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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年四川三河职业学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.与直线3x+4y-3=0平行,并且距离为3的直线方程为______.答案:设所求直线上任意一点P(x,y),由题意可得点P到所给直线的距离等于3,即|3x+4y-3|5=3,∴|3x+4y-3|=15,∴3x+4y-3=±15,即3x+4y-18=0或3x+4y+12=0.故为3x+4y-18=0或3x+4y+12=0.2.已知l1、l2是过点P(-2,0)的两条互相垂直的直线,且l1、l2与双曲线y2-x2=1各有两个交点,分别为A1、B1和A2、B2.
(1)求l1的斜率k1的取值范围;
(2)若|A1B1|=5|A2B2|,求l1、l2的方程.答案:(1)显然l1、l2斜率都存在,否则l1、l2与曲线不相交.设l1的斜率为k1,则l1的方程为y=k1(x+2).联立得y=k1(x+2),y2-x2=1,消去y得(k12-1)x2+22k12x+2k12-1=0.①根据题意得k12-1≠0,②△1>0,即有12k12-4>0.③完全类似地有1k21-1≠0,④△2>0,即有12•1k21-4>0,⑤从而k1∈(-3,-33)∪(33,3)且k1≠±1.(2)由弦长公式得|A1B1|=1+k2112k21-4(k21-1)2.⑥完全类似地有|A2B2|=1+1k2112-4k21(k21-1)2.⑦∵|A1B1|=5|A2B2|,∴k1=±2,k2=.+22.从而l1:y=2(x+2),l2:y=-22(x+2)或l1:y=-2(x+2),l2:y=22(x+2).3.某航空公司经营A,B,C,D这四个城市之间的客运业务,它们之间的直线距离的部分机票价格如下:AB为2000元;AC为1600元;AD为2500元;CD为900元;BC为1200元,若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比,则BD间直线距离的票价为(设这四个城在同一水平面上)()
A.1500元
B.1400元
C.1200元
D.1000元答案:A4.已知A、B、C三点不共线,O是平面ABC外的任一点,下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是()A.OM=OA+OB+OCB.OM=2OA-OB-OCC.OM=OA+12OB+13OCD.OM=13OA+13OB+13OC答案:由共面向量定理OM=m•OA+n•OB+p•OC,m+n+p=1,说明M、A、B、C共面,可以判断A、B、C都是错误的,则D正确.故选D.5.一组数据12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50的中位数是()
A.31
B.36
C.35
D.34答案:B6.已知x与y之间的一组数据:
x
0
1
2
3
y
2
4
6
8
则y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点()
A.(1.5,4)
B.(1.5,5)
C.(1,5)
D.(2,5)答案:B7.三行三列的方阵.a11a12
a13a21a22
a23a31a32
a33.中有9个数aji(i=1,2,3;j=1,2,3),从中任取三个数,则它们不同行且不同列的概率是()A.37B.47C.114D.1314答案:从给出的9个数中任取3个数,共有C39;从三行三列的方阵中任取三个数,使它们不同行且不同列:从第一行中任取一个数有C13种方法,则第二行只能从另外两列中的两个数任取一个有C12种方法,第三行只能从剩下的一列中取即可有1中方法,∴共有C13×C12×C11=6.∴从三行三列的方阵中任取三个数,则它们不同行且同列的概率P=6C39=114.故选C.8.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值为()
A.
B.
C.2
D.4答案:A9.设a1,a2,…,an为实数,证明:a1+a2+…+ann≤a21+a22+…+a2nn.答案:证明:不妨设a1≤a2≤…≤an,则由排序原理得:a12+a22+…+an2=a1a1+a2a2+…+anana12+a22+…+an2≤a1a2+a2a3+…+ana1a12+a22+…+an2≤a1a3+a2a4+…+an-1a1+ana2…a12+a22+…+an2≤a1an+a2a1+…+anan-1.将上述n个式子相加,得:n(a12+a22+…+an2)≤(a1+a2+…+an)2,上式两边除以n2,并开方可得:a1+a2+…+ann≤a21+a22+…+a2nn.10.已知A(1,1),B(2,4),则直线AB的斜率为()
A.1
B.2
C.3
D.4答案:C11.设集合A={x|},则A∩B等于(
)
A.
B.
C.
