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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年陕西电子信息职业技术学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.直线x3+y4=1与x,y轴所围成的三角形的周长等于()A.6B.12C.24D.60答案:直线x3+y4=1与两坐标轴交于A(3,0),B(0,4),∴AB=5,∴△AOB的周长为:OA+OB+AB=3+4+5=12,故选B.2.如图,平行四边形ABCD中,AE:EB=1:2,若△AEF的面积为6,则△ABC的面积为()A.18B.54C.64D.72答案:∵ABCD为平行四边形∴AB平行于CD∴△AEF∽△CDF∵AE:EB=1:2∴AE:CD=AE:AB=1:3∴S△CDF=32×S△AEF=9×6=54∵AF:CF=AE:CD=1:3∴S△ADF=S△CDF÷3=54÷3=18∴S△ABC=S△ACD=S△CDF+S△ADF=54+18=72故选D3.函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2,则a的值为()A.32B.2C.12或32D.12答案:当a>1时,函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在区间[1,2]上是增函数,由题意可得a2-a=a2,∴a=32.当1>a>0时,函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在区间[1,2]上是减函数,由题意可得a-a2=a2,解得
a=12.综上,a的值为12或32故选C.4.中心在坐标原点,离心率为的双曲线的焦点在y轴上,则它的渐近线方程为()
A.
B.
C.
D.答案:D5.为如图所示的四块区域涂色,要求相邻区域不能同色,现有3种不同颜色可供选择,则共有______种不同涂色方案(要求用具体数字作答).答案:由题意,首先给左上方一个涂色,有三种结果,再给最左下边的上面的涂色,有两种结果,右上方,如果与左下边的同色,则右方的涂色,有两种结果,右上方,如果与左下边的不同色,则右方的涂色,有1种结果,∴根据分步计数原理得到共有3×2×(2+1)=18种结果,故为18.6.若圆x2+y2=9上每个点的横坐标不变,纵坐标缩短为原来的,则所得到的曲线的方程是()
A.
B.
C.
D.答案:C7.在如图所示的茎叶图中,甲、乙两组数据的中位数分别是______.答案:由茎叶图可得甲组共有9个数据中位数为45乙组共9个数据中位数为46故为45、468.过点(-3,-1),且与直线x-2y=0平行的直线方程为______.答案:直线l经过点(-3,-1),且与直线x-2y=0平行,直线的斜率为12所以直线l的方程为:y+1=12(x+3)即x-2y+1=0.故为:x-2y+1=0.9.为了调查某产品的销售情况,销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况.若用系统抽样法,则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为()
A.3,2
B.2,3
C.2,30
D.30,2答案:A10.(几何证明选做题)如图,已知:△ABC内接于圆O,点D在OC的延长线上,AD是圆O的切线,若∠B=30°,AC=2,则OD的长为______.答案:∵AD是圆O的切线,∠B=30°∴∠DAC=30°,∴∠OAC=60°,∴△AOC是一个等边三角形,∴OA=OC=2,在直角三角形AOD中,OD=2AO=4,故为:4.11.随机地向某个区域抛撒了100粒种子,在面积为10m2的地方有2粒种子发芽,假设种子的发芽率为100%,则整个撒种区域的面积大约有______m2.答案:设整个撒种区域的面积大约xm2,由于假设种子的发芽率为100%,所以在面积为10m2的地方有2粒种子发芽,意味着在面积为10m2的地方有2粒种子,从而有:100x=210,∴x=500,故为:500.12.已知曲线C的参数方程为x=4t2y=t(t为参数),若点P(m,2)在曲线C上,则m=______.答案:因为曲线C的参数方程为x=4t2y=t(t为参数),消去参数t得:x=4y2;∵点P(m,2)在曲线C上,所以m=4×4=16.故为:16.13.已知两点A(2,1),B(3,3),则直线AB的斜率为()
A.2
B.
C.
D.-2答案:A14.设a>0,f(x)=ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0,],则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为()
A.[0,]
B.[0,]
C.[0,||]
D.[0,||]答案:B15.设k>1,则关于x,y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲线是()
A.长轴在x轴上的椭圆
B.长轴在y轴上的椭圆
C.实轴在x轴上的双曲线
D.实轴在y轴上的双曲线答案:D16.若复数(1+bi)•(2-i)是纯虚数(i是虚数单位,b是实数),则b=()A.-2B.-12C.12D.2答案:由(1+bi)•(2-i)=2+b+(2b-1)i是纯虚数,则2+b=02b-1≠0,解得b=-2.故选A.17.如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是
______.答案:根据题意,x2+ky2=2化为标准形式为x22+y22k=1;根据题意,其表示焦点在y轴上的椭圆,则有2k>2;解可得0<k<1;故为0<k<1.18.构成多面体的面最少是(
)
A.三个
B.四个
C.五个
D.六个答案:B19.圆锥的侧面展开图是一个半径长为4的半圆,则此圆锥的底面半径为
______.答案:设圆锥的底面半径为R,则由题意得,2πR=π×4,即R=2,故为:2.20.己知集合A={sinα,cosα},则α的取值范围是______.答案:由元素的互异性可得sinα≠cosα,∴α≠kπ+π4,k∈z.故α的取值范围是{α|α≠kπ+π4,k∈z},故为{α|α≠kπ+π4,k∈z}.21.不等式的解集
.答案:;解析:略22.已知A(4,1,3)、B(2,-5,1),C为线段AB上一点,且则C的坐标为()
A.
