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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年辽河石油职业技术学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.下列命题:
①垂直于同一直线的两直线平行;
②垂直于同一直线的两平面平行;
③垂直于同一平面的两直线平行;
④垂直于同一平面的两平面平行;
其中正确的有()
A.③④
B.①②④
C.②③
D.②③④答案:C2.若函数f(2x+1)=x2-2x,则f(3)=______.答案:解法一:(换元法求解析式)令t=2x+1,则x=t-12则f(t)=(t-12)2-2t-12=14t2-32t+54∴f(x)=14x2-32x+54∴f(3)=-1解法二:(凑配法求解析式)∵f(2x+1)=x2-2x=14(2x+1)2-32(2x+1)+54∴f(x)=14x2-32x+54∴f(3)=-1解法三:(凑配法求解析式)∵f(2x+1)=x2-2x令2x+1=3则x=1此时x2-2x=-1∴f(3)=-1故为:-13.已知向量a与向量b,|a|=2,|b|=3,a、b的夹角为60°,当1≤m≤2,0≤n≤2时,|ma+nb|的最大值为______.答案:∵|a|=2,|b|=3,a、b的夹角为60°,∴|ma+nb|2=m2a2+2mna?b+n2b2=4m2+2mn×2×3×cos60°+9n2=4m2+6mn+9n2,∵1≤m≤2,0≤n≤2,∴当m=2且n=2时,|ma+nb|2取到最大值,即|ma+nb|2max=100,∴,|ma+nb|的最大值为10.故为:10.4.方程组的解集是(
)
A.{(-3,0)}
B.{-3,0}
C.(-3,0)
D.{(0,-3)}
答案:A5.已知直线过点A(2,0),且平行于y轴,方程:|x|=2,则(
)
A.l是方程|x|=2的曲线
B.|x|=2是l的方程
C.l上每一点的坐标都是方程|x|=2的解
D.以方程|x|=2的解(x,y)为坐标的点都在l上答案:C6.定点F1,F2,且|F1F2|=8,动点P满足|PF1|+|PF2|=8,则点P的轨迹是()A.椭圆B.圆C.直线D.线段答案:∵|PF1|+|PF2|=8,且|F1F2|=8∴|PF1|+|PF2|=|F1F2|①当点P不在直线F1F2上时,根据三角形两边之和大于第三边,得|PF1|+|PF2|>|F1F2|,不符合题意;②当点P在直线F1F2上时,若点P在F1、F2两点之外时,可得|PF1|+|PF2|>8,得到|PF1|+|PF2|>|F1F2|,不符合题意;若点P在F1、F2两点之间(或与F1、F2重合)时,可得|PF1|+|PF2|=|F1F2|,符合题意.综上所述,得点P在直线F1F2上且在F1、F2两点之间或与F1、F2重合,故点P的轨迹是线段F1F2.故选:D7.求证:定义在实数集上的单调减函数y=f(x)的图象与x轴至多只有一个公共点.答案:证明:假设函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点…(2分)设交点的横坐标分别为x1,x2,且x1<x2.因为函数y=f(x)在实数集上单调递减所以f(x1)>f(x2),…(6分)这与f(x1)=f(x2)=0矛盾.所以假设不成立.
…(12分)故原命题成立.…(14分)8.已知f(x+1)=x2+2x+3,则f(2)的值为______.答案:由f(x+1)=x2+2x+3,得f(1+1)=12+2×1+3=6,故为:6.9.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.12答案:抛物线y2=8x的准线为x=-2,∵点P到y轴的距离是4,∴到准线的距离是4+2=6,根据抛物线的定义可知点P到该抛物线焦点的距离是6故选B10.下列说法中正确的是()
A.以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥
B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台
C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆
D.圆锥侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径答案:C11.设椭圆=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2)()
A.必在圆x2+y2=2内
B.必在圆x2+y2=2上
C.必在圆x2+y2=2外
D.以上三种情形都有可能答案:A12.在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下:
90
89
90
95
93
94
93
去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数的平均值和方差分别为()
A.92,2
B.92,2.8
C.93,2
D.93,2.8答案:B13.若矩阵A=
72
69
67
65
62
59
81
74
68
64
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52
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79
76
72
69
64
228
219
211
204
195
183
是表示我校2011届学生高二上学期的期中成绩矩阵,A中元素aij(i=1,2,3,4;j=1,2,3,4,5,6)的含义如下:i=1表示语文成绩,i=2表示数学成绩,i=3表示英语成绩,i=4表示语数外三门总分成绩j=k,k∈N*表示第50k名分数.若经过一定量的努力,各科能前进的名次是一样的.现小明的各科排名均在250左右,他想尽量提高三门总分分数,那么他应把努力方向主要放在哪一门学科上()