D.答案:B12.点(1,2)到直线x+2y+5=0的距离为______.答案:点(1,2)到直线x+2y+5=0的距离为d=|1+2×2+5|12+22=25故为:2513.如图,在扇形OAB中,∠AOB=60°,C为弧AB上且与A,B不重合的一个动点,OC=xOA+yOB,若u=x+λy,(λ>0)存在最大值,则λ的取值范围为()A.(12,1)B.(1,3)C.(12,2)D.(13,3)答案:设射线OB上存在为B',使OB′=1λOB,AB'交OC于C',由于OC=xOA+yOB=xOA+λy?1λOB=xOA+λy?OB′,设OC=tOC′,OC′=x′OA+λy′OB′,由A,B',C'三点共线可知x'+λy'=1,所以u=x+2y=tx'+t?2y'=t,则u=|OC||OC′|存在最大值,即在弧AB(不包括端点)上存在与AB'平行的切线,所以λ∈(12,2).故选C.14.把下列命题写成“若p,则q”的形式,并指出条件与结论.
(1)相似三角形的对应角相等;
(2)当a>1时,函数y=ax是增函数.答案:(1)若两个三角形相似,则它们的对应角相等.条件p:三角形相似,结论q:对应角相等.(2)若a>1,则函数y=ax是增函数.条件p:a>1,结论q:函数y=ax是增函数.15.已知|a|=8,e是单位向量,当它们之间的夹角为π3时,a在e方向上的投影为()A.43B.4C.42D.8+23答案:由两个向量数量积的几何意义可知:a在e方向上的投影即:a?e=|a||e|cosπ3=8×1×12=4故选B16.向量a=(2,-1,4)与b=(-1,1,1)的夹角的余弦值为______.答案:∵a•b=-2-1+4=1,|a|=22+1+42=21,|b|=3.∴cos<a,b>=a•b|a|
|b|=121•3=721.故为721.17.要证明,可选择的方法有以下几种,其中最合理的是()
A.综合法
B.分析法
C.反证法
D.归纳法答案:B18.袋中有4只红球3只黑球,从袋中任取4只球,取到1只红球得1分,取到1只黑球得3分,设得分为随机变量ξ,则P(ξ≤6)=______.答案:取出的4只球中红球个数可能为4,3,2,1个,黑球相应个数为0,1,2,3个.其分值为ξ=4,6,8.P(ξ≤6)=P(ξ=4)+P(ξ=6)=C44C03C47+C34C13C47=1335.故为:1335.19.已知直线过点A(2,0),且平行于y轴,方程:|x|=2,则(
)
A.l是方程|x|=2的曲线
B.|x|=2是l的方程
C.l上每一点的坐标都是方程|x|=2的解
D.以方程|x|=2的解(x,y)为坐标的点都在l上答案:C20.已知l∥α,且l的方向向量为(2,-8,1),平面α的法向量为(1,y,2),则y=______.答案:∵l∥α,∴l的方向向量(2,-8,1)与平面α的法向量(1,y,2)垂直,∴2×1-8×y+2=0,解得y=12.故为12.21.已知△ABC,A(-1,0),B(3,0),C(2,1),对它先作关于x轴的反射变换,再将所得图形绕原点逆时针旋转90°.
