2023年贵州轻工职业技术学院高职单招（数学）试题库含答案解析

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年贵州轻工职业技术学院高职单招（数学）试题库含答案解析（图片大小可自由调整）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第1卷一.综合题(共50题)1.已知,求证:答案：证明略解析：∵

∴①

又∵②

③由①②③得

∴,又不等式①、②、③中等号成立的条件分别为,,故不能同时成立,从而.2.直线y=3x+1的斜率是（）A．1B．2C．3D．4答案：因为直线y=3x+1是直线的斜截式方程，所以直线的斜率是3．故选C．3.设i为虚数单位，若=b+i（a，b∈R），则a，b的值为（）

A．a=0，b=1

B．a=1，b=0

C．a=1，b=1

D．a=，b=-1答案：B4.已知直线l：kx-y+1+2k=0．

（1）证明l经过定点；

（2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程；

（3）若直线不经过第四象限，求k的取值范围．答案：（1）由kx-y+1+2k=0，得y-1=k（x+2），所以，直线l经过定点（-2，1）．（2）由题意得A（2k+1-k，0），B（0，2k+1），且2k+1-k＜01+2k＞0，故k＞0，△AOB的面积为S=12×2k+1k×（2k+1）=4k2+4k+12k=2k+2+12k≥4，当且仅当k=12时等号成立，此时面积取最小值4，k=12，直线的方程是：x-2y+4=0．（3）由直线过定点（-2，1），可得当斜率k＞0或k=0时，直线不经过第四象限．故k的取值范围为[0，+∞）．5.刻画数据的离散程度的度量，下列说法正确的是（）

（1）应充分利用所得的数据，以便提供更确切的信息；

（2）可以用多个数值来刻画数据的离散程度；

（3）对于不同的数据集，其离散程度大时，该数值应越小．

A．（1）和（3）

B．（2）和（3）

C．（1）和（2）

D．都正确答案：C6.平面向量a与b的夹角为，若a=(2，0)，|b|=1，则|a+2b|=（）

A．

B．2

C．4

D．12答案：B7.已知某一随机变量ξ的分布列如下，且Eξ=6.3，则a的值为（）

ξ

4

a

9

P

0.5

0.1

b

A．5

B．6

C．7

D．8答案：C8.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为有理数的点称为有理点．试根据这一定义，证明下列命题：若直线y=kx+b（k≠0）经过点M（2，1），则此直线不能经过两个有理点．答案：证明：假设此直线上有两个有理点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1、y1、x2、y2均为有理数，则有y1=kx1+b，y2=kx2+b，两式相减，得y1-y2=k（x1-x2）．∵斜率k存在，∴x1≠x2，得k=y1-y2x1-x2．而有理数经过四则运算后还是有理数，故k为有理数．又由y1=kx1+b知，b也是有理数．又∵点M（2，1）在此直线上，∴1=2k+b，于是有2=1-bk（k≠0）．此式左端为无理数，右端为有理数，显然矛盾，故此直线不能经过两个有理点．9.如图，已知AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，切线BF交AD的延长线于F，若AB=10，CD=8，则切线BF的长是

______．答案：连接OD，AB⊥CD于E，根据垂径定理得到DE=4，在直角△ODE中，根据勾股定理得到OE=3，因而AE=8，易证△ABF∽△AED，得到DEBF=AEAB=810，解得BF=5．10.用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是______．答案：不妨设在第1组中随机抽到的号码为x，则在第16组中应抽出的号码为120+x．设第1组抽出的号码为x，则第16组应抽出的号码是8×15+x=126，∴x=6．故为：6．11.设m∈R，向量=（1，m）．若||=2，则m等于（）

A．1

B.

C．±1

D.±答案：D12.设随机变量x～B（n，p），若Ex=2.4，Dx=1.44则（）

A．n=4，p=0.6

B．n=6，p=0.4

C．n=8，p=0.3

D．n=24，p=0.1答案：B13.在直角坐标系xoy

中，已知曲线C1：x=t+1y=1-2t（t为参数）与曲线C2：x=asinθy=3cosθ（θ为参数，a＞0

）

有一个公共点在X轴上，则a等于______．答案：曲线C1：x=t+1y=1-2t（t为参数）化为普通方程：2x+y-3=0，令y=0，可得x=32曲线C2：x=asinθy=3cosθ（θ为参数，a＞0

）化为普通方程：x2a2+y29=1∵两曲线有一个公共点在x轴上，∴94a2=1∴a=32故为：3214.某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚144元，那么每台彩电原价是______元．答案：设每台彩电原价是x元，由题意可得（1+40%）x•0.8-x=144，解得x=1200，故为1200．15.一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是一个等腰梯形，其底角为45°，腰和上底均为1（如图），则平面图形的实际面积为______．答案：恢复后的原图形为一直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+2，S=12（1+2+1）×2=2+2．故为：2+216.已知A、B、M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，确定在下列条件下，点P是否与A、B、M一定共面，答案：解：为共面向量，∴P与A、B、M共面，，根据空间向量共面的推论，P位于平面ABM内的充要条件是，∴P与A、B、M不共面．17.已知点A（1-t，1-t，t），B（2，t，t），则A、B两点距离的最小值为（）

A.

