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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年嵩山少林武术职业学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.设集合A={x|},则A∩B等于(
)
A.
B.
C.
D.答案:B2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为AB、B1C的中点.用AB、AD、AA1表示向量MN,则MN=______.答案:∵MN=MB+BC+CN=12AB+AD+12(CB+BB1)=12AB+AD+12(-AD+AA1)=12AB+12AD+12AA1.故为12AB+12AD+12AA1.3.不等式0.52x>0.5x-1的解集为______.答案:由于函数y=0.5x
是R上的减函数,故由0.52x>0.5x-1可得2x<x-1,解得x<-1.故不等式0.52x>0.5x-1的解集为(-∞,-1),故为(-∞,-1).4.给出的下列几个命题:
①向量共面,则它们所在的直线共面;
②零向量的方向是任意的;
③若则存在唯一的实数λ,使
其中真命题的个数为()
A.0
B.1
C.2
D.3答案:B5.如图,圆心角∠AOB=120°,P是AB上任一点(不与A,B重合),点C在AP的延长线上,则∠BPC等于______.
答案:解:设点E是优弧AB(不与A、B重合)上的一点,∵∠AOB=120°,∴∠AEB=60°,∵∠BPA=180°-∠AEB=180°-∠BPC,∴∠BPC=∠AEB.∴∠BPC=60°.故为60°.6.如图是《集合》一章的知识结构图,如果要加入“交集”,则应该放在()
A.“集合”的下位
B.“概念”的下位
C.“表示”的下位
D.“基本运算”的下位
答案:D7.已知l∥α,且l的方向向量为(2,-8,1),平面α的法向量为(1,y,2),则y=______.答案:∵l∥α,∴l的方向向量(2,-8,1)与平面α的法向量(1,y,2)垂直,∴2×1-8×y+2=0,解得y=12.故为12.8.已知点A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA-MB|=4,则动点M的轨迹为______.答案:动点M满足|MA-MB|=4=|AB|,结合图形思考判断动点M的轨迹为直线AB(不包括线段AB内部的点)上的两条射线.故为直线AB(不包括线段AB内部的点)上的两条射线.9.已知直线经过点A(0,4)和点B(1,2),则直线AB的斜率为______.答案:因为A(0,4)和点B(1,2),所以直线AB的斜率k=2-41-0=-2故为:-210.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程.
在如图中纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则如图中的四个图形中较符合该学生走法的是()A.
B.
C.
D.
答案:由题意可知:由于怕迟到,所以一开始就跑步,所以刚开始离学校的距离随时间的推移应该相对较快.而等跑累了再走余下的路程,则说明离学校的距离随时间的推移在后半段时间应该相对较慢.所以适合的图象为:故选B.11.若a,b∈{2,3,4,5,7},则可以构成不同的椭圆的个数为()
A.10
B.20
C.5
D.15答案:B12.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,|2a+b|=则a与b的夹角为()
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°答案:C13.两个正方体M1、M2,棱长分别a、b,则对于正方体M1、M2有:棱长的比为a:b,表面积的比为a2:b2,体积比为a3:b3.我们把满足类似条件的几何体称为“相似体”,下列给出的几何体中是“相似体”的是()
A.两个球
B.两个长方体
C.两个圆柱
D.两个圆锥答案:A14.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为()A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2答案:圆心在x+y=0上,圆心的纵横坐标值相反,显然能排除C、D;验证:A中圆心(-1,1)到两直线x-y=0的距离是|2|2=2;圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离是62=32≠2.故A错误.故选B.15.平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1
则|a+2b|=______.答案:∵平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1
∴|a+2b|=(a+2b)2=a2+4×a?b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=23.故为:23.16.已知O、A、M、B为平面上四点,且,则()
A.点M在线段AB上
B.点B在线段AM上
C.点A在线段BM上
D.O、A、M、B四点一定共线答案:B17.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为(
)
A.
B.
