2023年新疆科技职业技术学院高职单招（数学）试题库含答案解析

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年新疆科技职业技术学院高职单招（数学）试题库含答案解析（图片大小可自由调整）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第1卷一.综合题(共50题)1.若4名学生和3名教师站在一排照相，则其中恰好有2名教师相邻的站法有______种．（用数字作答）答案：4名学生和3名教师站在一排照相，则其中恰好有2名教师相邻，所以第一步应先取两个老师且绑定有C23×A22=6种方法，第二步将四名学生全排列，共有4！=24种方法，第三步将绑定的两位老师与剩下的一位老师看作两个元素，插入四个学生隔开的五个空中，共有A25=20种方法故总的站法有6×24×20=2880种故为28802.已知f（10x）=x，则f（5）=______．答案：令10x=5可得x=lg5所以f（5）=f（10lg5）=lg5故为：lg53.如图示程序运行后的输出结果为______．答案：该程序的作用是求数列ai=2i+3中满足条件的ai的值∵最终满足循环条件时i=9∴ai的值为21故为：214.球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是（）A．π3B．π4C．π2D．π答案：设：正方体边长设为：a则：球的半径为3a2所以球的表面积S1=4?π?R2=4π34a2=3πa2而正方体表面积为：S2=6a2所以比值为：S1S2=π2故选C5.向量a、b满足|a|=1，|b|=2，且a与b的夹角为π3，则|a+2b|=______．答案：∵|a|=1，|b|=2，且a与b的夹角为π3，∴a?b=|a|?|b|?cosπ3=1因此，（a+2b）2=|a|2+4a?b+4|b|2=12+4×1+4|b|2=21∴|a+2b|=21故为：216.求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．答案：设三个互相垂直的平面分别为α、β、γ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c，三个平面的公共点为O，如图所示：在平面γ内，除点O外，任意取一点M，且点M不在这三个平面中的任何一个平面内，过点M作MN⊥c，MP⊥b，M、P为垂足，则有平面和平面垂直的性质可得MN⊥α，MP⊥β，∴a⊥MN，a⊥MP，∴a⊥平面γ．

再由b、c在平面γ内，可得a⊥b，a⊥c．同理可证，c⊥b，c⊥a，从而证得a、b、c互相垂直．7.如图，在△ABC中，，，则实数λ的值为（）

A．

B．

C．

D．

答案：D8.已知x，y之间的一组数据：x1.081.121.191.28y2.252.372.402.55y与x之间的线性性回归方y=bx+a必过定点______．答案：回归直线方程一定过样本的中心点（.x，.y），.x=1.08+1.12+1.19+1.284=1.1675，

.y=2.25+2.37+2.40+2.554=2.3925，∴样本中心点是（1.1675，2.3925），故为（1.1675，2.3925）．9.下列给变量赋值的语句正确的是（）

A．5=a

B．a+2=a

C．a=b=4

D．a=2*a答案：D10.如图所示，设k1，k2，k3分别是直线l1，l2，l3的斜率，则（）

A．k1＜k2＜k3

B．k3＜k1＜k2

C．k3＜k2＜k1

D．k1＜k3＜k2

答案：C11.三个数a=0.52，b=log20.5，c=20.5之间的大小关系是（）A．a＜c＜bB．b＜c＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c答案：∵0＜a=0.52＜1，b=log20.5＜log21=0，c=20.5＞20=1，∴b＜a＜c故选D．12.下面哪个不是算法的特征（）A．抽象性B．精确性C．有穷性D．唯一性答案：根据算法的概念，可知算法具有抽象性、精确性、有穷性等，同一问题，可以有不同的算法，故选D．13.直线kx-y=k-1与直线ky=x+2k的交点在第二象限内，则k的取值范围是

______．答案：联立两直线方程得kx-y=k-1①ky=x+2k②，由②得y=x+2kk③，把③代入①得：kx-x+2kk=k-1，当k+1≠0即k≠-1时，解得x=kk-1，把x=kk-1代入③得到y=2k-1k-1，所以交点坐标为（kk-1，2k-1k-1）因为直线kx-y=k-1与直线ky=x+2k的交点在第二象限内，得kk-1＜02k-1k-1＞

0解得0＜k＜1，k＞1或k＜12，所以不等式组的解集为0＜k＜12则k的取值范围是0＜k＜12故为：0＜k＜1214.下面五个命题：（1）所有的单位向量相等；（2）长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；（3）由于零向量的方向不确定，故0与任何向量不平行；（4）对于任何向量a，b，必有|a+b|≤|a|+|b|．其中正确命题的序号为：______．答案：（1）单位向量指模为1的向量，方向可为任意的，故错误；（2）由共线向量的定义，方向相反的两个向量一定是共线向量，故错误；（3）规定：零向量与任何向量为平行向量，故错误；（4）因为|a+b|2=a2+b2+2a?b≤a2+b2+2|a|?|b|=（|a|+|b|）2，故正确故为：（4）15.“因为指数函数y=ax是增函数（大前提），而y=（12）x是指数函数（小前提），所以函数y=（12）x是增函数（结论）”，上面推理的错误在于______（大前提、小前提、结论）．答案：∵当a＞1时，函数是一个增函数，当0＜a＜1时，指数函数是一个减函数∴y=ax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．故为：大前提．16.（理）已知函数f(x)=sinπxx∈[0，1]log2011xx∈(1，+∞)若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），则a+b+c的取值范围是______．答案：作出函数的图象如图，直线y=y0交函数图象于如图，由正弦曲线的对称性，可得A（a，y0）与B（b，y0）关于直线x=12对称，因此a+b=1当直线线y=y0向上平移时，经过点（2011，1）时图象两个图象恰有两个公共点（A、B重合）所以0＜y0＜1时，两个图象有三个公共点，此时满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），说明1＜c＜2011，因此可得a+b+c∈（2，2012）故为（2，2012）17.(几何证明选讲选做题)如图，梯形，，是对角线和的交点，，则

。

答案：1：6解析：，

，，∵，，而∴。18.在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，若AC′=xAB+2yBC-3zC′C，则x+y+z等于______．答案：根据向量的加法法则可得，AC′=AC+CC′=AB+BC+CC′∵AC′=xAB+2yBC-3zC′C∴x=1，2y=1，-3z=1∴x=1，y=12，z=-13∴x+y+z=1+12-13=76故为：7619.设F1，F2是双曲线x29-y216=1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2=90°，求△F1PF2的面积．答案：双曲线x29-y216=1的a=3，c=5，不妨设PF1＞PF2，则PF1-PF2=2a=6F1F22=PF12+PF22，而F1F2=2c=10得PF12+PF22=（PF1-PF2）2+2PF1•PF2=100∴PF1•PF2=32∴S=12PF1•PF2=16△F1PF2的面积16．20.某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5．现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，则此样本的容量为（）