B．

C．

D．2答案：A18.若抛物线y2=4x上一点P到其焦点的距离为3，则点P的横坐标等于______．答案：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|MF|=3=x+p2=3，∴x=2，故为：2．19.下列命题：

①垂直于同一直线的两直线平行；

②垂直于同一直线的两平面平行；

③垂直于同一平面的两直线平行；

④垂直于同一平面的两平面平行；

其中正确的有（）

A．③④

B．①②④

C．②③

D．②③④答案：C20.已知直线的斜率为3，则此直线的倾斜角为（）A．30°B．60°C．45°D．120°答案：∵直线的斜率为3，∴直线倾斜角α满足tanα=3结合α∈[0°，180°），可得α=60°故选：B21.某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本、用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组（1～5号，6～10号，…，196～200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是______．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取______人．答案：∵将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组，由分组可知，抽号的间隔为5，∵第5组抽出的号码为22，∴第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37．40岁以下的年龄段的职工数为200×0.5=100，则应抽取的人数为40200×100=20（人）．故为：37；2022.已知z=1+i，则|z|=______．答案：由z=1+i，所以|z|=12+12=2．故为2．23.若集合A={1，2，3}，则集合A的真子集共有（）A．3个B．5个C．7个D．8个答案：由集合A={1，2，3}，所以集合A的真子集有?，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．故选C．24.在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆M，若过P(a2c，0)作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为______．答案：设切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故a2c=2a，解得e=ca=22，故为22．25.已知二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的增广矩阵是1-11113，则此方程组的解是______．答案：由题意，方程组

x-

y=1x+y=3解之得x=2y=1故为x=2y=126.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是（

）

A．0.216

B．0.36

C．0.432

D．0.648答案：D27.若随机变量X～B(5，12)，那么P（X≤1）=______．答案：P（X≤1）=C06(12)0(12)6+C16(12)1(12)5=316故为：31628.列举两种证明两个三角形相似的方法．答案：三边对应成比例，两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．29.若函数f（x）对任意实数x都有f（x）＜f（x+1），那么（）A．f（x）是增函数B．f（x）没有单调递增区间C．f（x）没有单调递减区间D．f（x）可能存在单调递增区间，也可能存在单调递减区间答案：根据函数f（x）对任意实数x都有f（x）＜f（x+1），画出一个满足条件的函数图象如右图所示；根据图象可知f（x）可能存在单调递增区间，也可能存在单调递减区间故选D．30.若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则点P（a，b）与圆C的位置关系是（

）

A．点在圆上

B．点在圆内

C．点在圆外

D．不能确定答案：C31.已知双曲线的焦点在y轴，实轴长为8，离心率e=2，过双曲线的弦AB被点P（4，2）平分；

（1）求双曲线的标准方程；

（2）求弦AB所在直线方程；

（3）求直线AB与渐近线所围成三角形的面积．答案：（1）∵双曲线的焦点在y轴，∴设双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1；∵实轴长为8，离心率e=2，∴a=4，c=42，∴b2=c2-a2=16．或∵实轴长为8，离心率e=2，∴双曲线为等轴双曲线，a=b=4．∴双曲线的标准方程为y216-x216=1．（2）设弦AB所在直线方程为y-2=k（x-4），A，B的坐标为A（x1，y1），B（x2，y2）．∴k=y1-y2x1-x2，x1+x22=4，y1+y22=2；∴y1216-x1216=1

y2216-x2216=1⇒y12-y2216-x12-x2216=0⇒(y1-y2)(y1+y2)16-(x1-x2)(x1+x2)16=0代入x1+x2=8，y1+y2=4，得(y1-y2)×416-(x1-x2)×816=0，∴y1-y2x1-x2×14-12=0，∴14k-12=0，∴k=2；所以弦AB所在直线方程为y-2=2（x-4），即2x-y-6=0．（3）等轴双曲线y216-x216=1的渐近线方程为y=±x．∴直线AB与渐近线所围成三角形为直角三角形．又渐近线与弦AB所在直线的交点坐标分别为（6，6），（2，-2），∴直角三角形两条直角边的长度分别为62、22；∴直线AB与渐近线所围成三角形的面积S=12×62×22=12．32.（坐标系与参数方程）

从极点O作直线与另一直线ρcosθ=4相交于点M，在OM上取一点P，使OM•OP=12．

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设R为直线ρcosθ=4上任意一点，试求RP的最小值．答案：（1）设动点P的坐标为（ρ，θ），M的坐标为（ρ0，θ），则ρρ0=12．∵ρ0cosθ=4，∴ρ=3cosθ即为所求的轨迹方程．（2）由（1）知P的轨迹是以（32，0）为圆心，半径为32的圆，而直线l的解析式为x=4，所以圆与x轴的交点坐标为（3，0），易得RP的最小值为133.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设______．答案：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，先把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，而命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定为“三个内角都大于60°”，故为三个内角都大于60°．34.按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、O、AB型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女的血型一定不是O型，若某人的血型为O型，则其父母血型的所有可能情况有（）

A．12种

B．6种

C．10种

D．9种答案：D35.设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}，其中x∈R，如果A∩B=B，求实数a的取值范围。答案：解A={0，-4}∵A∩B=B

∴BA由x2＋2(a＋1)x＋a2-1=0

得△=4（a＋1）2-4（a2-1）=8（a＋1）（1）当a＜-1时△＜0

B=φA（2）当a=-1时△=0

B={0}A（3）当a＞-1时△＞0

要使BA，则A=B∵0，-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根∴解之得a=1综上可得a≤-1或a=136.在△ABC中，已知向量=(cos18°，cos72°)，=(2cos63°，2cos27°)，则△ABC的面积等于（）