C.3
D.2答案:C18.在画两个变量的散点图时,下面哪个叙述是正确的()
A.预报变量x轴上,解释变量y轴上
B.解释变量x轴上,预报变量y轴上
C.可以选择两个变量中任意一个变量x轴上
D.可以选择两个变量中任意一个变量y轴上答案:B19.已知函数f(x)=x2+2,x≥13x,x<1,则f(f(0))=()A.4B.3C.9D.11答案:因为f(0)=30=1,所以f[f(0)]═f(1)=1+2=3.故选B.20.在四边形ABCD中有AC=AB+AD,则它的形状一定是______.答案:由向量加法的平行四边形法则及AC=AB+AD,知四边形ABCD为平行四边形,故为:平行四边形.21.已知函数f(x)对其定义域内任意两个实数a,b,当a<b时,都有f(a)<f(b).试用反证法证明:函数f(x)的图象与x轴至多有一个交点.答案:证明:假设函数f(x)的图象与x轴至少有两个交点,…(2分)(1)若f(x)的图象与x轴有两个交点,不妨设两个交点的横坐标分别为x1,x2,且x1<x2,…(5分)由已知,函数f(x)对其定义域内任意实数x1,x2,当x1<x2时,有f(x1)<f(x2).…(7分)又根据假设,x1,x2是函数f(x)的两个零点,所以,f(x1)=f(x2)=0,…(9分)这与f(x1)<f(x2)矛盾,…(10分)所以,函数f(x)的图象不可能与x轴有两个交点.…(11分)(2)若f(x)的图象与x轴交点多于两个,可同理推出矛盾,…(12分)所以,函数f(x)的图象不可能与x轴有两个以上交点.综上,函数f(x)的图象与x轴至多有一个交点…(14分)22.用数学归纳法证明等式时,第一步验证n=1时,左边应取的项是()
A.1
B.1+2
C.1+2+3
D.1+2+3+4答案:D23.到两定点A(0,0),B(3,4)距离之和为5的点的轨迹是()
A.椭圆
B.AB所在直线
C.线段AB
D.无轨迹答案:C24.若点(2,-2)在圆(x-a)2+(y-a)2=16的内部,则实数a的取值范围是()
A.-2<a<2
B.0<a<2
C.a<-2或a>2
D.a=±2答案:A25.如图,已知某探照灯反光镜的纵切面是抛物线的一部分,光源安装在焦点F上,且灯的深度EG等于灯口直径AB,若灯的深度EG为64cm,则光源安装的位置F到灯的顶端G的距离为______cm.答案:以反射镜顶点为原点,以顶点和焦点所在直线为x轴,建立直角坐标系.设抛物线方程为y2=2px,依题意可点A(64,32)在抛物线上代入抛物线方程得322=128p解得p=8∴焦点坐标为(4,0),而光源到反射镜顶点的距离正是抛物线的焦距,即4cm.故为:4.26.求原点至3x+4y+1=0的距离?答案:由原点坐标为(0,0),得到原点到已知直线的距离d=|3?0+4?0+1|32+42=15.27.{,,}=是空间向量的一个基底,设=+,=+,=+,给出下列向量组:①{,,},②{,},③{,,},④{,,},其中可以作为空间向量基底的向量组有()组.
A.1
B.2
C.3
D.4答案:C28.如图表示空间直角坐标系的直观图中,正确的个数为()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个答案:C29.已知x与y之间的一组数据:
x
0
1
2
3
y
2
4
6
8
则y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点()
A.(1.5,4)
B.(1.5,5)
C.(1,5)
D.(2,5)答案:B30.运行如图的程序,将自然数列0,1,2,…依次输入作为a的值,则输出结果x为______.
答案:当n=2时,x=5×6+0=30,当n=1时,x=30×6+1=181,当n=0时,x=181×6+2=1088,故为:108831.(本题满分12分)已知对任意的平面向量,把绕其起点沿逆时针方向旋转角,得到向量,叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P
①已知平面内的点A(1,2),B,把点B绕点A沿逆时针方向旋转后得到点P,求点P的坐标
②设平面内曲线C上的每一点绕逆时针方向旋转后得到的点的轨迹是曲线,求原来曲线C的方程.答案:解:
……2分
……6分
解得x="0,y="-1
……7分②
…………10分
即…………11分又x’2-y’2="1
"……12分
……13分
化简得:
……14分解析:略32.如图是一个几何体的三视图(单位:cm),则这个几何体的表面积是()A.(7+2)
cm2B.(4+22)cm2C.(6+2)cm2D.(6+22)cm2答案:图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱.直角梯形的上底为1,下底为2,高为1;棱柱的高为1.可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2,2.所以此几何体的表面积S表面=2S底+S侧面=12(1+2)×1×2+(1+1+2+2)×1=7+2(cm2).故选A.33.如图所示,CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线,CE⊥CD,CE=103,连接DE交BC于点F,AC=4,BC=3.
求证:(1)△ABC∽△EDC;
(2)DF=EF.答案:证明:(1)∵CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线∴CD=12AB=12AC2+BC2=52.∴CECD=10352=43=ACBC,∠ACB=∠DCE=90°.∴△ABC∽△EDC.(2)因为△ABC∽△EDC∴∠B=∠CDE,∠E=∠A.由CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线得:CD=AD=DB?∠B=∠DCB,∠A=∠DCA∴∠DCB=∠CDE?DF=CF;又因为:∠DCA+∠DCB=∠DCB+∠BCE=90°;∴∠DCA=∠BCE=∠A=∠E∴CF=EF.∴DF=EF.34.如图,把椭圆x225+y216=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=______.答案:如图,把椭圆x225+y216=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则根据椭圆的对称性知,|P1F1|+|P7F1|=|P1F1|+|P1F2|=2a,同理其余两对的和也是2a,又|P4F1|=a,∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=35,故为35.35.用反证法证明“3是无理数”时,第一步应假设“______.”答案:反证法肯定题设而否定结论,从而得出矛盾,题设“3是无理数”,那么假设为:3是有理数.故为3是有理数.36.设i为虚数单位,若=b+i(a,b∈R),则a,b的值为()