A.语文
B.数学
C.外语
D.都一样答案:B14.已知x∈R,i为虚数单位,若(x-2)i-1-i为纯虚数,则x的值为()A.1B.-1C.2D.-2答案:(x-2)i-1-i=[(x-2)i-1]•i-i•i=(x-2)i2-i=(2-x)-i由纯虚数的定义可得2-x=0,故x=2故选C15.如果关于x的不等式组有解,那么实数a的取值范围(
)
A.(-∞,-3)∪(1,+∞)
B.(-∞,-1)∪(3,+∞)
C.(-1,3)
D.(-3,1)答案:C16.在四面体O-ABC中,OA=a,OB=b,OC=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则OE=______(用a,b,c表示)答案:在四面体O-ABC中,OA=a,OB=b,OC=c,D为BC的中点,E为AD的中点,∴OE=12(OA+OD)=OA2+OD2=12a+12×12(OB+OC)=12a+14(b+c)=12a+14b+14c,故为:12a+14b+14c.17.为了了解学校学生的身体发育情况,抽查了该校100名高中男生的体重情况,根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示,根据此图,估计该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为()
A.300B.350C.420D.450答案:∵由图得,∴70.5公斤以上的人数的频率为:(0.04+0.035+0.016)×2=0.181,∴70.5公斤以上的人数为2000×0.181=362,故选B18.如果:在10进制中2004=4×100+0×101+0×102+2×103,那么类比:在5进制中数码2004折合成十进制为()A.29B.254C.602D.2004答案:(2004)5=2×54+4=254.故选B.19.两不重合直线l1和l2的方向向量分别为答案:∵直线l1和l2的方向向量分别为20.为了评价某个电视栏目的改革效果,在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查,经过计算K2≈0.99,根据这一数据分析,下列说法正确的是()
A.有99%的人认为该栏目优秀
B.有99%的人认为该栏目是否优秀与改革有关系
C.有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系
D.没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系答案:D21.(《几何证明选讲》选做题)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,⊙O分别切AC、BC于M、N,圆心O在AB上,⊙O的半径为4,OA=5,则OB的长为______.答案:连接OM,ON,则∵⊙O分别切AC、BC于M、N∴OM⊥AC,ON⊥BC∵∠C=90°,∴OMCN为正方形∵⊙O的半径为4,OA=5∴AM=3∴CA=7∵ON∥AC∴ONAC=OBBA∴47=OBOB+5∴OB=203故为:20322.某细胞在培养过程中,每15分钟分裂一次(由1个细胞分裂成2个),则经过两个小时后,1个这样的细胞可以分裂成______个.答案:由于每15分钟分裂一次,则两个小时共分裂8次.一个这样的细胞经过一次分裂后,由1个分裂成2个;经过2次分裂后,由1个分裂成22个;…经过8次分裂后,由1个分裂成28个.∴1个这样的细胞经过两个小时后,共分裂成28个,即256个.故为:25623.点P(,)与圆x2+y2=1的位置关系是()
A.在圆内
B.在圆外
C.在圆上
D.与t有关答案:C24.实数系的结构图如图所示,其中1、2、3三个方格中的内容分别为()
A.有理数、零、整数
B.有理数、整数、零
C.零、有理数、整数
D.整数、有理数、零
答案:B25.已知函数f(x)=|log2x-1|+|log2x-2|,解不等式f(x)>4.答案:f(x)=|log2x-1|+|log2x-2|,取绝对值得:f(x)=3-2log2x,0<x<21,2≤x≤42log2x-3,x>4所以f(x)>4等价于:0<x≤23-2log2x>4或x≥42log2x-3>4,解得:0<x<22或x>82.26.如图,PA切圆O于点A,割线PBC经过圆心O,OB=PB=1,OA绕点O逆时针旋转600到OD,则PD的长为()
A.3
B.
C.
D.
答案:D27.已知,求证:答案:证明略解析:∵
∴①
又∵②
③由①②③得
∴,又不等式①、②、③中等号成立的条件分别为,,故不能同时成立,从而.28.已知一物体在共点力F1=(lg2,lg2),F2=(lg5,lg2)的作用下产生位移S=(2lg5,1),则这两个共点力对物体做的总功W为()A.1B.2C.lg2D.lg5答案:∵F1+F2=(lg2,lg2)+(lg5,lg2)=(1,2lg2)又∵在共点力的作用下产生位移S=(2lg5,1)∴这两个共点力对物体做的总功W为(1,2lg2)?(2lg5,1)=2lg5+2lg2=2故选B29.若将方程|(x-4)2+y2-(x+4)2+y2|=6化简为x2a2-y2b2=1的形式,则a2-b2=______.答案:方程|(x-4)2+y2-(x+4)2+y2|=6,表示点(x,y)到(4,0),(-4,0)两点距离差的绝对值为6,∴轨迹为以(4,0),(-4,0)为焦点的双曲线,方程为x29-y27=1∴a2-b2=2故为:230.若椭圆长轴长与短轴长之比为2,它的一个焦点是(215,0),则椭圆的标准方程是______.答案:由题设条件知a=2b,c=215,∴4b2=b2+60,∴b2=20,a2=80,∴椭圆的标准方程是x280+y220=1.故为:x280+y220=1.31.如图,圆心角∠AOB=120°,P是AB上任一点(不与A,B重合),点C在AP的延长线上,则∠BPC等于______.