A．40

B．80

C．160

D．320答案：B21.已知三角形ABC的顶点坐标为A（0，3）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点。

（1）求AB边所在的直线方程。

（2）求中线AM的长。

（3）求点C关于直线AB对称点的坐标。答案：解：（1）由两点式得AB边所在的直线方程为：=即2x-y＋3=0（2）由中点坐标公式得M（1，1）∴|AM|==（3）设C点关于直线AB的对称点为C′（x′，y′）则CC′⊥AB且线段CC′的中点在直线AB上。即解之得x′=

y′=C′点坐标为（，）22.三棱锥A-BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若＜n1，n2＞=，则二面角A-BD-C的大小为（）

A．

B．

C．或

D．或答案：C23.从甲、乙两人手工制作的圆形产品中，各自随机抽取6件，测得其直径如下（单位：cm）：

甲：9.00，9.20，9.00，8.50，9.10，9.20

乙：8.90，9.60，9.50，8.54，8.60，8.90

据以上数据估计两人的技术稳定性，结论是（）

A．甲优于乙

B．乙优于甲

C．两人没区别

D．无法判断答案：A24.极坐标系中，若A(3，π3)，B(-3，π6)，则s△AOB=______（其中O是极点）．答案：∵极坐标系中，A(3，π3)，B(-3，π6)，3cosπ3=32，3sinπ3=332；-3cosπ6=-332，-3sinπ6=-32．∴在平面直角坐标系中，A（32，332），B（-332，-32），∴OA=（32，332），OB=（-332，-32），∴|OA|

=

3，|OB|=3，∴cos＜OA，OB＞=-934-93494+274=-32，∴sin＜OA，OB＞=1-34=12，∴S△AOB=12×3×3×12=94．故为：94．25.要从10名女生与5名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则符合按性别比例分层抽样的概率为（）

A．

B．

C．

D．

答案：C26.”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（

）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件答案：C27.设i为虚数单位，若（x+i）（1-i）=y，则实数x，y满足（）

A．x=-1，y=1

B．x=-1，y=2

C．x=1，y=2

D．x=1，y=1答案：C28.一条直线的倾斜角的余弦值为32，则此直线的斜率为（）A．3B．±3C．33D．±33答案：设直线的倾斜角为α，∵α∈[0，π），cosα=32∴α=π6因此，直线的斜率k=tanα=33故选：C29.设集合A={0，1，2，3}，B={1，2，3，4}，则集合A∩B的真子集的个数为（）A．32个B．16个C．8个D．7个答案：∵A={0，1，2，3}，B={1，2，3，4}，∴集合A∩B={1，2，3}．集合的真子集为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，?．共有7个．故选D．30.在研究打酣与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“打酣与患心脏病有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是（）

A．100个心脏病患者中至少有99人打酣

B．1个人患心脏病，则这个人有99%的概率打酣

C．100个心脏病患者中一定有打酣的人

D．100个心脏病患者中可能一个打酣的人都没有答案：D31.方程x2-（k+2）x+1-3k=0有两个不等实根x1，x2，且0＜x1＜1＜x2＜2，则实数k的取值范围为______．答案：构造函数f（x）=x2-（k+2）x+1-3k∵方程x2-（k+2）x+1-3k=0有两个不等实根x1，x2，且0＜x1＜1＜x2＜2，∴f(0)＞0f(1)＜0f(2)＞0∴1-3k＞0-4k＜01-5k＞0∴0＜k＜15∴实数k的取值范围为（0，15）故为：（0，15）32.圆x2+y2=1上的点到直线x=2的距离的最大值是

______．答案：根据题意，圆上点到直线距离最大值为：半径+圆心到直线的距离．而根据圆x2+y2=1圆心为（0，0），半径为1∴dmax=1+2=3故为：333.10件产品中有7件正品，3件次品，则在第一次抽到次品条件下，第二次抽到次品的概率______．答案：根据题意，在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品；则第二次抽到次品的概率为29；故为29．34.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为33，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．

（1）求椭圆C1的方程；

（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于直线l1，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；

（3）设C2与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C2上，且满足QR•RS=0，求|QS|的取值范围．答案：（1）由e=33得2a2=3b2，又由直线l：y=x+2与圆x2+y2=b2相切，得b=2，a=3，∴椭圆C1的方程为：x23+y22=1．（4分）（2）由MP=MF2得动点M的轨迹是以l1：x=-1为准线，F2为焦点的抛物线，∴点M的轨迹C2的方程为y2=4x．（8分）（3）Q（0，0），设R(y214，y1)，S(y224，y2)，∴QR=(y214，y1)，RS=(y22-y214，y2-y1)，由QR•RS=0，得y21(y22-y21)16+y1(y2-y1)=0，∵y1≠y2∴化简得y2=-y1-16y1，（10分）∴y22=y21+256y21+32≥2256+32=64（当且仅当y1=±4时等号成立），∵|QS|=(y224)2+y22=14(y22+8)2-64，又∵y22≥64，∴当y22=64，即y2=±8时|QS|min=85，∴|QS|的取值范围是[85，+∞)．（13分）35.如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么（）A．F=0，G≠0，E≠0B．E=0，F=0，G≠0C．G=0，F=0，E≠0D．G=0，E=0，F≠0答案：圆与x轴相切于原点，则圆心在y轴上，G=0，圆心的纵坐标的绝对值等于半径，F=0，E≠0．故选C．36.直线y=kx+1与椭圆x29+y24=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定答案：∵直线y=kx+1过定点（0，1），把（0，1）代入椭圆方程的左端有0+14＜1，即（0，1）在椭圆内部，∴直线y=kx+1与椭圆x29+y24=1必相交，

