数字信号处理 1

1

参考教材：《数字信号处理》（第三版），高西全、丁玉美，西安电子科技大学出版社。

数字信号处理2绪论信息化数字化数字信号处理（DSP）基础核心技术3一、信号1、定义：信号是信息的物理表现形式/传递信息的函数2、分类：不同的载体：热、声、光、电……不同的角度分类：

1）变量的多少：一维信号：声音信号，一维时间信号二维信号：灰白图像多维信号：彩色图像42）周期性周期信号非周期信号3）确定性确定信号：信号可以用一个确定的时间函数（或序列）表示。随机信号4）能量或功率的有限性能量信号和功率信号5时间幅度模拟信号连续时间信号连续连续连续连续（或离散）离散时间信号离散连续数字信号离散量化（离散）5）连续性和离散性6二、信号处理1、定义：对含有信息的信号进行处理（或变换），从而获得所希望信号（提取有用信号）的过程。2、模拟信号处理3、数字信号处理：用数值计算的方法对信号进行处理，这里“处理”的实质是“运算”，处理对象则包括模拟信号和数字信号。7三、系统1、定义：对信号进行处理的物理设备。2、分类

模拟系统连续时间系统

离散时间系统数字系统本书只讨论一维离散时间信号的处理问题8A/D变换器数字信号处理抗混叠滤波器D/A变换器低通滤波器将模拟信号高频部分滤除数字信号进行变换处理滤除不需要的高频分量四、数字信号处理系统连续信号离散化以及幅值量化数字信号转换成模拟信号x(n)y(n)xa(t)ya(t)9DSP系统实现方法优点缺点应用软件实现法灵活方便速度慢理论计算与仿真硬件实现法速度快不灵活DSP芯片法（软硬件结合）灵活方便速度快应用广泛10DSP的特点接口简单、方便高精度高稳定性编程方便，容易实现复杂的算法，功能强大易大规模集成111.1离散时间信号（序列）

一、序列的表示方法1、集合符号表示法第1章离散时间信号与系统x(n)={3，4，2，1，0，5，7，8}注：用下划线标出n=0在序列中的位置，上面序列的x(0)=1122、公式表示法（有规律的离散序列）3、图形表示法0123456789nx(n)-11211-1-2222331011……x(0)=2x(1)=1x(2)=2x(3)=3……

横坐标n表示离散的时间坐标，仅在n为整数时才有意

义，纵坐标代表信号点的值。131、单位采样序列二、常用的典型序列

(n)是一个脉冲幅度为1的现实序列。(t)是脉宽为零，幅度为

的一种数学极限，是非现实信号。

142、单位阶跃序列

用单位阶跃序列u(n)表示单位取样序列(n)：

用单位取样序列(n)表示单位阶跃序列u(n)：153、矩形序列

用单位阶跃序列u(n)表示矩形序列RN(n)：

用单位取样序列(n)表示矩形序列RN(n)：164、实指数序列

当|a|≥1时，序列发散。

当|a|<1时，序列收敛。17

5、正弦序列模拟正弦信号：数字域频率是模拟角频率对采样频率的归一化频率186、复指数序列当时x(n)的实部和虚部分别是余弦和正弦序列。

注：正弦序列与复指数序列均是以2π为周期，所以在数字频域考虑问题时取数字频域的主值区间197、周期序列若对所有n存在一个最小的正整数N，满足则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。例:因此，x(n)是周期为8的周期序列20一般正弦序列的周期性讨论21

具体有以下三种情况(1)当2/0

为整数时：

k=1，则N=2/0为最小整数，正弦序列是以N为周期的周期序列。(2)当2/0

为有理数时(有理数可表示成分数)：

若N、k互素，则此时N取得最小整数，使x(n)=x(n+N)。(3)当2/0

为无理数时：

任何k都不能使N为整数，此时x(n)不是周期性的。

注：此时k≠1。22任意序列的单位脉冲序列表示法：(n)n01234561-1-2-3-42(n-1)n01234562-1-2-3-4可以将任意序列表示成单位抽样序列的移位加权和3(n-2)n01234563-1-2-3-4x(n)=(n)+2(n-1)+3(n-2)n01234563-1-2-3-412其中，x(0)=1,x(1)=2,x(2)=3231、加法：两序列x(n)、y(n)的和是指同序号n的序列值逐次对应相加而构成一个新的序列z(n)。