答案:解:设点E是优弧AB(不与A、B重合)上的一点,∵∠AOB=120°,∴∠AEB=60°,∵∠BPA=180°-∠AEB=180°-∠BPC,∴∠BPC=∠AEB.∴∠BPC=60°.故为60°.32.若三角形的内切圆半径为r,三边的长分别为a,b,c,则三角形的面积S=12r(a+b+c),根据类比思想,若四面体的内切球半径为R,四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,则此四面体的体积V=______.答案:设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是R,所以四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.故为:13R(S1+S2+S3+S4).33.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点P的轨迹是()A.双曲线B.双曲线右支C.一条射线D.不存在答案:∵|PM|-|PN|=3,M(-2,0),N(2,0),且3<4=|MN|,根据双曲线的定义,∴点P是以M(-2,0),N(2,0)为两焦点的双曲线的右支.故选B.34.画出《数学3》第一章“算法初步”的知识结构图.答案:《数学3》第一章“算法初步”的知识包括:算法、程序框图、算法的三种基本逻辑结构和框图表示、基本算法语句.算法的三种基本逻辑结构和框图表示就是顺序结构、条件结构、循环结构,基本算法语句是指输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句和循环语句.故《数学3》第一章“算法初步”的知识结构图示意图如下:35.已知x,y之间的一组数据:
x0123y1357则y与x的回归方程必经过()A.(2,2)B.(1,3)C.(1.5,4)D.(2,5)答案:∵.x=0+1+2+34=1.5,.y=1+3+5+74=4∴这组数据的样本中心点是(1.5,4)根据线性回归方程一定过样本中心点,∴线性回归方程y=a+bx所表示的直线必经过点(1.5,4)故选C36.已知正方形ABCD的边长为a,则|AC+AD|等于______.答案:∵正方形ABCD的边长为a,∴AC=2a,AC与AD的夹角为45°|AC+AD|2=|AC
|2+2AC?AD+|AD|2=2a2+2×2a×a×22+a2=5a2∴|AC+AD|=5a故为:5a37.某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个),这种细菌由1个繁殖成4096个需经过()A.12小时B.4小时C.3小时D.2小时答案:设共分裂了x次,则有2x=4
096,∴2x=212,又∵每次为15分钟,∴共15×12=180(分钟),即3个小时.故为C38.下面为一个求20个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为()
A.i>20
B.i<20
C.i>=20
D.i<=20
答案:A39.己知集合A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a},且a∈N*,x∈A,y∈B,使B中元素y=3x+1和A中的元素x对应,则a=______,k=______.答案:若x∈A,y∈B,使B中元素y=3x+1和A中的元素x对应,则当x=1时,y=4;当x=2时,y=7;当x=3时,y=10;当x=k时,y=3k+1;又由a∈N*,∴a4≠10,则a2+3a=10,a4=3k+1解得a=2,k=5故为:2,540.一个完整的程序框图至少应该包含______.答案:完整程序框图必须有起止框,用来表示程序的开始和结束,还要包括处理框,用来处理程序的执行.故为:起止框、处理框.41.方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是()
A.0<a≤1
B.a<1
C.a≤1
D.0<a≤1或a<0答案:C42.设复数z=x+yi(x,y∈R)与复平面上点P(x,y)对应.
(1)设复数z满足条件|z+3|+(-1)n|z-3|=3a+(-1)na(其中n∈N*,常数a∈
(32
,
3)),当n为奇数时,动点P(x,y)的轨迹为C1;当n为偶数时,动点P(x,y)的轨迹为C2,且两条曲线都经过点D(2,2),求轨迹C1与C2的方程;
(2)在(1)的条件下,轨迹C2上存在点A,使点A与点B(x0,0)(x0>0)的最小距离不小于233,求实数x0的取值范围.答案:(1)方法1:①当n为奇数时,|z+3|-|z-3|=2a,常数a∈
(32
,
3),轨迹C1为双曲线,其方程为x2a2-y29-a2=1;…(3分)②当n为偶数时,|z+3|+|z-3|=4a,常数a∈
(32
,
3),轨迹C2为椭圆,其方程为x24a2+y24a2-9=1;…(6分)依题意得方程组44a2+24a2-9=14a2-29-a2=1⇒4a4-45a2+99=0a4-15a2+36=0
,解得a2=3,因为32<a<3,所以a=3,此时轨迹为C1与C2的方程分别是:x23-y26=1(x>0),x212+y23=1.…(9分)方法2:依题意得|z+3|+|z-3|=4a|z+3|-|z-3|=2a⇒|z+3|=3a|z-3|=a…(3分)轨迹为C1与C2都经过点D(2,2),且点D(2,2)对应的复数z=2+2i,代入上式得a=3,…(6分)即|z+3|-|z-3|=23对应的轨迹C1是双曲线,方程为x23-y26=1(x>0);|z+3|+|z-3|=43对应的轨迹C2是椭圆,方程为x212+y23=1.…(9分)(2)由(1)知,轨迹C2:x212+y23=1,设点A的坐标为(x,y),则|AB|2=(x-x0)2+y2=(x-x0)2+3-14x2=34x2-2x0x+x20+3=34(x-43x0)2+3-13x20,x∈[-23,23]…(12分)当0<43x0≤23即0<x0≤332时,|AB|2min=3-13x20≥43⇒0<x0≤5当43x0>23即x0>332时,|AB|min=|x0-23|≥233⇒x0≥833,…(16分)综上,0<x0≤5或x0≥833.…(18分)43.直线和圆交于两点,则的中点
坐标为(
)A.B.C.D.答案:D解析:,得,中点为44.某工厂生产的产品,用速度恒定的传送带将产品送入包装车间之前,质检员每隔3分钟从传送带上是特定位置取一件产品进行检测,这种抽样方法是()
A.简单随机抽样
B.系统抽样
C.分层抽样
D.其它抽样方法答案:B45.在z轴上与点A(-4,1,7)和点B(3,5,-2)等距离的点C的坐标为
______.答案:由题意设C(0,0,z),∵C与点A(-4,1,7)和点B(3,5,-2)等距离,∴|AC|=|BC|,∴16+1+(7-z)2=9+25+(z+2)2,∴18z=28,∴z=149,∴C点的坐标是(0,0,149)故为:(0,0,149)46.已知x+2y+3z=1,则x2+y2+z2取最小值时,x+y+z的值为______.答案:由柯西不等式可知:(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)(12+22+32)故x2+y2+z2≥114,当且仅当x1=y2=z3取等号,此时y=2x,z=3x,x+2y+3z=14x=1,∴x=114,y=214,x=314,x+y+z=614=37.故为:37.47.若直线x=1的倾斜角为α,则α()A.等于0B.等于π4C.等于π2D.不存在答案:由题意知直线的斜率不存在,故倾斜角α=π2,故选C.48.过点P(3,0)作一直线,它夹在两条直线l1:2x-y-3=0,l2:x+y+3=0之间的线段恰被点P平分,该直线的方程是()
A.4x-y-6=0
B.3x+2y-7=0
C.5x-y-15=0
D.5x+y-15=0答案:C49.函数f(x)=log2(3x+1)的值域为()
A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞)答案:根据对数函数的定义可知,真数3x+1>0恒成立,解得x∈R.因此,该函数的定义域为R,原函数f(x)=log2(3x+1)是由对数函数y=log2t和t=3x+1复合的复合函数.由复合函数的单调性定义(同増异减)知道,原函数在定义域R上是单调递增的.根据指数函数的性质可知,3x>0,所以,3x+1>1,所以f(x)=log2(3x+1)>log21=0,故选A.解析:试题分析50.已知随机变量ξ~N(3,22),若ξ=2η+3,则Dη=()
A.0
B.1
C.2
D.4答案:B第2卷一.综合题(共50题)1.集合M={(x,y)|xy≤0,x,y∈R}的意义是()A.第二象限内的点集B.第四象限内的点集C.第二、四象限内的点集D.不在第一、三象限内的点的集合答案:∵xy≤0,∴xy<0或xy=0当xy<0时,则有x<0y>0或x>0y<0,点(x,y)在二、四象限,当xy=0时,则有x=0或y=0,点(x,y)在坐标轴上,故选D.2.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程.