A．

B．

C．

D．

答案：A37.设O是正△ABC的中心，则向量AO,BO.CO是（）

A．相等向量

B．模相等的向量

C．共线向量

D．共起点的向量答案：B38.半径为5，圆心在y轴上，且与直线y=6相切的圆的方程为______．答案：如图所示，因为半径为5，圆心在y轴上，且与直线y=6相切，所以可知有两个圆，上圆圆心为（0，11），下圆圆心为（0，1），所以圆的方程为x2+（y-1）2=25或x2+（y-11）2=25．39.根据一组数据判断是否线性相关时，应选用（

）

A．散点图

B．茎叶图

C．频率分布直方图

D．频率分布折线图答案：A40.已知函数f（x），如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．在函数①f1(x)=x，②f2（x）=x，③f3（x）=x2中，其中______是“保三角形函数”．（填上正确的函数序号）答案：f1（x），f2（x）是“保三角形函数”，f3（x）不是“保三角形函数”．任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，不妨假设a≤c，b≤c，由于a+b＞a+b＞c＞0，所以f1（x），f2（x）是“保三角形函数”．对于f3（x），3，3，5可作为一个三角形的三边长，但32+32＜52，所以不存在三角形以32，32，52为三边长，故f3（x）不是“保三角形函数”．故为：①②．41.将一枚骰子连续抛掷600次，请你估计掷出的点数大于2的大约是______次．答案：一颗骰子是均匀的，当抛这颗骰子时，出现的6个点数是等可能的，将一枚骰子连续抛掷600次，估计每一个嗲回溯出现的次数是100，∴掷出的点数大于2的大约有400次，故为：400．42.在极坐标系中，曲线ρ=4cosθ围成的图形面积为（）

A．π

B．4

C．4π

D．16答案：C43.点M（2，-3，1）关于坐标原点对称的点是（）

A．（-2，3，-1）

B．（-2，-3，-1）

C．（2，-3，-1）

D．（-2，3，1）答案：A44.在四边形ABCD中，若=+，则（）

A．ABCD为矩形

B．ABCD是菱形

C．ABCD是正方形

D．ABCD是平行四边形答案：D45.已知集合{2x，x+y}={7，4}，则整数x=______，y=______．答案：∵{2x，x+y}={7，4}，∴2x=4x+y=7或2x=7x+y=4解得x=2y=5或x=3.5y=0.5不是整数，舍去故为：2，546.一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（）A．AB∥CDB．AB与CD相交C．AB⊥CDD．AB与CD所成的角为60°答案：将正方体的展开图，还原为正方体，AB，CD为相邻表面，且无公共顶点的两条面上的对角线∴AB与CD所成的角为60°故选D．47.过椭圆4x2+y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F1构成的△ABF2的周长为（）

A．2

B．2

C．4

D．8答案：C48.过点A（1，4）且在x、y轴上的截距相等的直线共有______条．答案：当直线过坐标原点时，方程为y=4x，符合题意；当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a，代入A的坐标得a=1+4=5．直线方程为x+y=5．所以过点A（1，4）且在x、y轴上的截距相等的直线共有2条．故为2．49.在下列条件中，使M与不共线三点A、B、C，一定共面的是

[

]答案：C50.某校在检查学生作业时，抽出每班学号尾数为4的学生作业进行检查，这里主要运用的抽样方法是（）

A．分层抽样

B．抽签抽样

C．随机抽样

D．系统抽样答案：D第2卷一.综合题(共50题)1.已知复数w满足w-4=（3-2w）i（i为虚数单位），z=5w+|w-2|，求一个以z为根的实系数一元二次方程．答案：[解法一]∵复数w满足w-4=（3-2w）i，∴w（1+2i）=4+3i，∴w（1+2i）（1-2i）=（4+3i）（1-2i），∴5w=10-5i，∴w=2-i．∴z=52-i+|2-i-2|=5(2+i)(2-i)(2+i)+1=2+i+1=3+i．若实系数一元二次方程有虚根z=3+i，则必有共轭虚根.z=3-i．∵z+.z=6，z•.z=10，∴所求的一个一元二次方程可以是x2-6x+10=0．[解法二]设w=a+b，（a，b∈Z），∴a+bi-4=3i-2ai+2b，得a-4=2bb=3-2a解得a=2b=-1，∴w=2-i，以下解法同[解法一]．2.(本小题满分12分)

如图，已知椭圆C1的中心在圆点O，长轴左、右端点M、N在x轴上，椭圆C1的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C1交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D.

（I）设e=，求|BC|与|AD|的比值；

（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO//AN,并说明理由.答案：（II）t=0时的l不符合题意，t≠0时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即，解得。因为，又，所以，解得。所以当时，不存在直线l，使得BO//AN；当时，存在直线l使得BO//AN。解析：略3.频率分布直方图的重心是（）

A．众数

B．中位数

C．标准差

D．平均数答案：D4.用秦九韶算法求多项式

在的值.答案：.解析：可根据秦九韶算法原理，将所给多项式改写，然后由内到外逐次计算即可.