三、序列的运算x(n)n012345621211y(n)n012345611111z(n)n012345632322z(n)=x(n)+y(n)……z(0)=x(0)+y(0)=3z(1)=x(1)+y(1)=2z(2)=x(2)+y(2)=3z(3)=x(3)+y(3)=2z(4)=x(4)+y(4)=2……242、乘法：两序列同序号n的序列值逐项对应相乘而构成的新序列。x(n)n012345621211z(n)=x(n)*y(n)……z(0)=x(0)*y(0)=2z(1)=x(1)*y(1)=2z(2)=x(2)*y(2)=2z(3)=x(3)*y(3)=2z(4)=x(4)*y(4)=1……y(n)n012345611212z(n)n012345622221253、序列的移位：

设有一序列x(n)，当m为正时：

x(n-m)表示序列x(n)逐项依次右移m位后得到的序列。

x(n+m)表示序列x(n)逐项依次左移m位后得到的序列。n0123456n012345-1-2-3y(n)=x(n±m)x(0)=1x(1)=2x(2)=3nx(n)012342113213x(n+1)213x(n-1)264、序列的翻转：

设有序列x(n)，

则x(-n)是以n=0为纵轴将x(n)翻转后的序列。y(n)=x(-n)x(n)n01234562113-1-2-3-4x(-n)n0123456-1-2-3-421327

x(-n+1)和x(-n-1)与x(-n)的移位关系x(n)n01234562113-1-2-3-4x(0)=1x(1)=2x(2)=3x(-n)n0123456-1-2-3-4213x(-n+1)n0123456-1-2-3-4213x(-n-1)n0123456-1-2-3-4213x(-n+1)是x(-n)

右移一位后的序列x(-n-1)是x(-n)

左移一位后的序列285、序列的尺度变换

设某序列为x(n)，则其时间尺度变换序列为x(mn)或

x(n/m)，m为正整数。

x(mn)为抽取序列（m>1）

x(n/m)为插值序列（m<1）例如：x(n)与x(2n)-2

-1012n12345x(n)135x(2n)-2

-1012n

x(n)=x(t)|t=nT

采样间隔为T

x(2n)=x(t)|t=2nT

采样间隔为2T，抽样

x(n/2)=x(t)|t=nT/2 采样间隔为T/2，插值

296、累加

设序列x(n)，则x(n)的累加序列y(n)定义为：它表示y(n)在某一个n0上的值等于这一个n0上的x(n0)以及n0从前的所有n值上的x(n)值之和。7、序列的能量序列x(n)的能量为：301.2离散时间系统离散时间系统T[•](运算)x(n)输入序列y(n)输出序列一、线性系统

线性系统：系统的输入与输出间满足线性叠加原理。

1、可加性

设y1(n)=T[x1(n)]，y2(n)=T[x2(n)]

如果y1(n)+y2(n)=T[x1(n)]+T[x2(n)]=T[x1(n)+x2(n)]

说明系统T[•]满足可加性。y(n)=T[x(n)]312、比例性(齐次性)设y1(n)=T[x1(n)]

如果a1y1(n)=a1T[x1(n)]=T[a1x1(n)]

说明系统T[·]满足比例性或齐次性。综合1、2，得到叠加原理的一般表达式：说明：(1)叠加原理的一个直接结果是零输入产生零输出。(2)在证明一个系统是否为线性系统时，应证明系统既

满足可加性，又满足比例性。32例：验证下面的系统是否为线性系统：y(n)=ax(n)+b方法一：验证系统是否满足叠加原理。

可加性分析：y1(n)=ax1(n)+by2(n)=ax2(n)+by3(n)=T[x1(n)+x2(n)]=ax1(n)+ax2(n)+b≠y1(n)+y2(n)得到：y1(n)+y2(n)=ax1(n)+ax2(n)+2b得证：由于该系统不满足可加性，故其不是线性系统。方法二：利用线性系统的“零输入产生零输出”的特性验证。