B.
C.
D.答案:C23.把两条直线的位置关系填入结构图中的M、N、E、F中,顺序较为恰当的是()
①平行
②垂直
③相交
④斜交.
A.①②③④
B.①④②③
C.①③②④
D.②①③④
答案:C24.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同,那么甲以4比2获胜的概率为()
A.
B.
C.
D.答案:D25.以下命题:
①二直线平行的充要条件是它们的斜率相等;
②过圆上的点(x0,y0)与圆x2+y2=r2相切的直线方程是x0x+y0y=r2;
③平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆;
④抛物线上任意一点M到焦点的距离都等于点M到其准线的距离.
其中正确命题的标号是______.答案:①两条直线平行的充要条件是它们的斜率相等,且截距不等,故①不正确,②过点(x0,y0)与圆x2+y2=r2相切的直线方程是x0x+y0y=r2.②正确,③不正确,若平面内到两定点距离之和等于常数,如这个常数正好为两个点的距离,则动点的轨迹是两点的连线段,而不是椭圆;④根据抛物线的定义知:抛物线上任意一点M到焦点的距离都等于点M到其准线的距离.故④正确.故为:②④.26.已知双曲线的两条准线将两焦点间的线段三等分,则双曲线的离心率是______.答案:由题意可得2c×13=2a2c,∴3a2=c2,∴e=ca=3,故为:3.27.若E,F,G,H分别为空间四边形ABCD四边AB,BC,CD,DA的中点,证明:四边形EFGH是平行四边形.答案:证明:∵E,F,G,H分别为空间四边形ABCD四边AB,BC,CD,DA的中点,∴EF是△ABC的中位线,∴EF∥AC,且EF=12AC.同理可证,GH∥AC,且GH=12AC,故有
EF∥GH,且EF=GH,∴四边形EFGH是平行四边形.28.“△ABC中,若∠C=90°,则∠A、∠B都是锐角”的否命题为()
A.△ABC中,若∠C≠90°,则∠A、∠B都不是锐角
B.△ABC中,若∠C≠90°,则∠A、∠B不都是锐角
C.△ABC中,若∠C≠90°,则∠A、∠B都不一定是锐角
D.以上都不对答案:B29.椭圆x29+y216=1上一动点P到两焦点距离之和为()A.10B.8C.6D.不确定答案:根据椭圆的定义,可知动点P到两焦点距离之和为2a=8,故选B.30.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)满足()
A.是圆心
B.在圆上
C.在圆内
D.在圆外答案:C31.某校在检查学生作业时,抽出每班学号尾数为4的学生作业进行检查,这里主要运用的抽样方法是()
A.分层抽样
B.抽签抽样
C.随机抽样
D.系统抽样答案:D32.为了参加奥运会,对自行车运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度的数据如表所示:
甲273830373531乙332938342836请判断:谁参加这项重大比赛更合适,并阐述理由.答案:.X甲=27+38+30+37+35+316=33S甲=946≈3.958,(
4分).X乙=33+29+38+34+28+366=33S乙=383≈3.559(8分).X甲=.X乙,S甲>S乙
(10分)乙参加更合适
(12分)33.已知数列{an}前n项的和为Sn,且满足an=n2
(n∈N*).
(Ⅰ)求s1、s2、s3的值;
(Ⅱ)用数学归纳法证明sn=n(n+1)(2n+1)6
(n∈N*).答案:(Ⅰ)∵an=n2,n∈N*∴s1=a1=1,s2=a1+a2=1+4=5,s3=a1+a2+a3=1+4+9=14.…(6分)(Ⅱ)证明:(1)当n=1时,左边=s1=1,右边=1×(1+1)(2+1)6=1,所以等式成立.…(8分)(2)假设n=k(k∈N*)时结论成立,即Sk=k(k+1)(2k+1)6,…(10分)那么,Sk+1=Sk+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)26=(k+1)(k+2)(2k+3)6=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]6即n=k+1时,等式也成立.…(13分)根据(1)(2)可知对任意的正整数n∈N*都成立.…(14分)34.已知方程x2+y2+4x-2y-4=0,则x2+y2的最大值是()A.95B.45C.14-65D.14+65答案:由方程x2+y2+4x-2y-4=0得到圆心为(-2,1),半径为3,设圆上一点为(x,y)圆心到原点的距离是(-2)2+1
2=5圆上的点到原点的最大距离是5+3故x2+y2的最大值是为(5+3)2=14+65故选D35.甲、乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛,它们都参加了全部的7场比赛,平均得分均为16分,标准差分别为5.09和3.72,则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动中,发挥得更稳定的是()
A.甲
B.乙
C.甲、乙相同
D.不能确定答案:B36.已知随机变量ξ服从二项分布ξ~B(6,),则E(2ξ+4)=()
A.10
B.4
C.3
D.9答案:A37.函数y=()|x|的图象是()
A.