在如图中纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则如图中的四个图形中较符合该学生走法的是()A.
B.
C.
D.
答案:由题意可知:由于怕迟到,所以一开始就跑步,所以刚开始离学校的距离随时间的推移应该相对较快.而等跑累了再走余下的路程,则说明离学校的距离随时间的推移在后半段时间应该相对较慢.所以适合的图象为:故选B.3.运用三段论推理:
复数不可以比较大小,(大前提)
2010和2011都是复数,(小前提)
2010和2011不可以比较大小.(结
论)
该推理是错误的,产生错误的原因是______错误.(填“大前提”或“小前提”)答案:根据三段论推理,是由两个前提和一个结论组成,大前提:复数不可以比较大小,是错误的,该推理是错误的,产生错误的原因是大前提错误.故为:大前提4.将一枚质地均匀的硬币连续投掷4次,出现“2次正面朝上,2次反面朝上”和“3次正面朝上,1次反面朝上”的概率各是多少?答案:将一枚质地均匀的硬币连续投掷4次,出现“2次正面朝上,2次反面朝上”的概率p1=C24(12)2(12)2=38.将一枚质地均匀的硬币连续投掷4次,出现“3次正面朝上,1次反面朝上”的概率p2=C34(12)3?12=14.5.已知全集U=R,A⊆U,B⊆U,如果命题P:2∈A∪B,则命题非P是()A.2∉AB.2∈(CUA)C.2∈(CUA)∩(CUB)D.2∈(CUA)∪(CUB)答案:命题P:2∈A∪B,∴┐p为2∈(CUA)∩(CUB)故选C6.选修4-4参数方程与极坐标
在平面直角坐标系xOy中,动圆x2+y2-8xcosθ-6ysinθ+7cos2θ+8=0(θ∈R)的圆心为P(x0,y0),求2x0-y0的取值范围.答案:将圆的方程整理得:(x-4cosθ)2+(y-3sinθ)2=1由题设得x0=4cosθy0=3sinθ(θ为参数,θ∈R).所以2x0-y0=8cosθ-3sinθ=73cos(θ+φ),所以
-73≤2x0-y0≤73.7.关于如图所示几何体的正确说法为______.
①这是一个六面体;
②这是一个四棱台;
③这是一个四棱柱;
④这是一个四棱柱和三棱柱的组合体;
⑤这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱.答案:①因为有六个面,属于六面体的范围,②这是一个很明显的四棱柱,因为侧棱的延长线不能交与一点,所以不正确.③如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱,④可以有四棱柱和三棱柱组成,⑤和④的想法一样,割补方法就可以得到.故为:①③④⑤.8.一条直线的倾斜角的余弦值为32,则此直线的斜率为()A.3B.±3C.33D.±33答案:设直线的倾斜角为α,∵α∈[0,π),cosα=32∴α=π6因此,直线的斜率k=tanα=33故选:C9.(坐标系与参数方程选做题)点P(-3,0)到曲线x=t2y=2t(其中参数t∈R)上的点的最短距离为______.答案:设点Q(t2,2t)为曲线上的任意一点,则|PQ|=(t2+3)2+(2t)2=(t2+5)2-16≥52-16=3,当且仅当t=0取等号,此时Q(0,0).故点P(-3,0)到曲线x=t2y=2t(其中参数t∈R)上的点的最短距离为3.故为3.10.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,则a的取值范围是______.答案:当a>0时,方程对应的函数f(x)=2ax2-x-1在(0,1)内恰有一解,必有f(0)•f(1)<0,即-1×(2a-2)<0,解得a>1当a≤0时函数f(x)=2ax2-x-1在(0,1)内恰无解.故为:a>111.已知圆x2+y2=r2在曲线|x|+|y|=4的内部,则半径r的范围是()A.0<r<22B.0<r<2C.0<r<2D.0<r<4答案:根据题意画出图形,如图所示:可得曲线|x|+|y|=4表示边长为42的正方形,如图ABCD为正方形,x2+y2=r2表示以原点为圆心的圆,过O作OE⊥AB,∵边AB所在直线的方程为x+y=4,∴|OE|=42=22,则满足题意的r的范围是0<r<22.故选A12.已知集合A={0,1,2},集合B={x|x=2a,a∈A},则A∩B=()A.{0}B.{2}C.{0,2}D.{1,4}答案:B={0,2,4},∴A∩B={0,2},故选C13.选做题
已知抛物线,过原点O直线与交于两点。
(1)求的最小值;
(2)求的值答案:解:设直线的参数方程为与抛物线方程
联立得14.圆x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为()
A.x+y-2=0
B.x+y-4=0
C.x-y+4=0
D.x-y+2=0答案:D15.若一辆汽车每天行驶的路程比原来多19km,则该汽车在8天内行驶的路程s(km)就超过2200km;若它每天行驶的路程比原来少12km,则它行驶同样的路程s(km)就得花9天多的时间。这辆汽车原来每天行驶的路程(km)的范围是(
)
A.(259,260)
B.(258,260)
C.(257,260)
D.(256,260)答案:D16.在复平面上,设点A,B,C对应的复数分别为i,1,4+2i,过A、B、C作平行四边形ABCD,则平行四边形对角线BD的长为______.答案:∵点A,B,C对应的复数分别为i,1,4+2i∴A(0,1),B(1,0),C(4,2)设D(x,y)∴AD=BC=(3,2)∴D(3,3)∴对角线BD的长度是4+9=13故为:1317.已知函数f(x)=ax,(a>0,a≠1)的图象经过点P(12,12),则常数a的值为()A.2B.4C.12D.14答案:∵函数f(x)=ax,(a>0,a≠1)的图象经过点P(12,12),∴a12=12,?a=14.故选D.18.两个样本甲和乙,其中=10,=10,=0.055,=0.015,那么样本甲比样本乙波动()
A.大
B.相等
C.小
D.无法确定答案:A19.设集合A={l,2},B={2,4),则A∪B=()A.{1}B.{4}C.{l,4}D.{1,2,4}答案:∵集合A={1,2},集合B={2,4},∴集合A∪B={1,2,4}.故选D.20.已知x与y之间的一组数据是()