因为当x(n)=0时，y(n)=b≠0，这不满足线性系统的“零输入产生零输出”的特性，因此它不是线性系统。33二、时不变系统(移不变系统)

定义：若系统对于输入信号的响应与输入信号加入系统的时刻无关，则该系统为时不变或移不变系统。

即：若有y(n)=T[x(n)]，则y(n-m)=T[x(n-m)]成立。例：证y(n)=4x(n)+6是移

不变系统。证：y(n-m)=4x(n-m)+6

T[x(n-m)]=4x(n-m)+6

∵y(n-m)=T[x(n-m)]

∴该系统是移不变系统例：验证系统y(n)=nx(n)的移不变特性。证：T[x(n-k)]=nx(n-k)y(n-k)=(n-k)x(n-k)因为y(n-k)与T[x(n-k)]不同，故不是移不变系统。34三、线性时不变系统及其输入与输出之间的关系

同时具有线性和时不变性的离散时间系统称为线性时不变（LSI）系统。

单位取样(冲激)响应h(n)：当输入为(n)时，系统的输出用h(n)表示。

h(n)=T[(n)]1、卷积的定义

在前面我们学过，任一序列x(n)可以写成：35那么系统的输出为：

卷积：当一个系统是LSI系统时，它的输出y(n)可以用输入x(n)与单位冲击响应h(n)的卷积来表示。36(1)翻转：画出x(m)与h(m)，以m=0的纵轴为对称轴将h(m)

反褶成h(-m)。(2)移位：将h(-m)移位n，得到h(n-m)。

当n为正，右移n位；当n为负，左移n位。(3)相乘：将h(n-m)和x(m)的相同m值的对应点值进行相乘。(4)相加：将所有对应点的乘积累加起来，得到某一个n下的

输出值y(n)。2、卷积的计算37例：设x(n)=R4(n),h(n)=R4(n),求y(n)=x(n)*h(n)38x(m)1111h(m)1111h(-m)1111y(0)=1h(1-m)1111y(1)=2h(2-m)1111y(2)=3h(3-m)1111y(3)=4h(4-m)1111y(4)=3h(5-m)1111y(5)=2h(6-m)1111y(6)=1393、卷积的性质

（1）交换律y(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n)h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)等效于

（2）结合律x(n)*h1(n)*h2(n)

=[x(n)*h1(n)]*h2(n)

=[x(n)*h2(n)]*h1(n)

=x(n)*[h1(n)*h2(n)]

h1(n)x(n)y(n)h2(n)h2(n)x(n)y(n)h1(n)h1(n)*h2(n)x(n)y(n)三者等效40（3）分配律x(n)*[h1(n)+h2(n)]=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)h1(n)+h2(n)x(n)y(n)两者等效h1(n)x(n)y(n)h2(n)41四、系统的因果性和稳定性1、因果性：

如果系统n时刻的输出只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而和n时刻后的输入序列无关。即：n=n0时的输出y(n0)只取决于n≤n0的输入x(n)|n≤n0的系统为因果系统，否则为非因果系统。42

线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是：

h(n)=0，n<0证：①充分条件若n<0时，h(n)=0，有：

从上式看出，y(n0)只与m≤n0时刻的x(m)有关，这满足因果系统的定义。我们将n<0，x(n)=0的序列称为因果序列n-m≥0,h(n)≠0∴m<=n43②必要条件(反证法)

若已知一系统是因果系统，但当n<0时，至少存在一个n

使得：h(n)≠0，则有：

在设定的条件下，第二项至少有一个h(n-m)≠0，故y(n)将至少和m>n时的一个x(m)值有关，而这又与设定的另一个条件：因果系统相矛盾，所以说明设定条件有误。∵m≤n∴n-m≥0∵m>n∴n-m<0当利用该性质验证一个系统为因果系统时，应首先确定系统是LSI系统，并求出其单位冲激响应h(n)。442、稳定性