B.
C.
D.
答案:B38.曲线x=sin2ty=sint(t为参数)的普通方程为______.答案:因为曲线x=sin2ty=sint(t为参数)∴sint=y,代入x=sin2t,可得x=y2,其中-1≤y≤1.故为:x=y2,(-1≤y≤1).39.算法的有穷性是指()A.算法必须包含输出B.算法中每个操作步骤都是可执行的C.算法的步骤必须有限D.以上说法均不正确答案:一个算法必须在有限步内结束,简单的说就是没有死循环即算法的步骤必须有限故选C.40.某市为抽查控制汽车尾气排放的执行情况,选择了抽取汽车车牌号的末位数字是6的汽车进行检查,这样的抽样方式是(
)
A.抽签法
B.简单随机抽样
C.分层抽样
D.系统抽样答案:D41.已知非零向量,若与互相垂直,则=(
)
A.
B.4
C.
D.2答案:D42.满足条件|z|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是______.答案:|z|=5,即点Z到原点O的距离为5∴z所对应点的轨迹为以(0,0)为圆心,5为半径的圆.43.如图是一个实物图形,则它的左视图大致为()A.
B.
C.
D.
答案:∵左视图是指由物体左边向右做正投影得到的视图,并且在左视图中看到的线用实线,看不到的线用虚线,∴该几何体的左视图应当是包含一条从左上到右下的对角线的矩形,并且对角线在左视图中为实线,故选D.44.在极坐标系中与圆ρ=4sinθ相切的一条直线的方程为()
A.ρcosθ=2
B.ρsinθ=2
C.ρ=4sin(θ+)
D.ρ=4sin(θ-)答案:A45.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为______.答案:依题设P在抛物线准线的投影为P',抛物线的焦点为F,则F(12,0),依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|,则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d=|PF|+|PA|≥|AF|=(12)2+22=172.故为:172.46.Direchlet函数定义为:D(t)=1,t∈Q0,t∈CRQ,关于函数D(t)的性质叙述不正确的是()A.D(t)的值域为{0,1}B.D(t)为偶函数C.D(t)不是周期函数D.D(t)不是单调函数答案:函数D(t)是分段函数,值域是两段的并集,所以值域为{0,1};有理数和无理数正负关于原点对称,所以函数D(t)的图象关于y轴对称,所以函数是偶函数;对于不同的有理数x对应的函数值相等,所以函数不是单调函数;因为任取一个非0有理数,都有有理数加有理数为有理数,有理数加无理数为无理数,所以函数D(t)的图象周期出现,所以函数是周期函数,所以选项C不正确.故选C.47.“∵四边形ABCD为矩形,∴四边形ABCD的对角线相等”,补充以上推理的大前提为()
A.正方形都是对角线相等的四边形
B.矩形都是对角线相等的四边形
C.等腰梯形都是对角线相等的四边形
D.矩形都是对边平行且相等的四边形答案:B48.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若AD=2DB,CD=λCA+μCB,则λμ的值为______.答案:∵AD=2DB,∴CD=CA+23
AB∵AB=CB-CA∴CD=CA+23AB=CA+23(CB-CA)=13CA+23CB∵CD=λCA+μCB∴λ=13,μ=23∴λμ=12故为1249.命题“当AB=AC时,△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题有______个.答案:原命题为真命题.逆命题“当△ABC是等腰三角形时,AB=AC”为假命题.否命题“当AB≠AC时,△ABC不是等腰三角形”为假命题.逆否命题“当△ABC不是等腰三角形时,AB≠AC”为真命题.故为:2.50.已知正方形ABCD的边长为1,=,=,=,则|++|等于(
)
A.0
B.2
C.
D.3答案:B第2卷一.综合题(共50题)1.设双曲线x2a2-y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,已知原点到直线l的距离为34c,则双曲线的离心率为______.答案:∵直线l过(a,0),(0,b)两点,∴直线l的方程为:xa+yb=1,即bx+ay-ab=0,∵原点到直线l的距离为34c,∴|ab|a2+b2=3c4,又c2=a2+b2,∴3e4-16e2+16=0,∴e2=4,或e2=43.∵a>b>0,∴离心率为e=2或e=233;故为2或233.2.已知函数f(x)满足:x≥4,则f(x)=(12)x;当x<4时f(x)=f(x+1),则f(2+log23)═______.答案:∵2+log23<4,∴f(2+log23)=f(3+log23)=f(log224)=(12)log224=124故应填1243.圆x2+y2=1和圆x2+y2-6y+5=0的位置关系是()
A.外切
B.内切
C.外离
D.内含答案:A4.已知点B是点A(2,-3,5)关于平面xOy的对称点,则|AB|=()
A.10
B.
C.