A.a=0,b=1
B.a=1,b=0
C.a=1,b=1
D.a=,b=-1答案:B37.如果过点A(x,4)和(-2,x)的直线的斜率等于1,那么x=()A.4B.1C.1或3D.1或4答案:由于直线的斜率等于1,故1=4-xx-(-2),解得x=1故选B38.(1)在数轴上求一点的坐标,使它到点A(9)与到点B(-15)的距离相等;
(2)在数轴上求一点的坐标,使它到点A(3)的距离是它到点B(-9)的距离的2倍.答案:(1)设该点为M(x),根据题意,得A、M两点间的距离为d(A,M)=|x-9|,B、M两点间的距离为d(M,B)=|-15-x|,结合题意,可得|x-9|=|-15-x|,∴x-9=15+x或x-9=-15-x,解之得x=-3,得M的坐标为-3故所求点的坐标为-3.(2)设该点为N(x'),则A、N两点间的距离为d(A,N)=|x'-3|,B、N两点间的距离为d(N,B)=|-9-x'|,根据题意有|x'-3|=2|9+x'|,∴x'-3=18+2x'或x'-3=-18-2x',解之得x'=-21,或x'=-5.故所求点的坐标是-21或-5.39.等于()
A.a
B.a2
C.a3
D.a4答案:B40.过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点,若线段AB中点的横坐标为3,则|AB|等于()A.2B.4C.6D.8答案:由题设知知线段AB的中点到准线的距离为4,设A,B两点到准线的距离分别为d1,d2,由抛物线的定义知:|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8.故选D.41.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,MN是它的内切球的一条弦(把球面上任意两点之间的线段称为球的弦),P为正方体表面上的动点,当弦MN最长时.PM•PN的最大值为______.答案:设点O是此正方体的内切球的球心,半径R=1.∵PM•PN≤|PM|
|PN|,∴当点P,M,N三点共线时,PM•PN取得最大值.此时PM•PN≤(PO-MO)•(PO+ON),而MO=ON,∴PM•PN≤PO2-R2=PO2-1,当且仅当点P为正方体的一个顶点时上式取得最大值,∴(PM•PN)max=(232)2-1=2.故为2.42.已知直线l1:3x-y+2=0,l2:3x+3y-5=0,则直线l1与l2的夹角是______.答案:因为直线l1的斜率为3,故倾斜角为60°,直线l2的斜率为-3,倾斜角为120°,故两直线的夹角为60°,即两直线的夹角为π3,故为
π3.43.下列4个命题
㏒1/2x>㏒1/3x
其中的真命题是()
、A.(B.C.D.答案:D解析:取x=,则=1,=<1,p2正确当x∈(0,)时,()x<1,而>1.p4正确44.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,中间的数字表示得分的十位数,下列对乙运动员的判断错误的是()A.乙运动员得分的中位数是28B.乙运动员得分的众数为31C.乙运动员的场均得分高于甲运动员D.乙运动员的最低得分为0分答案:根据题意,可得甲的得分数据:8,14,16,13,23,26,28,30,30,39可得甲得分的平均数是22.7乙的得分数据:12,15,25,24,21,31,36,31,37,44可得乙得分的平均数是27.6,31出现了两次,可得乙得分的众数是1将乙得分数据按从小到大的顺序排列,位于中间的两个数是25和31,故中位数是12(25+31)=28由以上的数据,可得:乙运动员得分的中位数是28,A项是正确的;乙运动员得分的众数为31,B项是正确的;乙运动员的场均得分高于甲运动员,C各项是正确的.而D项因为乙运动员的得分没有0分,故D项错误故选:D45.Rt△ABC中,AB=3,BC=4,AC=5,将三角形绕直角边AB旋转一周形成一个新的几何体,想象几何体的结构,画出它的三视图,求出它的表面积和体积.答案:以绕AB边旋转为例,其直观图、正(侧)视图、俯视图依次分别为:其表面是扇形的表面,所以其表面积为S=πRL=36π,V=13×π×BC2×AB=16π.46.已知镭经过100年,质量便比原来减少4.24%,设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y,则y=f(x)的函数解析式为(x≥0)()A.0.0424x100B.0.9576x100C.0.0424100xD.0.9576100x答案:由题意可得,对于函数,当x=100时,y=95.76%=0.9576,结合选项检验选项A:x=100,y=0.0424,故排除A选项B:x=100,y=0.9576,故B正确故选:B解析:已知镭经过100年,质量便比原来减少4.24%,设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y,则y=f(x)的函数解析式为(x≥0)()A.0.0424x100B.0.9576x100C.0.0424100x47.已知不等式a≤对x取一切负数恒成立,则a的取值范围是____________.答案:a≤2解析:要使a≤对x取一切负数恒成立,令t=|x|>0,则a≤.而≥=2,∴a≤2.48.动点P到直线x+2=0的距离减去它到M(1,0)的距离之差等于1,则动点P的轨迹是______.答案:将直线x+2=0向右平移1个长度单位得到直线x+1=0,则动点到直线x+1=0的距离等于它到M(1,0)的距离,由抛物线定义知:点P的轨迹是以点M为焦点的抛物线.:以点M为焦点以x=-1为准线的抛物线.49.已知a>0,且a≠1,解关于x的不等式:
答案:①当a>1时,原不等式解为{x|0<x≤loga2②当0<a<1时,原不等式解为{x|loga2≤x<0解析:原不等式等价于原不等式同解于7分由①②得1<ax<4,由③得从而1<ax≤210分①当a>1时,原不等式解为{x|0<x≤loga2②当0<a<1时,原不等式解为{x|loga2≤x<050.某校为提高教学质量进行教改实验,设有试验班和对照班.经过两个月的教学试验,进行了一次检测,试验班与对照班成绩统计如下的2×2列联表所示(单位:人),则其中m=______,n=______.
