2023年自考线性代数经管类讲义

自考高数线性代数课堂笔记行列式线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。行列式作为一种数学工具不仅在本课程中极其重要,并且在其他数学学科、乃至在其他许多学科(例如计算机科学、经济学、管理学等)都是必不可少的。1．１行列式的定义ﻫ(一）一阶、二阶、三阶行列式的定义(1)定义：符号叫一阶行列式,它是一个数,其大小规定为：。注意:在线性代数中,符号不是绝对值。

例如,且;(２)定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数,其大小规定为:所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。（主对角线减次对角线的乘积)ﻫ例如(3）符号叫三阶行列式，它也是一个数,其大小规定为

例如＝0

三阶行列式的计算比较复杂,为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式,我们可以采用下面的对角线法记忆方法是:在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。ﻫ例如:ﻫ(1)ﻫﻫ=1×5×９+2×６×7+3×4×8-3×5×7－1×6×8－２×4×9=0

（2）ﻫ

(3）ﻫ

（2)和（3)叫三角形行列式,其中(２)叫上三角形行列式，（３)叫下三角形行列式,由(2）（3）可见,在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积,其余五项都是0,例如

ﻫﻫ

例1ａ为什么值时，

HYPERＬＩNK""\ｔ"_blaｎｋ"［答疑编号10０１0１0１：针对该题提问］ﻫ解由于

所以８-3a=０,时

例2当x取何值时，ﻫHYPERＬIＮK""＼ｔ＂＿ｂlank"[答疑编号10０１0１02：针对该题提问]ﻫ解：

ﻫﻫ

解得0<x<９ﻫ所以当0＜x＜9时，所给行列式大于0。ﻫ（二）n阶行列式ﻫ符号:

它由ｎ行、n列元素（共个元素)组成，称之为n阶行列式。其中，每一个数称为行列式的一个元素，它的前一个下标i称为行标,它表达这个数在第ｉ行上;后一个下标j称为列标,它表达这个数在第ｊ列上。所以在行列式的第ｉ行和第j列的交叉位置上。为叙述方便起见,我们用(i,ｊ)表达这个位置。n阶行列式通常也简记作。

ｎ阶行列式也是一个数,至于它的值的计算方法需要引入下面两个概念。（１)在n阶行列式中，划去它的第ｉ行和第ｊ列,余下的数按照本来相对顺序组成的一个（n－1)阶行列式叫元素的余子式，记作例如,在三阶行列式ﻫﻫ中,的余子式表达将三阶行列式划去第1行和第1列后，余下的数按照相对位置组成的二阶行列式,所以

相似地,的余子式表达将三阶行列式划去第二行和第三列后，余下的数组成的二阶行列式。所以ﻫﻫ例１若，求:ﻫ（1）

HYPERLIＮＫ""\t"_ｂlaｎk＂[答疑编号１0010103:针对该题提问]

（2)

HYＰERＬIＮK""\ｔ"＿blanｋ"［答疑编号1００1０１04：针对该题提问]ﻫ(3）ﻫHYＰＥRLINK"＂\ｔ＂_ｂlａnk"[答疑编号１0０1010５：针对该题提问]

(4）

ＨYＰERLINK""＼ｔ"＿blａnｋ"[答疑编号１0010１06：针对该题提问]ﻫ解(1）ﻫ（２）ﻫ（3)ﻫ（4)

（２）符号叫元素的代数余子式

定义：（系数其实是个正负符号)例2求例1中的代数余子式ﻫ(1）ﻫＨYPERＬINK"＂\t"_ｂｌａnk＂[答疑编号10010107：针对该题提问]

(2)ﻫHＹPERLINK""\ｔ"_bｌａnk＂[答疑编号１0０1０１08:针对该题提问]

（３)

HＹPERLＩNK""\t"_ｂlank"[答疑编号1０0１０109：针对该题提问]ﻫ（４）ﻫHＹPERLINK"＂\t"_bｌａnk"［答疑编号10010１1０:针对该题提问］

解:(１)

（2)

（3）ﻫ

(４)

(假如符号是奇数，等于相反数;假如是偶数,等于原数）

例3若

计算(以上两组数相等）ﻫHYPERＬIＮK""\t"＿blaｎk"[答疑编号10０10111:针对该题提问]

解：ﻫ

ﻫﻫ由于

ﻫﻫ与例３的结果比较，发现

ﻫ这一结果说明：三阶行列式等于它的第一列的元素与相应的代数余子式的积的和,这一结果可以推广到ｎ阶行列式作为定义。

定义：n阶行列式ﻫ

即规定ｎ阶行列式的值为它的第一列的元素与相应代数余子式的积的和，上面结果中由于ﻫ

所以有

ﻫ特别情形ﻫﻫ

例4计算下列行列式ﻫ(1）

HＹＰEＲLＩNK＂"＼t"_blａnk"[答疑编号１００1０１12：针对该题提问］ﻫ

ﻫ由本例可见四阶上三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积

（2）

HＹPERLINK"＂＼ｔ＂＿ｂlank"[答疑编号１001011３:针对该题提问]ﻫ

ﻫ

可见五阶上三角形行列式的值仍等于它的主对角线各数之积

一般地可推得ﻫ

即任意n阶上三角形行列式的值等于它的主对角线各数之积ﻫ同理有

１.2行列式按行（列)展开ﻫ在1.1节讲n阶行列式的展开时,是把按其第一列展开而逐步把行列式的阶数减少以后,再求出其值。事实上,行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值。ﻫ现在给出下面的重要定理，其证明从略。定理1.2.1（行列式展开定理)n阶行列式等于它的任意一行(列)的各元素与其相应的代数余子式的乘积之和,即

（i＝１,2,…,n)(1．8)

或（j=1,２，…，ｎ）（１.9）ﻫ其中,是元素在D中的代数余子式。定理１．２.1（行列式展开定理）n阶行列式等于它的任意一行(列)的各元素与其相应的代数余子式的乘积之和,即ﻫ(i=1，2，…,n）（1.8）

或（ｊ=１,2,…，n）(1.9)

其中，是元素在D中的代数余子式。ﻫ(１．８）式称为Ｄ按第ｉ行的展开式,(1.9）式称为D按第j列的展开式，这里i，j＝1,2,…ﻫ上述展开定理也可以表达成（i=1，２,…，n)

（j=1,2,…,n)这两个展开式中的每一项都由三部分组成:元素和它前面的符号以及它后面的余子式，三者缺一不可！特别容易忘掉的是把元素（特别是）誊录下来。ﻫ根据定理1.2.1知道,凡是含零行（行中元素全为零）或零列（列中元素全为零)的行列式，其值必为零。ﻫ特别情形

(1)ﻫﻫ（2）

例5计算

HYPEＲLINＫ""\ｔ"＿blaｎk"［答疑编号10010２01：针对该题提问]

解：由于第一行或第四列所含零最多，故可按第一行展开（解题技巧）

ﻫ

ﻫ可见四阶下三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积

例５的结果可推广为我们称这种行列式为下三角行列式(可任意取值的元素在主对角线的下面）。ﻫ例6计算ﻫHＹＰＥRLIＮK""\t"_ｂlanｋ"[答疑编号１001０202：针对该题提问］ﻫ解:由于第2行含０最多，所以应按第二行展开ﻫﻫ

ﻫﻫ

ﻫ例7计算

HYPEＲLINK"＂\ｔ＂_blank"[答疑编号10010２03：针对该题提问]

解:将按第6行展开得

ﻫ

ﻫ例8计算ﻫ(1）ﻫHＹPERＬIＮＫ＂"＼t"_blank＂[答疑编号1001０20４:针对该题提问]

解：按第４行展开ﻫﻫﻫ(２)

HYPＥRＬINK""＼t＂_ｂlaｎk"[答疑编号1０0102０5：针对该题提问］

解：将D按第一行展开

ﻫ（重新分组后得出)1．3行列式的性质与计算

由于n阶行列式是n！项求和，并且每一项都是n个数的乘积,当n比较大时,计算量会非常大，例如，10!=３6２8８00。所以对于阶数较大的行列式很难直接用定义去求它的值，这时运用行列式的性质可以有效地解决行列式的求值问题。下面我们来研究行列式的性质,并运用行列式的性质来简化行列式的计算。ﻫﻫ1.3.1行列式的性质ﻫ将行列式D的第一行改为第一列,第二行改为第二列……第n行改为第n列,仍得到一个n阶行列式，这个新的行列式称为D的转置行列式，记为或。即假如