而，所以有，，，，，.即.【名师指引】利用秦九韶算法计算多项式值关键是能正确地将所给多项式改写，然后由内到外逐次计算，由于后项计算需用到前项的结果，故应认真、细心，确保中间结果的准确性.5.在下列图象中，二次函数y=ax2+bx+c与函数（的图象可能是（）

A．

B．

C．

D．

答案：A6.在5件产品中，有3件一等品，2件二等品．从中任取2件．那么以710为概率的事件是（）A．都不是一等品B．至少有一件二等品C．恰有一件一等品D．至少有一件一等品答案：5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，从5件产品中任取2件，共有C52=10种结果，∵“任取的2件产品都不是一等品”只有1种情况，其概率是110；“任取的2件产品中至少有一件二等品”有C31C21+1种情况，其概率是710；“任取的2件产品中恰有一件一等品”有C31C21种情况，其概率是610；“任取的2件产品在至少有一件一等品”有C31C21+C32种情况，其概率是910；∴以710为概率的事件是“至少有一件二等品”．故为B．7.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）

A．8

B．24

C．48

D．120答案：C8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于（）A．ACB．BDC．A1DD．A1A答案：以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x，y，z轴建空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A（0，0，0），C（1，1，0），B（1，0，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），E（12，12，1），∴CE=（-12，-12，1），AC=（1，1，0），BD=（-1，1，0），A1D=（0，1，-1），A1A=（0，0，-1），显然CE•BD=12-12+0=0，∴CE⊥BD，即CE⊥BD．

故选B．9.从椭圆

x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，|F1A|=10+5，求椭圆的方程．答案：∵AB∥OP∴PF1F1O=BOOA?PF1=bca又∵PF1⊥x轴∴c2a2+y2b2=1?y=b2a∴b=c由a+c=10+5b=ca2=b2+c2解得：a=10b=5c=5∴椭圆方程为x210+y25=1．10.圆x2+y2-4x=0在点P（1，）处的切线方程为（）

A．x+y-2=0

B．x+y-4=0

C．x-y+4=0

D．x-y+2=0答案：D11.某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电原价是______元．答案：设每台彩电的原价是x元，则有：（1+40%）x×0.8-x=270，解得：x=2250，故为：2250．12.（理）在极坐标系中，半径为1，且圆心在（1，0）的圆的方程为（）

A．ρ=sinθ

B．ρ=cosθ

C．ρ=2sinθ

D．ρ=2cosθ答案：D13.若a＞0，b＜0，直线y=ax+b的图象可能是（）

A．

B．

C．

D．

答案：C14.如图，P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A1B1C1D1是正方体，其中AB=2，PA=6．

（1）求证：PA⊥B1D1；

（2）求平面PAD与平面BDD1B1所成锐二面角的余弦值．答案：以D1为原点，D1A1所在直线为x轴，D1C1所在直线为y轴，D1D所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则D1（0，0，0），A1（2，0，0），B1（2，2，0），C1（0，2，0），D（0，0，2），A（2，0，2），B（2，2，2），C（0，2，2），P（1，1，4）．（1）证明：∵AP=（-1，1，2），D1B1=（2，2，0），∴AP•D1B1=-2+2+0=0，∴PA⊥B1D1．（2）平面BDD1B1的法向量为AC=（-2，2，0）．DA=（2，0，0），OP=（1，1，2）．设平面PAD的法向量为n=（x，y，z），则n⊥DA，n⊥DP．∴2x=0x+y+2z=0∴x=0y=-2z．取n=（0，-2，1），设所求锐二面角为θ，则cosθ=|n•AC||n|•|AC|=|0-4+0|22×5=105．15.设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S={1，3，5}，T={3，6}，则CU（S∪T）等于（）A．φB．{2，4，7，8}C．{1，3，5，6}D．{2，4，6，8}答案：∵S∪T={1，3，5，6}，∴CU（S∪T）={2，4，7，8}．故选B．16.直线(a+1)x-(2a+5)y-6=0必过一定点，定点的坐标为（

）。答案：（-4，-2）17.已知△A′B′C′是水平放置的边长为a的正三角形△ABC的斜二测平面直观图，那么△A′B′C′的面积为______．答案：正三角形ABC的边长为a，故面积为34a2，而原图和直观图面积之间的关系S直观图S原图=24，故直观图△A′B′C′的面积为6a216故为：6a216．18.某企业甲、乙、丙三个生产车间的职工人数分别为120人，150人，180人，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，样本中甲车间有4人，那么此样本的容量n=______．答案：每个个体被抽到的概率等于

4120=130，∴样本容量n=（120+150+180）×130=15，故为：15．19.凡自然数都是整数，而

4是自然数

所以4是整数．以上三段论推理（）

A．正确

B．推理形式不正确

C．两个“自然数”概念不一致

D．两个“整数”概念不一致答案：A20.某房间有四个门，甲要各进、出这个房间一次，不同的走法有多少种？（）

A．12

B．7

C．16

D．64答案：C21.如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么（）A．F=0，G≠0，E≠0B．E=0，F=0，G≠0C．G=0，F=0，E≠0D．G=0，E=0，F≠0答案：圆与x轴相切于原点，则圆心在y轴上，G=0，圆心的纵坐标的绝对值等于半径，F=0，E≠0．故选C．22.已知直线过点A（2，0），且平行于y轴，方程：|x|=2，则（

）

A．l是方程|x|=2的曲线

B．|x|=2是l的方程

C．l上每一点的坐标都是方程|x|=2的解

D．以方程|x|=2的解（x，y）为坐标的点都在l上答案：C23.已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y（h）之间的线性回归方程为=0.01x+0.5，则加工600个零件大约需要的时间为（）