因此可排除B、C、D；

故选A．37.中，是边上的中线（如图）．

求证：．

答案：证明见解析解析：取线段所在的直线为轴，点为原点建立直角坐标系．设点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为．可得，，，．，．．38.若向量a=（-1，2），b=（-4，3），则a在b方向上的投影为（）A．2B．22C．23D．10答案：设a与

b的夹角为θ，则cosθ=a•b|a|•|b|=4+65×5=25，∴则a在b方向上的投影为|a|•cosθ=5×25=2，故选A．39.平面α的一个法向量为v1=（1，2，1），平面β的一个法向量为为v2=（-2，-4，10），则平面α与平面β（）A．平行B．垂直C．相交D．不确定答案：∵平面α的一个法向量为v1=（1，2，1），平面β的一个法向量为v2=（-2，-4，10），∵v1•v2=1×（-2）+2×（-4）+1×10=0∴v1⊥v2，∴平面α⊥平面β故选B40.过点P（-3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线x=t+1ty=t-1t（t为参数）相交于A，B两点．求线段AB的长．答案：直线的参数方程为

x

=

-3

+

32sy

=

12s

（s

为参数），曲线x=t+1ty=t-1t

可以化为

x2-y2=4．将直线的参数方程代入上式，得

s2-63s+

10

=

0．设A、B对应的参数分别为s1，s2，∴s1+

s2=

6

3，s1•s2=10．∴AB=|s1-s2|=(s1+s2)2-4s1s2=217．41.附加题（必做题）

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4．

（1）设AD=λAB，异面直线AC1与CD所成角的余弦值为925，求λ的值；

（2）若点D是AB的中点，求二面角D-CB1-B的余弦值．答案：（1）以CA，CB，CC1分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标，因为AC=3，BC=4，AA1=4，所以A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），C1=（0，0，4），所以AC1=(-3，0，4)，因为AD=λAB，所以点D（-3λ+3，4λ，0），所以CD=(-3λ+3，4λ，0)，因为异面直线AC1与CD所成角的余弦值为925，所以|cos＜AC1，CD＞|=|9λ-9|5(3-3λ)2+16λ2=925，解得λ=12．…（4分）（2）由（1）得B1（0，4，4），因为

D是AB的中点，所以D(32，2，0)，所以CD=(32，2，0)，CB1=(0，4，4)，平面CBB1C1的法向量

n1=（1，0，0），设平面DB1C的一个法向量n2=（x0，y0，z0），则n1，n2的夹角（或其补角）的大小就是二面角D-CB1-B的大小，由n2•CD=0n2•CB

1=0得32x0+2y0=04y0+4z0=0令x0=4，则y0=-3，z0=3，所以n2=（4，-3，3），∴cos＜n1，n2＞=n1•n2|n1|•|n2|=434=23417．所以二面角D-B1C-B的余弦值为23417．

…（10分）42.命题“有的三角形的三个内角成等差数列”的否定是______．答案：根据特称命题的否定为全称命题可知，“有的三角形的三个内角成等差数列”的否定为“任意三角形的三个内角不成等差数列”，故为：任意三角形的三个内角不成等差数列43.若圆O1方程为（x+1）2+（y+1）2=4，圆O2方程为（x-3）2+（y-2）2=1，则方程（x+1）2+（y+1）2-4=（x-3）2+（y-2）2-1表示的轨迹是（）

A．经过两点O1，O2的直线

B．线段O1O2的中垂线

C．两圆公共弦所在的直线

D．一条直线且该直线上的点到两圆的切线长相等答案：D44.不等式0.52x＞0.5x-1的解集为______．答案：由于函数y=0.5x

是R上的减函数，故由0.52x＞0.5x-1可得2x＜x-1，解得x＜-1．故不等式0.52x＞0.5x-1的解集为（-∞，-1），故为（-∞，-1）．45.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F

是棱CD上的动点．

（Ⅰ）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；

（Ⅱ）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1-EF-A的余弦值以及BA1与面C1EF所成的角的大小．答案：（I）由题意可得：以A为原点，分别以直线AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，且DF=x，则A1（0，0，1），A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），B1(1，0，1)，D1(0，1，1)，E(1，12，0)，F(x，1，0)所以D1E=(1，-12，-1)，AB1=(1，0，1)，AF=(x，1，0)由D1E⊥面AB1F⇔D1E⊥AB1且D1E⊥AF，所以D1E•AB1=0D1E•AF=0，可解得x=12所以当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F．（II）当D1E⊥平面AB1F时，F是CD的中点，F(12，1，0)由正方体的结构特征可得：平面AEF的一个法向量为m=(0，0，1)，设平面C1EF的一个法向量为n=（x，y，z），在平面C1EF中，EC1=(0，12，1)，EF=(-12，12，0)，所以EC1•n=0EF•n

=0，即y=-2zx=y，所以取平面C1EF的一个法向量为n=(2，2，-1)，所以cos＜m，n＞=-13，所以＜m，n＞=π-arccos13，又因为当把m，n都移向这个二面角内一点时，m背向平面AEF，而n指向平面C1EF，所以二面角C1-EF-A的大小为π-arccos13又因为BA1=(-1，0，1)，所以cos＜BA1，n＞=-22，所以＜BA1，n＞=135∘，∴BA1与平面C1EF所成的角的大小为45°．46.若指数函数f（x）与幂函数g（x）的图象相交于一点（2，4），则f（x）=______，g（x）=______．答案：设f（x）=ax（a＞0且a≠1），g（x）=xα将（2，4）代入两个解析式得4=a2，4=2α解得a=2，α=2故为：f（x）=2x，g（x）=x247.与原数据单位不一样的是（）

A．众数

B．平均数

C．标准差

D．方差答案：D48.离心率e=23，短轴长为85的椭圆标准方程为______．答案：离心率e=23，短轴长为85，所以ca=23；b=45又a2=b2+c2解得a2=144，b2=80所以椭圆标准方程为x2144+y280=1或y2144+x280=1故为x2144+y280=1或y2144+x280=149.若事件与相互独立，且，则的值等于A．B．C．D．答案：B解析：事件“”表示的意义是事件与同时发生，因为二者相互独立，根据相互独立事件同时发生的概率公式得：.50.四面体ABCD中，设M是CD的中点，则化简的结果是（）