ﻫ则性质1行列式和它的转置行列式相等，即或ﻫ根据这个性质可知,在任意一个行列式中,行与列是处在平等地位的。凡是对“行”成立的性质，对“列”也成立;反之,凡是对“列”成立的性质,对“行”也成立。所以只需研究行列式有关行的性质，其所有结论对列也是自然成立的。(运用最多)性质２用数k乘行列式D中某一行（列)的所有元素所得到的行列式等于kD。这也就是说，行列式可以按某一行和某一按列提出公因数：ﻫ证将左边的行列式按其第i行展开以后，再提出公因数k,即得右边的值:

ﻫ注意假如行列式有多行或多列有公因数,必须按行或按列逐次提出公因数。ﻫ例１计算行列式:

HＹPERＬＩNK""\t"_blaｎk"［答疑编号10010２06:针对该题提问］

解ﻫ=３0（4+6+5-2-４-１5）

＝3０（－6）＝-180

在例1的计算过程中，我们先提出第二行的公因数2和第三行的公因数3,得到第一个等号右边的式子,然后提出这个行列式中第三列的公因数５，把行列式中各元素的绝对值化小以后,再求出原行列式的值。

例2

ＨYPERLIＮK＂"＼t"_ｂlａnｋ"［答疑编号1001０2０7:针对该题提问］

ﻫ由于

ﻫ所以原式=4abcdｅfﻫ这里是把上式第一个等号左边的行列式的第一、二、三行分别提出了公因子a，ｄ,f,第二个等号左边的行列式的第一、二、三列分别提出了公因子b,ｃ,e,化简后再求出其值。

例３计算行列式:ﻫ在行列式D的每一行中都提出公因数（-１）并用行列式性质１可以得到

HYPERＬIＮK""＼t"_blank"[答疑编号100102０8:针对该题提问]ﻫ

由于行列式Ｄ是一个数,所以由D=-D，可知行列式D＝0。

用这种方法可以证明：任意一个奇数阶反对称行列式必为零。所谓反对称行列式指的是，其中主对角线上的元素全为0,而以主对角线为轴,两边处在对称位置上的元素异号。即若是反对称行列式，则它满足条件（运用最多)性质3互换行列式的任意两行(列）,行列式的值改变符号。即对于如下两个行列式ﻫ

有根据这个性质可以得到下面的重要推论:ﻫ推论假如行列式中有两行(列)相同,则此行列式的值等于零。ﻫ由于互换行列式Ｄ中的两个相同的行（列)，其结果仍是D，但由性质３可知其结果为-D,因此D=-D,所以Ｄ=0。性质4假如行列式中某两行（列）的相应元素成比例，则此行列式的值等于零。证设行列式Ｄ的第i行与第j行的相应元素成比例,不妨设第j行元素是第i行元素乘以k得到的，则ﻫ

由于将行列式D中第ｊ行的比例系数k提到行列式的外面来以后，余下的行列式有两行相应元素相同,因此该行列式的值为零，从而原行列式的值等于零。行列式中某两列元素相应成比例的情形可以类似地证明。

例４验算ｘ=３是否是方程的根。

HYＰERLＩNK""\t"_ｂlank"[答疑编号１00１0209：针对该题提问]ﻫ解:由于(第二行与第四行成倍数）ﻫ∴ｘ＝3是方程ｆ(ｘ）=0的根。性质5行列式可以按行(列)拆开,即

证将左边的行列式按其第i行展开即得

ﻫ这就是右边两个行列式之和。（运用最多）性质6把行列式Ｄ的某一行（列)的所有元素都乘以同一数k以后加到另一行（列)的相应元素上去,所得的行列式仍为D。ﻫ即：例5证明：ﻫﻫ的充要条件是ｋ＝1或ｋ=±2ﻫHＹPERLINK"＂＼t"＿ｂｌａnk"[答疑编号1001０３０１：针对该题提问]

证由于ﻫ(第一行的数乘与(-1)加到第二行上去）ﻫ

所以，D=０的充要条件是k=１或ｋ=±2。

此题中,为了叙述方便，我们引入了新的记号，将每一步的行变换写在等号上面（若有列变换则写在等号下面,本题没有列变换）,即第一步中的②＋（-1)×①表达将第一行的-1倍加到第二行上,第二步是第一列展开。

根据行列式的展开定理与行列式的性质，我们有下面的定理：定理1.3.１n阶行列式的任意一行(列)各元素与另一行（列）相应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即，(１.10)

,（1.11)

1．３.2行列式的计算

行列式的计算重要采用以下两种基本方法。

(1）运用行列式的性质,把原行列式化为容易求值的行列式，常用的方法是把原行列式化为上三角(或下三角)行列式再求值。此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上(-1)，在按行或按列提取公因子k时,必须在新的行列式前面乘上ｋ。ﻫ（2)把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数减少，再求出它的值，通常是运用性质６在某一行或某一列中产生很多个“0”元素,再按包含０最多的行或列展开。ﻫ例6计算行列式ﻫHYPEＲLINＫ""\ｔ"＿ｂlａnk＂［答疑编号10０10302：针对该题提问］

解由于上三角行列式的值等于其主对角线上元素的乘积,所以我们只要设法运用行列式的性质将行列式化为上三角行列式,即可求出行列式的值。

ﻫﻫ

我们在计算例６中的行列式时,是运用行列式的性质先将它化成上三角行列式后，再求出它的值，事实上在计算行列式的值时,未必都要化成上三角或下三角行列式，若将行列式的性质与展开定理结合起来使用，往往可以更快地求出结果。

例7计算行列式：ﻫ

HYPERLＩNK＂＂\ｔ"_blａnk"［答疑编号１０010３0３:针对该题提问]

解观测到行列式的第一行第一列位置的元素a11=1，运用这个(1,１)位置的元素1把行列式中第一列的其他元素全都化为０,然后按第一列展开，可将这个四阶行列式降为三阶行列式来计算,具体环节如下:

按第一列展开，得

=(-1）×2×ﻫﻫﻫ例８计算行列式（把最简朴的调到第一列或是第一旬)ﻫHYＰＥＲLINK""\t"_bｌank"[答疑编号１0010304：针对该题提问]ﻫ

ﻫ在本例中，记号①②写在等号下面，表达互换行列式的第一列和第二列，②+５×①写在等号下面,表达将行列式的第一列乘以5后加到第二列。ﻫ例９计算行列式：（例子很特殊)

ﻫHＹPERLＩNK""\t"_blａnk＂[答疑编号100１03０５:针对该题提问]

解这个行列式有特殊的形状,其特点是它的每一行元素之和为６,我们可以采用简易方法求其值,先把后三列都加到第一列上去,提出第一列的公因数6,再将后三行都减去第一行：ﻫ(３2)？ﻫ例1０计算行列式:a2-b2=（a+b)(a-b)ﻫHYPＥRLＩNK"＂＼t＂_bｌａnｋ"[答疑编号１0010306：针对该题提问］

例11计算n阶行列式(n>１）:

HYPEＲLINK""＼t"_ｂlａnk"[答疑编号10０10307：针对该题提问]

解将行列式按第一列展开,得ﻫ(简化的过程就是消阶，次方也应减少,为（N-1）等ﻫﻫ

例１2计算范德蒙德(VａnderMｏndｅ)行列式:

HYＰERLINK""＼t"_blanｋ"[答疑编号１０010３08:针对该题提问]（第一行乘（－X１）加到第二行上;第二行乘(-X1）加到第三行上）

ﻫ

ﻫﻫ例13计算ﻫHＹPERLINK""\t＂_ｂlank＂[答疑编号1０010309:针对该题提问]

（这是个定律)

例14计算（解题规律:每行或是每列中的和是同样的,故每行或是每列都乘“1”加到第一行或是第一列上去，再把这个数当公因数提取,形成有一行或是列全为“1”的行列式，然后再化简）ﻫHYPＥＲＬＩＮＫ＂"\t"_ｂlａnk"[答疑编号1０010３10：针对该题提问］

=（x＋4a)（ｘ-a）４ﻫ1.4克拉默法则ﻫ由定理1.2.1和定理1.3.１合并有

ﻫ或

（一）二元一次方程组（方程１、２左右同乘以一个数，上下对减)