x0123y2468则y与x的线性回归方程y=bx+a必过点()A.(2,2)B.(1,2)C.(1.5,0)D.(1.5,5)答案:根据所给的表格得到.x=0+1+2+34=1.5,.y=2+4+6+84=5,∴这组数据的样本中心点是(1.5,5)∵线性回归直线一定过样本中心点,∴y与x的线性回归方程y=bx+a必过点(1.5,5)故选D.21.已知m2+n2=1,a2+b2=2,则am+bn的最大值是()
A.1
B.
C.
D.以上都不对答案:C22.若a为实数,,则a等于()
A.
B.-
C.2
D.-2答案:B23.已知x,y的取值如下表:
x0134y2.24.34.86.7从散点图分析,y与x线性相关,则回归方程为.y=bx+a必过点______.答案:.X=0+1+3+44=2,.Y=2.2+4.3+4.8+6.74=92,故样本中心点的坐标为(2,92).故为:(2,92).24.已知抛物线C的参数方程为x=8t2y=8t(t为参数),设抛物线C的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的斜率为-3,那么|PF|=______.答案:把抛物线C的参数方程x=8t2y=8t(t为参数),消去参数化为普通方程为y2=8x.故焦点F(2,0),准线方程为x=-2,再由直线FA的斜率是-3,可得直线FA的倾斜角为120°,设准线和x轴的交点为M,则∠AFM=60°,且MF=p=4,∴∠PAF=180°-120°=60°.∴AM=MF•tan60°=43,故点A(0,43),把y=43代入抛物线求得x=6,∴点P(6,43),故|PF|=(6-2)2+(43-0)2=8,故为8.25.“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P),某奇数(S)是9的倍数(M),故此奇数(S)是3的倍数(P)”,上述推理是()
A.小前提错
B.结论错
C.正确的
D.大前提错答案:C26.已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是()
A.(1,-1,1)
B.(1,3,)
C.,(1,-3,)
D.(-1,3,-)答案:B27.对变量x、y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散点图1;对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图2.由这两个散点图可以判断()
A.变量x与y正相关,u与v正相关
B.变量x与y正相关,u与v负相关
C.变量x与y负相关,u与v正相关
D.变量x与y负相关,u与v负相关答案:C28.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段CD的中点,若AC=a,BD=b,则AE=______.(用a、b表示)答案:∵平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段CD的中点,若AC=a,BD=b,∴AE=AO+OE=12a+OD+OC2=12a+a+b4=3a4+14b.故为:34a+14b.29.若某简单组合体的三视图(单位:cm)如图所示,说出它的几何结构特征,并求该几何体的表面积。答案:解:该几何体由球和圆台组成。球的半径为1,圆台的上下底面半径分别为1、4,高为4,母线长为5,S球=4πcm2,S台=π(12+42+1×5+4×5)=42πcm2,故S表=S球+S台=46πcm2。30.若向量=(2,-3,1),=(2,0,3),=(0,2,2),则(+)=()
A.4
B.15
C.7
D.3答案:D31.若两直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2,则下列四个命题中正确的是()
A.若α1<α2,则两直线斜率k1<k2
B.若α1=α2,则两直线斜率k1=k2
C.若两直线斜率k1<k2,则α1<α2
D.若两直线斜率k1=k2,则α1=α2答案:D32.由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示,则搭成该几何体的小正方体木块有()
A.6块
B.7块
C.8块
D.9块答案:B33.已知F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足PF1-PF2=10,则点P的轨迹是______.答案:由于两点间的距离|F1F2|=10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10的点P的轨迹应是一条射线.故为一条射线.34.平面上一动点到两定点距离差为常数2a(a>0)的轨迹是否是双曲线,若a>c是否为双曲线?答案:由题意,设两定点间的距离为2c,则2a<2c时,轨迹为双曲线的一支2a=2c时,轨迹为一条射线2a>2c时,无轨迹.35.若f(x)=x2,则对任意实数x1,x2,下列不等式总成立的是(
)
A.f()≤
B.f()<
C.f()≥
D.f()>答案:A36.若向量a=(4,2,-4),b=(6,-3,2),则(2a-3b)•(a+2b)=______.答案:∵2a-3b=(-10,13,-14),a+2b=(16,-4,0)∴(2a-3b)•(a+2b)=-10×16+13×(-4)=-212故为-21237.x2+(m-3)x+m=0
一个根大于1,一个根小于1,m的范围是______.答案:设f(x)=x2+(m-3)x+m,则∵x2+(m-3)x+m=0一个根大于1,一个根小于1,∴f(1)<0∴1+(m-3)+m<0∴m<1故为m<1.38.在极坐标系中,曲线ρ=4cosθ围成的图形面积为()
A.π
B.4
C.4π
D.16答案:C39.如图,在△ABC中,设AB=a,AC=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点恰为P.