A．

B．

C．

D．答案：A第2卷一.综合题(共50题)1.将命题“正数a的平方大于零”改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题．答案：原命题可以写成：若a是正数，则a的平方大于零；逆命题：若a的平方大于零，则a是正数；否命题：若a不是正数，则a的平方不大于零；逆否命题：若a的平方不大于零，则a不是正数．2.已知三点A（1，2），B（2，-1），C（2，2），E，F为线段BC的三等分点，则AE•AF=______．答案：∵A（1，2），B（2，-1），C（2，2），∴AB=(1，-3)，BC=(0，3)，AE=AB+13BC=(1，-2)，AF=AB+23BC=(1，-1)，∴AE•AF=1×1+(-2)×(-1)=3．故为：33.（不等式选讲选做题）已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，则3a+1+3b+1+3c+1的最大值为______．答案：根据柯西不等式，可得（3a+1+3b+1+3c+1）2=（1?3a+1+1?3b+1+1?3c+1）2≤（12+12+12）[（3a+1）2+（3b+1）2+（3c+1）2]=3[3（a+b+c）+3]=18当且仅当3a+1=3b+1=3c+1），即a=b=c=13时，（3a+1+3b+1+3c+1）2的最大值为18因此3a+1+3b+1+3c+1的最大值为32．故为：324.将函数="2x"+1的图像按向量平移得函数=的图像则

A=（1）B=（1，1）C=()

D(1，1）答案：C解析：分析：本小题主要考查函数图象的平移与向量的关系问题．依题由函数y=2x+1的图象得到函数y=2x+1的图象，需将函数y=2x+1的图象向左平移1个单位，向下平移1个单位；故=(-1，-1)．解：设=（h，k）则函数y=2x+1的图象平移向量后所得图象的解析式为y=2x-h+1+k∴∴∴=（-1，-1）故答案为：C．5.设双曲线的两条渐近线为y=±x，则该双曲线的离心率e为（）

A．5

B．或

C．或

D．答案：C6.参数方程x=sinθ+cosθy=sinθ•cosθ化为普通方程是______．答案：把x=sinθ+cosθy=sinθ•cosθ利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为普通方程可得x2=1+2y，故为x2=1+2y．7.已知直线方程l1：2x-4y+7=0，l2：x-2y+5=0，则l1与l2的关系（）

A．平行

B．重合

C．相交

D．以上答案都不对答案：A8.设A、B、C、D是半径为r的球面上的四点，且满足AB⊥AC、AD⊥AC、AB⊥AD，则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是[

]A、r2

B、2r2

C、3r2

D、4r2答案：B9.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）

A．a，b，c中至少有两个偶数

B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

C．a，b，c都是奇数

D．a，b，c都是偶数答案：B10.某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ______（结果用最简分数表示）．答案：用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，ξ可取0，1，2，当ξ=0时，表示没有选到女生；当ξ=1时，表示选到一个女生；当ξ=2时，表示选到2个女生，∴P（ξ=0）=C25C27=1021，P（ξ=1）=C15C12C27=1021，P（ξ=2）=C22C27=121，∴Eξ=0×1021+1×1021+2×121=47．故为：4711.已知平行四边形的三个顶点A（-2，1），B（-1，3），C（3，4），求第四个顶点D的坐标．答案：若构成的平行四边形为ABCD1，即AC为一条对角线，设D1（x，y），则由AC中点也是BD1中点，可得

-2+32=x-121+42=y+32，解得

x=2y=2，∴D1（2，2）．同理可得，若构成以AB为对角线的平行四边形ACBD2，则D2（-6，0）；以BC为对角线的平行四边形ACD3B，则D3（4，6），∴第四个顶点D的坐标为：（2，2），或（-6，0），或（4，6）．12.根据下列条件，求圆的方程：

（1）过点A（1，1），B（-1，3）且面积最小；

（2）圆心在直线2x-y-7=0上且与y轴交于点A（0，-4），B（0，-2）．答案：（1）过A、B两点且面积最小的圆就是以线段AB为直径的圆，∴圆心坐标为（0，2），半径r=12|AB|=12(-1+1)2+(1-3)2=12×8=2，∴所求圆的方程为x2+（y-2）2=2；（2）由圆与y轴交于点A（0，-4），B（0，-2）可知，圆心在直线y=-3上，由2x-y-7=0y=-3，解得x=2y=-3，∴圆心坐标为（2，-3），半径r=5，∴所求圆的方程为（x-2）2+（y+3）2=5．13.若|a|=3、|b|=4，且a⊥b，则|a+b|=______．答案：∵|a|=3，|b|=4，且a⊥b，∴|a+b|=a2+2a?b+b2=9+0+16=5．故为：5．14.在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与方程θ=（ρ＞0）所表示的图形的交点的极坐标是（

）

A．（1，1）

B．(1，)

C．(，)

D．(，)答案：C15.下列各个对应中，从A到B构成映射的是（）A．

B．

C．

D．

答案：按照映射的定义，A中的任何一个元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应．而在选项A和选项B中，前一个集合中的元素2在后一个集合中没有元素与之对应，故不符合映射的定义．选项C中，前一个集合中的元素1在后一集合中有2个元素和它对应，也不符合映射的定义，只有选项D满足映射的定义，故选D．16.若log

23（x-2）≥0，则x的范围是______．答案：由log

23（x-2）≥0=log231，可得0＜x-2≤1，解得2＜x≤3，故为（2，3]．17.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x=5cosθ-1y=5sinθ+2（θ为参数）和直线l：x=4t+6y=-3t-2（t为参数），则直线l与圆C相交所得的弦长等于______．答案：∵在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x=5cosθ-1y=5sinθ+2（θ为参数），∴（x+1）2+（y-2）2=25，∴圆心为（-1，2），半径为5，∵直线l：x=4t+6y=-3t-2（t为参数），∴3x+4y-10=0，∴圆心到直线l的距离d=|-3+8-10|5=1，∴直线l与圆C相交所得的弦长=2×52-1=46．故为46．18.若随机变量X的概率分布如下表，则表中a的值为（）

X

1

2

3

4

P

0.2

0.3

0.3

a

A．1

B．0.8

C．0.3

D．0.2答案：D19.双曲线C的焦点在x轴上，离心率e=2，且经过点P(2，3)，则双曲线C的标准方程是______．答案：设双曲线C的标准方程x2a2-y2b2=1，∵经过点P(2，3)，∴2a2-3b2=1

①，又∵e=2=a2+b2a

②，由①②联立方程组并解得

a2=1，b2=3，双曲线C的标准方程是x2-y23=1，故为：x2-y23=1．20.某种灯泡的耐用时间超过1000小时的概率为0.2，有3个相互独立的灯泡在使用1000小时以后，最多只有1个损坏的概率是（）

A．0.008

B．0.488

C．0.096

D．0.104答案：D21.将函数y=sin(x+)的图象按向量=(-m,0)平移所得的图象关于y轴对称，则m最小正值是

（

）

A．

B．

C．

D．答案：A22.若圆台的上下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是（）A．2B．2.5C．5D．10答案：设母线长为l，则S侧=π（1+3）l=4πl．S上底+S下底=π?12+π?32=10π．据题意4πl=20π即l=5，故选C．23.已知直线经过点A（0，4）和点B（1，2），则直线AB的斜率为（）