(1)分别求两次变换所对应的矩阵M1,M2;
(2)求△ABC在两次连续的变换作用下所得到△A′B′C′的面积.答案:(1)关于x轴的反射变换M1=100-1,绕原点逆时针旋转90°的变换M2=0-110.(4分)(2)∵M2•M1=0-110100-1=0110,(6分)△ABC在两次连续的变换作用下所得到△A′B′C′,∴A(-1,0),B(3,0),C(2,1)变换成:A′(0,-1),B′(0,3),C′(1,2),(9分)∴△A'B'C'的面积=12×4×1=2.(10分)22.方程(x2-9)2(x2-y2)2=0表示的图形是()
A.4个点
B.2个点
C.1个点
D.四条直线答案:D23.如果消息M发生的概率为P(M),那么消息M所含的信息量为I(M)=log2[P(M)+],若小明在一个有4排8列座位的小型报告厅里听报告,则发布的以下4条消费中,信息量最大的是()
A.小明在第4排
B.小明在第5列
C.小明在第4排第5列
D.小明在某一排答案:C24.在大小相同的5个球中,2个是红球,3个是白球,若从中任取2个,则所取的2个球中至少有一个红球的概率是______.答案:由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的基本事件有C52=10种结果,其中至少有一个红球的事件包括C22+C21C31=7个基本事件,根据古典概型公式得到P=710,故为:710.25.△ABC所在平面内点O、P,满足OP=OA+λ(AB+12BC),λ∈[0,+∞),则点P的轨迹一定经过△ABC的()A.重心B.垂心C.内心D.外心答案:设BC的中点为D,则∵OP=OA+λ(AB+12BC),∴OP=OA+λAD∴AP=λAD∴AP∥AD∵AD是△ABC的中线∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心故选A.26.平面上一动点到两定点距离差为常数2a(a>0)的轨迹是否是双曲线,若a>c是否为双曲线?答案:由题意,设两定点间的距离为2c,则2a<2c时,轨迹为双曲线的一支2a=2c时,轨迹为一条射线2a>2c时,无轨迹.27.命题“所以奇数的立方是奇数”的否定是()
A.所有奇数的立方不是奇数
B.不存在一个奇数,它的立方不是奇数
C.存在一个奇数,它的立方不是奇数
D.不存在一个奇数,它的立方是奇数答案:C28.(本题满分12分)已知对任意的平面向量,把绕其起点沿逆时针方向旋转角,得到向量,叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P
①已知平面内的点A(1,2),B,把点B绕点A沿逆时针方向旋转后得到点P,求点P的坐标
②设平面内曲线C上的每一点绕逆时针方向旋转后得到的点的轨迹是曲线,求原来曲线C的方程.答案:解:
……2分
……6分
解得x="0,y="-1
……7分②
…………10分
即…………11分又x’2-y’2="1
"……12分
……13分
化简得:
……14分解析:略29.对于一组数据的两个函数模型,其残差平方和分别为153.4
和200,若从中选取一个拟合程度较好的函数模型,应选残差平方和为______的那个.答案:残差的平方和是用来描述n个点与相应回归直线在整体上的接近程度残差的平方和越小,拟合效果越好,由于153.4<200,故拟合效果较好的是残差平方和是153.4的那个模型.故为:153.4.30.如图,已知AP是⊙O的切线,P为切点,AC是⊙O的割线,与⊙O交于B,C两点,圆心O在∠PAC的内部,点M是BC的中点.
(Ⅰ)证明A,P,O,M四点共圆;
(Ⅱ)求∠OAM+∠APM的大小.答案:证明:(Ⅰ)连接OP,OM.因为AP与⊙O相切于点P,所以OP⊥AP.因为M是⊙O的弦BC的中点,所以OM⊥BC.于是∠OPA+∠OMA=180°.由圆心O在∠PAC的内部,可知四边形M的对角互补,所以A,P,O,M四点共圆.(Ⅱ)由(Ⅰ)得A,P,O,M四点共圆,所以∠OAM=∠OPM.由(Ⅰ)得OP⊥AP.由圆心O在∠PAC的内部,可知∠OPM+∠APM=90°.又∵A,P,O,M四点共圆∴∠OPM=∠OAM所以∠OAM+∠APM=90°.31.用随机数表法从100名学生(男生35人)中选20人作样本,男生甲被抽到的可能性为()A.15B.2035C.35100D.713答案:由题意知,本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件是用随机数表法从100名学生选一个,共有100种结果,满足条件的事件是抽取20个,∴根据等可能事件的概率公式得到P=20100=15,故选A.32.甲袋中装有3个白球和5个黑球,乙袋中装有4个白球和6个黑球,现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中,充分混合后,再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中,则甲袋中白球没有减少的概率为()A.944B.2544C.3544D.3744答案:白球没有减少的情况有:①抓出黑球,抓入任意球,概率是:58.抓出白球,抓入白球,概率是38×511=1588,故所求事件的概率为58+1588=3544,故选C.33.若矩阵M=1101,则直线x+y+2=0在M对应的变换作用下所得到的直线方程为______.答案:设直线x+y+2=0上任意一点(x0,y0),(x,y)是所得的直线上一点,[1