(Ⅰ)若AP=λa+μb,求λ和μ的值;
(Ⅱ)以AB,AC为邻边,AP为对角线,作平行四边形ANPM,求平行四边形ANPM和三角形ABC的面积之比S平行四边形ANPMS△ABC.答案:(Ⅰ)∵在△ABC中,设AB=a,AC=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点恰为P.AP=AR+AC2,AR=AQ+AB2,AQ=12AP,消去AR,AQ∵AP=λa+μb,可得AP=12(AQ+AB2)+12AC=14×12AP+14AB+12AC,可得AP=27AB+47AC=λa+μb,∴λ=27μ=47;(Ⅱ)以AB,AC为邻边,AP为对角线,作平行四边形ANPM,∵得AP=27AB+47AC,∴S平行四边形ANPMS平行四边形ABC=|AN|?|AM|?sin∠CAB12|AB|?|AC|?sin∠CAB=2?|AN||AB|?|AM||AC|=2×27×47=1649;40.若命题“p∧q”为假,且“¬p”为假,则()A.p或q为假B.q假C.q真D.不能判断q的真假答案:因为“?p”为假,所以p为真;又因为“p∧q”为假,所以q为假.对于A,p或q为真,对于C,D,显然错,故选B.41.空间向量a=(2,-1,0),.b=(1,0,-1),n=(1,y,z),若n⊥a,n⊥b,则y+z=______.答案:∵n⊥a,n⊥b,∴n•a=0n•b=0,即2-y=01-z=0,解得y=2z=1,∴y+z=3.故为3.42.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α、β的关系为()A.α>βB.α=βC.α+β=90°D.α+β=180°答案:从点A看点B的仰角与从点B看点A的俯角互为内错角,大小相等.仰角和俯角都是水平线与视线的夹角,故α=β.故选:B.43.某次我市高三教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如如图所示(由于人数众多,成绩分布的直方图可视为正态分布),则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是()
A.甲科总体的标准差最小
B.丙科总体的平均数最小
C.乙科总体的标准差及平均数都居中
D.甲、乙、丙的总体的平均数不相同
答案:A44.若a>0,b>0,则不等式-b<aA.<x<0或0<x<
答案:D解析:试题分析:45.已知a=(1,-2,1),a+b=(3,-6,3),则b等于()A.(2,-4,2)B.(-2,4,-2)C.(-2,0,-2)D.(2,1,-3)答案:∵a+b=(3,-6,3),∴b=a+b-a=(3,-6,3)-(1,-2,1)=(2,-4,2).故选A.46.若图中的直线l1,l2,l3的斜率为k1,k2,k3则()
A.k1<k2<k3
B.k3<k1<k2
C.k2<k1<k3
D.k3<k2<k1
答案:C47.设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k=______.答案:∵α∥β∴平面α、β的法向量互相平行,由此可得a=(1,2,-2),b=(-2,-4,k),a∥b∴1-2=2-4=-2k,解之得k=4.故为:448.直线y=3x+1的斜率是()A.1B.2C.3D.4答案:因为直线y=3x+1是直线的斜截式方程,所以直线的斜率是3.故选C.49.平面向量的夹角为,则等于(
)
A.
B.3
C.7
D.79答案:A50.两平行直线x+3y-4=0与2x+6y-9=0的距离是
______.答案:由直线x+3y-4=0取一点A,令y=0得到x=4,即A(4,0),则两平行直线的距离等于A到直线2x+6y-9=0的距离d=|8-9|22+62=1210=1020.故为:1020第3卷一.综合题(共50题)1.在极坐标系中,曲线p=4cos(θ-π3)上任意两点间的距离的最大值为______.答案:将原极坐标方程p=4cos(θ-π3),化为:ρ=2cosθ+23sinθ,∴ρ2=2ρcosθ+23ρsinθ,化成直角坐标方程为:x2+y2-2x-23y=0,是一个半径为2圆.圆上两点间的距离的最大值即为圆的直径,故填:4.2.随机变量ξ的分布列为k=1、2、3、4,c为常数,则P(<ξ<)的值为()
A.
B.
C.