A．3

B．-2

C．2

D．不存在答案：B24.试比较nn+1与（n+1）n（n∈N*）的大小．

当n=1时，有nn+1______（n+1）n（填＞、=或＜）；

当n=2时，有nn+1______（n+1）n（填＞、=或＜）；

当n=3时，有nn+1______（n+1）n（填＞、=或＜）；

当n=4时，有nn+1______（n+1）n（填＞、=或＜）；

猜想一个一般性的结论，并加以证明．答案：当n=1时，nn+1=1，（n+1）n=2，此时，nn+1＜（n+1）n，当n=2时，nn+1=8，（n+1）n=9，此时，nn+1＜（n+1）n，当n=3时，nn+1=81，（n+1）n=64，此时，nn+1＞（n+1）n，当n=4时，nn+1=1024，（n+1）n=625，此时，nn+1＞（n+1）n，根据上述结论，我们猜想：当n≥3时，nn+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．①当n=3时，nn+1=34=81＞（n+1）n=43=64即nn+1＞（n+1）n成立．②假设当n=k时，kk+1＞（k+1）k成立，即：kk+1(k+1)k＞1则当n=k+1时，(k+1)k+2(k+2)k+1=(k+1)?(k+1k+2)k+1＞(k+1)?(kk+1)k+1=kk+1(k+1)k＞1即（k+1）k+2＞（k+2）k+1成立，即当n=k+1时也成立，∴当n≥3时，nn+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．25.过椭圆4x2+y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F1构成的△ABF2的周长为（）

A．2

B．2

C．4

D．8答案：C26.参数方程x=sin2θy=cosθ+sinθ(θ为参数)的普通方程为______．答案：把参数方程x=sin2θy=cosθ+sinθ(θ为参数)利用同角三角函数的基本关系消去参数化为普通方程为y2=1+x，故为y2=1+x．27.已知圆O的两弦AB和CD延长相交于E，过E点引EF∥CB交AD的延长线于F，过F点作圆O的切线FG，求证：EF=FG．答案：证明：∵FG为⊙O的切线，而FDA为⊙O的割线，∴FG2=FD?FA①又∵EF∥CB，∴∠1=∠2．而∠2=∠3，∴∠1=∠3，∠EFD=∠AFE为公共角∴△EFD∽△AFE，FDEF=EFFA，即EF2=FD?FA②由①，②可得EF2=FG2∴EF=FG．28.若抛物线y2=4x上一点P到其焦点的距离为3，则点P的横坐标等于______．答案：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|MF|=3=x+p2=3，∴x=2，故为：2．29.设i为虚数单位，若=b+i（a，b∈R），则a，b的值为（）

A．a=0，b=1

B．a=1，b=0

C．a=1，b=1

D．a=，b=-1答案：B30.一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，3，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…10．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k号码的个位数字相同，若m=6，则在第7组中抽取的号码是（）

A．66

B．76

C．63

D．73答案：C31.把的图象按向量平移得到的图象，则可以是（

）A．B．C．D．答案：D解析：∵，∴要得到的图象，需将的图象向右平移个单位长度，故选D。32.从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了三组事件：

①至少有1个白球与至少有1个黄球；

②至少有1个黄球与都是黄球；

③恰有1个白球与恰有1个黄球．

其中互斥而不对立的事件共有（）组．

A．0

B．1

C．2

D．3答案：A33.曲线y=log2x在M=0110作用下变换的结果是曲线方程______．答案：设P（x，y）是曲线y=log2x上的任一点，P1（x′，y′）是P（x，y）在矩阵M=0110对应变换作用下新曲线上的对应点，则x′y′=0110xy=yx（3分）即x′=yy′=x，所以x=y′y=x′，（6分）将x=y′y=x′代入曲线y=log2x，得x′=log2y′，（8分）即y′=2x′曲线y=log2x在M=0110作用下变换的结果是曲线方程y=2x故为：y=2x34.已知x+5y+3z=1，则x2+y2+z2的最小值为______．答案：证明：35（x2+y2+z2）×（1+25+9）≥（x+5y+3z）2=1∴x2+y2+z2≥135，则x2+y2+z2的最小值为135，故为：135．35.若将方程|(x-4)2+y2-(x+4)2+y2|=6化简为x2a2-y2b2=1的形式，则a2-b2=______．答案：方程|(x-4)2+y2-(x+4)2+y2|=6，表示点（x，y）到（4，0），（-4，0）两点距离差的绝对值为6，∴轨迹为以（4，0），（-4，0）为焦点的双曲线，方程为x29-y27=1∴a2-b2=2故为：236.已知曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线l：y=-2的距离小1．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）动点E在直线l上，过点E分别作曲线C的切线EA，EB，切点为A、B．

（ⅰ）求证：直线AB恒过一定点，并求出该定点的坐标；

（ⅱ）在直线l上是否存在一点E，使得△ABM为等边三角形（M点也在直线l上）？若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由．答案：（Ⅰ）曲线C的方程x2=4y（5分）（Ⅱ）（ⅰ）设E（a，-2），A(x1，x214)，B(x2，x224)，∵y=x24∴y′=12x过点A的抛物线切线方程为y-x214=12x1(x-x1)，∵切线过E点，∴-2-x214=12x1(a-x1)，整理得：x12-2ax1-8=0同理可得：x22-2ax2-8=0，∴x1，x2是方程x2-2ax-8=0的两根，∴x1+x2=2a，x1•x2=-8可得AB中点为(a，a2+42)又kAB=y1-y2x1-x2=x214-x224x1-x2=x1+x24=a2，∴直线AB的方程为y-(a22+2)=a2(x-a)即y=a2x+2，∴AB过定点（0，2）（10分）（ⅱ）由（ⅰ）知AB中点N(a，a2+42)，直线AB的方程为y=a2x+2当a≠0时，则AB的中垂线方程为y-a2+42=-2a(x-a)，∴AB的中垂线与直线y=-2的交点M(a3+12a4，-2)∴|MN|2=(a3+12a4-a)2+(-2-a2+42)2=116(a2+8)2(a2+4)∵|AB|=1+a24(x1+x2)2-4x1x2=(a2+4)(a2+8)若△ABM为等边三角形，则|MN|=32|AB|，∴116(a2+8)2(a2+4)=34(a2+4)(a2+8)，解得a2=4，∴a=±2，此时E（±2，-2），当a=0时，经检验不存在满足条件的点E综上可得：满足条件的点E存在，坐标为E（±2，-2）．（15分）37.为了了解学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示，根据此图，估计该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为（）