D.38答案:A5.已知△ABC三个顶点的坐标为A(1,3)、B(-1,-1)、C(-3,5),求这个三角形外接圆的方程.答案:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则(1-a)2+(3-b)2=r2(-1-a)2+(-1-b)2=r2(-3-a)2+(5-b)2=r2,整理得a+2b-2=02a-b+6=0,解之得a=-2,b=2,可得r2=10,因此,这个三角形外接圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=10.6.在独立性检验中,统计量Χ2有两个临界值:3.841和6.635.当Χ2>3.841时,有95%的把握说明两个事件有关,当Χ2>6.635时,有99%的把握说明两个事件有关,当Χ2≤3.841时,认为两个事件无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中,共调查了2000人,经计算Χ2=20.87.根据这一数据分析,认为打鼾与患心脏病之间()
A.有95%的把握认为两者有关
B.约有95%的打鼾者患心脏病
C.有99%的把握认为两者有关
D.约有99%的打鼾者患心脏病答案:C7.在输入语句中,若同时输入多个变量,则变量之间的分隔符号是()
A.逗号
B.空格
C.分号
D.顿号答案:A8.口袋中有5只球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3球,以ξ表示取出的球的最大号码,则Eξ的值是()A.4B.4.5C.4.75D.5答案:由题意,ξ的取值可以是3,4,5ξ=3时,概率是1C35=110ξ=4时,概率是C23C35=310(最大的是4其它两个从1、2、3里面随机取)ξ=5时,概率是C24C35=610(最大的是5,其它两个从1、2、3、4里面随机取)∴期望Eξ=3×110+4×310+5×610=4.5故选B.9.已知一直线斜率为3,且过A(3,4),B(x,7)两点,则x的值为()
A.4
B.12
C.-6
D.3答案:A10.不等式的解集是(
)
A.(-∞,-1)∪(-1,2]
B.[-1,2]
C.(-∞,-1)∪[2,+∞)
D.(-1,2]答案:D11.函数y=ax的反函数的图象过点(9,2),则a的值为______.答案:依题意,点(9,2)在函数y=ax的反函数的图象上,则点(2,9)在函数y=ax的图象上将x=2,y=9,代入y=ax中,得9=a2解得a=3故为:3.12.设函数g(x)=ex
x≤0lnx,x>0,则g(g(12))=______.答案:g(g(12))
=g(ln12)
=eln12=12故为:12.13.附加题选做题B.(矩阵与变换)
设矩阵A=m00n,若矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为10,属于特征值2的一个特征向量为01,求实数m,n的值.答案:由题意得m00n10=110,m00n01=201,…6分化简得m=10?n=00?m=0n=2所以m=1n=2.…10分14.如图,平面内有三个向量OA、OB、OC,其中与OA与OB的夹角为120°,OA与OC的夹角为30°,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23,若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),则λ+μ的值为______.答案:过C作OA与OB的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形,由∠BOC=90°,∠AOC=30°,由|OA|=|OB|=1,|OC|=23得平行四边形的边长为2和4,λ+μ=2+4=6.故为6.15.在空间直角坐标系中,点P(2,-4,6)关于y轴对称点P′的坐标为P′(-2,-4,-6)P′(-2,-4,-6).答案:∵在空间直角坐标系中,点(2,-4,6)关于y轴对称,∴其对称点为:(-2,-4,-6),故为:(-2,-4,-6).16.x>1是x>2的()A.充分但不必要条件B.充要条件C.必要但不充分条件D.既不充分又不必要条件答案:由x>1,我们不一定能得出x>2,比如x=1.5,所以x>1不是x>2的充分条件;∵x>2>1,∴由x>2,能得出x>1,∴x>1是x>2的必要条件∴x>1是x>2的必要但不充分条件故选C.17.在程序语言中,下列符号分别表示什么运算*;\;∧;SQR;ABS?答案:“*”表示乘法运算;“\”表示除法运算;“∧”表示乘方运算;“SQR()”表示求算术平方根运算;“ABS()”表示求绝对值运算.18.方程x(x2+y2-1)=0和x2-(x2+y2-1)2=0表示的图形是()
A.都是两个点
B.一条直线和一个圆
C.前者为两个点,后者是一条直线和一个圆
D.前者是一条直线和一个圆,后者是两个圆答案:D19.有5组(x,y)的统计数据:(1,2),(2,4),(4,5),(3,10),(10,12),要使剩下的数据具有较强的相关关系,应去掉的一组数据是()
A.(1,2)
B.(4,5)
C.(3,10)
D.(10,12)答案:C20.一条直线上顺次有A、B、C三点,且|AB|=2,|BC|=3,则C分有向线段AB的比为()
A.-
B.-
C.-
D.-答案:A21.若数据x1,x2,x3…xn的平均数.x=5,方差σ2=2,则数据3x1+1,3x2+1,3x3+1…,3xn+1的方差为______.答案:∵x1,x2,x3,…,xn的方差为2,∴3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的方差是32×2=18.故为:18.22.椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一焦点.一水平放置的椭圆形台球盘,F1,F2是其焦点,长轴长2a,焦距为2c.一静放在F1点处的小球(半径忽略不计),受击打后沿直线运动(不与直线F1F2重合),经椭圆壁反弹后再回到点F1时,小球经过的路程是()
A.4c
B.4a
C.2(a+c)
D.4(a+c)答案:B23.按ABO血型系统学说,每个人的血型为A、B、O、AB型四种之一,依血型遗传学,当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时,子女的血型一定不是O型,若某人的血型为O型,则其父母血型的所有可能情况有()
A.12种
B.6种
C.10种
D.9种答案:D24.方程x2+y2=1(xy<0)的曲线形状是()
A.