A．6.5h

B．5.5h

C．3.5h

D．0.3h答案：A24.以原点为圆心，且截直线3x+4y+15=0所得弦长为8的圆的方程是（）A．x2+y2=5B．x2+y2=16C．x2+y2=4D．x2+y2=25答案：弦心距是：1525=3，弦长为8，所以半径是5所求圆的方程是：x2+y2=25故选D．25.如图，D、E分别在AB、AC上，下列条件不能判定△ADE与△ABC相似的有（）

A．∠AED=∠B

B．

C．

D．DE∥BC

答案：C26.下列说法中正确的有（）

①平均数不受少数几个极端值的影响，中位数受样本中的每一个数据影响；

②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大

③用样本的频率分布估计总体分布的过程中，样本容量越大，估计越准确．

④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是古典概型．A．①②B．③C．③④D．④答案：中位数数不受少数几个极端值的影响，平均数受样本中的每一个数据影响，故①不正确，抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”的概率是14“两枚都是反面朝上的概率是14、“恰好一枚硬币正面朝上的概率是12”，故②不正确，用样本的频率分布估计总体分布的过程中，样本容量越大，估计越准确．正确向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是几何概型，故④不正确，故选B．27.“x=2kπ+π4(k∈Z)”是“tanx=1”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件答案：tan(2kπ+π4)=tanπ4=1，所以充分；但反之不成立，如tan5π4=1．故选A28.由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体木块有（）

A．6块

B．7块

C．8块

D．9块答案：B29.一个简单多面体的面都是三角形，顶点数V=6，则它的面数为______个．答案：∵已知多面体的每个面有三条边，每相邻两条边重合为一条棱，∴棱数E=32F，代入公式V+F-E=2，得F=2V-4．∵V=6，∴F=8，E=12，即多面体的面数F为8，棱数E为12．故为8．30.如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（）A．AB．BC．CD．D答案：两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，下部相反，对应的点关于x轴对称．所以点A表示复数z的共轭复数的点是B．故选B．31.

已知向量a，b的夹角为，且|a|=2，|b|=1，则向量a与向量2+2b的夹角等于（）

A．

B．

C．

D．答案：D32.摇奖器有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金（元）为这3个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望．答案：设此次摇奖的奖金数额为ξ元，当摇出的3个小球均标有数字2时，ξ=6；当摇出的3个小球中有2个标有数字2，1个标有数字5时，ξ=9；当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，ξ=12．所以，P(ξ=6)=C38C310=715P(ξ=9)=C28C12C310=715P(ξ=12)=C18C22C310=115Eξ=6×715+9×715+12×115=395（元）

答：此次摇奖获得奖金数额的数字期望是395元．33.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．

在如图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则如图中的四个图形中较符合该学生走法的是（）A．

B．

C．

D．

答案：由题意可知：由于怕迟到，所以一开始就跑步，所以刚开始离学校的距离随时间的推移应该相对较快．而等跑累了再走余下的路程，则说明离学校的距离随时间的推移在后半段时间应该相对较慢．所以适合的图象为：故选B．34.平面向量与的夹角为60°，=(2,0)，||=1，则|+2|（）

A．

B．2

C．4

D．12答案：B35.若21-i=a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），则a+b=______．答案：∵21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=2(1+i)2=1+i，∵21-i=a+bi∴a+bi=1+i∴a=b=1∴a+b=2．故为：236.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（

）

A．

B．

C．

D．答案：B37.如图，已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°．

（Ⅰ）求DP与CC′所成角的大小；

（Ⅱ）求DP与平面AA′D′D所成角的大小．答案：方法一：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D-xyz．则DA=(1，0，0)，CC′=(0，0，1)．连接BD，B'D'．在平面BB'D'D中，延长DP交B'D'于H．设DH=(m，m，1)(m＞0)，由已知＜DH，DA＞=60°，由DA•DH=|DA||DH|cos＜DA，DH＞可得2m=2m2+1．解得m=22，所以DH=(22，22，1)．（4分）（Ⅰ）因为cos＜DH，CC′＞=22×0+22×0+1×11×2=22，所以＜DH，CC′＞=45°．即DP与CC'所成的角为45°．（8分）（Ⅱ）平面AA'D'D的一个法向量是DC=(0，1，0)．因为cos＜DH，DC＞=22×0+22×1+1×01×2=12，所以＜DH，DC＞=60°．可得DP与平面AA'D'D所成的角为30°．（12分）方法二：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D-xyz．则DA=(1，0，0)，CC′=(0，0，1)，BD′=(-1，-1，1)．设P（x，y，z）则BP=λBD′，∴（x-1，y-1，z）=（-λ，-λ，λ）∴x=1-λy=1-λz=λ，则DP=(1-λ，1-λ，λ)，由已知，＜DP，DA＞=60°，∴λ2-4λ+2=0，解得λ=2-2，∴DP=(2-1，2-1，2-2)（4分）（Ⅰ）因为cos＜DP，CC′＞=2-22(2-1)=22，所以＜DP，CC′＞=45°．即DP与CC'所成的角为45°．（8分）（Ⅱ）平面AA'D'D的一个法向量是DC=(0，1，0)．因为cos＜DP，DC＞=2-12(2-1)=12，所以＜DP，DC＞=60°．可得DP与平面AA'D'D所成的角为30°．（12分）38.等于（）

