求体积几种求法及割补法

求几何体的体积问题，可以多角度、全方位地考虑问题，常采用的方法有“换底法”、“分割法”、“补体法”等，尤其是“等积转化”的数学思想方法应高度重视．换底法求体积.(2014·惠州模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为2,E是棱CD的中点,P是棱AA1的中点.求三棱锥B-AB1E的体积正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1⊥平面ABE,故BB1为高,BB1=2,因为CD∥AB,所以S△ABE==BB1·S△ABE=.S△ABC故=.【通关题组】

1.(2013·安徽高考)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°.已知PB=PD=2,PA=(1)证明:PC⊥BD.(2)若E为PA的中点,求三棱锥P-BCE的体积.【解析】(1)连接AC,交BD于O点，连接PO，因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD,BO=DO,由PB=PD知，PO⊥BD,再由PO∩AC=O，知BD⊥平面APC，又PC⊂平面APC，因此PC⊥BD.(2)因为E是PA的中点，所以VP-BCE=VC

-PEB=由PB=PD=AB=AD=2知，△ABD≌△PBD,因为∠BAD=60°，所以BO=1,又PO2+AO2=PA2，即PO⊥AC,故由(1)知BO⊥平面APC，因此(2)∵VM—ABD=VD—ABM,由(1)知OD⊥平面ABC,∴OD=3为三棱锥D-ABM的高.例3.如图：已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中,棱长为a,

M、N分别为CC1、

AA1的中点,求：四棱锥A－MB1ND的体积VA－DMN=VM－ADN底面积：高：为点M到平面ADN的距离h=a∴V四棱锥=2VA－DMN=∴VA－DMN解(简):AD1CDA1BC1B1MNAD1CDA1BC1B1NM例2、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求D1到截面C1BD的距离。ABCDA1B1C1D1提示：利用

=求解。注意：等体积法求点面距离。KEY：例3、在各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中，（1）BC1与侧面ABB1A1所成的角为__________；（2）如果M为CC1的中点，则截面AB1M与底面所成的角的大小为__________。ABCA1B1C1DB1ABCA1C1MN注：（1）中利用面面垂直的性质找线面成角。（2）中射影面积公式的应用：S△AB1M•cosα=S△ABC.45o分割法求体积【突破训练2】(2012·巢湖二模)如图是某三棱柱被削去一个底面后的直观图与侧(左)视图、俯视图．已知CF＝2AD，侧(左)视图是边长为2的等边三角形；俯视图是直角梯形，有关数据如图所示．求该几何体的体积．例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为的等边三角形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。ABCSEF提示：设三棱锥S-ABC，侧面SAC、SBC为等边三角形，边长为，SASB。取SA中点E，AB中点F，连接AE、BE、EF。可证得：SC平面ABE。利用：VS-ABC=VS-ABE+VC-ABE得三棱锥体积。注意：分割法求体积。（KEY：）BCADEF二、分割法MN用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.如图：取CM=AN=BD,连结DM,MN,DN.分析：∴V几何体=V三棱柱+V四棱锥如图：△ABC中，AB=8、BC=10、AC=6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD=3，FC=4，AE=5。求：此几何体的体积？例2.如图：在棱长为a的正方体ABCD--A1B1C1D1中取点A1、C1、B、D，依次连结成一个多面体，求：此多面体的体积.解二：用分割法AD1CDA1BC1B11、在四面体ABCD中，AB=AC=DB=DC=10，BC=AD=12，求：四面体ABCD的体积.取BC的中点E，则AE⊥BC，DE⊥BC.ABCDEV四面体

=

VB－ADE+VC－ADE补形法BCADEF如图：△ABC中，AB=8、BC=10、AC=6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD=3，FC=4，AE=5.求：此几何体的体积？一、补形法用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱。BCADEF分析：∴V几何体=V三棱柱例1.如图:斜三棱柱的一个侧面ABB1A1的面积为S，侧棱CC1到这个侧面的距离为h

.求：斜三棱柱的体积.C1B1A1ABCO如图所示：将左图补成一个斜四棱柱（平行六面体）则V四棱柱＝S×h∴V三棱柱＝s×hB1C1A1ABCOAD1CDA1BC1B1例2.如图：在棱长为a的正方体ABCD--A1B1C1D1中取点A1、C1、B、D，依次连结成一个多面体，求：此多面体的体积.例4.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，如果AB=PA。求：平面ABP与平面CDP所成的二面角的大小.PDACBACDBPB1如图所示、将左图补成一个正方体.∴平面ABP即为平面ABB1P所在平面∴平面PDC即为平面PDCB1所在平面∴所求二面角即为正方体的对角面

PDCB1与侧面

ABB1P所成角即：∠CB1B=解：2、如图：正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3。求：侧面PAB与PCD所成的二面角.DBACpACDBpMND1A1B1C13、如图：在正方体AC1中，E为B1C1的中点，求：异面直线A1C和BE所成的角.如图，补一个正方体，取C1F的中点E1，则BE∥CE1∴∠A1CE1（或其补角）为A1C与

BE

所成的角.在△A1CE1中，有余弦定理得：∴A1C和BE所成的角即为∠A1CE1，其值为AD1CDA1BC1B1FE可得：E1解:例5、已知三棱锥P-ABC，PA=BC=5，PB=A