A．300B．350C．420D．450答案：∵由图得，∴70.5公斤以上的人数的频率为：（0.04+0.035+0.016）×2=0.181，∴70.5公斤以上的人数为2000×0.181=362，故选B38.甲盒子中装有3个编号分别为1，2，3的小球，乙盒子中装有5个编号分别为1，2，3，4，5的小球，从甲、乙两个盒子中各随机取一个小球，则取出两小球编号之积为奇数的概率为______．答案：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从两个盒子中分别取一个小球，共有3×5=15种结果，满足条件的事件是取出的两个小球编号之积是奇数，可以列举出有（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5）共有6种结果，∴要求的概率是615=25．故为25．39.已知P(B|A)=，P(A)=，则P（AB）等于（）

A．

B．

C．

D．答案：C40.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点M（ρ，θ）关于极点的对称点的极坐标是______．答案：由点的极坐标的意义可得，点M（ρ，θ）关于极点的对称点到极点的距离等于ρ，极角为π+θ，故点M（ρ，θ）关于极点的对称点的极坐标是（ρ，π+θ），故为（ρ，π+θ）．41.对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“______”．答案：在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，我们常用由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，故由平面几何中的命题：“夹在两条平行线这间的平行线段相等”，我们可以推断在立体几何中：“夹在两个平行平面间的平行线段相等”这个命题是一个真命题．故为：“夹在两个平行平面间的平行线段相等”．42.如图所示，正四面体V—ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.

（1）求证：AO、BO、CO两两垂直；

（2）求〈,〉.答案：（1）证明略（2）45°解析：(1)

设=a,=b,=c,正四面体的棱长为1,则=(a+b+c),=(b+c-5a),=(a+c-5b),=(a+b-5c)∴·=（b+c-5a）·（a+c-5b）=（18a·b-9|a|2）=（18×1×1·cos60°-9）=0.∴⊥，∴AO⊥BO，同理⊥，BO⊥CO，∴AO、BO、CO两两垂直.（2）

=+=-（a+b+c）+=(-2a-2b+c).∴||==，||==，·=（-2a-2b+c）·（b+c-5a）=，∴cos〈,〉==，∵〈,〉∈(0,),∴〈,〉=45°.43.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，若PA⊥AB，PO过AC的中点M，求证：PC是⊙O的切线．答案：证明：连接OC，∵PA⊥AB，∴∠PA0=90°．（1分）∵PO过AC的中点M，OA=OC，∴PO平分∠AOC．∴∠AOP=∠COP．（3分）∴在△PAO与△PCO中有OA=OC，∠AOP=∠COP，PO=PO．∴△PAO≌△PCO．（6分）∴∠PCO=∠PA0=90°．即PC是⊙O的切线．（7分）44.△ABC所在平面内点O、P，满足OP=OA+λ(AB+12BC)，λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定经过△ABC的（）A．重心B．垂心C．内心D．外心答案：设BC的中点为D，则∵OP=OA+λ(AB+12BC)，∴OP=OA+λAD∴AP=λAD∴AP∥AD∵AD是△ABC的中线∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心故选A．45.在语句PRINT

3，3+2的结果是（）

A．3，3+2

B．3，5

C．3，5

D．3，2+3答案：B46.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体的体积是（）A．6B．6C．32D．23答案：可设长方体同一个顶点上的三条棱长分别为a，b，c，则有ab=2、bc=3、ca=6，解得：a=2，b=1，c=3故这个长方体的体积是6故为B47.下列在曲线上的点是（

）

A．

B．

C．

D．答案：B48.如图表示空间直角坐标系的直观图中，正确的个数为（）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个答案：C49.为了让学生更多地了解“数学史”知识，某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据下面的频率分布表，解答下列问题：

序号

（i）分组

（分数）本组中间值

（Gi）频数

（人数）频率

（Fi）1（60，70）65①0.122[70，80）7520②3[80，90）85③0.244[90，100]95④⑤合

计501（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；

（2）为鼓励更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于85分的同学能获奖，请估计在参赛的800名学生中大概有多少同学获奖？

（3）请根据频率分布表估计该校高二年级参赛的800名同学的平均成绩．答案：（1）①为6，②为0.4，③为12，④为12⑤为0.24．（5分）（2）（12×0.24+0.24）×800=288，即在参加的800名学生中大概有288名同学获奖．（9分）（3）65×0.12+75×0.4+85×0.24+95×0.24=81（4）估计平均成绩为81分．（12分）50.如图，△ABC是圆的内接三角形，PA切圆于点A，PB交圆于点D．若∠ABC=60°，PD=1，BD=8，则∠PAC=______°，PA=______．答案：∵PD=1，BD=8，∴PB=PD+BD=9由切割线定理得PA2=PD?PB=9∴PA=3又∵PE=PA∴PE=3又∠PAC=∠ABC=60°故：60，3第3卷一.综合题(共50题)1.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（-2，0），C（-2，1）．设k为非零实数，矩阵M=.k001.，N=.0110.，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，

（1）求k的值．

（2）判断变换MN是否可逆，如果可逆，求矩阵MN的逆矩阵；如不可逆，说明理由．答案：（1）由题设得MN=k0010110=01k0，由01k000-20-21=000-2k-2，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（k，-2）．计算得△ABC面积的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，则由题设知：|k|=2×1=2．所以k的值为2或-2．（2）令MN=A，设B=abcd是A的逆矩阵，则AB=0k10abcd=1001⇒ckdkab=1001⇒ck=1dk=0a=0b=1①当k≠0时，上式⇒a=0b=1c=1kd=0，MN可逆，（8分）所以MN的逆矩阵是B=011k0．（10分）②当k≠0时，上式不可能成立，MN不可逆，（11分）．2.螺母是由

______和

______两个简单几何体构成的．答案：根据螺母的结构特征知，是由正六棱柱里面挖去的一个圆柱构成的，故为：正六棱柱，圆柱．3.设α∈[0，π]，则方程x2sinα+y2cosα=1不能表示的曲线为（）

A．椭圆

B．双曲线

C．抛物线

D．圆答案：C4.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若ξ在（0，2）内取值的概率为0.6，则ξ在（0，1）内取值的概率为（）