1][x]=[x0][0
1][y]=[y0]∴x+y=x0y=y0,∴代入直线x+y+2=0方程:(x+y)+y+2=0得到I的方程x+2y+2=0故为:x+2y+2=0.34.将图形F按=(,)(其中)平移,就是将图形F()A.向x轴正方向平移个单位,同时向y轴正方向平移个单位.B.向x轴负方向平移个单位,同时向y轴正方向平移个单位.C.向x轴负方向平移个单位,同时向y轴负方向平移个单位.D.向x轴正方向平移个单位,同时向y轴负方向平移个单位.答案:A解析:根据图形容易得出结论.35.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A、B两点,若AF=3FB,则k=______.答案:设l为椭圆的右准线,过A、B作AA1,BB1垂直于l,A1,B1为垂足,过B作BE⊥AA1于E,则|AA1|=|AF|e,|BB1|=|BF|e,由AF=3FB知,|AA1|=3|BF|e,∴cos<BAE=|AE||AB|=2|BF|e4|BF|=12e=33,∴sin∠BAE=63,∴tan∠BAE=2.∴k=2.故:2.36.直线x+1=0的倾斜角是______.答案:直线x+1=0与x轴垂直,所以直线的倾斜角为90°.故为:90°.37.命题“每一个素数都是奇数”的否定是______.答案:原命题“每一个素数都是奇数”是一个全称命题它的否定是一个特称命题,即“有的素数不是奇数”故为:有的素数不是奇数38.(本题满分12分)
已知:
求证:答案:.证明:…………2分由于=………………5分…………①………………6分由于………②……………8分同理:…………③……………10分①+②+③得:即原不等式成立………………12分解析:同答案39.由棱长为a的正方体的每个面向外侧作侧棱为a的正四棱锥,以这些棱锥的顶点为顶点的凸多面体的全面积是______.答案:由棱长为a的正方体的每个面向外侧作侧棱为a的正四棱锥,共可作6个,得到6个顶点,围成一个正八面体.所作的正四棱锥的高为h′=2a2,正八面体相对的两顶点的距离应为2h′+a=1+2a正八面体的棱长x满足2x=(1+2)a,x=(1+22)a,每个侧面的面积为34x2=34×(1+22)2a2=33+268a2,全面积是8×33+268=33+26故为:(33+26)a240.复数,且A+B=0,则m的值是()
A.
B.
C.-
D.2答案:C41.已知双曲线的两渐近线方程为y=±32x,一个焦点坐标为(0,-26),
(1)求此双曲线方程;
(2)写出双曲线的准线方程和准线间的距离.答案:(1)由题意得,c=26,ba=32,26=a2+b2,∴a2=18,b2=8,故该双曲线的标准方程为y218-x28=1.(2)由(1)得,双曲线的准线方程为y=±1826x;准线间的距离为2a2c=2×1826=182613.42.参数方程x=cosαy=1+sinα(α为参数)化成普通方程为
______.答案:∵x=cosαy=1+sinα(α为参数)∴x2+(y-1)2=cos2α+sin2α=1.即:参数方程x=cosαy=1+sinα(α为参数)化成普通方程为:x2+(y-1)2=1.故为:x2+(y-1)2=1.43.已知x1,x2,…,xn都是正数,且x1+x2+…+xn=1,求证:
++…+≥n2.答案:证明略解析:证明
++…+=(x1+x2+…+xn)(
++…+)≥=n2.44.如图所示的几何体ABCDE中,DA⊥平面EAB,CB∥DA,EA=DA=AB=2CB,EA⊥AB,M是EC的中点,
(Ⅰ)求证:DM⊥EB;
(Ⅱ)设二面角M-BD-A的平面角为β,求cosβ.答案:分别以直线AE,AB,AD为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设CB=a,则A(0,0,0),E(2a,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,a),D(0,0,2a)所以M(a,a,a2).(Ⅰ):DM=(a,a,-3a2)
,EB=(-2a,2a,0)DM•EB=a•(-2a)+a•2a+0=0.∴DM⊥EB,即DM⊥EB.(Ⅱ)设平面MBD的法向量为n=(x,y,z),DB=(0,2a,-2a),由n⊥DB,n⊥DM,得n•DB=2ay-2az=0n•DM=ax+ay-3a2z=0⇒y=zx+y-3z2=0取z=2得平面MBD的一非零法向量为n=(1,2,2),又平面BDA的一个法向量n1=(1,0,0).∴cos<n,n1>
=1+0+012+22+22•12+02+
02=13,即cosβ=1345.已知圆O的两弦AB和CD延长相交于E,过E点引EF∥CB交AD的延长线于F,过F点作圆O的切线FG,求证:EF=FG.答案:证明:∵FG为⊙O的切线,而FDA为⊙O的割线,∴FG2=FD?FA①又∵EF∥CB,∴∠1=∠2.而∠2=∠3,∴∠1=∠3,∠EFD=∠AFE为公共角∴△EFD∽△AFE,FDEF=EFFA,即EF2=FD?FA②由①,②可得EF2=FG2∴EF=FG.46.如图,设P、Q为△ABC内的两点,且AP=25AB+15AC,AQ=23AB+14AC,则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为()A.15B.45C.14D.13答案:设AM=25AB,AN=15AC则AP=AM+AN由平行四边形法则知NP∥AB