稳定系统：有界输入产生有界输出的系统。

即：如果|x(n)|≤M<

，则有：|y(n)|≤P<

。一个LSI系统是稳定系统的充分必要条件是：单位抽样响应绝对可和。例：验证系统y(n)=ax(n)的稳定性。证：设x(n)有界，|x(n)|<A∵-A<|x(n)|<A∴a-A<|y(n)|<aA当x(n)有界时，y(n)也有界，故为稳定系统。45

证明一个系统是否稳定的方法：①若LSI系统的h(n)已直接给出，或间接求出，则可以用h(n)是否绝对可和来证明系统的稳定性。②若系统是以y(n)=T[x(n)]

的形式给出的，则应该直接利用稳定系统的定义：有界输入得到有界输出来证明。③有时可利用反证法，只要找到一个有界的输入x(n)，若能得到无界的输出，则该系统肯定不稳定。461.3常系数线性差分方程1、线性常系数差分方程：常系数：是指方程中ak和bm为常数。阶数：y(n)项中变量序号的最高值与最低值之差。线性：y(n-k)与x(n-m)项都只有一次幂，且不存在相乘项。472、常系数差分方程的求解：①经典解法：类似于模拟系统求解微分方程的方法，要求齐次解、特解，并由边界条件求待定系数。由于计算复杂，较少使用。②递推(迭代)法：简单、适于用计算机进行求解。但只能得到一系列数值解，不易得到封闭式(公式)解答。③变换域法：将差分方程变换到z域求解。48用递推法求解差分方程

例：设因果系统差分方程为：y(n)-ay(n-1)=x(n)，输入信号x(n)=(n)，求输出信号y(n)。y(0)=ay(-1)+(0)=0+1=1y(1)=ay(0)+(1)=a+0=ay(2)=ay(1)+(2)=a2+0=a2解：设y(-1)=0y(n)=ay(n-1)+0=an+0=an...递推故y(n)=anu(n)注意：差分方程相同，输入信号也一样时，对于不同的初始条件，会得到不同的系统输出。49差分方程表示法的一个优点是：

可以直接得到系统的结构，这里的结构是指将输入变换成输出的运算结构。例：差分方程：

y(n)=b0x(n)-a1y(n-1)该差分方程所表示的结构为：z-1x(n)b0-a1y(n)从图中可以看出需要多少个加法器、乘法器和延迟单元。50抽样：利用周期性抽样脉冲序列p(t)，从连续信号xa(t)中

抽取一系列的离散值，得到抽样信号，用表示。A/D：再经幅度量化编码后得到数字信号。抽样器：相当于一个电子开关，开关每隔T(采样间隔)秒闭合

一次，使时间离散。理想抽样：闭合时间无限短。实际抽样：闭合时间为秒，但：<<T

。1.4连续时间信号的抽样51一、理想抽样过程

因为→0，此时抽样脉冲序列p(t)看成冲激函数序列T(t)。抽样后的信号完全与输入信号xa(t)在抽样瞬间的幅度相同。研究目标：(1)信号被抽样后频谱会发生什么变化？

(2)在什么条件下，可以从抽样信号中

不失真地恢复原信号？冲激函数序列：理想抽样输出：抽样后的信号完全与输入信号xa(t)在抽样瞬间的幅度相同。52二、理想抽样后信号频谱的变化将时域信号转换到频域：时域相乘相当于频域卷积53利用傅立叶级数将T(t)展开，可得：s=2/T，为采样角频率其中54-2T

-T0T2T1T(t)t-2s

-s0s2s

s△T(j)

FT5556比较与的频谱，发现：抽样后的频谱是以抽样角频率s为周期，进

行周期性延拓而成的。时域离散频域周期理想抽样信号的频谱，其周期为s，频谱的幅度受1/T加权。57情况①：不混叠

若xa(t)是带限信号，且信号最高频谱分量h不超过s/2。

-2s-s0s2s1/T…………

0h1理论上说，只要用一个截止频率为s/2的理想低通滤波器对进行处理，就能得到，从而得到。58情况②：混叠

若xa(t)是带限信号，且信号最高频谱分量h超过s/2。-2s-s0s2s1/T…………

0h1

由于各周期延拓分量产生的频谱互相交叠，使抽