A．0.1

B．0.2

C．0.3

D．0.4答案：C5.小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是（）

A．

B．

C．

D．答案：A6.设P点在x轴上，Q点在y轴上，PQ的中点是M（-1，2），则|PQ|等于______．答案：设P（a，0），Q（0，b），∵PQ的中点是M（-1，2），∴由中点坐标公式得a+02=-10+b2=2，解之得a=-2b=4，因此可得P（-2，0），Q（0，4），∴|PQ|=(-2-0)2+(0-4)2=25．故为：257.如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4千米，城镇P位于点O的北偏东30°处，|OP|=10千米，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路l，以便建立水陆交通网．

（1）建立适当的坐标系，求抛物线C的方程；

（2）为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（精确到0.001千米）答案：（1）过点O作准线的垂线，垂足为A，以OA所在直线为x轴，OA的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系…（2分）由题意得，p2=0.4…（4分）所以，抛物线C：y2=1.6x…（6分）（2）设抛物线C的焦点为F由题意得，P(5，53)…（8分）根据抛物线的定义知，公路总长=|QF|+|QP|≥|PF|≈9.806…（12分）当Q为线段PF与抛物线C的交点时，公路总长最小，最小值为9.806千米…（16分）8.定义xn+1yn+1=1011xnyn，n∈N*为向量OPn=(xn，yn)到向量OPn+1=(xn+1，yn+1)的一个矩阵变换，其中O是坐标原点．已知OP1=(1，0)，则OP2010的坐标为______．答案：由题意，xn+1=xnyn+1=xn+yn∴向量的横坐标不变，纵坐标构成以0为首项，1为公差的等差数列∴OP2010的坐标为（1，2009）故为（1，2009）9.（难线性运算、坐标运算）已知0＜x＜1，0＜y＜1，求M=x2+y2+x2+(1-y)2+(1-x)2+y2+(1-x)2+(1-y)2的最小值．答案：设A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），P（x，y），则M=|PA|+|PD|+|PB|+|PC|=(|PA|+|PC|)+(|PB|+|PD|)=(|AP|+|PC|)+(|BP|+|PD|)≥|AP+PC|+|BP+PD|=|AC|+|BD|．而AC=(1，1)，BD=(-1，1)，得|AC|+|BD|=2+2=22．∴M≥22，当AP与PC同向，BP与PD同向时取等号，设PC=λAP，PD=μBP，则1-x=λx，1-y=λy，-x=μx-μ，1-y=μy，解得λ=μ=1，x=y=12．所以，当x=y=12时，M的最小值为22．10.函数f（x）的定义域为R+，若f（x+y）=f（x）+f（y），f（8）=3，则f（2）=（）A．54B．34C．12D．14答案：∵f（x+y）=f（x）+f（y），f（8）=3，∴令x=y=4，则f（8）=2f（4）=3，∴f（4）=32，令x=y=2，f（4）=2f（2）=32，∴f（2）=34．故选B．11.下列命题中，错误的是（）

A．平行于同一条直线的两个平面平行

B．平行于同一个平面的两个平面平行

C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行

D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交答案：A12.如果椭圆x225+y216=1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离为（）A．5B．4C．8D．6答案：由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=10，|PF1|=6，故|PF2|=4．故选B．13.已知a＞0，b＞0，直线l与x轴、y轴分别交于A（a，0），B（0，b），且过点（1，2），O为原点．求△OAB面积的最小值．答案：∵a＞0，b＞0，直线l与x轴、y轴分别交于A（a，0），B（0，b），∴直线l的方程为xa+yb=1，又直线l过点（1，2），∴1a+2b=1，由基本不等式得1≥22ab，∴ab≥8，△OAB面积为：12ab≥12×8=4，当且仅当1a=2b=12，即a=2且b=4时，等号成立．故△OAB面积的最小值是4．14.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A．a=（0，0），b=（1，-2）B．a=（1，-2），b=（2，-4）C．a=（3，5），b=（6，10）D．a=（2，-3），b=（6，9）答案：可以作为基底的向量需要是不共线的向量，A中一个向量是零向量，两个向量共线，不合要求B中两个向量是a=12b，两个向量共线，C项中的两个向量也共线，故选D．15.命题“若b≠3，则b2≠9”的逆命题是______．答案：根据“若p则q”的逆命题是“若q则p”，可得命题“若b≠3，则b2≠9”的逆命题是若b2≠9，则b≠3．故为：若b2≠9，则b≠3．16.k取何值时，一元二次方程kx2+3kx+k=0的两根为负。答案：解：∴k≤或k>317.如果：在10进制中2004=4×100+0×101+0×102+2×103，那么类比：在5进制中数码2004折合成十进制为（）A．29B．254C．602D．2004答案：（2004）5=2×54+4=254．故选B．18.关于生活中的圆锥曲线，有下面几个结论：

（1）标准田径运动场的内道是一个椭圆；

（2）接受卫星转播的电视信号的天线设备，其轴截面与天线设备的交线是抛物线；

（3）大型热电厂的冷却通风塔，其轴截面与通风塔的交线是双曲线；

（4）地球围绕太阳运行的轨迹可以近似地看成一个椭圆．

其中正确命题的序号是______（把你认为正确命题的序号都填上）．答案：（1）标准田径运动场的内道是有直道和弯道部分是半圆组成，不是椭圆．故错误（2）接受卫星转播的电视信号的天线设备，其轴截面与天线设备的交线是抛物线．故正确．（3）大型热电厂的冷却通风塔，其轴截面与通风塔的交线是双曲线．故正确．（4）地球围绕太阳运行的轨迹可以近似地看成一个椭圆．故正确．故为：（2）（3）（4）19.已知x+2y+3z=1，则x2+y2+z2取最小值时，x+y+z的值为______．答案：由柯西不等式可知：（x+2y+3z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+32）故x2+y2+z2≥114，当且仅当x1=y2=z3取等号，此时y=2x，z=3x，x+2y+3z=14x=1，∴x=114，y=214，x=314，x+y+z=614=37．故为：37．20.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为______．答案：设该班男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a．根据题意可知：75x+80y=（x+y）×a，且xx+y=40%．所以a=78，则这次考试该年级学生平均分数为78．故为：78．21.已知直线l1：3x-y+2=0，l2：3x+3y-5=0，则直线l1与l2的夹角是______．答案：因为直线l1的斜率为3，故倾斜角为60°，直线l2的斜率为-3，倾斜角为120°，故两直线的夹角为60°，即两直线的夹角为π3，故为