80及80分以下80分以上合计试验班321850对照班12m50合计4456n答案:由题意,18+m=56,50+50=n,∴m=38.n=100,故为38,010.第2卷一.综合题(共50题)1.某商人将彩电先按原价提高40%,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠”,结果是每台彩电比原价多赚了270元,则每台彩电原价是______元.答案:设每台彩电的原价是x元,则有:(1+40%)x×0.8-x=270,解得:x=2250,故为:2250.2.已知△ABC的三个顶点A(-2,-1)、B(1,3)、C(2,2),则△ABC的重心坐标为______.答案:设△ABC的重心坐标为(x,y),则有三角形的重心坐标公式可得x=-2+1+23=13,y=-1+3+23=43,故△ABC的重心坐标为(13,43),故为(13,43).3.根据一组数据判断是否线性相关时,应选用(
)
A.散点图
B.茎叶图
C.频率分布直方图
D.频率分布折线图答案:A4.一个家庭有两个小孩,假设生男生女是等可能的,已知这个家庭有一个是女孩的条件下,这时另一个也是女孩的概率是()
A.
B.
C.
D.答案:D5.在平行四边形ABCD中,AC与DB交于点O,E是线段OD的中点,AE延长线与CD交于F.若AC=a,BD=b,则AF=()A.14a+12bB.23a+13bC.12a+14bD.13a+23b答案:∵由题意可得△DEF∽△BEA,∴DEEB=DFAB=13,再由AB=CD可得DFDC=13,∴DFFC=12.作FG平行BD交AC于点G,∴FGDO=CGCO=23,∴GF=23OD=13BD=13b.∵AG=AO+OG=AO+13OC=12AC+16AC=23AC=23a,∴AF=AG+GF=23a+13b,故选B.6.若椭圆长轴长与短轴长之比为2,它的一个焦点是(215,0),则椭圆的标准方程是______.答案:由题设条件知a=2b,c=215,∴4b2=b2+60,∴b2=20,a2=80,∴椭圆的标准方程是x280+y220=1.故为:x280+y220=1.7.已知x1、x2是关于x1的方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个实根,那么x12+x22的最大值是[
]
A.19
B.17
C.
D.18答案:D8.已知集合A={0,2,a2},B={1,a},若A∪B={0,1,2,4},则实数a的值为______.答案:根据题意,集合A={0,2,a2},B={1,a},且A∪B={0,1,2,4},则有a=4,或a=4,a=4时,A={0,2,16},B={1,4},A∪B={0,1,2,4,16},不合题意,舍去;a=2时,A={0,2,4},B={1,2},A∪B={0,1,2,4},符合;故a=2.9.已知A(0,1),B(3,7),C(x,15)三点共线,则x的值是()
A.5
B.6
C.7
D.8答案:C10.写出系数矩阵为1221,且解为xy=11的一个线性方程组是______.答案:由题意得:线性方程组为:x+2y=32x+y=3解之得:x=1y=1;故所求的一个线性方程组是x+2y=32x+y=3故为:x+2y=32x+y=3.11.已知在△ABC中,A(2,-5,3),AB=(4,1,2),BC=(3,-2,5),则C点坐标为
______.答案:设C(x,y,z),则:
AC=AB+BC即:(x-2,y+5,z-3)=(4,1,2)+(3,-2,5)=(7,-1,7)所以得:x-2=7y+5=-1z-3=7,即x=9y=-6z=10故为:(9,-6,10)12.把函数y=ex的图像按向量=(2,3)平移,得到y=f(x)的图像,则f(x)=(
)
A.ex+2+3
B.ex+2-3
C.ex-2+3
D.ex-2-3答案:C13.若数据x1,x2,x3…xn的平均数.x=5,方差σ2=2,则数据3x1+1,3x2+1,3x3+1…,3xn+1的方差为______.答案:∵x1,x2,x3,…,xn的方差为2,∴3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的方差是32×2=18.故为:18.14.如图,花园中间是喷水池,喷水池周围的A、B、C、D区域种植草皮,要求相邻的区域种不同颜色的草皮,现有4种不同颜色的草皮可供选用,则共有______种不同的种植方法(以数字作答).答案:若AD相同,有4×(3+3×2)种种植方法,若AD不同,有4×3×(2+2×1)种种植方法∴共有4×(3+3×2)+4×3×(2+2×1)=36+48=84种不同方法.故为84.15.质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1,2,3,4,将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上.