D.答案:B3.在命题“若a>b,则ac2>bc2”及它的逆命题、否命题、逆否命题之中,其中真命题有()A.4个B.3个C.2个D.1个答案:命题“若a>b,则ac2>bc2”为假命题;其逆命题为“若ac2>bc2,则a>b”为真命题;其否命题为“若a≤b,则ac2≤bc2”为真命题;其逆否命题为“若ac2≤bc2,则a≤b”为假命题;故选C4.设α,β是方程4x2-4mx+m+2=0,(x∈R)的两个实根,当m为何值时,α2+β2有最小值?并求出这个最小值.答案:若α,β是方程4x2-4mx+m+2=0,(x∈R)的两个实根则△=16m2-16(m+2)≥0,即m≤-1,或m≥2则α+β=m,α×β=m+24,则α2+β2=(α+β)2-2αβ=m2-2×m+24=m2-12m-1=(m-14)2-1716∴当m=-1时,α2+β2有最小值,最小值是12.5.某自动化仪表公司组织结构如图所示,其中采购部的直接领导是()
A.副总经理(甲)
B.副总经理(乙)
C.总经理
D.董事会
答案:B6.比较大小:a=0.20.5,b=0.50.2,则()
A.0<a<b<1
B.0<b<a<1
C.1<a<b
D.1<b<a答案:A7.运用三段论推理:
复数不可以比较大小,(大前提)
2010和2011都是复数,(小前提)
2010和2011不可以比较大小.(结
论)
该推理是错误的,产生错误的原因是______错误.(填“大前提”或“小前提”)答案:根据三段论推理,是由两个前提和一个结论组成,大前提:复数不可以比较大小,是错误的,该推理是错误的,产生错误的原因是大前提错误.故为:大前提8.已知圆x2+y2=r2在曲线|x|+|y|=4的内部,则半径r的范围是()A.0<r<22B.0<r<2C.0<r<2D.0<r<4答案:根据题意画出图形,如图所示:可得曲线|x|+|y|=4表示边长为42的正方形,如图ABCD为正方形,x2+y2=r2表示以原点为圆心的圆,过O作OE⊥AB,∵边AB所在直线的方程为x+y=4,∴|OE|=42=22,则满足题意的r的范围是0<r<22.故选A9.某年级共有210名同学参加数学期中考试,随机抽取10名同学成绩如下:
成绩(分)506173859094人数221212则总体标准差的点估计值为______(结果精确到0.01).答案:由题意知本题需要先做出这组数据的平均数50×2+61×2+73+2×85+90+2×9410=74.9,这组数据的总体方差是(2×24.92+1.92+2×13.92+15.12+2×19.12)÷10=309.76,∴总体标准差是309.76≈17.60,故为:17.60.10.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,MN是它的内切球的一条弦(把球面上任意两点之间的线段称为球的弦),P为正方体表面上的动点,当弦MN最长时.PM•PN的最大值为______.答案:设点O是此正方体的内切球的球心,半径R=1.∵PM•PN≤|PM|
|PN|,∴当点P,M,N三点共线时,PM•PN取得最大值.此时PM•PN≤(PO-MO)•(PO+ON),而MO=ON,∴PM•PN≤PO2-R2=PO2-1,当且仅当点P为正方体的一个顶点时上式取得最大值,∴(PM•PN)max=(232)2-1=2.故为2.11.已知x,y之间的一组数据:
x0123y1357则y与x的回归方程必经过()A.(2,2)B.(1,3)C.(1.5,4)D.(2,5)答案:∵.x=0+1+2+34=1.5,.y=1+3+5+74=4∴这组数据的样本中心点是(1.5,4)根据线性回归方程一定过样本中心点,∴线性回归方程y=a+bx所表示的直线必经过点(1.5,4)故选C12.设O为坐标原点,F为抛物线的焦点,A是抛物线上一点,若·=,则点A的坐标是
(
)A.B.C.D.答案:B解析:略13.已知矩阵A将点(1,0)变换为(2,3),且属于特征值3的一个特征向量是11,(1)求矩阵A.(2)β=40,求A5β.答案:(1)设A=abcd,由abcd10=23得,a=2c=3,由abcd11=311=33得,a+b=3c+d=3,所以b=1d=0所以A=2130.
7分(2)A=2130的特征多项式为f(λ)=.λ-2-1-3λ.=
(λ
-3)(λ+1)令f(λ)=0,可得λ1=3,λ2=-1,λ1=3时,α1=11,λ2=-1时,α2=1-3令β=mα1+α2,则β=40=3α1+α2,A5β=3×35α1-α2=36-136+3…14分.14.用黄金分割法寻找最佳点,试验区间为[1000,2000],若第一个二个试点为好点,则第三个试点应选在(
)。答案:123615.已知直线经过点A(0,4)和点B(1,2),则直线AB的斜率为()
A.3
B.-2
C.2
D.不存在答案:B16.(每题6分共12分)解不等式
(1)(2)答案:(1)(2)解析:本试题主要是考查了分式不等式和一元二次不等式的求解,以及含有根式的二次不等式的求解运用。(1)移向,通分,合并,将分式化为整式,然后得到解集。(2)首先分析函数式有意义的x的取值,然后保证两边都有意义的时候,且都为正,两边平方求解得到。解:(2)当8-x<0显然成立。当8-x》0时,则两边平方可得。所以17.复数32i+11-i的虚部是______.答案:复数32i+11-i=32i+1+i(1-i)(1+i)=32i+1+i2=12+2i∴复数的虚部是2,故为:218.直线y=k(x-2)+3必过定点,该定点的坐标为()
A.(3,2)
B.(2,3)
C.(2,-3)
D.(-2,3)答案:B19.在调试某设备的线路设计中,要选一个电阻,调试者手中只有阻值分别为0.7KΩ,1.1KΩ,1.9KΩ,2.0KΩ,3.5KΩ,4.5KΩ,5.5KΩ七种阻值不等的定值电阻,他用分数法进行优法进行优选试验时,依次将电阻值从小到大安排序号,则第1个试点的电阻的阻值是(
).答案:3.5kΩ20.下列命题:
①用相关系数r来刻画回归的效果时,r的值越大,说明模型拟合的效果越好;
②对分类变量X与Y的随机变量的K2观测值来说,K2越小,“X与Y有关系”可信程度越大;
③两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近1;
其中正确命题的序号是
______.(写出所有正确命题的序号)答案:①是由于r可能是负值,要改为|r|的值越大,说明模型拟合的效果越好,故①错误,②对分类变量X与Y的随机变量的K2观测值来说,K2越大,“X与Y有关系”可信程度越大;故②正确③两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近1;故③正确,故为:③21.以原点为圆心,且截直线3x+4y+15=0所得弦长为8的圆的方程是()A.x2+y2=5B.x2+y2=16C.x2+y2=4D.x2+y2=25答案:弦心距是:1525=3,弦长为8,所以半径是5所求圆的方程是:x2+y2=25故选D.22.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)
A.(不等式选做题)不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是______.