所以△ABP的面积△ABC的面积=|AN||AC|=15同理△ABQ的面积△ABC的面积=14故△ABP的面积△ABQ的面积=45为:45故选B.47.点O是四边形ABCD内一点,满足OA+OB+OC=0,若AB+AD+DC=λAO,则λ=______.答案:设BC中点为E,连接OE.则OB+OC=2OE,又有已知OB+OC=AO,所以AO=2OE,A,O,E三点都在BC边的中线上,且|AO|=2|OE|,所以O为△ABC重心.AB+AD+DC=
AB+(AD+DC)=AB+AC=2AE=2×32AO=3AO,∴λ=3故为:3.48.图为一个几何体的三视国科,尺寸如图所示,则该几何体的体积为()A.23+π6B.23+4πC.33+π6D.33+4π3答案:由图中数据,下部的正三棱柱的高是3,底面是一个正三角形,其边长为2,高为3,故其体积为3×12×2×3=33上部的球体直径为1,故其半径为12,其体积为4π3×(12)3=π6故组合体的体积是33+π6故选C49.两名女生,4名男生排成一排,则两名女生不相邻的排法共有______
种(以数字作答)答案:由题意,先排男生,再插入女生,可得两名女生不相邻的排法共有A44?A25=480种故为:48050.将两粒均匀的骰子各抛掷一次,观察向上的点数,计算:
(1)共有多少种不同的结果?并试着列举出来.
(2)两粒骰子点数之和等于3的倍数的概率;
(3)两粒骰子点数之和为4或5的概率.答案:(1)每一粒均匀的骰子抛掷一次,都有6种结果,根据分步计数原理,所有可能结果共有6×6=36种.
…(4分)(2)两粒骰子点数之和等于3的倍数的有以下12种:(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6),(6,3),(5,4),(4,5),(6,6),共有12个结果,因此,两粒骰子点数之和等于3的倍数的概率是1236=13.
…(8分)(3)两粒骰子点数之和为4或5的有以下7种:(2,2),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(1,4),(4,1),因此,两粒骰子点数之和为4或5的概率为736.
…(12分)第2卷一.综合题(共50题)1.直线2x+y-3=0与直线3x+9y+1=0的夹角是()
A.
B.arctan2
C.
D.答案:C2.(文科做)
f(x)=1x
(x<0)(13)x(x≥0),则不等式f(x)≥13的解集是______.答案:x<0时,f(x)=1x≥13,解得x∈?;x≥0时,f(x)=(13)x≥13,解得x≤1,故0≤x≤1.综上所述,不等式f(x)≥13的解集为{x|0≤x≤1}.故为:{x|0≤x≤1}.3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6,这个长方体的体积是()A.6B.6C.32D.23答案:可设长方体同一个顶点上的三条棱长分别为a,b,c,则有ab=2、bc=3、ca=6,解得:a=2,b=1,c=3故这个长方体的体积是6故为B4.若抛物线y2=4x上一点P到其焦点的距离为3,则点P的横坐标等于______.答案:∵抛物线y2=4x=2px,∴p=2,由抛物线定义可知,抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的,∴|MF|=3=x+p2=3,∴x=2,故为:2.5.圆心既在直线x-y=0上,又在直线x+y-4=0上,且经过原点的圆的方程是______.答案:∵圆心既在直线x-y=0上,又在直线x+y-4=0上,∴由x-y=0x+y-4=0,得x=2y=2.∴圆心坐标为(2,2),∵圆经过原点,∴半径r=22,故所求圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=8.6.某班有40名学生,其中有15人是共青团员.现将全班分成4个小组,第一组有学生10人,共青团员4人,从该班任选一个学生代表.在选到的学生代表是共青团员的条件下,他又是第一组学生的概率为()A.415B.514C.14D.34答案:由于所有的共青团员共有15人,而第一小组有4人是共青团员,故在选到的学生代表是共青团员的条件下,他又是第一组学生的概率为415,故选A.7.(坐标系与参数方程选做题)过点(2,π3)且平行于极轴的直线的极坐标方程为______.答案:法一:先将极坐标化成直角坐标表示,(2,π3)化为(1,3),过(1,3)且平行于x轴的直线为y=3,再化成极坐标表示,即ρsinθ=3.法二:在极坐标系中,直接构造直角三角形由其边角关系得方程ρsinθ=3.设A(ρ,θ)是直线上的任一点,A到极轴的距离AH=2sinπ3=3,直接构造直角三角形由其边角关系得方程ρsinθ=3.故为:ρsinθ=38.下表是关于某设备的使用年限(年)和所需要的维修费用y(万元)的几组统计数据:
x23456y2.23.85.56.57.0(1)请在给出的坐标系中画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程
y=
bx+
a;
(3)估计使用年限为10年时,维修费用为多少?