(1)求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积不能被4整除的概率;
(2)设ξ为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数,求ξ的分歧布列及期望Eξ.答案:(1)不能被4整除的有两种情形;①4个数均为奇数,概率为P1=(12)4=116②4个数中有3个奇数,另一个为2,概率为P2=C34(12)3?14=18这两种情况是互斥的,故所求的概率为P=116+18=316(2)ξ为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数,由题意知ξ的可能取值是0,1,2,3,4,根据符合二项分布,得到P(ξ=k)=Ck4(12)4(k=0,1,2,3,4),ξ的分布列为∵ξ服从二项分布B(4,12),∴Eξ=4×12=2.16.在平面直角坐标系中,双曲线Γ的中心在原点,它的一个焦点坐标为(5,0),e1=(2,1)、e2=(2,-1)分别是两条渐近线的方向向量.任取双曲线Γ上的点P,若OP=ae1+be2(a、b∈R),则a、b满足的一个等式是______.答案:因为e1=(2,1)、e2=(2,-1)是渐进线方向向量,所以双曲线渐近线方程为y=±12x,又c=5,∴a=2,b=1双曲线方程为x24-y2=1,OP=ae1+be2=(2a+2b,a-b),∴(2a+2b)24-(a-b)2=1,化简得4ab=1.故为4ab=1.17.已知平面向量a=(0,1),b=(x,y),若a⊥b,则实数y=______.答案:由题意平面向量a=(0,1),b=(x,y),由a⊥b,∴a?b=0∴y=0故为018.如图,l1,l2,l3是同一平面内的三条平行直线,l1与l2间的距离是1,l3与l2间的距离是2,正△ABC的三顶点分别在l1,l2,l3上,则△ABC的边长是______.答案:如图,过A,C作AE,CF垂直于L2,点E,F是垂足,将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处,延长DA交L2于点G.由作图可知:∠DBG=60°,AD=CF=2.在Rt△BDG中,∠BGD=30°.在Rt△AEG中,∠EAG=60°,AE=1,AG=2,DG=4.∴BD=433在Rt△ABD中,AB=BD2+AD2=2213故为:221319.点P(2,5)关于直线x+y=1的对称点的坐标是(
)。答案:(-4,-1)20.语句“若a>b,则a+c>b+c”是()
A.不是命题
B.真命题
C.假命题
D.不能判断真假答案:B21.下列给变量赋值的语句正确的是()
A.5=a
B.a+2=a
C.a=b=4
D.a=2*a答案:D22.如图,圆与圆内切于点,其半径分别为与,圆的弦交圆于点(不在上),求证:为定值。
答案:见解析解析:考察圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质,容易题。证明:由弦切角定理可得23.两圆x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是()
A.内切
B.相交
C.外切
D.外离答案:B24.抛物线x2+y=0的焦点位于()
A.y轴的负半轴上
B.y轴的正半轴上
C.x轴的负半轴上
D.x轴的正半轴上答案:A25.如图,点O是平行六面体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1与A1C的交点,=,=,=,则=()
A.++
B.++
C.--+
D.+-
答案:C26.已知函数f(x)=2x,x≤1log13x,x>1,若f(a)=2,则a=______.答案:当a≤1时y=2x∴2a=2∴a=1当a>1时y=log13x∴2=loga13∴a=19不成立所以a=1故为:127.从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则△MPF的面积为()
A.6
B.8
C.10
D.15答案:C28.(1+2x)10的展开式的第4项是______.答案:(1+2x)10的展开式的第4项为T4=C310
(2X)3=960x3,故为960x3.29.不等式log32x-log3x2-3>0的解集为()
A.(,27)
B.(-∞,-1)∪(27,+∞)
C.(-∞,)∪(27,+∞)
D.(0,)∪(27,+∞)答案:D30.不等式ax2+bx+2>0的解集是(-,),则a+b的值是()
A.10
B.-10
C.14
D.-14答案:D31.一次函数y=3x+2的斜率和截距分别是()A.2、3B.2、2C.3、2D.3、3答案:根据一次函数的定义和直线的斜截式方程知,此一次函数的斜率为3、截距为2故选C32.(上海卷理3文8)动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则P的轨迹方程为______.答案:由抛物线的定义知点P的轨迹是以F为焦点的抛物线,其开口方向向右,且p2=2,解得p=4,所以其方程为y2=8x.故为y2=8x33.下面程序运行后,输出的值是()
A.42
B.43
C.44
D.45
答案:C34.若集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},则A∪B=______.答案:因为集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},所以A∪B={x|3≤x<7}∪{x|2<x<10}={x|2<x<10},故为:{x|2<x<10}.35.点(2a,a-1)在圆x2+y2-2y-4=0的内部,则a的取值范围是()
A.-1<a<1
B.0<a<1
C.-1<a<
D.-<a<1答案:D36.已知F1(-2,0),F2(2,0)两点,曲线C上的动点P满足|PF1|+|PF2|
=32|F1F2|.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)若直线l经过点M(0,3),交曲线C于A,B两点,且MA=12MB,求直线l的方程.答案:(Ⅰ)由已知可得|PF1|+|PF2|
=32|F1F2|
=6>|F1F2|=4,故曲线C是以F1,F2为焦点,长轴长为6的椭圆,其方程为x29+y25=1.(Ⅱ)方法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),由条件可知A为MB的中点,则有x129+y125=1,
(1)x229+y225=1,(2)2x1=x2,
(3)2y1=y2+3.
(4)将(3)、(4)代入(2)得4x129+(2y1-3)25=1,整理为4x129+4y125-125y1+45=0.将(1)代入上式得y1=2,再代入椭圆方程解得x1=±35,故所求的直线方程为y=±53x+3.方法二:依题意,直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+3.由y=kx+3x29+y25=1得(5+9k2)x2+54kx+36=0.令△>0,解得k2>49.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-54k5+9k2,①x1x2=365+9k2.②因为MA=12MB,所以A为MB的中点,从而x2=2x1.将x2=2x1代入①、②,得x1=-18k5+9k2,x12=185+9k2,消去x1得(-18k5+9k2)2=185+9k2,解得k2=59,k=±53.所以直线l的方程为y=±53x+3.37.如图,在正方体OABC-O1A1B1C1中,棱长为2,E是B1B的中点,则点E的坐标为()
A.(2,2,1)
B.(2,2,)
C.(2,2,)
D.(2,2,)
答案:A38.不等式3≤|5-2x|<9的解集为()
A.[-2,1)∪[4,7)
B.(-2,1]∪(4,7]
C.(-2,-1]∪[4,7)
D.(-2,1]∪[4,7)答案:D39.已知空间向量a=(1,2,3),点A(0,1,0),若AB=-2a,则点B的坐标是()A.(-2,-4,-6)B.(2,4,6)C.(2,3,6)D.(-2,-3,-6)答案:设B=(x,y,z),因为AB=-2a,所以(x,y-1,z)=-2(1,2,3),所以:x=-2,y-1=-4,z=-6,即x=-2,y=-3,z=-6.B(-2,-3,-6).故选D.40.直线(t为参数)的倾斜角等于()
A.