ﻫ由a2２＊①-a12*②得

ﻫ由a1１②－a21①得

令=D＝Ｄ1=D２

则有A是常数项∴当D≠０时，二元一次方程组有唯一解

(二)三元一次方程组ﻫﻫ令叫系数行列式ﻫ，，

由D中的A1１①+Ａ2１②+A3１③得

即ﻫ由D中的A12①+A２2②＋A32③得

即

由D中的Ａ1３①+A2３②+A3３③得

ﻫ即∴当D≠0时，三元一次方程组有唯一解ﻫ一般地,有下面结果定理（克拉默法则）

在n个方程的n元一次方程组

(1）

中，若它的系数行列式

≠0

则n元一次方程组有唯一解。推论:在n个方程的n元一次齐次方程组ﻫ(２)ﻫ中

（1）若系数行列式D≠0，方程组只有零解ﻫﻫ（2)若系数行列式D＝0

则方程组（2）除有零解外,尚有非零解(不证)例在三元一次齐次方程组

ﻫ中,ａ为什么值时只有零解,a为什么值时有非0解。ﻫＨYPＥRLINＫ"＂\t"＿bｌanｋ"[答疑编号１00１０4０1:针对该题提问]ﻫ解：＝2a－6+3-4-（-9）-a=a+２ﻫ∴（１)a≠-2时，D≠０,只有零解

（2）a=-2时,D=0,有非零解。

本章考核内容小结ﻫ（一）知道一阶,二阶，三阶,n阶行列式的定义

知道余子式,代数余子式的定义

(二)知道行列式按一行(列）的展开公式ﻫﻫ

(三)熟记行列式的性质，会用展开公式或将行列式化为三角形的方法计算行列式

重点是三阶行列式的计算和各行（列)元素之和相同的行列式的计算

(四）知道克拉默法则的条件和结论

矩阵矩阵是线性代数学的一个重要的基本概念和数学工具,是研究和求解线性方程组的一个十分有效的工具;矩阵在数学与其他自然科学、工程技术中，以及经济研究和经济工作中解决线性经济模型时，也都是一个十分重要的工具。本章讨论矩阵的加、减法,数乘,乘法，矩阵的转置运算，矩阵的求逆,矩阵的初等变换，矩阵的秩和矩阵的分块运算等问题。最后初步讨论矩阵与线性方程组的问题。

ﻫ2.1矩阵的概念ﻫﻫ定义2．１.1由m×n个数aij（i=1，２，…,ｍ;j＝1,2,…,n）排成一个m行n列的数表ﻫ用大小括号表达ﻫ称为一个m行ｎ列矩阵。矩阵的含义是,这m×ｎ个数排成一个矩形阵列。其中ａij称为矩阵的第i行第j列元素(ｉ=1,２，…，m;ｊ＝1,2，…，n)，而i称为行标,ｊ称为列标。第ｉ行与第ｊ列的变叉位置记为(i,ｊ）。

通常用大写字母A，B,C等表达矩阵。有时为了标明矩阵的行数m和列数n,也可记为ﻫＡ=(aｉj)m×n或(ａij）ｍ×ｎ或Ａm×ｎ

当m=n时,称A=（aiｊ)ｎ×ｎ为n阶矩阵，或者称为n阶方阵。n阶方阵是由n２个数排成一个正方形表，它不是一个数（行列式是一个数）,它与ｎ阶行列式是两个完全不同的概念。只有一阶方阵才是一个数。一个n阶方阵Ａ中从左上角到右下角的这条对角线称为Ａ的主对角线。n阶方阵的主对角线上的元素a11，a22，…，aｎn,称为此方阵的对角元。在本课程中，对于不是方阵的矩阵,我们不定义对角元。

元素全为零的矩阵称为零矩阵。用Om×n或者Ｏ(大写字)表达。

特别,当m＝1时，称α=（ａ1,a2，…，an)为n维行向量。它是1×n矩阵。

当n=１时,称为m维列向量。它是ｍ×1矩阵。ﻫ向量是特殊的矩阵，并且它们是非常重要的特殊矩阵。ﻫ例如，（a,b,c)是３维行向量,是３维列向量。

几种常用的特殊矩阵:

１.n阶对角矩阵ﻫ形如或简写为(那不是Ａ,念“尖”）

的矩阵,称为对角矩阵，对角矩阵必须是方阵。例如，是一个三阶对角矩阵，也可简写为。

2.数量矩阵

当对角矩阵的主对角线上的元素都相同时，称它为数量矩阵。n阶数量矩阵有如下形式:或。（标了角标的就是N阶矩阵，没标就不知是多少的)

特别，当ａ＝１时,称它为n阶单位矩阵。n阶单位矩阵记为En或Ｉn，即或ﻫ在不会引起混淆时,也可以用Ｅ或I表达单位矩阵。ﻫn阶数量矩阵常用aＥn或aIｎ表达。其含义见2.2节中的数乘矩阵运算。

3．n阶上三角矩阵与n阶下三角矩阵ﻫ形如

的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵。

对角矩阵必须是方阵。一个方阵是对角矩阵当且仅当它既是上三角矩阵,又是下三角矩阵。4．零矩阵

(可以是方阵也可以不是方阵)ﻫﻫ2.２矩阵运算ﻫ

本节介绍矩阵的加法、减法、数乘、乘法和转置等基本运算。只有在对矩阵定义了一些有理论意义和实际意义的运算后，才干使它成为进行理论研究和解决实际问题的有力工具。ﻫﻫ2．2.1矩阵的相等（同）定义2.2．１设A＝（aij)m×n，B=（ｂij）k×l,若m=k，n=l且aij=bij，i＝1,2,…,m;j＝1,2，…,n，则称矩阵Ａ与矩阵Ｂ相等，记为A=Ｂ。由矩阵相等的定义可知，两个矩阵相等指的是，它们的行数相同，列数也相同，并且两个矩阵中处在相同位置（i，j)上的一对数都必须相应相等。特别，

A=（aij)m×n＝Oａij=０,i=1,2，…,ｍ;j=1，2，…,n。

注意行列式相等与矩阵相等有本质区别,例如

ﻫ由于两个矩阵中（1,2)位置上的元素分别为0和2。但是却有行列式等式

（由于行列式是数，矩阵是表，表规定表里的每一个都同样）ﻫ

2.２．２矩阵的加、减法

定义2.２.2设A=（ａij）m×ｎ和B=(bij)ｍ×n，是两个ｍ×ｎ矩阵。由A与B的相应元素相加所得到的一个m×n矩阵，称为Ａ与B的和，记为A+B，即

Ａ+Ｂ＝(ａij+bij）m×n。ﻫ即若

ﻫ则ﻫ当两个矩阵Ａ与B的行数与列数分别相等时，称它们是同型矩阵。只有当两个矩阵是同型矩阵时,它们才可相加。例如ﻫﻫ注意：

(1）矩阵的加法与行列式的加法有重大区别ﻫ例如

（阶数相同，所有的行(列）中除某一行（列)不相同外，其余的行都同样才可以相加,方法是除了这两个不同的行（列)相加外,其它的不变。）ﻫ（2）阶数大于1的方阵与数不能相加。(阶数大于1它就是一个表,不是一个数了)ﻫ若A＝(aij)为n阶方阵，n>1,a为一个数,则A+ａ无意义!但是n阶方阵Ａ=(aij）m×n与数量矩阵aEn可以相加：

(把数转化为数量矩阵aEn就可以想加了）

由定义2.2．２知矩阵的加法满足下列运算律：

设A，B，Ｃ都是ｍ×n矩阵,Ｏ是ｍ×ｎ零矩阵，则

（1）互换律Ａ+B＝B+A．(乘法没有互换律）

（2）结合律（A＋B）+Ｃ=A+(B+C）.

(3)A+O=O+A=A.

(４）消去律A+C=B+CA=Ｂ．ﻫ２．2．3数乘运算（矩阵与数不能相加,但是也许想乘）

定义2.２.3对于任意一个矩阵A=(aij)m×n和任意一个数k,规定k与Ａ的乘积为kＡ＝（ｋａiｊ）ｍ×n.(矩阵里的第个原数都乘以数Ｋ）ﻫ即若ﻫ则ﻫ由定义2．２.３可知，数k与矩阵A的乘积只是A中的所有元素都要乘以k，而数ｋ与行列式Ｄn的乘积只是用k乘Dｎ中某一行的所有元素，或者用ｋ乘Ｄn中某一列的所有元素，这两种数乘运算是截然不同的。

根据数乘矩阵运算的定义可以知道,数量矩阵aEn就是数a与单位矩阵Eｎ的乘积。

数乘运算律

（１)结合律（kl）A=k（lＡ）=kｌA，k和l为任意实数。

（2）分派律k（Ａ+Ｂ)=kA+kB,(k+l)A＝kＡ＋lA,k和l为任意实数。例1已知

求2A-3B。

HYＰERLINK＂"\t"_blａnｋ"[答疑编号：10０202３1针对该题提问]