B.
C.
D.
答案:C25.如图,正六边形ABCDEF中,=()
A.
B.
C.
D.
答案:D26.如图,四边形ABCD内接于圆O,且AC、BD交于点E,则此图形中一定相似的三角形有()对.
A.0
B.3
C.2
D.1
答案:C27.若方程sin2x+4sinx+m=0有实数解,则m的取值范围是(
)
A、R
B、(-∞,-5]∪[3,+∞)
C、(-5,3)
D、[-5,3]答案:D28.如图所示的几何体ABCDE中,DA⊥平面EAB,CB∥DA,EA=DA=AB=2CB,EA⊥AB,M是EC的中点,
(Ⅰ)求证:DM⊥EB;
(Ⅱ)设二面角M-BD-A的平面角为β,求cosβ.答案:分别以直线AE,AB,AD为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设CB=a,则A(0,0,0),E(2a,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,a),D(0,0,2a)所以M(a,a,a2).(Ⅰ):DM=(a,a,-3a2)
,EB=(-2a,2a,0)DM•EB=a•(-2a)+a•2a+0=0.∴DM⊥EB,即DM⊥EB.(Ⅱ)设平面MBD的法向量为n=(x,y,z),DB=(0,2a,-2a),由n⊥DB,n⊥DM,得n•DB=2ay-2az=0n•DM=ax+ay-3a2z=0⇒y=zx+y-3z2=0取z=2得平面MBD的一非零法向量为n=(1,2,2),又平面BDA的一个法向量n1=(1,0,0).∴cos<n,n1>
=1+0+012+22+22•12+02+
02=13,即cosβ=1329.已知函数f(x)=x2+2,x≥13x,x<1,则f(f(0))=()A.4B.3C.9D.11答案:因为f(0)=30=1,所以f[f(0)]═f(1)=1+2=3.故选B.30.函数y=ax+b与y=logbx且a>0,在同一坐标系内的图象是()A.
B.
C.
D.
答案:∵a>0,则函数y=ax+b为增函数,与y轴的交点为(0,b)当0<b<1时,函数y=ax+b与y轴的交点在原点和(0,1)点之间,y=logbx为减函数,D图满足要求;当b>1时,函数y=ax+b与y轴的交点在(0,1)点上方,y=logbx为增函数,不存在满足条件的图象;故选D31.点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是(
)
A.-1<a<1
B.0<a<1
C.a<-1或a>1
D.a=±1答案:A32.一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集是全体实数所满足的条件是(
)
A.
B.
C.
D.答案:D33.某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A饮料,另外4杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对,则月工资定位3500元;若4杯选对3杯,则月工资定为2800元,否则月工资定为2100元,今X表示此人选对A饮料的杯数,假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.
(1)求X的分布列;
(2)求此员工月工资的期望.答案:(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,P(X=0)=1C48=170P(X=1)=C14C34C48=1670P(X=2)=C24C24C48=3670P(X=3)=C14C34C48=1670P(X=4)=1C48=170(2)此员工月工资Y的所有可能取值有3500、2800、2100,P(Y=3500)=P(X=4)=1C48=170P(Y=2800)=P(X=3)=C14C34C48=1670P(Y=2100)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=5370EY=3500×170+2800×1670+2100×5370=228034.给出20个数:87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91,86,89,92,95,88它们的和是()A.1789B.1799C.1879D.1899答案:由题意知本题是一个求和问题,87+91+94+88+93+91+89+87+92+86+90+92+88+90+91+86+89+92+95+88=1799,故选B.35.下列各组向量中,可以作为基底的是()A.e1=(0,0),e2=(-2,1)B.e1=(4,6),e2=(6,9)C.e1=(2,-5),e2=(-6,4)D.e1=(2,-3),e2=(12,-34)答案:A、中的2个向量的坐标对应成比例,0-2=01,所以,这2个向量是共线向量,故不能作为基底.B、中的2个向量的坐标对应成比例,46=69,所以,这2个向量是共线向量,故不能作为基底.C中的2个向量的坐标对应不成比例,2-6≠-54,所以,这2个向量不是共线向量,故可以作为基底.D、中的2个向量的坐标对应成比例,212=-3-34,这2个向量是共线向量,故不能作为基底.故选C.36.“因为指数函数y=ax是增函数(大前提),而y=()x是指数函数(小前提),所以y=()x是增函数(结论)”,上面推理的错误是()
A.大前提错导致结论错
B.小前提错导致结论错
C.推理形式错导致结论错
D.大前提和小前提错都导致结论错答案:A37.算法框图中表示判断的是()A.
B.
C.
D.