(参考数值:2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0=112.3).答案:(1)根据所给的数据,得到对应的点的坐标,写出点的坐标,在坐标系描出点,得到散点图,(2)∵5i=1xi2=4+9+16+25+36=90
且.x=4,.y=5,n=5,∴̂b=112.3-5×4×590-5×16=12.310=1.23̂a=5-1.23×4=0.08∴回归直线为y=1.23x+0.08.(3)当x=10时,y=1.23×10+0.08=12.38,所以估计当使用10年时,维修费用约为12.38万元.9.如图,PT是⊙O的切线,切点为T,直线PA与⊙O交于A、B两点,∠TPA的平分线分别交直线TA、TB于D、E两点,已知PT=2,PB=3,则PA=______,TEAD=______.答案:由题意,如图可得PT2=PB×PA又由已知PT=2,PB=3,故可得PA=433又TPA的平分线分别交直线TA、TB于D、E两点,可得∠TPE=∠APD又由弦切角定理知∠PTE=∠PAD故有△PET≈△PDA故有TE:AD=PT:PA=3:2故为433,3210.点(2a,a-1)在圆x2+y2-2y-4=0的内部,则a的取值范围是()
A.-1<a<1
B.0<a<1
C.-1<a<
D.-<a<1答案:D11.已知a>0,b>0,直线l与x轴、y轴分别交于A(a,0),B(0,b),且过点(1,2),O为原点.求△OAB面积的最小值.答案:∵a>0,b>0,直线l与x轴、y轴分别交于A(a,0),B(0,b),∴直线l的方程为xa+yb=1,又直线l过点(1,2),∴1a+2b=1,由基本不等式得1≥22ab,∴ab≥8,△OAB面积为:12ab≥12×8=4,当且仅当1a=2b=12,即a=2且b=4时,等号成立.故△OAB面积的最小值是4.12.在空间直角坐标系O-xyz中,点P(4,3,7)关于坐标平面yOz的对称点的坐标为______.答案:设所求对称点为P'(x,y,z)∵关于坐标平面yOz的对称的两个点,它们的纵坐标、竖坐标相等,而横坐标互为相反数,∴x=-4,y=3,z=7即P关于坐标平面yOz的对称点的坐标为P'(-4,3,7)故为:(-4,3,7)13.已知正四棱柱的对角线的长为6,且对角线与底面所成角的余弦值为33,则该正四棱柱的体积等于______.答案::如图可知:∵AC1=6,cos∠AC1A1=33∴A1C1=2,AA1=2∴正四棱柱的体积等于A1B12?AA1=2故为:214.设P、Q为两个非空实数集,定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q}.若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是()A.6B.7C.8D.9答案:∵P={0,2,5},Q={1,2,6},P+Q={a+b|a∈P,b∈Q}∴当a=0时,b∈Q,P+Q={1,2,6}当a=2时,b∈Q,P+Q={3,4,8}当a=5时,b∈Q,P+Q={6,7,11}∴P+Q={1,2,3,4,6,7,8,11}故选C15.一支田径队有男运动员112人,女运动员84人,用分层抽样的方法从全体男运动员中抽出了32人,则应该从女运动员中抽出的人数为()
A.12
B.13
C.24
D.28答案:C16.用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2当元件A、B、C都正常工作时,系统N1正常工作,当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时,系统N2正常工作。已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90,分别求系统N1、N2正常工作的概率.