解

ﻫﻫﻫ例２已知ﻫ

且A＋2X=B,求X。ﻫHYPERLIＮK＂"\t"＿blank"[答疑编号:1０02０２32针对该题提问]ﻫ解:（注意是乘以矩阵里的每个元素)ﻫ

2．2.４乘法运算定义２.2.４设矩阵A=（aij）m×k，B=（bij)k×n，令C＝(cij）m×ｎ是由下面的m×ｎ个元素ｃｉj=ai1b１j+ai２b2j+…＋aikbkｊ(i=1,2,…，ｍ；ｊ=1,2,…,n）

构成的m行ｎ列矩阵，称矩阵C为矩阵Ａ与矩阵B的乘积，记为C＝AB。由此定义可以知道,两个矩阵A=（aij)和B=（bij)可以相乘当且仅当A的列数与B的行数相等。当C=AB时，Ｃ的行数=Ａ的行数，C的列数=Ｂ的列数。C的第i行第j列元素等于矩阵A的第ｉ行元素与矩阵B的第j列相应元素的乘积之和。ﻫ例3若且ＡB=C

求矩阵C中第二行第一列中的元素Ｃ21ﻫＨＹPＥＲLINＫ""\t＂_blａnk"[答疑编号：10０2０233针对该题提问]

解：C21等于左矩阵A中的第二行元素与右矩阵B中第一列元素相应乘积之和ﻫ∴C２１=2×1＋1×3+0×0＝5

例4设矩阵ﻫ(列行)

求AB。

HＹPERLINK""＼t"_blａnk＂［答疑编号：1002０２3４针对该题提问]

解:＝

这里矩阵A是３×3矩阵,而Ｂ是３×2矩阵,由于B的列数与A的行数不相等,所以BA没故意义。

例5求（1)Ａ3E3（２）E3A３

解:（1)ﻫ

HYPＥRLＩNＫ""\t"_blanｋ"[答疑编号：１０020235针对该题提问］ﻫ（2)

HYPERLIＮK＂"\ｔ"＿ｂlank＂[答疑编号:1０020236针对该题提问]ﻫ由本例可见A3E3=E3A3=A3,并且可以推广有ﻫﻫ它与代数中的1·a=a·1=ａ比较可见单位矩阵En在乘法中起单位的作用。ﻫ例6设矩阵ﻫﻫ求AB和BA

HYＰERLＩＮK""\ｔ"_ｂｌaｎk＂[答疑编号：１0020237针对该题提问］

解:

现在，我们对矩阵乘法与数的乘法作一比较。ﻫ数的乘法有互换律，矩阵乘法没有普遍互换律。(差别)ﻫ例7设求ﻫ（１）AB（2）ACﻫ解(1）ﻫHＹPERLＩNK""［答疑编号：10020２38针对该题提问］ﻫ(2）

HＹPEＲLＩNＫ＂"\ｔ"_blａnｋ"[答疑编号：10020239针对该题提问]

可见AB＝AC

众所周知,两个数的乘积是可互换的:aｂ＝ba,因而才有熟知的公式：

(a+b）2=ａ2+２ab＋b2，a2-b2＝(a+b）（a-ｂ)，（ab）k=akbｋ.ﻫ两个非零数的乘积不也许为零。因此，当ａb=0时，必有ａ=0或ｂ＝０。当ａb=ａc成立时，只要a≠０,就可把a消去得到b=c。(这条只满足数，不满足矩阵)

由矩阵乘法及上述例6、例7可知：ﻫ（1）单位矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可互换：ＥnＡ=AEn＝A

（2）数量矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可互换：（ａＥn)A=A（aＥn）.

（3）在一般情形下，矩阵的乘法不满足互换律，即一般AＢ≠ＢA。

（4）当ＡB=Ｏ时,一般不能推出A=Ｏ或B=O。这说明矩阵乘法不满足消去律。ﻫ(5）当AB=ＡC时，一般不能推出B＝C。（消去律）若矩阵A与B满足ＡB=BA，则称A与B可互换。此时，A与B必为同阶方阵。

矩阵乘法不满足消去律,并不是说任意两个方阵相乘时，每一个方阵都不能从矩阵等式的同侧消去。在下一节中我们将会看到,被称为可逆矩阵的方阵一定可以从矩阵等式的同侧消去。ﻫ例8设矩阵,求出所有与Ａ可互换的矩阵。（即AＢ=ＢA）

HYＰERＬＩNK＂"\t"_ｂlａｎk"[答疑编号:10０２0231针对该题提问］

解由于与A可互换的矩阵必为二阶矩阵,所以可设为与A可互换的矩阵,则ﻫﻫ

由AX=ＸA,可推出x1２=0，x11=x２2，且x１1，x21可取任意值,即得

。（对角线必须同样)ﻫ例9解矩阵方程,X为二阶矩阵。ﻫHYＰERLINＫ""＼ｔ"_ｂlａｎk"[答疑编号:1002０232针对该题提问]

解设。由题设条件可得矩阵等式：ﻫ

由矩阵相等的定义得

（列出两组方程式)

解这两个方程组可得ｘ11＝1，ｘ21=－1，x１２＝1,x22=０。所以。

乘法运算律

(1）矩阵乘法结合律（AＢ)C=A（BＣ）。(不改变顺序)ﻫ（2)矩阵乘法分派律(Ａ+B)C=AＣ+BC，Ａ（B＋C)=AB＋ＡC。ﻫ(3)两种乘法的结合律k（AＢ)=（ｋA）B=Ａ(ｋＢ）,k为任意实数。ﻫ（4)EmAｍ×ｎ＝Aｍ×n，Am×nEｎ=Am×n(其中Eｍ,En分别为m阶和n阶单位矩阵)。矩阵乘法的结合律要用定义直接验证（证略),其他三条运算律的对的性是显然的。

方阵的方幂

设Ａ为n阶方阵,由于矩阵乘法满足结合律,所以可以不加括号而有完全拟定的意义。

我们定义A的幂(或称方幂）为由定义可知,ｎ阶方阵的方幂满足下述规则：ﻫAkAl=Ak+l，(Ak)l=Ａkl，k,l为任意正整数。

例1０用数学归纳法证明以下矩阵等式：ﻫ（1)（2)。

证（1)当ｎ=１时，矩阵等式显然成立。假设当ｎ＝k时,矩阵等式成立,即ﻫ则

知道,当n=k+1时，矩阵等式也成立。所以对任意正整数n，此矩阵等式成立。ﻫHYPERLＩNK""\t"_bｌank＂［答疑编号：10020233针对该题提问］ﻫ(２)当n＝1时,矩阵等式显然成立。假设当n=k时,矩阵等式成立,即ﻫ则

知道，当n＝k+1时,矩阵等式也成立。所以对任意正整数n,此矩阵等式都成立。

HYPＥRLＩNＫ＂"\t＂_blank"[答疑编号:1００2023４针对该题提问]ﻫ例1１设n阶方阵A和B满足,证明：（解Ｂ平方为多少)

。ﻫHYPERLＩNK＂"\ｔ"_blank"[答疑编号:10020２３5针对该题提问]

证由可推出B=2A-Ｅn。再由

B２=(2Ａ-En)(2A－Ｅｎ）＝４A２-4A＋En（E等于1呀）

证得

例12

ﻫ前者是数,后者是n阶方阵，两者不相等，即AB≠BＡ.（行乘列为数，列乘行为N阶方阵)

HYPERLＩNK""\t"_bｌank"[答疑编号：1002０23６针对该题提问]

由于矩阵乘法不满足互换律,所以对于n阶方阵Ａ和B,有以下重要结论：ﻫ(1)（A+Ｂ)2＝（A＋Ｂ）（A＋B)=A2+AB＋BA+Ｂ2=Ａ2+2AＢ+B2AB=BＡ。ﻫ(2)（Ａ+B)(A-B)＝Ａ2-ＡB+BＡ-B２=A2-B２AB=BA。

(3)当AB=ＢA时必有（AB)k=ＡkBk.（只有两者两等时成立)例如AB=BＡ时,(AＢ）2=（AＢ）（AB)=ABＡB＝Ａ（BA)B＝AABＢ=（AA）(BB)=A2B2

但AB≠BA时，则上面结果不成立。

例13设，,则有

ﻫ

ﻫﻫ

ＨYＰERLINK＂"\ｔ＂_blank"［答疑编号:１0０20237针对该题提问]