A．

B．

C．

D．答案：B39.在极坐标系下，圆C：ρ2+4ρsinθ+3=0的圆心坐标为（）

A．（2，0）

B．

C．（2，π）

D．答案：D40.若P=+，Q=+（a≥0），则P，Q的大小关系是（）

A．P＞Q

B．P=Q

C．P＜Q

D．由a的取值确定答案：C41.点P（1，3，5）关于平面xoz对称的点是Q，则向量=（）

A．（2，0，10）

B．（0，-6，0）

C．（0，6，0）

D．（-2，0，-10）答案：B42.某学校为了解高一男生的百米成绩，随机抽取了50人进行调查，如图是这50名学生百米成绩的频率分布直方图．根据该图可以估计出全校高一男生中百米成绩在[13，14]内的人数大约是140人，则高一共有男生______人．

答案：第三和第四个小矩形面积之和为（0.72+0.68）×0.5=0.7，即百米成绩在[13，14]内的频率为：0.7，因为根据该图可以估计出全校高一男生中百米成绩在[13，14]内的人数大约是140人，则高一共有男生1400.7=200人．故为：200．43.函数数列{fn（x）}满足：f1(x)=x1+x2(x＞0)，fn+1（x）=f1[fn（x）]

（1）求f2（x），f3（x）；

（2）猜想fn（x）的表达式，并证明你的结论．答案：（1）f2(x)=f1(f1(x))=f1(x)1+f21(x)=x1+2x2f3(x)=f1(f2(x))=f2(x)1+f22(x)=x1+3x2（2）猜想：fn(x)=x1+nx2(n∈N*)下面用数学归纳法证明：①当n=1时，f1(x)=x1+x22，已知，显然成立②假设当n=K（K∈N*）4时，猜想成立，即fk(x)=x1+kx2则当n=K+1时，fk+1(x)=f1(fk(x))=fk(x)1+f2k(x)=x1+kx21+(x1+kx2)2=x1+(k+1)x2即对n=K+1时，猜想也成立．结合①②可知：猜想fn(x)=x1+nx2对一切n∈N*都成立．44.如图，在直角坐标系中，A，B，C三点在x轴上，原点O和点B分别是线段AB和AC的中点，已知AO=m（m为常数），平面上的点P满足PA+PB=6m．

（1）试求点P的轨迹C1的方程；

（2）若点（x，y）在曲线C1上，求证：点(x3，y22)一定在某圆C2上；

（3）过点C作直线l，与圆C2相交于M，N两点，若点N恰好是线段CM的中点，试求直线l的方程．答案：（1）由题意可得点P的轨迹C1是以A，B为焦点的椭圆．…（2分）且半焦距长c=m，长半轴长a=3m，则C1的方程为x29m2+y28m2=1．…（5分）（2）若点（x，y）在曲线C1上，则x29m2+y28m2=1．设x3=x0，y22=y0，则x=3x0，y=22y0．…（7分）代入x29m2+y28m2=1，得x02+y02=m2，所以点(x3，y22)一定在某一圆C2上．…（10分）（3）由题意C（3m，0）．…（11分）设M（x1，y1），则x12+y12=m2．…①因为点N恰好是线段CM的中点，所以N(x1+3m2，y12)．代入C2的方程得(x1+3m2)2+(y12)2=m2．…②联立①②，解得x1=-m，y1=0．…（15分）故直线l有且只有一条，方程为y=0．…（16分）（若只写出直线方程，不说明理由，给1分）45.(本题满分12分)

已知:

求证:答案：.证明:…………2分由于=………………5分…………①………………6分由于………②……………8分同理:…………③……………10分①+②+③得:即原不等式成立………………12分解析：同答案46.已知a=log132，b=(13)12，c=(23)12，则a，b，c大小关系为______．答案：∵a=log132＜log131=0，又∵函数y=x12在（0，+∞）是增函数，∴(23)12＞(13)12＞0．所以，c＞b＞a．故为c＞b＞a．47.某校高三有1000个学生，高二有1200个学生，高一有1500个学生．现按年级分层抽样，调查学生的视力情况，若高一抽取了75人，则全校共抽取了

______人．答案：∵高三有1000个学生，高二有1200个学生，高一有1500个学生．∴本校共有学生1000+1200+1500=3700，∵按年级分层抽，高一抽取了75人，∴每个个体被抽到的概率是751500=120，∴全校要抽取120×3700=185，故为：185．48.如图，直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则必有（）A．k1＜k3＜k2B．k3＜k1＜k2C．k1＜k2＜k3D．k3＜k2＜k1答案：设直线l1、l2、l3的倾斜角分别为α1，α2，α3．由已知为α1为钝角，α2＞α3，且均为锐角．由于正切函数y=tanx在（0，π2）上单调递增，且函数值为正，所以tanα2＞tanα3＞0，即k2＞k3＞0．当α为钝角时，tanα为负，所以k1=tanα1＜0．综上k1＜k3＜k2，故选A．49.已知|a|=1，|b|=2，＜a，b＞=60°，则|2a+b|=______．答案：∵|a|=1，|b|=2，＜a，b＞=60°，∴a?b=|a|×|b|cos60°=1由此可得（2a+b）2=4a2+4a?b+b2=4×12+4×1+22=12∴|2a+b|=(2a+b)2=23故为：2350.点M的直角坐标为（，1,-2），则它的柱坐标为（）

