数字信号处理Lec7

现代信号处理中国科学院大学电子电气与通信学院冀连营jilianying@本节课讲随机信号的功率谱定义维纳—辛钦定理随机信号与LTI系统随机型号的分析——功率谱与傅里叶变换傅里叶分析是确定性信号处理的最重要工具对于随机信号傅里叶分析同样适用于随机信号分析统计量，均值，相关，都是从“时域”角度在分析这个信号和确定性信号一样，把信号分解成正弦信号的形式，更符合很多物理量的变化形式，和它们与各种系统的交互方式。随机型号的分析——功率谱功率谱的物理起源功率谱，最早在辐射学，光学里，用来代表不同波长的光的功率大小功率谱，表达了每个频率分量的功率的大小。右图是不同光源中不同波长的光的功率分布随机型号的分析——功率谱在持续无限长时，不能计算能量，但是能计算功率严格来讲，功率谱是个时间的函数，X（f，t），除非信号各个时刻频率分布相同（比较平稳的定义）傅里叶变换反映的是每个频率分量的能量（傅里叶变换的幅度的平方）大小但是傅里叶变换是个与时间无关的变换（它是不区分这个频率分量出现在哪一个时刻的）随机型号的分析——功率谱功率谱的数学起源问题在于，随机信号，尤其是噪声，都是无限长的。。。能量是无限的而傅里叶变换的得到的是能量（积分）所以还有一个求功率的过程（除以时间长度）在实际使用时，由于样本长度有限，可以忽略长度这件事随机型号的分析——功率谱对于一个统计信号来说，如何做频域分析呢？从角度1理解，一个随机信号有很多种变化形式，是个信号的集合每一种变化形式（样本函数）都可以分解成正弦信号的和的形式，也就是都可以做傅里叶变换那么，这个随机信号的傅里叶变换呢？——还是“平均”怎么平均，——统计平均，可以理解随机信号的傅里叶变换是某个正弦分量出现的可能性大小？随机型号的分析——功率谱但是“直接平均”有问题傅里叶变换的系数是复数，实部和虚部还有正有负相位不同，会导致实部和虚部的正负号相反加起来，会对消掉，所以我们得先“求幅值”，再平均随机型号的分析——功率谱

随机型号的分析——功率谱那么“功率谱”就是描述了统计意义上，一个随机信号各个正弦分量的比重噪声的功率谱怎么理解我们没看出来噪声里有正弦呢？为什么“白”噪声，功率谱是一根直线随机型号的分析——功率谱正弦加噪声的功率谱怎么理解傅里叶变换是线性操作，所以：功率谱（sig+noise）=功率谱（sig）+功率谱（noise）随机型号的分析——功率谱那么回头来说，语音信号的功率谱怎么理解？平均了每种发音的傅里叶变换随机型号的分析——功率谱和自相关现在，我们就有了两种手段了时域：均值，方差，自相关频域：功率谱它们二者的联系如何呢？在平稳的时候，维纳——辛钦定理不平稳呢的时候，可以，分解开，将其中携带信息的一部分作为确定性来分析（或者角度1）维纳-辛钦定理：广义平稳随机信号的功率谱等于自相关函数的傅里叶变换随机型号的分析——功率谱和自相关维纳——辛钦定理前提条件广义平稳随机信号说明的问题自相关函数的傅里叶变换是功率谱随机型号的分析——功率谱和自相关维纳——辛钦定理的证明（E内移，求平均的角度出发的）随机型号的分析——功率谱和自相关

随机型号的分析——功率谱和自相关

随机型号的分析——功率谱和自相关维纳——辛钦定理与确定性信号的“分解为脉冲序列，分解为正弦信号”之间的等效关系类似随机信号“平均为自相关序列，平均为正弦信号”之间的等效两个期望之间的等效关系随机型号的分析——功率谱和自相关重点那么，功率谱就有两个定义，或者说两种计算方法直接从傅里叶变换做平均的角度直接从自相关函数的福利叶变换的角度哪个是本源？（很多书籍的误导）与确定性信号分析类似，自相关适合计算，功率谱才适合分析和设计注意，“广义平稳假设”，只适合分析噪声那么如果是信号加噪声呢？（我们讲过了）随机型号的分析——功率谱和自相关功率谱的类型线谱随机相位正弦信号可预测随机过程连续谱噪声不可预测随机过程随机型号的分析——随机信号与LTI系统随机型号的分析——随机信号与LTI系统问题的来源？噪声通过滤波器后，会怎么样（相关会变化么，功率谱会变化么）随机型号的分析——随机信号与LTI系统随机信号通过LTI系统的基本分析思路——角度1让信号的每个样本函数（可能形式），单独通过LTI系统然后把输出统计一下（平均一下）当然我们不是直接平均信号本身，因为它的相加对消特性直接统计（自相关，傅里叶）分析步骤每个样本通过LTI，后它的相关，傅里叶统计这些相关，傅里叶随机型号的分析——随机信号与LTI系统但是如果假设了平稳平稳的假设，使得自相关这个时变的统计函数，转换为了一个一维的确定性函数，计算相关，也从在多个样本函数上进行平均，转化为对一个样本函数进行平均平稳的假设，使得功率谱这个统计平局的傅里叶变换，转换为了一个的确定性函数（自相关函数的）的傅里叶变换，从分析所有样本函数的傅里叶变换，转换为分析一个样本函数的傅里叶变换平稳的假设也使得，LTI系统响应分析，由对所有样本进行分析，转换为了对一个样本进行分析，进而转化成了确定性信号的分析问题（在只关心相关函数和功率谱的前提下）转化为一个样本函数的相关后，相关又等价为一个特殊的卷积而这个确定性函数，又等于信号x（t）与自己的翻折信号x（-t）的卷积，从而我们可以把它表达为冲击函数通过一个冲激响应为h（t）=x（-t）的系统随机型号的分析——随机信号与LTI系统h(t)

x(t)

h(t)

x(t)

h(t)

x(-t)h(-t)x(t)

x(-t)

随机型号的分析——随机信号与LTI系统随机过程通过LTI系统后的相关分析随机型号的分析——随机信号与LTI系统随机过程通过LTI系统后的相关分析从频域理解，就是Y（f）=H（f）X（f）随机型号的分析——随机信号与LTI系统随机过程通过LTI系统后的相关分析随机型号的分析——随机信号与LTI系统随机过程通过LTI系统后的相关分析随机型号的分析——随机信号与LTI系统我们直接对随机信号的所有样本函数取平均，下场就是只得到了它的直流分量的期望随机型号的分析——随机信号与LTI系统输出功率分析随机型号的分析——随机信号与LTI系统频域分析随机型号的分析——随机信号与LTI系统功率谱分析，对于随机信号与LTI系统的分析，更常用因为更容易理解，符合我们直觉的角度1理解方式卷