由于矩阵乘法不满足消去律,所以对于ｎ阶方阵Ａ和B，有以下重要结论：

(1）ＡB=Ｏ,A≠O不能推出B=O。例如时（两个不等于零的方阵相乘或是一个数平方也也许等于零）

(2)由A2＝O不能推出Ａ=Ｏ。例如则

（3)由AＢ=AC,Ａ≠O不能推出Ｂ＝C。例如时（同系数两个数或是两个数的平方相等）ﻫ即ＡB＝AC,但B≠C

（4)由A2＝Ｂ2不能推出A=±B。例如,取ﻫ则ﻫﻫﻫ2．2.5矩阵的转置ﻫ

定义2.２.5设矩阵

把矩阵的行与列互换得到的n×m矩阵,称为矩阵A的转置矩阵，记作AT或Ａ’,即

易见Ａ与AT互为转置矩阵。特别,n维行（列)向量的转置矩阵为n维列(行）向量。例如,则ﻫ若A=(ａ１，a2,…，an)则

若则BT=(ｂ１，b２,…,ｂn）ﻫ例14假如已知A为l×ｎ矩阵，BAT为ｒ×l矩阵，证明:B为r×n矩阵。

HYＰＥRＬINＫ""\t"_ｂlａnk"[答疑编号：100202３8针对该题提问]ﻫ证设B为x行y列的矩阵

则有BｘxyATｎ×l＝（BAT）x×ｌﻫ根据可乘条件有ｙ=ｎﻫ根据积的形状有x=ｒ

所以B为Br×nﻫ例15求

(1）AB（２）（ＡB）T(3）ATBT(４)BＴAT

解：（１）

HYPERＬIＮK""\ｔ"_blaｎk＂[答疑编号：100202３9针对该题提问]ﻫ（2)

HYPERLＩNK""＼t"_ｂｌａnk＂［答疑编号:1０020230针对该题提问]ﻫ(3)ﻫHYＰＥRＬINＫ＂"＼t"_ｂlａnk"[答疑编号：１002０231针对该题提问］ﻫ（4）

HYPERＬINK""＼t＂＿blanｋ"［答疑编号:１０020232针对该题提问］ﻫ由本例可见（AB）T=BTAＴ,这一结果有普遍性(不证）

转置运算律ﻫ(1）（AT）Ｔ＝A

（2）(A+Ｂ）T=AT+BＴﻫ(３）(kA）T=ｋAT,k为实数。

(4）（AB)T=BTＡT，（Ａ1A2…An）T=AｎＴＡｎ-1T…A１Ｔ.

定义2．2.6设A=（ａij）为n阶实方阵。若A满足AT=A,也就是说A中元素满足：

aij=aｊｉ，i，j＝1，2，…,n,则称A为实对称矩阵。ﻫ若A满足AT=-A，也就是说A中元素满足：ﻫaiｊ=-aｊi，ｉ,j=1，2,…,n,此时必有aii＝0,ｉ=１,2,…,n，则称A为实反对称矩阵。实矩阵指的是元素全为实数的矩阵，在本课程中,我们只讨论实对称矩阵和实反对称矩阵,因此，往往省略一个“实”字。例如，ﻫ

都是对称矩阵；ﻫﻫ都是反对称矩阵。

例16证明:任意一个实方阵A都可以惟一地表达为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。ﻫＨYPERＬIＮK""\t"_blank＂［答疑编号：10020２33针对该题提问］

证：取ﻫ则Ａ=X+Y

其中=Xﻫ∴X是对称阵。ﻫﻫ∴Y是反对称阵。

（注）举例证明了下面结论,对任意方阵A都有

(A＋AＴ）是对称阵

（A-AＴ)是反对称阵例1７(1)设A为n阶对称矩阵,证明：对于任意n阶方阵P,ＰＴAＰ必为对称矩阵。

(2）假如已知PTAＰ为ｎ阶对称矩阵,问Ａ是否必为对称矩阵?

证（１）由于A是对称矩阵,必有AT＝A(满足这个条件），于是必有ﻫ(PTＡＰ）T=ＰTＡTP=PTＡPﻫ这说明ＰＴAP必为对称矩阵。ﻫＨYPERLIＮK""＼t"_bｌank"［答疑编号：1002023４针对该题提问］

（２）反之,假如PTAＰ为n阶对称矩阵:(PTAP)T＝PＴＡP,则有ﻫPTＡTＰ＝PＴＡＰ,ﻫ但是矩阵乘法不满足消去律，在矩阵等式两边，未必能把PT和P消去，所以不能推出ＡT=A，A未必是对称矩阵。

\ｔ"_ｂlank"[答疑编号：１0０2０301针对该题提问]ﻫ解:ﻫ所以

由本例可见

一般地应有

方阵的行列式有如下性质:设A，B为n阶方阵，ｋ为数，则

（１);

（2);

（3)。(行列式乘法规则）(1),（２）的证明可由方阵行列式的定义及行列式性质直接得到。(3)的证明从略。ﻫ例19设，，则

HYＰＥRＬIＮＫ＂"\t"_blank＂[答疑编号：１００２０３０２针对该题提问］ﻫ①ﻫ②ﻫ③,ﻫ。ﻫ④ﻫﻫ于是得

，。ﻫ例20设Ａ，B同为n阶方阵。假如AB=O,则由ﻫＨYPERLＩNＫ"＂\t"_bｌank"[答疑编号:100２０３0３针对该题提问]ﻫ

知道，必有或。但未必有A＝O或B=O。

例21证明:任意奇数阶反对称矩阵的行列式必为零。ﻫHYＰEＲLＩNK"＂＼ｔ"_blank"[答疑编号:1002０3０4针对该题提问]

证:设A为2n－1阶反对称矩阵,则有。于是根据行列式性质1和性质2,得到ﻫ，ﻫ由于是数，所以必有。

2.2.7方阵多项式任意给定一个多项式和任意给定一个n阶方阵Ａ，都可以定义一个n阶方阵,ﻫ称f（Ａ）为Ａ的方阵多项式。注意：在方阵多项式中,末项必须是数量矩阵而不是常数。方阵多项式是以多项式形式表达的方阵。例22:设，求f（A）ﻫHYＰERLINK"＂\ｔ＂_ｂlaｎk＂[答疑编号：10020３05针对该题提问］

解：ﻫ

ﻫﻫ例23:若A＝B-C，其中,。证明

ﻫＨYPEＲLIＮK"＂\ｔ"_bｌanｋ"[答疑编号：１00203０6针对该题提问]ﻫ证：

由

ﻫ

2.3方阵的逆矩阵ﻫﻫ我们知道，对于任意一个数ａ≠0，一定存在惟一的数b,使ab=ｂa=1,

这个ｂ就是a的倒数，常记为。并且a与b互为倒数。ﻫ对于方阵A,我们可类似地定义它的逆矩阵。定义２.3.1设A是一个n阶方阵。若存在一个n阶方阵B,使得（其中是ｎ阶单位阵），(2.5）

则称A是可逆矩阵（或非奇异矩阵)，并称方阵B为Ａ的逆矩阵。Ａ的逆矩阵记为，即。若满足(2.5）式的方阵Ｂ不存在,则称A为不可逆矩阵（或奇异矩阵）。

由逆矩阵的定义可见若B是A的逆矩阵。则反过来A也是B的逆矩阵。即若，则有

可逆矩阵的基本性质设A，B为同阶的可逆方阵，常数k≠0,则ﻫ(1）为可逆矩阵,且

（2）

（３)证

推广有

(4)证ﻫ

(5）证

（6）

ﻫ(７）若A可逆且ＡB=ＡＣ,则有消去律B=Cﻫ证:ﻫﻫﻫ

如何鉴定一个给定方阵是否可逆呢？为了回答这个问题，我们先给出下面的概念。ﻫ定义２.3.2设，为的元素的代数余子式（i,j＝1,2，…,ｎ）,则矩阵

ﻫ称为Ａ的随着矩阵,记为。由随着矩阵的定义可以看出,在构造Ａ的随着矩阵时，必须放在中的第j行第i列的交叉位置上，也就是说，的第ｉ行元素的代数余子式，构成的第i列元素。由1.4节中的定理1.4.1可得ﻫﻫ,

即(2.7）ﻫ类似可得(2.8)

现在我们来证明下面的重要定理。这个定理给出了鉴定一个n阶方阵是否可逆的一个充要条件，以及方阵可逆时,求出其逆矩阵的一个方法。定理2．3.2n阶方阵A为可逆矩阵。证:必要性设A是n阶可逆矩阵,则存在n阶方阵B,使。由方阵乘积的行列式法则，可得ﻫ，于是必有。ﻫ充足性设为n阶方阵且，构造如下n阶方阵：ﻫ。