A．(2，，2)

B．(2，，2)

C．(2，，-2)

D．(2，-，-2)答案：C第3卷一.综合题(共50题)1.已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99．求他的总分和平均成绩的一个算法为：

第一步：取A=89，B=96，C=99；

第二步：______；

第三步：______；

第四步：输出计算的结果．答案：由题意，第二步，求和S=A+B+C，第三步，计算平均成绩.x=A+B+C3．故为：S=A+B+C；.x=A+B+C3．2.两个样本甲和乙，其中=10，=10，=0.055，=0.015，那么样本甲比样本乙波动（）

A．大

B．相等

C．小

D．无法确定答案：A3.已知||=3，A、B分别在x轴和y轴上运动，O为原点，则动点P的轨迹方程是（）

A．

B．

C．

D．答案：B4.直线y=kx+1与椭圆x29+y24=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定答案：∵直线y=kx+1过定点（0，1），把（0，1）代入椭圆方程的左端有0+14＜1，即（0，1）在椭圆内部，∴直线y=kx+1与椭圆x29+y24=1必相交，

因此可排除B、C、D；

故选A．5.已知直线经过点A（0，4）和点B（1，2），则直线AB的斜率为______．答案：因为A（0，4）和点B（1，2），所以直线AB的斜率k=2-41-0=-2故为：-26.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为（

）

A．

B．

C．3

D．2答案：C7.某班一天上午安排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排在第一、第四节，则不同排法的种数为（）A．24B．22C．20D．12答案：先排体育课，有2种排法，再排语、数、外三门课，有A33种排法，按乘法原理，不同排法的种数为2×A33=12．故选D．8.刻画数据的离散程度的度量，下列说法正确的是（）

（1）应充分利用所得的数据，以便提供更确切的信息；

（2）可以用多个数值来刻画数据的离散程度；

（3）对于不同的数据集，其离散程度大时，该数值应越小．

A．（1）和（3）

B．（2）和（3）

C．（1）和（2）

D．都正确答案：C9.下列说法中正确的是（）A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a＞b”与“a+c＞b+c”不等价C．“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真答案：A、逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故A错误；B、由不等式的性质可知，“a＞b”与“a+c＞b+c”等价，故B错误；C、“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则a2+b2≠0”，故C错误；D、否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性，故D正确；故选D10.已知矩阵A=12-14，向量a=74．

（1）求矩阵A的特征值λ1、λ2和特征向量α1、α2；

（2）求A5α的值．答案：（1）矩阵A的特征多项式为f(λ)=.λ-1-21λ-4.=λ2-5λ+6，令f（λ）=0，得λ1=2，λ2=3，当λ1=2时，得α1=21，当λ2=3时，得α2=11．（7分）（2）由α=mα1+nα2得2m+n=7m+n=4，得m=3，n=1．∴A5α=A5(3α1+α2)=3(A5α1)+A5α2=3(λ51α1)+λ52α2=3×2521+3511=435339．（15分）11.已知△A′B′C′是水平放置的边长为a的正三角形△ABC的斜二测平面直观图，那么△A′B′C′的面积为______．答案：正三角形ABC的边长为a，故面积为34a2，而原图和直观图面积之间的关系S直观图S原图=24，故直观图△A′B′C′的面积为6a216故为：6a216．12.已知曲线，

θ∈[0，2π)上一点P到点A（-2，0）、B（2，0）的距离之差为2，则△PAB是（）

A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．直角三角形

D．等腰三角形答案：C13.设曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x-3y+2=0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为（）

A．1

B．2

C．3

D．4答案：B14.a=(2，1)，b=(3，4)，则向量a在向量b方向上的投影为______．答案：根据向量在另一个向量上投影的定义向量a在向量b方向上的投影为a?b|b|∵a=(2，1)，b=(3，4)，∴a?b=10，|b|=5∴a?b|b|=2故为：215.

（理）

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以为基底表示，其结果是（）

A．

B．

C．

D．答案：C16.已知正方形ABCD的边长为1，=，=，=，则的模等于（

）

A．0

B.2+

C.

D.2答案：D17.以下命题：

①二直线平行的充要条件是它们的斜率相等；

②过圆上的点（x0，y0）与圆x2+y2=r2相切的直线方程是x0x+y0y=r2；

③平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆；

④抛物线上任意一点M到焦点的距离都等于点M到其准线的距离．

其中正确命题的标号是______．答案：①两条直线平行的充要条件是它们的斜率相等，且截距不等，故①不正确，②过点（x0，y0）与圆x2+y2=r2相切的直线方程是x0x+y0y=r2．②正确，③不正确，若平面内到两定点距离之和等于常数，如这个常数正好为两个点的距离，则动点的轨迹是两点的连线段，而不是椭圆；④根据抛物线的定义知：抛物线上任意一点M到焦点的距离都等于点M到其准线的距离．故④正确．故为：②④．18.下列程序表示的算法是辗转相除法，请在空白处填上相应语句：

（1）处填______；

（2）处填______．答案：∵程序表示的算法是辗转相除法，根据辗转相除法，先求出m除以n的余数，然后利用辗转相除法，将n的值赋给m，将余数赋给n，一直算到余数为零时m的值即可，∴（1）处应该为r=mMODn；（2）处应该为r=0．故为r=mMODn；r=0．19.一次函数y=3x+2的斜率和截距分别是（）A．2、3B．2、2C．3、2D．3、3答案：根据一次函数的定义和直线的斜截式方程知，此一次函数的斜率为3、截距为2故选C20.在数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（）