答案:0.792解析:解:分别记三个元件A、B、C能正常工作为事件A、B、C,由题意,这三个事件相互独立,系统N1正常工作的概率为P(A·B·C)=P(A)·P(B)·P(C)=0.8´0.9´0.9=0.648系统N2中,记事件D为B、C至少有一个正常工作,则P(D)=1–P()="1–"P()·P()=1–(1–0.9)´(1–0.9)=0.99系统N2正常工作的概率为P(A·D)=P(A)·P(D)=0.8´0.99=0.792。17.已知正方形的边长为2,AB=a,BC=b,AC=c,则|a+b+c|=()A.0B.2C.2D.4答案:由题意可得:AB+BC=AC,所以c=a+b,所以|a+b+c|=2|c|.因为正方形的边长为2,所以|AC|=|c|=2,所以|a+b+c|=2|c|=4.故选D.18.如果命题P:∅∈{∅},命题Q:∅⊂{∅},那么下列结论不正确的是()A.“P或Q”为真B.“P且Q”为假C.“非P”为假D.“非Q”为假答案:命题P:∅∈{∅},命题Q:∅⊂{∅},可直接看出命题Q,命题P都是正确的.故“P或Q”为真.“P且Q”为真.“非P”为假.“非Q”为假.故选B.19.设a>2,给定数列{xn},其中x1=a,xn+1=x2n2(xn-1)(n=1,2…)求证:
(1)xn>2,且xn+1xn<1(n=1,2…);
(2)如果a≤3,那么xn≤2+12n-1(n=1,2…).答案:证明:(1)①当n=1时,∵x2=x122(x1-1)=x1+(2-x1)x12(x1-1),x2=x122(x1-1)=4(x1-1)+x12
-4x1+42(x1-1)=2+(x1-2)22(x1-1),x1=a>2,∴2<x2<x1.结论成立.②假设n=k时,结论成立,即2<xk+1<xk(k∈N+),则xk+2=xk+122(xk+1-1)=xk+1+(2-xk+1)xk+12(xk+1-1)>xk+1,xk+2=xk+122(xk+1-1)=2+(xk+1-2)22(xk+1-1)>2.∴2<xk+2<xk+1,综上所述,由①②知2<xn+1<xn.∴xn>2且xn+1xn<1.(2)由条件x1=a≤3知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k≥1)时成立当n=k+1时,由条件及xk>2知xk+1≤1+12k⇔x2k≤2(xk-1)(2+12k)⇔x2k-2(2+12k)xk+2(2+12k)≤0⇔(xk-2)[xk-(2+12k-1)]≤0,再由xk>2及归纳假设知,上面最后一个不等式一定成立,所以不等式xk+1≤2+12k也成立,从而不等式xn≤2+12n-1对所有的正整数n成立20.H:x-y+z=2为坐标空间中一平面,L为平面H上的一直线.已知点P(2,1,1)为L上距离原点O最近的点,则______为L的方向向量.答案:∵x-y+z=2为坐标空间中一平面∴平面的一个法向量是n=(1,-1,1)设直线L的方向向量为d=(2,b,c)∵L在H上,∴d与平面H的法向量n=(1,-1,1)垂直故d•n=0⇒2-b+c=0∵P(2,1,1)为直线L上距离原点O最近的点,∴.OP⊥L故OP•d=0⇒(2,1,1)•(2,b,c)=0⇒4+b+c=0解得b=-1,c=-3故为:(2,-1,-3)21.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为BB1、C1D1的中点,建立适当的坐标系,求平面AMN的法向量.答案:(-3,2,-4)为平面AMN的一个法向量.解析:以D为原点,DA、DC、DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系.(如图所示).设棱长为1,则A(1,0,0),M(1,1,),N(0,,1).∴=(0,1,),=(-1,,1).设平面AMN的法向量n=(x,y,z)∴令y=2,∴x=-3,z=-4.∴n=(-3,2,-4).∴(-3,2,-4)为平面AMN的一个法向量.22.设点P(+,1)(t>0),则||(O为坐标原点)的最小值是()
A.
B.
C.5
D.3答案:A23.已知向量,,则“,λ∈R”成立的必要不充分条件是()
A.
B与方向相同
C.