B.
C.
D.答案:A41.方程cos2x=x的实根的个数为
______个.答案:cos2x=x的实根即函数y=cos2x与y=x的图象交点的横坐标,故可以将求根个数的问题转化为求两个函数图象的交点个数.如图在同一坐标系中作出y=cos2x与y=x的图象,由图象可以看出两图象只有一个交点,故方程的实根只有一个.故应该填
1.42.设U={x|x<7,x∈N+}A={1,2,5},B={2,3,4,5},求A∩B,CUA,A∪(CUB).答案:∵U={1,2,3,4,5,6}A∩B={2,5}CUA={3,4,6}A∪CUB={1}43.(1)若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+ky=0相交于一点,则k的值为?
(2)若α∈N,又三点A(α,0),B(0,α+4),C(1,3)共线,求α的值.答案:(1)由2x+3y+8=0x-y-1=0解得x=-1,y=-2,∴直线2x+3y+8=0和x-y-1=0的交点为(-1,-2).∵三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+ky=0相交于一点,∴(-1,-2)在直线x+ky=0上,∴-1-2k=0,解得k=-12.(2)A、B、C三点共线,说明直线AB与直线AC的斜率相等∴a+4-00-a=3-01-a,解得:a=244.在极坐标系中,点(2,)到圆ρ=2cosθ的圆心的距离为()
A.2
B.
C.
D.答案:D45.回归直线方程必定过点()A.(0,0)B.(.x,0)C.(0,.y)D.(.x,.y)答案:∵线性回归方程一定过这组数据的样本中心点,∴线性回归方程y=bx+a表示的直线必经过(.x,.y).故选D.46.定义:若函数f(x)对于其定义域内的某一数x0,有f(x0)=x0,则称x0是f(x)的一个不动点。
已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0)。
(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;
(2)若对任意的实数b,函数f(x)恒有两个不动点,求a的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若y=f(x)图象上两个点A、B的横坐标是函数f(x)的不动点,且A、B的中点C在函数g(x)=-x+的图象上,求b的最小值。
(参考公式:A(x1,y1),B(x2,y2)的中点坐标为)
答案:解:(1)f(x)=x2-x-3,由x2-x-3=0,解得x=3或x=-1,所以所求的不动点为-1或3。(2)令ax2+(b+1)x+b+1=x,则ax2+bx+b-1=0,①由题意,方程①恒由两个不等实根,所以△=b2-4a(b-1)>0,即b2-4ab+4a>0对任意的b∈R恒成立,则△′=16a2-16a<0,故0(3)依题意,设,则AB中点C的坐标为,又AB的中点在直线上,∴,∴,又x1,x2是方程①的两个根,∴,∴,,∴,∴当时,bmin=-1。</a<1。47.给出下列说法:①球的半径是球面上任意一点与球心的连线段;②球的直径是球面上任意两点的连线段;③用一个平面截一个球面,得到的是一个圆;④球常用表示球心的字母表示.其中说法正确的是______.答案:根据球的定义直接判断①正确;②错误;;③用一个平面截一个球面,得到的是一个圆;可以是小圆,也可能是大圆,正确;④球常用表示球心的字母表示.满足球的定义正确;故为:①③④48.动点P到直线x+2=0的距离减去它到M(1,0)的距离之差等于1,则动点P的轨迹是______.答案:将直线x+2=0向右平移1个长度单位得到直线x+1=0,则动点到直线x+1=0的距离等于它到M(1,0)的距离,由抛物线定义知:点P的轨迹是以点M为焦点的抛物线.:以点M为焦点以x=-1为准线的抛物线.49.当圆x=4cosθy=4sinθ上一点P的旋转角为θ=23π时,点P的坐标为______.答案:根据圆的参数方程的意义,当圆x=4cosθy=4sinθ上一点P的旋转角为θ=23π时,点P的坐标为(4cos2π3,4sin2π3),即(-2,23).故为:(-2,23).50.点O是四边形ABCD内一点,满足OA+OB+OC=0,若AB+AD+DC=λAO,则λ=______.答案:设BC中点为E,连接OE.则OB+OC=2OE,又有已知OB+OC=AO,所以AO=2OE,A,O,E三点都在BC边的中线上,且|AO|=2|OE|,所以O为△ABC重心.AB+AD+DC=
AB+(AD+DC)=AB+AC=2AE=2×32AO=3AO,∴λ=3故为:3.第3卷一.综合题(共50题)1.若则实数λ的值是()
A.
B.
C.