B.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是______.
C.(几何证明选做题)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且DF=CF=22,BE=1,BF=2,若CE与圆相切,则线段CE的长为______.答案:A.∵|x-5|+|x+3|≥10,∴当x≥5时,x-5+x+3≥10,∴x≥6;当x≤-3时,有5-x+(-x-3)≥10,∴x≤-4;当-4<x<5时,有5-x+x+3≥8,不成立;故不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是{x|x≤-4或x≥6};B.由ρ=-2sinθ得:ρ2=-2ρsinθ,即x2+y2=-2y,∴x2+(y+1)2=1,∴该圆的圆心的直角坐标为(-1,0),∴其极坐标是(1,3π2);C.∵DF=CF=22,BE=1,BF=2,依题意,由相交线定理得:AF•FB=DF•FC,∴AF×2=22×22,∴AF=4;又∵CE与圆相切,∴|CE|2=|EB|•|EA|=1×(1+2+4)=7,∴|CE|=7.故为:A.{x|x≤-4或x≥6};B.(1,3π2);C.7.23.在△ABC中,“A=45°”是“sinA=22”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:当A=45°时,sinA=22成立.若当A=135°时,满足sinA=22.所以,“A=45°”是“sinA=22”的充分不必要条件.故选A.24.已知x、y的取值如下表所示:
x0134y2.24.34.86.7若从散点图分析,y与x线性相关,且
y=0.95x+
a,则
a的值等于()A.2.6B.6.3C.2D.4.5答案:∵.x=0+1+3+44=2,.y=2.2+4.3+4.8+6.74=4.5,∴这组数据的样本中心点是(2,4.5)∵y与x线性相关,且y=0.95x+a,∴4.5=0.95×2+a,∴a=2.6,故选A.25.复数i2000=______.答案:复数i2009=i4×500=i0=1故为:126.定义xn+1yn+1=1011xnyn为向量OPn=(xn,yn)到向量OPn+1=(xn+1,yn+1)的一个矩阵变换,其中O是坐标原点,n∈N*.已知OP1=(2,0),则OP2010的坐标为______.答案:A=1011,B=20AA=1011
1011
=1021A3=111
121
=1031依此类推A2009=1020101∴A2009B=1020101
20=24018∴OP2010的坐标为(2,4018)故为:(2,4018)27.过直线y=x上的一点作圆(x-5)2+(y-1)2=2的两条切线l1,l2,当直线l1,l2关于y=x对称时,它们之间的夹角为()
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°答案:C28.3i(1+i)2的虚部等于______.答案:3i(1+i)2=2,所以其虚部等于0,故为029.对于函数f(x),若存在区间M=[a,b],(a<b),使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间M为函数f(x)的一个“稳定区间”现有四个函数:
①f(x)=ex②f(x)=x3③f(x)=sinπ2x④f(x)=lnx,其中存在“稳定区间”的函数有()A.①②B.②③C.③④D.②④答案:①对于函数f(x)=ex若存在“稳定区间”[a,b],由于函数是定义域内的增函数,故有ea=a,eb=b,即方程ex=x有两个解,即y=ex和y=x的图象有两个交点,这与即y=ex和y=x的图象没有公共点相矛盾,故①不存在“稳定区间”.②对于f(x)=x3存在“稳定区间”,如x∈[0,1]时,f(x)=x3∈[0,1].③对于f(x)=sinπ2x,存在“稳定区间”,如x∈[0,1]时,f(x)=sinπ2x∈[0,1].④对于f(x)=lnx,若存在“稳定区间”[a,b],由于函数是定义域内的增函数,故有lna=a,且lnb=b,即方程lnx=x有两个解,即y=lnx
和y=x的图象有两个交点,这与y=lnx和y=x的图象没有公共点相矛盾,故④不存在“稳定区间”.故选B.30.点P(,)与圆x2+y2=1的位置关系是()
A.在圆内
B.在圆外
C.在圆上
D.与t有关答案:C31.已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间.若用0.618法安排试验,则第一次试点的加入量可以是(
)g。答案:171.8或148.232.平面α的一个法向量为v1=(1,2,1),平面β的一个法向量为为v2=(-2,-4,10),则平面α与平面β()A.平行B.垂直C.相交D.不确定答案:∵平面α的一个法向量为v1=(1,2,1),平面β的一个法向量为v2=(-2,-4,10),∵v1•v2=1×(-2)+2×(-4)+1×10=0∴v1⊥v2,∴平面α⊥平面β故选B33.两圆相交于点A(1,3)、B(m,-1),两圆的圆心均在直线x-y+c=0上,则m+c的值为(
)
A.3
B.2
C.-1
D.0答案:A34.已知某离散型随机变量ξ的数学期望Eξ=76,ξ的分布列如下,则a=______.
答案:∵Eξ=76=0×a+1×13+2×16+3b∴b=16,∵P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1∴a+13+16+16=1∴a=13.故为:1335.函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为
______.答案:∵y=ax与y=loga(x+1)具有相同的单调性.∴f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上单调,∴f(0)+f(1)=a,即a0+loga1+a1+loga2=a,化简得1+loga2=0,解得a=12故为:1236.直线(t为参数)的倾斜角是(
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