答案:∵在算法框图中,表示判断的是菱形,故选B.38.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较,提出假设H0:“这种血清不能起到预防感冒的作用”,利用2×2列联表计算得Χ2≈3.918,经查对临界值表知P(Χ2≥3.841)≈0.05.则下列结论中,正确结论的序号是______
(1)有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”
(2)若某人未使用该血清,那么他在一年中有95%的可能性得感冒
(3)这种血清预防感冒的有效率为95%
(4)这种血清预防感冒的有效率为5%答案:查对临界值表知P(Χ2≥3.841)≈0.05,故有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”950/0仅是指“血清与预防感冒”可信程度,但也有“在100个使用血清的人中一个患感冒的人也没有”的可能.故为:(1).39.已知a,b,c是正实数,且a+b+c=1,则的最小值为(
)A.3B.6C.9D.12答案:C解析:本题考查均值不等式等知识。将1代入中,得,当且仅当,又,故时不等式取,选C。40.某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛,其中一班有3位,二班有2位,其它班有5位,若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班有3位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连),而二班的2位同学没有被排在一起的概率为:()A.110B.120C.140D.1120答案:由题意知本题是一个古典概型,∵试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有:A1010;满足条件的事件要得到“一班有3位同学恰好被排在一起而二班的2位同学没有被排在一起的演讲的顺序”可通过如下步骤:①将一班的3位同学“捆绑”在一起,有A33种方法;②将一班的“一梱”看作一个对象与其它班的5位同学共6个对象排成一列,有A66种方法;③在以上6个对象所排成一列的7个间隙(包括两端的位置)中选2个位置,将二班的2位同学插入,有A72种方法.根据分步计数原理(乘法原理),共有A33?A66?A72种方法.∴一班有3位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连),而二班的2位同学没有被排在一起的概率为:P=A33?A66?A27A1010=120.故选B.41.在投掷两枚硬币的随机试验中,记“一枚正面朝上,一枚反面朝上”为事件A,“两枚正面朝上”为事件B,则事件A,B()
A.既是互斥事件又是对立事件
B.是对立事件而非互斥事件
C.既非互斥事件也非对立事件
D.是互斥事件而非对立事件答案:D42.(理)在直角坐标系中,圆C的参数方程是x=2cosθy=2+2sinθ(θ为参数),以原点为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则圆C的圆心极坐标为______.答案:∵直角坐标系中,圆C的参数方程是x=2cosθy=2+2sinθ(θ为参数),∴x2+(y-2)2=4,∵以原点为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,∴圆心坐标(0,2),r=2∵0=pcosθ,∴θ=π2,又p=r=2,∴圆C的圆心极坐标为(2,π2),故为:(2,π2).43.不等式的解集是(
)
A.(-3,2)
B.(2,+∞)
C.(-∞,-3)∪(2,+∞)
D.(-∞,-3)∪(3,+∞)答案:C44.设f(x)=ex(x≤0)ln
x(x>0),则f[f(13)]=______.答案:因为f(x)=ex(x≤0)ln
x(x>0),所以f(13)=ln13<0,所以f[f(13)]=f(ln13)=eln13=13,故为13.45.已知a=(3λ,6,λ+6),b=(λ+1,3,2λ)为两平行平面的法向量,则λ=______.答案:∵a=(3λ,6,λ+6),b=(λ+1,3,2λ)为两平行平面的法向量,∴a∥b.∴存在实数k,使得a=kb,∴3λ=k(λ+1)6=3kλ+6=2λk,解得k=2λ=2,故为246.如图,AB为⊙O的直径,弦AC、BD交于点P,若AP=5,PC=3,DP=5,则AB=______.
答案:∵AP=5,PC=3,DP=5由相交弦定理可得:BP=35又∵AB为直径,∴∠ACB=90°∴BC=PB2-PC2=6∴AB=AC2-BC2=10故为:1047.向面积为S的△ABC内任投一点P,则△PBC的面积小于S2的概率为______.答案:记事件A={△PBC的面积小于S2},基本事件空间是三角形ABC的面积,(如图)事件A的几何度量为图中阴影部分的面积(DE是三角形的中位线),因为阴影部分的面积是整个三角形面积的34,所以P(A)=阴影部分的面积三角形ABC的面积=34.故为:34.48.若x、y∈R+且x+2y≤ax+y恒成立,则a的最小值是()A.1B.2C.3D.1+22答案:由题意,根据柯西不等式得x+2y≤(1+2)(x+y)∴x+2y≤3(x+y)要使x+2y≤ax+y恒成立,∴a≥3∴a的最小值是3故选C.49.选修4-4:坐标系与参数方程
已知极点O与原点重合,极轴与x轴的正半轴重合.点A,B的极坐标分别为(2,π),(22,π4),曲线C的参数方程为答案:(Ⅰ)S△AOB=12×2×250.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点A在抛物线C上运动.