则由(2.９)式可得矩阵等式

，

由矩阵可逆的定义可知Ａ是可逆矩阵，并且还得到了求逆矩阵公式

推论:设A,B均为n阶矩阵，并且满足，则A，B都可逆，且,。证：由，可得，因此且，故由定理2.3.２知A可逆，Ｂ也可逆。ﻫ在两边左乘,得,

在两边右乘,得，ﻫ这个推论表白，以后我们验证一个矩阵是另一个矩阵的逆矩阵时,只需要证明一个等式或成立即可,而用不着按定义同时验证两个等式。ﻫ例１若,求

_bｌａnk"[答疑编号:1０020401针对该题提问］ﻫ解：

ﻫ

例如：

解：ﻫ例2设,当a，b,c,d满足什么条件时,矩阵A是可逆矩阵？当A是可逆矩阵时,求出。ﻫHYPERLIＮK""＼t"_blank＂[答疑编号：1002０４０2针对该题提问]ﻫ解：A可逆。当A可逆时，ﻫ例１，例2的结果可以作为求二阶方阵的逆矩阵或随着矩阵的公式ﻫ例如,

例3判断矩阵是否可逆，求出它的逆矩阵。ﻫＨYＰEＲＬＩＮK""\t"_ｂlank"［答疑编号:1０0204０3针对该题提问]ﻫ解(1）由于故矩阵A可逆。ﻫ（2)逐个求出代数余子式和随着矩阵:

,,ﻫ,，ﻫ,,

，,ﻫ;ﻫ。ﻫ于是。ﻫ由上例可以看出，当n≥3时，用随着矩阵求逆矩阵计算量是很大的,特别是当n≥4时不宜用随着矩阵来求逆矩阵。

例４设A为ｎ阶方阵，则。

ＨYPEＲＬINK＂"＼t"_bｌaｎk"［答疑编号：１０020404针对该题提问]ﻫ证:由知道。当时，显然有。ﻫ例５若。求A的逆矩阵和A＋E的逆矩阵。

ＨYPERLINK"＂\t＂_blａnk"［答疑编号：1002０4０5针对该题提问]

解：（１）

ﻫﻫ(2）ﻫﻫ例6设Ａ是３阶方阵且,求（1）（2）(3)(4)ﻫ_blank"［答疑编号：１0020406针对该题提问］

解:（１)ﻫ(2）

（3)

（4)ﻫﻫ2.４分块矩阵ﻫﻫ分块矩阵理论是矩阵理论中的重要组成部分，在理论研究和实际应用中,有时会碰到行数和列数较高的矩阵,为了表达方便和运算简洁,常对矩阵采用分块的方法，即用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成若干小块,每个小块叫做矩阵的子块(子矩阵），以子块为元素的形式的的矩阵叫分块矩阵。ﻫ例如,设,ﻫ令，,ﻫ，，ﻫ则A的一个分块矩阵为

这样A可以当作由4个子矩阵（子块)为元素组成的矩阵,它是一个分块矩阵。分块矩阵的每一行称为一个块行，每一列称为一个块列。上述分块矩阵中有两个块行、两个块列。

m×n矩阵的分块矩阵的一般形式为对于同一个矩阵可有不同的分块法。采用不同的分块方法得到的是不同的分块矩阵。对于任意一个ｍ×ｎ矩阵，常采用以下两种特殊的分块方法:

行向量表达法，其中，i＝1，2，…,m；

列向量表达法，其中，ｊ=１，2，…,n。ﻫ前者也称为将A按行分块,后者也称为将A按列分块。ﻫ例如，ﻫ令,，，以及ﻫ,，，,

可分别得到A的行分块矩阵和列分块矩阵：

,。

下面我们介绍4种最常用的分块矩阵的运算。需要特别指出的是，分块矩阵的所有运算仅仅是前面所讲的矩阵运算换了一种形式的表述方法,而并不是此外定义一种新的矩阵运算。ﻫ

2．４.1分块矩阵的加法

把m×ｎ矩阵A和B作同样的分块：

，,ﻫ其中,的行数的行数;的列数的列数，1≤ｉ≤ｒ,1≤j≤s，则ﻫﻫ例1设，都是四阶方阵的列向量分块矩阵。已知和,求出行列式的值。ﻫＨYPERＬＩNＫ"＂＼t"_bｌanｋ＂[答疑编号:1０0２0501针对该题提问]

解：根据分块矩阵加法的定义知道,ﻫA+B的前三列都有公因数２,运用行列式性质２，提出公因数后可以求出ﻫ再运用行列式的性质5，把它拆开以后，即可求出

ﻫﻫ

2.４．２数乘分块矩阵

数k与分块矩阵的乘积为

ﻫ2.4．3分块矩阵的转置ﻫ设ﻫ则其转置矩阵为式中,。分块矩阵转置时，不仅看做元素的子块要转置,并且每个子块是一个子矩阵,它内部也要转置,这一现象不妨称为“内外一起转”。例２,

ﻫ我们发现:不仅每个子矩阵的位置作了转置，并且每个子矩阵的内部也作了转置。

HYＰERＬＩＮK＂＂\t"_blanｋ"[答疑编号:1002050２针对该题提问]ﻫ例3设是一个用列向量表达的m×n阵,其中每个都是ｍ维列向量,则A的转置矩阵是ﻫＨYＰERLINK""\t"_blaｎｋ"[答疑编号:1002０5０3针对该题提问]ﻫ例如，设，则ﻫ

2.4．4分块矩阵的乘法和分块方阵求逆ﻫ设矩阵,。运用分块矩阵计算乘积AB时，应使左边矩阵A的列分块方式与右边矩阵Ｂ的行分块方式一致，然后把矩阵的子块当做元素来看待,并且相乘时，A的各子块分别左乘B的相应的子块。

设A，B的分块方式分别为,ﻫ其中为矩阵；为矩阵，且的列数分别等于的行数,则，

其中(i=１,2,…,r，ｊ=１，2…，t）。ﻫ例4对于矩阵

,,

用分块矩阵计算AB。

ＨYPERＬIＮＫ""\ｔ"＿bｌaｎk＂[答疑编号:１0０２050４针对该题提问]

解：将矩阵A，B分块如下:ﻫ，，ﻫ其中，，,,ﻫ于是得到

由于,ﻫ所以。ﻫ例5设Ａ为m×k矩阵，B为k×n矩阵,则AB为m×n矩阵。ﻫ若把B采用列向量表达:,则ﻫ若把A采用行向量表达：，

则。ﻫ特别地,当AB＝O时,由可得。

\t＂＿blaｎk"[答疑编号:10０20505针对该题提问］方阵的特殊分块矩阵重要有以下三类:（凡空白处都是零块)

(１）形如的分块矩阵称为分块对角矩阵或准对角矩阵,其中均为方阵。ﻫ（2)两个准对角矩阵的乘积设是同阶方阵,则

ﻫ若对某个1≤i≤ｒ,不是同阶方阵,则上面的两个分块对角矩阵不能相乘。

(3）准对角矩阵的逆矩阵若都是可逆矩阵，则分块对角矩阵ﻫ可逆，并且用分块矩阵的乘法，容易验证上式成立。

例６求矩阵的逆矩阵。

ＨYPＥＲLINK""＼t"_ｂlanｋ"[答疑编号：100２0506针对该题提问]ﻫ解：将矩阵A分块,得,ﻫ其中，,ﻫ运用随着矩阵方法求逆,得ﻫ，，。ﻫ所以

形如，的分块矩阵分别称为准上三角矩阵和准下三角矩阵。它们都是分块三角矩阵。这里,每个主对角块都必须是方阵，但阶数可以不相同。我们不加证明地给出以下重要结论:上述两类特殊分块矩阵的行列式都是它们的主对角线上各子块的行列式的乘积,即例如,例６中矩阵A的行列式为=-2×1×4＝-8ﻫ例7：验证并求ﻫＨYPERＬＩＮK""\t"＿bｌank"[答疑编号:10020507针对该题提问]

证：（1）

ﻫ（２）

ﻫﻫ2．5矩阵的初等变换与初等方阵

ﻫ2．5.1初等变换ﻫ定义2.５.1对一个矩阵A＝（ａiｊ)ｍ×ｎ施行以下三种类型的变换,称为矩阵的初等行（列）变换，统称为矩阵的初等变换。ﻫ(ｉ)互换Ａ的某两行(列）。

（iｉ）用一个非零数Ｋ乘A的某一行(列）。ﻫ(ｉiｉ)把A中某一行(列）的k倍加到另一行(列)上。

必须注意:矩阵的初等变换与行列式的计算有本质区别，计算行列式是求值过程,前后用等号连接，对矩阵施行初等变换则是变换过程，除恒等变换以外,一般来说变换前后的两个矩阵是相等的，因此,我们用箭号“→”连接变换前后的矩阵,并且不需要将矩阵改号或提取公因数。