A．n=1成立

B．n=2成立

C．n=3成立

D．n=4成立答案：C21.如果关于x的不等式组有解，那么实数a的取值范围（

）

A．（-∞，-3）∪（1，+∞）

B．（-∞，-1）∪（3，+∞）

C．（-1，3）

D．（-3，1）答案：C22.如图，直线AB是平面α的斜线，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得点P到直线AB的距离为定值a（a＞0），则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．一条直线D．两条平行直线答案：因为点P到直线AB的距离为定值a，所以，P点在以AB为轴的圆柱的侧面上，又直线AB是平面α的斜线，且点P在平面α内运动，所以，可以理解为用用与圆柱底面不平行的平面截圆柱的侧面，所以得到的轨迹是椭圆．故选B．23.等腰三角形两腰所在的直线方程是l1：7x-y-9=0，l2：x+y-7=0，它的底边所在直线经过点A（3，-8），求底边所在直线方程．答案：设l1，l2，底边所在直线的斜率分别为k1，k2，k；由l1：7x-y-9=0得y=7x-9，所以k1=7，由l2：x+y-7=0得y=-x+7，所以k2=-1；…（2分）如图，由等腰三角形性质，可知：l到l1的角=l2到l的角；由到角公式得：7-k1+7k=k-(-1)1+k(-1)…（4分）解出：k=-3或k=13…（6分）由已知：底边经过点A（3，-8），代入点斜式，得出直线方程：y-（-8）=（-3）（x-3）或y-(-8)=13(x-3)…（7分）3x+y-1=0或x-3y-27=0．…（8分）24.如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连结PA、PB、PC、PD，点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心，求证：E、F、G、H四点共面答案：证明：分别延长P、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R．∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心，∴M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连结MNQR所得四边形为平行四边形，且有∵MNQR为平行四边形，∴由共面向量定理得E、F、G、H四点共面.25.“因为指数函数y=ax是增函数（大前提），而y=（）x是指数函数（小前提），所以y=（）x是增函数（结论）”，上面推理的错误是（）

A．大前提错导致结论错

B．小前提错导致结论错

C．推理形式错导致结论错

D．大前提和小前提错都导致结论错答案：A26.若已知中心在坐标原点的椭圆过点(1，233)，且它的一条准线方程为x=3，则该椭圆的方程为______．答案：设椭圆的方程是x2a2+y2b2=1，由题设，中心在坐标原点的椭圆过点(1，233)，且它的一条准线方程为x=3，∴1a2+43b2=1，a2c=3，又a2=c2+b2三式联立可以解得a=3，b=2，c=1或a=7，b=143，c=73故该椭圆的方程为x23+y22=1或x27+y2149=1故应填x23+y22=1或x27+y2149=127.在同一平面直角坐标系中，直线变成直线的伸缩变换是（）A．B．C．D．答案：A解析：解：设直线上任意一点（x′，y′），变换前的坐标为（x，y），则根据直线变成直线则伸缩变换是，选A28.用反证法证明：“a＞b”，应假设为（）

A．a＞b

B．a＜b

C．a=b

D．a≤b答案：D29.将函数y=sin(x+)的图象按向量=(-m,0)平移所得的图象关于y轴对称，则m最小正值是

（

）

A．

B．

C．

D．答案：A30.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为（）

A．0.9

B．0.5

C．0.6

D．0.8答案：D31.已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量OP=15OA+23OB+λOC确定的点P与A，B，C共面，那么λ=______．答案：由题意A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外一点，若由向量OP=15OA+23OB+λOC确定的点P与A，B，C共面，∴15+23+λ=1解得λ=215故为：21532.集合A={1，2}的子集有几个（）A．2B．4C．3D．1答案：集合A={1，2}的子集有：?，{2}，{1}，{2，1}共4个．故选B．33.用0.618法确定的试点，则经过（

）次试验后，存优范围缩小为原来的0.6184倍．答案：534.选修4-4参数方程与极坐标

在平面直角坐标系xOy中，动圆x2+y2-8xcosθ-6ysinθ+7cos2θ+8=0（θ∈R）的圆心为P（x0，y0），求2x0-y0的取值范围．答案：将圆的方程整理得：（x-4cosθ）2+（y-3sinθ）2=1由题设得x0=4cosθy0=3sinθ（θ为参数，θ∈R）．所以2x0-y0=8cosθ-3sinθ=73cos(θ+φ)，所以

-73≤2x0-y0≤73．35.已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x=3+3cosθy=1+3sinθ，（θ为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为pcos(θ+π6)=0．

（1）写出直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程；

（2）求圆C截直线l所得的弦长．答案：（1）消去参数θ，得圆C的普通方程为(x-3)2+(y-1)2=9．（2分）由ρcos(θ+π6)=0，得32ρcosθ-12ρsinθ=0，∴直线l的直角坐标方程为3x-y=0．（5分）（2）圆心(3，1)到直线l的距离为d=|3×3-1|(3)2+12=1．（7分）设圆C直线l所得弦长为m，则m2=r2-d2=9-1=22，∴m=42．（10分）36.若矩阵A=

72

69

67

65

62

59

81

74

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64

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76

72