:9.1.26.附加题(必做题)
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.
(1)设AD=λAB,异面直线AC1与CD所成角的余弦值为925,求λ的值;
(2)若点D是AB的中点,求二面角D-CB1-B的余弦值.答案:(1)以CA,CB,CC1分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标,因为AC=3,BC=4,AA1=4,所以A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,0),C1=(0,0,4),所以AC1=(-3,0,4),因为AD=λAB,所以点D(-3λ+3,4λ,0),所以CD=(-3λ+3,4λ,0),因为异面直线AC1与CD所成角的余弦值为925,所以|cos<AC1,CD>|=|9λ-9|5(3-3λ)2+16λ2=925,解得λ=12.…(4分)(2)由(1)得B1(0,4,4),因为
D是AB的中点,所以D(32,2,0),所以CD=(32,2,0),CB1=(0,4,4),平面CBB1C1的法向量
n1=(1,0,0),设平面DB1C的一个法向量n2=(x0,y0,z0),则n1,n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角D-CB1-B的大小,由n2•CD=0n2•CB
1=0得32x0+2y0=04y0+4z0=0令x0=4,则y0=-3,z0=3,所以n2=(4,-3,3),∴cos<n1,n2>=n1•n2|n1|•|n2|=434=23417.所以二面角D-B1C-B的余弦值为23417.
…(10分)27.如图所示直角梯形ABCD中,∠A=90°,PA⊥面ABCD,AD||BC,AB=BC=a,AD=2a,与底面ABCD成300角.若AE⊥PD,E为垂足,PD与底面成30°角.
(1)求证:BE⊥PD;
(2)求异面直线AE与CD所成的角的大小.答案:为了计算方便不妨设a=1.(1)证明:根据题意可得:以A为原点,AB,AD,AP所在直线为坐标轴建立直角坐标系(如图)则A(0,0,0),B(1,0,0)D(0,2,0)P(0,0,233)AB•PD=(1,0,0)•(0,2,-233)=0又AE•PD=0∴AB⊥PD,AE⊥PD所以PD⊥面BEA,BE⊂面BEA,∴PD⊥BE(2)∵PA⊥面ABCD,PD与底面成30°角,∴∠PDA=30°过E作EF⊥AD,垂足为F,则AE=AD•sin30°=1,∠EAF=60°AF=12,EF=32∴E(0,12,32),于是AE=(0,12,32)又C(1,1,0),D(0,2,0),CD=(-1,1,0)则COSθ=AE•CD|AE||CD|=24∴AE与CD所成角的余弦值为24.28.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线上一点A的横坐标为x1(x1>0),过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D,交y轴于点Q,交直线l:y=p2于点M,当|FD|=2时,∠AFD=60°.
(1)求证:△AFQ为等腰三角形,并求抛物线C的方程;
(2)若B位于y轴左侧的抛物线C上,过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P,交直线l于点N,求△PMN面积的最小值,并求取到最小值时的x1值.答案:(1)设A(x1,x122p),则A处的切线方程为l1:y=x1px-x122p,可得:D(x12,0),Q(0,-x212p)∴|FQ|=p2+x212p=|AF|;∴△AFQ为等腰三角形.由点A,Q,D的坐标可知:D为线段AQ的中点,∴|AF|=4,得:p2+x212p=4x21+p2=16∴p=2,C:x2=4y.(2)设B(x2,y2)(x2<0),则B处的切线方程为y=x22x-x224联立y=x22x-x224y=x12x-x214得到点P(x1+x22,x1x24),联立y=x12x-x214y=1得到点M(x12+2x1,1).同理N(x22+2x2,1),设h为点P到MN的距离,则S△=12|MN|•h=12×(x12+2x1-x22-2x2)(1-x1x24)=(x2-x1)(4-x1x2)216x1x2
①设AB的方程为y=kx+b,则b>0,由y=kx+bx2=4y得到x2-4kx-4b=0,得x1+x2=4kx1x2=-4b代入①得:S△=16k2+16b(4+4b)264b=(1+b)2k2+bb,要使面积最小,则应k=0,得到S△=(1+b)2bb②令b=t,得S△(t)=(1+t2)2t=t3+2t+1t,则S′△(t)=(3t2-1)(t2+1)t2,所以当t∈(0,33)时,S(t)单调递减;当t∈(33,+∞)时,S(t)单调递增,所以当t=33时,S取到最小值为1639,此时b=t2=13,k=0,所以y1=13,解得x1=233.故△PMN面积取得最小值时的x1值为233.29.圆C1:x2+y2-6x+6y-48=0与圆C2:x2+y2+4x-8y-44=0公切线的条数是()
A.0条
B.1条
C.2条
D.3条答案:C30.如图,正六边形ABCDEF中,=()
A.
B.
C.
D.
答案:D31.在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得n次测量分别得到a1,a2,…,an,共n个数据.我们规定所测量的“量佳近似值”a是这样一个量:与其他近似值比较,a与各数据的差的平方和最小.依此规定,从a1,a2,…,an推出的a=______.答案:∵所测量的“量佳近似值”a是与其他近似值比较,a与各数据的差的平方和最小.根据均值不等式求平方和的最小值知这些数的底数要尽可能的接近,∴a是所有数字的平均数,∴a=a1+a2+…+ann,故为:a1+a2+…+ann32.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是()A.(0,+∞)B.(0,2)C.(1,+∞)D.(0,1)答案:∵方程x2+ky2=2,即x22+y22k=1表示焦点在y轴上的椭圆∴2k>2故0<k<1故选D.33.如图,F1,F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为3的正三角形,则b2的值是______.答案:∵△POF2是面积为3的正三角形,∴S=34|PF2|2=3,|PF2|=2.∴c=2,∵△PF1F2为直角三角形,∴a=3+1,故为23.34.2008年9月25日下午4点30分,“神舟七号”载人飞船发射升空,其运行的轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆,若这个椭圆的长轴长为2a,离心率为e,则“神舟七号”飞船到地球中心的最大距离为______.答案:如图,根据椭圆的几何性质可知,顶点B到椭圆的焦点F的距离最大.最大为a+c=a+ae.故为:a+ae.35.(1)已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;
(2)已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x
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