(1)当点A,P满足AP=-2FA,求动点P的轨迹方程;
(2)设M(m,0),其中m为常数,m∈R+,点A到M的距离记为d,求d的最小值.答案:(1)设动点P的坐标为(x,y),点A的坐标为(xA,yA),则AP=(x-xA,y-yA),因为F的坐标为(1,0),所以FA=(xA-1,yA),因为AP=-2FA,所以(x-,y-yA)=-2(xA-1,yA).所以x-xA=-2(xA-1),y-yA=-2yA,所以xA=2-x,yA=-y代入y2=4x,得到动点P的轨迹方程为y2=8-4x;(2)由题意,d=(m-xA)2+yA2=(m-xA)2+4xA=(xA+2-m)2-4-4m∴m-2≤0,即0<m≤2,xA=0时,dmin=m;m-2>0,即m>2,xA=m-2时,dmin=-4-4m.第3卷一.综合题(共50题)1.求证:菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上.答案:已知:如图,菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O.求证:菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,垂足为O,且AB=BC=CD=DA,而M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点,∴OM=ON=OP=OQ=12AB,∴M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上.所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上.2.已知方程(1+k)x2-(1-k)y2=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围为(
)
A.-1<k<1
B.k>1
C.k<-1
D.k>1或k<-1答案:A3.不等式的解集是(
)
A.(-3,2)
B.(2,+∞)
C.(-∞,-3)∪(2,+∞)
D.(-∞,-3)∪(3,+∞)答案:C4.如图,平面内有三个向量OA、OB、OC,其中与OA与OB的夹角为120°,OA与OC的夹角为30°,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23,若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),则λ+μ的值为______.答案:过C作OA与OB的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形,由∠BOC=90°,∠AOC=30°,由|OA|=|OB|=1,|OC|=23得平行四边形的边长为2和4,λ+μ=2+4=6.故为6.5.若点A的坐标为(3,2),F是抛物线y2=2x的焦点,点M在抛物线上移动时,使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为()A.(0,0)B.(12,1)C.(1,2)D.(2,2)答案:由题意得F(12,0),准线方程为x=-12,设点M到准线的距离为d=|PM|,则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|,故当P、A、M三点共线时,|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=3-(-12)=72.把y=2代入抛物线y2=2x得x=2,故点M的坐标是(2,2),故选D.6.在直角坐标系内,坐标轴上的点构成的集合可表示为()A.{(x,y)|x=0,y≠0或x≠0,y=0}B.{(x,y)|x=0且y=0}C.{(x,y)|xy=0}D.{(x,y)|x,y不同时为零}答案:在x轴上的点(x,y),必有y=0;在y轴上的点(x,y),必有x=0,∴xy=0.∴直角坐标系中,x轴上的点的集合{(x,y)|y=0},直角坐标系中,y轴上的点的集合{(x,y)|x=0},∴坐标轴上的点的集合可表示为{(x,y)|y=0}∪{(x,y)|x=0}={(x,y)|xy=0}.故选C.7.若函数,则下列结论正确的是(
)A.,在上是增函数B.,在上是减函数C.,是偶函数D.,是奇函数答案:C解析:对于时有是一个偶函数8.已知平面上直线l的方向向量=(-,),点O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分别是O'和A′,则=λ,其中λ等于()
A.
B.-
C.2
D.-2答案:D9.曲线的参数方程是(t是参数,t≠0),它的普通方程是()
A.(x-1)2(y-1)=1
B.
C.
D.答案:B10.已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|=()
A.
B.
C.
D.4答案:C11.直线x3+y4=t被两坐标轴截得的线段长度为1,则t的值是
______.答案:令y=0,得:x=3t;令x=0,得:y=4t,所以被两坐标轴截得的线段长度为(3t)2+(4t)2=|5t|=1所以t=±15故为±1512.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点E,F分别是上底面A1C1和侧面CD1的中心,求下列各式中的x,y的值:
(1)AC1=x(AB+BC+CC1),则x=______;
(2)AE=AA1+xAB+yAD,则x=______,y=______;
(3)AF=AD+xAB+yAA1,则x=______,y=______.答案:(1)根据向量加法的首尾相连法则,x=1;(2)由向量加法的三角形法则得,AE=AA1+A1E,由四边形法则和向量相等得,A1E=12(A1B1+A1D1)=12(AB+AD);∴AE=AA1+12AB+12AD,∴x=y=12;(3)由向量加法的三角形法则得,AF=AD+DF,由四边形法则和向量相等得,DF=12(DC+DD1)=12(AB+AA1);∴AF=AD+12AB+12AA1,∴x=y=12.13.在空间直角坐标系中,已知点P(a,0,0),Q(4,1,2),且|PQ|=,则a=()
A.1
B.-1
C.-1或9
D.1或9答案:C14.点M(2,-3,1)关于坐标原点对称的点是()
A.(-2,3,-1)
B.(-2,-3,-1)
C.(2,-3,-1)
D.(-2,3,1)答案:A15.已知函数①f(x)=3lnx;②f(x)=3ecosx;③f(x)=3ex;④f(x)=3cosx.其中对于f(x)定义域内的任意一个自变量x1都存在唯一个个自变量x2,使f(x1)f(x2)=3成立的函数序号是______.答案:根据题意可知:①f(x)=3lnx,x=1时,lnx没有倒数,不成立;②f(x)=3ecosx,任一自变量f(x)有倒数,但所取x】的值不唯一,不成立;③f(x)=3ex,任意一个自变量,函数都有倒数,成立;④f(x)=3cosx,当x=2kπ+π2时,函数没有倒数,不成立.所以成立的函数序号为③故为③16.化简的结果是()
A.a2
B.a
C.a
D.a答案:C17.计算:x10÷x5=______.答案:根据有理数指数幂的运算性质:x10÷x5=x5故为:x518.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为()
A.1
B.2
C.