π3．22.用随机数表法进行抽样有以下几个步骤：①将总体中的个体编号；②获取样本号码；③选定开始的数字，这些步骤的先后顺序应为（）A．①②③B．③②①C．①③②D．③①②答案：∵随机数表法进行抽样，包含这样的步骤，①将总体中的个体编号；②选定开始的数字，按照一定的方向读数；③获取样本号码，∴把题目条件中所给的三项排序为：①③②，故选C．23.直线y=33x绕原点逆时针方向旋转30°后，所得直线与圆（x-2）2+y2=3的交点个数是______．答案：∵直线y=33x的斜率为33，∴此直线的倾斜角为30°，∴此直线绕原点逆时针方向旋转30°后倾斜角为60°，∴此直线旋转后的方程为y=3x，由圆（x-2）2+y2=3，得到圆心坐标为（2，0），半径r=3，∵圆心到直线y=3x的距离d=232=3=r，∴该直线与圆相切，则直线与圆（x-2）2+y2=3的交点个数是1．故为：124.若直线过点（1，2），()，则此直线的倾斜角是（）

A．60°

B．45°

C．30°

D．90°答案：C25.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别为斜边AB上的高和中线，且∠BCD与∠ACD之比为3：1，求证CD=DE．

答案：证明：∵∠A+∠ACD=∠A+∠B=90°，∴∠ACD=∠B又∵CE是直角△ABC的斜边AB上的中线∴CE=EB∠B=∠ECB，∠ACD=∠ECB但∵∠BCD=3∠ACD，∠ECD=2∠ACD=12∠ACB=12×90°=45°，△EDC为等腰直角三角形∴CE=DE．26.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB+AD=λAO，则λ=______．答案：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴AB+AD=AC，又O为AC的中点，∴AC=2AO，∴AB+AD=2AO，∵AB+AD=λAO，∴λ=2．故为：2．27.若x，y∈R，则“x=0”是“x+yi为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分也不必要条件答案：根据复数的分类，x+yi为纯虚数的充要条件是x=0，y≠0．“若x=0则x+yi为纯虚数”是假命题，反之为真．∴x，y∈R，则“x=0”是“x+yi为纯虚数”的必要不充分条件故选B28.已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程．答案：∵P（2，3）在已知直线上，2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0．∴2（a1-a2）+3（b1-b2）=0，即b1-b2a1-a2=-23．∴所求直线方程为y-b1=-23（x-a1）．∴2x+3y-（2a1+3b1）=0，即2x+3y+1=0．29.大家知道，在数列{an}中，若an=n，则sn=1+2+3+…+n=12n2+12n，若an=n2，则

sn=12+22+32+…+n2=13n3+12n2+16n，于是，猜想：若an=n3，则sn=13+23+33+…+n3=an4+bn3+cn2+dn．

问：（1）这种猜想，你认为正确吗？

（2）不管猜想是否正确，这个结论是通过什么推理方法得到的？

（3）如果结论正确，请用数学归纳法给予证明．答案：（1）猜想正确；（2）这是一种类比推理的方法；（3）由类比可猜想，a=14，n=1时，a+b+c+d=1；n=2时，16a+8b+4c+d=9；n=3时，81a+27b+9c+d=36故解得a=14，b=12，c=14，∴sn=13+23+33+…+n3=14n4+12n3+14n2用数学归纳法证明：①n=1时，结论成立；②假设n=k时，结论成立，即13+23+33+…+k3=14k4+12k3+14k2=[k(k+1)2]2则n=k+1时，左边=13+23+33+…+k3+（k+1）3=14k4+12k3+14k2+（k+1）3=[k(k+1)2]2+(k+1)3=(k+12)2(k2+4k+4)=[(k+1)(k+2)2]2=右边，结论成立由①②可知，sn=13+23+33+…+n3=14n4+12n3+14n2，成立30.参数方程中当t为参数时，化为普通方程为（

）。答案：x2-y2=131.设定义域为[x1，x2]的函数y=f（x）的图象为C，图象的两个端点分别为A、B，点O为坐标原点，点M是C上任意一点，向量OA=（x1，y1），OB=（x2，y2），OM=（x，y），满足x=λx1+（1-λ）x2（0＜λ＜1），又有向量ON=λOA+（1-λ）OB，现定义“函数y=f（x）在[x1，x2]上可在标准k下线性近似”是指|MN|≤k恒成立，其中k＞0，k为常数．根据上面的表述，给出下列结论：

①A、B、N三点共线；

②直线MN的方向向量可以为a=（0，1）；

③“函数y=5x2在[0，1]上可在标准1下线性近似”；

④“函数y=5x2在[0，1]上可在标准54下线性近似”．

其中所有正确结论的番号为______．答案：由ON=λOA+（1-λ）OB，得ON-OB=λ(OA-OB)，即BN=λBA故①成立；∵向量OA=（x1，y1），OB=（x2，y2），向量ON=λOA+（1-λ）OB，∴向量ON的横坐标为λx1+（1-λ）x2（0＜λ＜1），∵OM=（x，y），满足x=λx1+（1-λ）x2（0＜λ＜1），∴MN∥y轴∴直线MN的方向向量可以为a=（0，1），故②成立对于函数y=5x2在[0，1]上，易得A（0，0），B（1，5），所以M（1-λ，5（1-λ）2），N（1-λ，5（1-λ）），从而|MN|=52(1-λ)2-(1-λ))2=25[(λ-12)2+14]2≤54，故函数y=5x2在[0，1]上可在标准54下线性近似”，故④成立，③不成立，故为：①②④32.用黄金分割法寻找最佳点，试验区间为[1000，2000]，若第一个二个试点为好点，则第三个试点应选在（

）。答案：123633.A、B、C、D、E五种不同的商品要在货架上排成一排，其中A、B两种商品必须排在一起，而C、D两种商品不能排在一起，则不同的排法共有______种．答案：先把A、B进行排列，有A22种排法，再把A、B看成一个元素，和E进行排列，有A22种排法，最后再把C、D插入进去，有A23种排法，根据分步计数原理可得A22A22A23=24种排法．故为：2434.在直角坐标系中，x=-1+3cosθy=2+3sinθ，θ∈[0，2π]，所表示曲线的解析式是：______．答案：由题意并根据cos2θ+sin2θ=1

可得，(x+13)2+(y-23)2=1，即（x+1）2+（y-2）2=9，故为（x+1）2+（y-2）2