D.答案:D2.若log
23(x-2)≥0,则x的范围是______.答案:由log
23(x-2)≥0=log231,可得0<x-2≤1,解得2<x≤3,故为(2,3].3.设S(n)=1n+1n+1+1n+2+1n+3+…+1n2,则()A.S(2)=12+13B.S(2)=12+14C.S(2)=1+12+13+14D.S(2)=12+13+14答案:∵S(n)=1n+1n+1+1n+2+1n+3+…+1n2,当n=2时,n2=4故S(2)=12+13+14故选D4.若椭圆长轴长与短轴长之比为2,它的一个焦点是(215,0),则椭圆的标准方程是______.答案:由题设条件知a=2b,c=215,∴4b2=b2+60,∴b2=20,a2=80,∴椭圆的标准方程是x280+y220=1.故为:x280+y220=1.5.从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数,其中奇数的个数为()
A.432
B.288
C.216
D.108答案:C6.抽样方法有()A.随机抽样、系统抽样和分层抽样B.随机数法、抽签法和分层抽样法C.简单随机抽样、分层抽样和系统抽样D.系统抽样、分层抽样和随机数法答案:我们常用的抽样方法有:简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,而抽签法和随机数法,只是简单随机抽样的两种不同抽取方法故选C7.设矩阵M=.32-121232.的逆矩阵是M-1=.abcd.,则a+c的值为______.答案:由题意,矩阵M的行列式为.32-121232.=32×32+12×12=1∴矩阵M=.32-121232.的逆矩阵是M-1=.3212-1232.∴a+c=3-12故为3-128.已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则a+b在a方向上的投影为______.答案:∵|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,∴a?b=a|×|b|×cos60°=1由此可得(a+b)2=|a|2+2a?b+|b|2=1+2+4=7∴|a+b|=7.设a+b与a的夹角为θ,则∵(a+b)?a=|a|2+a?b=2∴cosθ=(a+b)?a|a+b|?|a|=277,可得向量a+b在a方向上的投影为|a+b|cosθ=7×277=2故为:29.f(x)=(1+2x)m+(1+3x)n(m,n∈N*)的展开式中x的系数为13,则x2的系数为()A.31B.40C.31或40D.71或80答案:(1+2x)m的展开式中x的系数为2Cm1=2m,(1+3x)n的展开式中x的系数为3Cn1=3n∴3n+2m=13∴n=1m=5或n=3m=2(1+2x)m的展开式中的x2系数为22Cm2,(1+3x)n的展开式中的x2系数为32Cn2∴当n=1m=5时,x2的系数为22Cm2+32Cn2=40当n=3m=2时,x2的系数为22Cm2+32Cn2=31故选C.10.如图所示,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,连结PA、PB、PC、PD,点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心,求证:E、F、G、H四点共面答案:证明:分别延长P、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R.∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心,∴M、N、Q、R为所在边的中点,顺次连结MNQR所得四边形为平行四边形,且有∵MNQR为平行四边形,∴由共面向量定理得E、F、G、H四点共面.11.对任意实数x,y,定义运算x*y=ax+by+cxy,其中a,b,c是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。已知1*2=3,2*3=4,并且有一个非零常数m,使得对任意实数x,都有x*m=x,则m的值是(
)。答案:412.如图,AC、BC分别是直角三角形ABC的两条直角边,且AC=3,BC=4,以AC为直径作圆与斜边AB交于D,则BD=______.答案:连CD,在Rt△ABC中,因为AC、BC的长分别为3cm、4cm,所以AB=5cm,∵AC为直径,∴∠ADC=90°,∵∠B公共角,可得Rt△BDC∽Rt△BCA,∴BD=165,故为:16513.在极坐标系中,点(2,)到圆ρ=2cosθ的圆心的距离为()
A.2
B.
C.
D.答案:D14.已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是()
A.(1,-1,1)
B.(1,3,)
C.,(1,-3,)
D.(-1,3,-)答案:B15.已知直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x2+y2=1相离,则以三条边长分别为|a|,|b|,|c|所构成的三角形的形状是______.答案:直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x2+y2=1相离,即|c|a2+b2>
1即|c|2>a2+b2三角形是钝角三角形.故为:钝角三角形.16.如图,从圆O外一点P作圆O的割线PAB、PCD,AB是圆O的直径,若PA=4,PC=5,CD=3,则∠CBD=______.答案:由割线长定理得:PA?PB=PC?PD即4×PB=5×(5+3)∴PB=10∴AB=6∴R=3,所以△OCD为正三角形,∠CBD=12∠COD=30°.17.若向量a、b的夹角为150°,|a|=3,|b|=4,则|2a+b|=______.答案:|2a+b|=(2a+b)2=4a2+b2+4a?b=12+16+4×3×4×cos150°=2.故为:218.如图是一个正三棱柱体的三视图,该柱体的体积等于()A.3B.23C.2D.33答案:根据长对正,宽相等,高平齐,可得底面正三角形高为3,三棱柱高为1所以正三角形边长为3sin60°=2,所以V=12×2×3×1=3,故选A.19.半径为5,圆心在y轴上,且与直线y=6相切的圆的方程为______.答案:如图所示,因为半径为5,圆心在y轴上,且与直线y=6相切,所以可知有两个圆,上圆圆心为(0,11),下圆圆心为(0,1),所以圆的方程为x2+(y-1)2=25或x2+(y-11)2=25.20.若直线y=x+b与圆x2+y2=2相切,则b的值为(