D.3答案:C19.某种肥皂原零售价每块2元,凡购买2块以上(包括2块),商场推出两种优惠销售办法。第一种:一块肥皂按原价,其余按原价的七折销售;第二种:全部按原价的八折销售。你在购买相同数量肥皂的情况下,要使第一种方法比第二种方法得到的优惠多,最少需要买(
)块肥皂。
A.5
B.2
C.3
D.4答案:D20.如图,花园中间是喷水池,喷水池周围的A、B、C、D区域种植草皮,要求相邻的区域种不同颜色的草皮,现有4种不同颜色的草皮可供选用,则共有______种不同的种植方法(以数字作答).答案:若AD相同,有4×(3+3×2)种种植方法,若AD不同,有4×3×(2+2×1)种种植方法∴共有4×(3+3×2)+4×3×(2+2×1)=36+48=84种不同方法.故为84.21.已知a、b、c为某一直角三角形的三条边长,c为斜边.若点(m,n)在直线ax+by+2c=0上,则m2+n2的最小值是______.答案:根据题意可知:当(m,n)运动到原点与已知直线作垂线的垂足位置时,m2+n2的值最小,由三角形为直角三角形,且c为斜边,根据勾股定理得:c2=a2+b2,所以原点(0,0)到直线ax+by+2c=0的距离d=|0+0+2c|a2+b2=2,则m2+n2的最小值为4.故为:4.22.设O为坐标原点,给定一个定点A(4,3),而点B(x,0)在x正半轴上移动,l(x)表示AB的长,则△OAB中两边长的比值的最大值为()
A.
B.
C.
D.答案:B23.已知圆的极坐标方程为:ρ2-42ρcos(θ-π4)+6=0.
(1)将极坐标方程化为普通方程;
(2)若点P(x,y)在该圆上,求x+y的最大值和最小值.答案:(1)ρ2-42ρcos(θ-π4)+6=0
即
ρ2-42(22ρcosθ+22ρsinθ
),即x2+y2-4x-4y+6=0.(2)圆的参数方程为x=
2
+2cosαy=
2
+2sinα,∴x+y=4+2(sinα+cosα)=4+2sin(α+π4).由于-1≤sin(α+π4)≤1,∴2≤x+y≤6,故x+y的最大值为6,最小值等于2.24.直线x+y-1=0到直线xsinα+ycosα-1=0(<α<)的角是()
A.α-
B.-α
C.α-
D.-α答案:D25.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是()
A.一条线段
B.一段圆弧
C.圆上一群孤立点
D.一个单位圆答案:D26.巳知椭圆{xn}与{yn}的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为32,且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为______.答案:由题设知e=32,2a=12,∴a=6,b=3,∴所求椭圆方程为x236+y29=1.:x236+y29=1.27.圆x=1+cosθy=1+sinθ(θ为参数)的标准方程是
______,过这个圆外一点P(2,3)的该圆的切线方程是
______;答案:∵圆x=1+cosθy=1+sinθ(θ为参数)消去参数θ,得:(x-1)2+(y-1)2=1,即圆x=1+cosθy=1+sinθ(θ为参数)的标准方程是(x-1)2+(y-1)2=1;∵这个圆外一点P(2,3)的该圆的切线,当切线斜率不存在时,显然x=2符合题意;当切线斜率存在时,设切线方程为:y-3=k(x-2),由圆心到切线的距离等于半径,得|k-1+3-2k|k2+1=
1,解得:k=34,故切线方程为:3x-4y+6=0.故为:(x-1)2+(y-1)2=1;x=2或3x-4y+6=0.28.(Ⅰ)已知z∈C,且|z|-i=.z+2+3i(i为虚数单位),求复数z2+i的虚部.
(Ⅱ)已知z1=a+2i,z2=3-4i(i为虚数单位),且z1z2为纯虚数,求实数a的值.答案:(Ⅰ)设z=x+yi,代入方程|z|-i=.z+2+3i,得出x2+y2-i=x-yi+2+3i=(x+2)+(3-y)i,故有x2+y2=x+23-y=-1,解得x=3y=4,∴z=3+4i,复数z2+i=3+4i2+i=2+i,虚部为1(Ⅱ)z1z2=a+2i3-4i=3a-8+(4a+6)i25,且z1z2为纯虚数则3a-8=0,且4a+6≠0,解得a=8329.若p、q是两个简单命题,且“p或q”的否定形式是真命题,则()
A.p真q真
B.p真q假
C.p假q真
D.p假q假答案:D30.如图所示,正方体的棱长为1,点A是其一棱的中点,则点A在空间直角坐标系中的坐标是()
A.(,,1)
B.(1,1,)
C.(,1,)
D.(1,,1)
答案:B31.已知点P(t,t),t∈R,点M是圆x2+(y-1)2=上的动点,点N是圆(x-2)2+y2=上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是(
)
A.-1
B.
C.2
D.1答案:C32.为了评价某个电视栏目的改革效果,在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查,经过计算K2≈0.99,根据这一数据分析,下列说法正确的是()
A.有99%的人认为该栏目优秀
B.有99%的人认为该栏目是否优秀与改革有关系
C.有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系
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