定义2．5.1若矩阵A通过若干次初等变换变为B，则称Ａ与Ｂ等价,记为

矩阵之间的等价关系有以下三种性质。（１)反身性ﻫ(2)对称性若则

（3）传递性若则ﻫﻫ２.5.２初等方阵

引进方程的目的是想用矩阵乘法描述矩阵的初等变换。

定义2.5.３由单位矩阵E通过一次初等变换得到的矩阵为初等方阵。ﻫ我们对n阶单位矩阵Ｅ施行三种初等变换得到以下三类n阶初等方阵。ﻫ（Ｉ)互换Ｅ的第i,j两行(列）（i≠ｊ）得到的初等方阵记为

ﻫ(IＩ）用非零常数ｋ乘E的第i行（列）,得到的初等方阵记为ﻫ

(IＩI)将E的第j行的k倍加到第i行上(或第i列的k倍加到第j列上）(i＜j)得到的初等方阵记为ﻫ

将E的第i行的k倍加到第ｊ行上(或第j列的k倍加到第i列上）（i<j)，得到的初等方阵记为

ﻫ以上这些初等方阵中,空白处的元素均为0。ﻫ例如,当n=4时

ﻫ例１.计算若ﻫ(1）P12A（2)AP１2(３）D１(k）A，（4）ＡD1(ｋ)ﻫ（５）T１2(k)Ａ(6)ＡT２１（k)ﻫＨYＰEＲＬIＮK""\ｔ＂_blank"［答疑编号:100206０1针对该题提问］

解:

小结例1的结果，有下面的定理。ﻫ定理2．5.1Ｐij左（右)乘A就是互换A的第ｉ行（列）和第j行(列）

Di(ｋ)左(右）乘Ａ就是用非零数k乘A的第i行（列)。ﻫTij（k）左乘A就是把Ａ中第j行的ｋ倍加到第i行上。ﻫTij（k）右乘A就是把Ａ中第i列的k倍加到第j列上。

2.5.3矩阵的等价标准形ﻫ定理2.5.2任意一个ｍ×n矩阵A，一定可以通过有限次初等行变换和初等列变换化成如下形式的m×ｎ矩阵。

这是一个分块矩阵,其中Eｒ为r阶单位矩阵，而其余子块都是零块矩阵。ﻫ称为A的等价标准形。ﻫ例2求矩阵的等价标准形。ﻫＨYPERＬINK＂"\ｔ"＿blank"[答疑编号:10020602针对该题提问]ﻫﻫﻫ所以A的等价标准形为(E３,０)。

由于对矩阵Ａ施行初等行(列)变换相称于用相应的初等方阵左(右)乘A，而初等方阵都是可逆矩阵，若干个可逆矩阵的乘积仍然是可逆矩阵,所以定理2.5.2可以等价地叙述为

定理２.5.2对于任意一个m×n矩阵Ａ，一定存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得ﻫﻫ证根据定理2.5.2,假设对A施行了ｓ次初等行变换和t次初等列变换，得到了A的等价标准形,且相应初等行变换的ｍ阶初等方阵P1，Ｐ2，…Ps,相应初等列变换的n阶初等方阵为Q１，Q２…Qｔ,则

Ps…P2P1AQ1Q2…Qt＝ﻫ令P＝Ｐｓ…P2P1，Q=Ｑ1Q2…Qt,则P和Q就是满足定理规定的可逆矩阵。

ﻫ2．５.4用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵

任取n阶可逆阵A,由定理2.５．3知一定存在n阶可逆矩阵P和Q,使得

由于Ａ,P和Q都是可逆矩阵，上式左边取行列式，得ﻫﻫ若r<n,则必有＝0，从而有，矛盾,因此必有r=n,从而有

PAQ=Enﻫ上式说明可逆矩阵An的等价标准形是同阶单位方阵Eｎ。ﻫ定理2.5．4ｎ阶方阵Ａ是可逆矩阵的存在可逆矩阵P,Ｑ使得PＡQ=En(即Ａ等价于单位矩阵）A可以写成若干个初等方阵的乘积。

事实上,若A可逆,则只需对Ａ作一系列行初等变换也有PＫ..．Ｐ２Ｐ1A=E存在可逆阵P,使PA=E,其中P＝PK...P２P１

其中A-1＝P

因此，若将（A，E）看作分块矩阵,则有

P(A，E)=（ＰA,PE）＝(PA,P）ﻫ所以当PA=E时，P=Ａ-1，故有公式ﻫ(A，E）→（E,A-1)

上面的公式就是用行初等变换法求Ａ-1的根据,上面公式说明,当分块矩阵（A，Ｅ)作行初等变换后,当A变形为E时,则Ｅ变形为A-１。

具体方法:用初等行变换把ｎ×２n矩阵(A,En）化为(En，A-１),当(A，En)的左半部分化为单位矩阵Eｎ时,右半部分就是A-1了,假如前n列不也许化为单位矩阵，则说明A不是可逆矩阵。ﻫ注意：用初等行变换方法求逆矩阵时,不能同时用初等列变换，并且在求出A-1以后，最佳验证式子AA-1＝Eｎ，以避免在计算中也许发生的错误。ﻫ例3.求的逆矩阵。

HYＰERLINK"＂\t"_bｌａｎk"[答疑编号：1002０６03针对该题提问]

ﻫ

ﻫ所以结果对的。ﻫ

2.5.５用矩阵的初等变换求解矩阵方程ﻫ最常见的方程有以下两类：

(1)设Ａ是n阶可逆矩阵，B是n×m矩阵,求出矩阵X满足AX=B

原理:AＸ=B时ﻫ如找到n阶可逆矩阵P使ＰA=En，则P＝A-1，并且有ﻫP（A,B)＝（PA,ＰB)=(En，A-１Ｂ）ﻫ上式右边矩阵的最后m列组成的矩阵就是X。

方法:用初等行变换把分块矩阵（A，B)化成(E,A-1B）即:ﻫ公式（Ａ，B)→（Ｅ,A－1B）则ｘ=A-1Ｂ

上式说明，在解矩阵方程Ａx=B时,看分块矩阵（A，B)的Ａ变形为E时，

则右边的B变形为解Ａ－1B。

即解为：x=Ａ-1Ｂﻫ例4.求解矩阵方程。ﻫﻫHYPＥRＬINK"＂\t"_blanｋ"［答疑编号:１0020604针对该题提问]

ﻫ

ﻫﻫ据此即可得：ﻫ(2)设Ａ是n阶可逆矩阵，B是ｍ×n矩阵,求出矩阵X满足ＸＡ＝B。ﻫ解:由方程XA=BXAA－１＝ＢＡ-１ﻫ解为x＝BA－1ﻫ要注意的是,矩阵方程XA＝B的解为x=BＡ-1，而不可以写成ｘ=A-1Ｂ。ﻫ由于ﻫＸ满足XＡ=BＸT满足ATＸT＝BＴﻫ从而有ﻫＸT=（ＡＴ）-1BT=(BA-1)Tﻫ所以,可以先用上述方法求解AＴXＴ＝BT，再把所得结果ＸT转置即得所需的X=ＢＡ-１。

（方法)：(AT，BT)→(En,(BＡ-1）T)

∴(AＴ，BT）→（Ｅ，ＸＴ)

先求XT，再求X。

例5.求解矩阵方程：

ﻫＨＹPERLＩNＫ""\t"_ｂlａnk＂[答疑编号:10０２06０5针对该题提问]ﻫﻫ

关于矩阵方程的另一种常用求解方法是：先求出逆矩阵A-1,然后，求出ＡＸ＝B的解X＝Ａ-1B,或者XA＝Ｂ的解X=BA-１

ﻫ２.6矩阵的秩

定义２.６.１在ｍ×n矩阵A中,非零子式的最高阶称为A的秩，记为r（Ａ），有时也可用秩（A)表达Ａ的秩。所谓非零子式的最高阶数指的是，在所有的不等于零的那些子式中，阶数最高的子式的阶数，例如，当ｒ(A）＝３时，说明在A中至少有一个三阶子式不为零，而所有的阶数大于3的子式都等于零。

例1.求矩阵ﻫ

的秩。

HＹPERLINＫ""\t＂_blank"［答疑编号：１00２070１针对该题提问］ﻫ解：容易计算出二阶行列式ﻫA是一个三行四列的矩阵,把Ａ的三行所有取出,再从其四列中任取三列就可得到一个三阶子式，共有四个三阶子式,我们算出A的所有三阶子式如下:

ﻫ显然A不存在4阶子式,所以A的不等于零的最高阶子式的阶数2，因此ｒ(A)=2

例2.显然，的秩序为r

ＨYＰERLINK＂"\t"_bｌank"［答疑编号：１002070２针对该题提问]ﻫ我们不加证明地给出以下结论:

定理1：对矩阵施行初等变换,不改变矩阵的秩。

推论设A为ｍ×n矩阵，P和Ｑ分别为ｍ阶和n阶可逆矩阵，则

r(PA）＝r(A),r(AＱ）＝ｒ（A)。

证：由于可逆矩阵Ｐ和Q都是若干初等方阵的乘积,用初等方阵乘矩阵就是对矩阵施行初等变换，而初等变换不会改变矩阵的秩，所以乘可逆矩阵以后,矩阵的秩一定保持不变。

例3.设求r阶上三角矩阵

ﻫ的秩。

HYPＥRLINK＂＂\ｔ＂＿blank"［答疑编号：10０2070３针对该题提问]

解：由假设ﻫ即Ｔ的行列式自身就是它的最高阶非零子式，所以r(T)＝r。ﻫ例4．设矩阵

ﻫ求矩阵AB的秩。

HYPERLINＫ""＼t＂＿blank＂［答疑编号:1002０７04针对该题提问]ﻫ解：由于ﻫﻫ所以A是可逆矩阵,取矩阵Ｂ的所有三行和第一、二、三列,得到的三阶子式

ﻫ这显然是B的一个最高阶非零子式，所以r(Ｂ)＝3，由定理2．6.1的推论知ｒ（B)＝3。ﻫ对于一般的矩阵而言,要拟定它的非零子式的最高阶数，并非一件容易的事情,但是，对于被称为阶梯形矩阵来说，它的非零子式的最高阶数却是一目了然的。

定义2.６．2满足下列两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵

(１)假如存在全零行（元素全为零的行)，则全零行都位于矩阵中非零行（元素不全为零的行)的下方；ﻫ(2）各非零行中从左边数起的第一个非零元素(称为主元）的列指标j随着行指标的递增而严格增大,（即各非零行从左边数起第一个非零数下方各数全为零）ﻫm×n阶梯形矩阵的一般形式是

其中ﻫ从直观上看,第ｉ个非零行从左边数起的第一个非零元素(即主元)为aijｉ,位于ａｉji，，下面的元素必须全为零，显然,T有最高阶非零子式。

于是r（Ｔ)=r=“T中非零行的个数”。ﻫ由于我们要找出的是Ｔ中的非零行，所以这种阶梯形矩阵应当称为行阶梯形矩阵,但是为了叙述简洁起见,在本课程中，我们就约定用“阶梯形矩阵”，也可简称为阶梯矩阵或者阶梯阵。ﻫ假如对矩阵Ａ施行初等行变换，得到其阶梯形矩阵后,进一步进行初等行变换，将阶梯形矩阵的主元全化为１,且这些主元1所在列的其他元素化为零，得到的阶梯形矩阵称为A的简化行阶梯形矩阵或称为A的行最简形矩阵，简化行阶梯形矩阵的一般形式为ﻫ

既然矩阵的初等变换不改变其秩,那么只要用初等行变换把任意矩阵A化成阶梯形矩阵Ｔ，就可求出它的秩：ﻫｒ(A）=r（T)＝“T”中非零行的行数。ﻫ定理2．6.2对于任意一个非零矩阵，都可以通过初等行变换把它化成阶梯形矩阵。

定理的证明略去ﻫ下面用例子具体说明将矩阵化成阶梯形和简化行阶梯形矩阵的方法。ﻫ例５.把

化成阶梯形矩阵与简化行阶梯形矩阵

ＨYＰERLINK＂"\ｔ"_ｂｌank＂［答疑编号:100２０70５针对该题提问]ﻫ

ﻫ

上述矩阵B就是A的阶梯形矩阵,它有三个“台阶”，而矩阵C是A的简化行阶梯形矩阵。ﻫ从上例可以清楚地看出,简化行阶梯形矩阵与阶梯形矩阵的区别，简化行阶梯形矩阵的主元素都是1，并且除主元1以外，它所在列的其他元素所有被化成了０。

例6.分别求出矩阵

的秩。ﻫHＹPERLINK""＼t＂_blank"[答疑编号:10020706针对该题提问]ﻫ解:用矩阵的初等行变换将矩阵化成阶梯形矩阵。

ﻫ阶梯形矩阵

ﻫ有两个非零行，可见矩阵A的秩r(Ａ）＝2，同理

ﻫ它有三个非零行，所以r（Ｂ）＝3

注在求矩阵的秩时,可以只用初等行变换，但也可以用初等列变换。ﻫ并且不必化成简化行阶梯形矩阵

关于矩阵的秩,有以下结论。ﻫ(１）设A=(ａｉｊ)ｍ×n,则r（Ａ）≤ｍin{m,n｝。

(2)r（AT）=r（Ａ）,事实上,A与AＴ中的最高阶非零子式的阶数必相同。

(3)ｎ阶方阵A为可逆矩阵所以，可逆矩阵常称为满秩矩阵。秩为m的m×ｎ矩阵称为行满秩矩阵,秩为n的ｍ×n矩阵称为列满秩矩阵。

ﻫ2.7矩阵与线性方程组ﻫ

本节简朴介绍用矩阵的初等行变换解线性方程组的方法,并运用矩阵的秩给出齐次线性方程组有非零解的一个判别条件．ﻫ设n元线性方程组为

ﻫ记

ﻫ由于等式ﻫ

与方程2-10相同,所以方程组２－１０也可简写为下面的矩阵方程形式Ａx＝b(2．11)ﻫ其中A叫系数矩阵,x叫未知列向量,b叫常数向量。

当b１＝ｂ2=…bm=0时，方程(2-10)叫齐次线性方程组。ﻫ当ｂ1，ｂ２,…bm中有非0数时，方程（2-10)叫非齐次线性方程组。

下面的矩阵

ﻫ叫线性方程组(2.１0）的增广矩阵。ﻫﻫ例1：解线性方程组

HYPＥRLINＫ""\ｔ＂_bｌaｎk＂[答疑编号：１0020801针对该题提问］ﻫ解：先用对线性方程组施行线性方程组的初等变换方法来求解。

ﻫ

ﻫﻫ形如(2)的方程组称为阶梯形方程组,形如(3)的方程组称为简化的阶梯形方程组。方程组(２)和(3）都与方程组(1）同解，方程组（3)事实上由两个方程构成,它含4个未知量,其中必有两个未知量可以自由取值。可以自由取值的未知量叫做自由未知量。不妨取ｘ3,x4为自由未知数，解出x1,x2后有

每当x3,ｘ4任意取定一组值，代人上式就得到方程组的一个解,故方程组有无穷多个解。ﻫ下面用矩阵的初等行变换求解方程组（1),对系数矩阵施行初等行变换,其过程可与上面的消元过程一一对照。ﻫ

ﻫ

ﻫ矩阵B相应的方程组为

它与方程组(1)同解，称这个表达式为方程组(1）的一般解，其中x３,x4为自由未知量。ﻫ用消元法求解线性方程组的过程，事实上就是用线性方程组的初等变换简化方程组的系数的过程,由此达成消去若干未知量的目的,对照上面两种求解方法，我们看出,线性方程组的每一种初等变换恰与其系数矩阵的同一种初等行变换相应,例如,“互换两个方程”的变换相应其系数矩阵“互换两个相应行”的初等行变换，另两种变换也类似。

另一方面也可看出，“阶梯形方程组（2）”的系数矩阵就是方程组（1）的系数矩阵的“行阶梯形矩阵（２）*”,“简化的阶梯形方程组（3)”的系数矩阵就是方程组（1）的系数矩阵的“简化行阶梯形矩阵”。

这说明在求解齐次线性方程组时，可运用矩阵的初等行变换，将其系数矩阵化为简化行阶梯矩阵，得出易于求解的同解线性方程组，然后求出方程组的解。ﻫ对于非齐次线性方程组，我们可以运用矩阵的初等行变换把它的增广矩阵化成简化行阶梯形矩阵，从而得到易于求解的同解线性方程组,然后求出方程的解。ﻫ

例2：解线性方程组:

HYPERLINK＂"＼t"＿bｌanｋ"[答疑编号：100208０2针对该题提问]ﻫ解:化线性方程组的增广矩阵为行最简形矩阵:ﻫﻫﻫﻫ

由增广矩阵的简化行阶梯形矩阵B。相应的同解方程为

所以方程组有唯一解x1=－2,ｘ2=2，ｘ3＝-1

例３:解线性方程组:ﻫﻫHYPERLIＮK""\t"_blanｋ＂［答疑编号：10０2０８0３针对该题提问]ﻫ解：把线性方程组的增广矩阵化成简化行阶梯形矩阵:

ﻫ由简化行阶梯形矩阵可得等价的方程组：

即

取x3为自由未知量，可知方程组有无穷多个解，上式就