)
A.±4
B.±2
C.±
D.±2
答案:B21.已知函数f(x)对其定义域内任意两个实数a,b,当a<b时,都有f(a)<f(b).试用反证法证明:函数f(x)的图象与x轴至多有一个交点.答案:证明:假设函数f(x)的图象与x轴至少有两个交点,…(2分)(1)若f(x)的图象与x轴有两个交点,不妨设两个交点的横坐标分别为x1,x2,且x1<x2,…(5分)由已知,函数f(x)对其定义域内任意实数x1,x2,当x1<x2时,有f(x1)<f(x2).…(7分)又根据假设,x1,x2是函数f(x)的两个零点,所以,f(x1)=f(x2)=0,…(9分)这与f(x1)<f(x2)矛盾,…(10分)所以,函数f(x)的图象不可能与x轴有两个交点.…(11分)(2)若f(x)的图象与x轴交点多于两个,可同理推出矛盾,…(12分)所以,函数f(x)的图象不可能与x轴有两个以上交点.综上,函数f(x)的图象与x轴至多有一个交点…(14分)22.下列哪组中的两个函数是同一函数()A.y=(x)2与y=xB.y=(3x)3与y=xC.y=x2与y=(x)2D.y=3x3与y=x2x答案:A、y=x与y=x2的定义域不同,故不是同一函数.B、y=(3x)3=x与y=x的对应关系相同,定义域为R,故是同一函数.C、fy=x2与y=(x)2的定义域不同,故不是同一函数.D、y=3x3与y=x2x
具的定义域不同,故不是同一函数.故选B.23.已知平面向量=(1,-3),=(4,-2),λ+与垂直,则λ是()
A.1
B.2
C.-2
D.-1答案:D24.4个人各写一张贺年卡,集中后每人取一张别人的贺年卡,共有______种取法.答案:根据分类计数问题,可以列举出所有的结果,1甲乙互换,丙丁互换2甲丙互换,乙丁互换3甲丁互换,乙丙互换4甲要乙的乙要丙的丙要丁的丁要甲的5甲要乙的乙要丁的丙要甲的丁要丙的6甲要丙的丙要乙的乙要丁的丁要甲的7甲要丙的丙要丁的乙要丁的丁要甲的8甲要丁的丁要乙的乙要丙的丙要甲的9甲要丁的丁要丙的乙要甲的丙要乙的通过列举可以得到共有9种结果,故为:925.一圆形纸片的圆心为O,点Q是圆内异于O点的一个定点,点A是圆周上一动点,把纸片折叠使得点A与点Q重合,然后抹平纸片,折痕CD与OA交于点P,当点A运动时,点P的轨迹为()
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.圆答案:A26.已知圆C:x2+y2-4x-6y+12=0的圆心在点C,点A(3,5),求:
(1)过点A的圆的切线方程;
(2)O点是坐标原点,连接OA,OC,求△AOC的面积S.答案:(1)⊙C:(x-2)2+(y-3)2=1.当切线的斜率不存在时,对直线x=3,C(2,3)到直线的距离为1,满足条件;当k存在时,设直线y-5=k(x-3),即y=kx+5-3k,∴|-k+2|k2+1=1,得k=34.∴得直线方程x=3或y=34x+114.(2)|AO|=9+25=34,l:5x-3y=0,d=134,S=12d|AO|=12.27.不等式3≤|5-2x|<9的解集为()
A.[-2,1)∪[4,7)
B.(-2,1]∪(4,7]
C.(-2,-1]∪[4,7)
D.(-2,1]∪[4,7)答案:D28.已知单位向量a,b的夹角为,那么|a+2b|=()
A.2
B.
C.2
D.4答案:B29.某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动,现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800﹑600、0的四个球(球的大小相同).参与者随机从抽奖箱里摸取一球(取后即放回),公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金(元),并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次﹐但是所得奖金减半(若再摸到标有数字0的球就没有第三次摸球机会),求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是多少元.答案:设ξ表示摸球后所得的奖金数,由于参与者摸取的球上标有数字1000,800,600,0,当摸到球上标有数字0时,可以再摸一次,但奖金数减半,即分别为500,400,300,0.则ξ的所有可能取值为1000,800,600,500,400,300,0.依题意得P(ξ=1000)=P(ξ=800)=P(ξ=600)=14,P(ξ=500)=P(ξ=400)=P(ξ=300)=P(ξ=0)=116,则ξ的分布列为∴所求期望值为Eξ=14(1000+800+600)+116(500+400+300+0)=675元.30.设x>0,y>0且x≠y,求证答案:证明略解析:由x>0,y>0且x≠y,要证明只需
即只需由条件,显然成立.∴原不等式成立31.点P(1,3,5)关于平面xoz对称的点是Q,则向量=()
A.(2,0,10)
B.(0,-6,0)
C.(0,6,0)
D.(-2,0,-10)答案:B32.A、B是直线l上的两点,AB=4,AC⊥l于A,BD⊥l于B,AC=BD=3,又AC与BD成60°的角,则C、D两点间的距离是______答案:CD=CA+AB+BD,|CD|=|
CA+AB+BD|,CD=32+32+42+2×
3×3cosθ,θ=120°或60°,CD=32+32+42±32.CD=5或43故为:5或4333.命题“若A∩B=A,则A∪B=B”的逆否命题是()A.若A∪B=B,则A∩B=AB.若A∩B≠A,则A∪B≠BC.若A∪B≠B,则A∩B≠AD.若A∪B≠B,则A∩B=A答案:∵“A∩B=A”的否定是“A∩B≠A”,∴命题“若A∩B=A,则A∪B=B”的逆否命题是“若A∪B≠B,则A∩B≠A”.故选C.34.若直线x=1的倾斜角为α,则α等于
______.答案:因为直线x=1与y轴平行,所以直线x=1的倾斜角为90°.故为:90°35.
若平面向量,,两两所成的角相等,||=||=1,||=3,则|++|=()
A.2
B.4
C.2或5
D.4或5答案:C36.已知四边形ABCD中,AB=12DC,且|AD|=|BC|,则四边形ABCD的形状是______.答案:∵AB=12DC,∴AB∥DC,且|AB|=12|DC|,即线段AB平行于线段CD,
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