D.答案:D24.定义直线关于圆的圆心距单位λ为圆心到直线的距离与圆的半径之比.若圆C满足:①与x轴相切于点A(3,0);②直线y=x关于圆C的圆心距单位λ=2,试写出一个满足条件的圆C的方程______.答案:由题意可得圆心的横坐标为3,设圆心的纵坐标为r,则半径为|r|>0,则圆心的坐标为(3,r).设圆心到直线y=x的距离为d,d=|3-r|2,则由题意可得λ=d|r|=2,求得r=1,或r=-3,故一个满足条件的圆C的方程是(x-3)2+(y-1)2=1,故为(x-3)2+(y-1)2=125.如图,已知AB是⊙O的直径,AB⊥CD于E,切线BF交AD的延长线于F,若AB=10,CD=8,则切线BF的长是
______.答案:连接OD,AB⊥CD于E,根据垂径定理得到DE=4,在直角△ODE中,根据勾股定理得到OE=3,因而AE=8,易证△ABF∽△AED,得到DEBF=AEAB=810,解得BF=5.26.已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y(h)之间的线性回归方程为=0.01x+0.5,则加工600个零件大约需要的时间为()
A.6.5h
B.5.5h
C.3.5h
D.0.3h答案:A27.若=(2,-3,1),=(2,0,3),=(0,2,2),则•(+)=()
A.4
B.15
C.7
D.3答案:D28.已知双曲线的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),P是此双曲线上的一点,且PF1⊥PF2,|PF1|•|PF2|=2,则该双曲线的方程是()
A.
B.
C.
D.答案:C29.向量a=(2,-1,4)与b=(-1,1,1)的夹角的余弦值为______.答案:∵a•b=-2-1+4=1,|a|=22+1+42=21,|b|=3.∴cos<a,b>=a•b|a|
|b|=121•3=721.故为721.30.复数z=sin1+icos2在复平面内对应的点位于第______象限.答案:z对应的点为(sin1,cos2)∵1是第一象限的角,2是第二象限的角∵sin1>0,cos2<0所以(sin1,cos2)在第四象限故为:四31.将参数方程x=1+2cosθy=2sinθ(θ为参数)化成普通方程为
______.答案:由题意得,x=1+2cosθy=2sinθ⇒x-1=2cosθy=2sinθ,将参数方程的两个等式两边分别平方,再相加,即可消去含θ的项,所以有(x-1)2+y2=4.32.若三角形的内切圆半径为r,三边的长分别为a,b,c,则三角形的面积S=12r(a+b+c),根据类比思想,若四面体的内切球半径为R,四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,则此四面体的体积V=______.答案:设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是R,所以四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.故为:13R(S1+S2+S3+S4).33.已知空间三点A(1,1,1)、B(-1,0,4)、C(2,-2,3),则AB与CA的夹角θ的大小是
______答案:AB=(-2,-1,3),CA=(-1,3,-2),cos<AB,CA>=(-2)×(-1)+(-1)×3+3×(-2)14•14=-714=-12,∴θ=<AB,CA>=120°.故为120°34.对任意实数x,y,定义运算x*y=ax+by+cxy,其中a,b,c是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。已知1*2=3,2*3=4,并且有一个非零常数m,使得对任意实数x,都有x*m=x,则m的值是(
)
A.4
B.-4
C.-5
D.6答案:A35.半径为R的球内接一个正方体,则该正方体的体积为()A.22RB.4π3R3C.893R3D.193R3答案:∵半径为R的球内接一个正方体,设正方体棱长为a,正方体的对角线过球心,可得正方体对角线长为:a2+a2+a2=2R,可得a=2R3,∴正方体的体积为a3=(2R3)3=83R39,故选C;36.无论m,n取何实数值,直线(3m-n)x+(m+2n)y-n=0都过定点P,则P点坐标为
A.(-1,3)
B.
C.
D.答案:D37.设A、B为两个事件,若事件A和B同时发生的概率为310,在事件A发生的条件下,事件B发生的概率为12,则事件A发生的概率为______.答案:根据题意,得∵P(A|B)=P(AB)P(B),P(AB)=310,P(A|B)=12∴12=310P(B),解得P(B)=31012=35故为:3538.函数f(x)=8xx2+2(x>0)()A.当x=2时,取得最小值83B.当x=2时,取得最大值83C.当x=2时,取得最小值22D.当x=2时,取得最大值22答案:f(x)=8xx2+2=8x+2x≤822(x>0)=22当且仅当x=2x即x=2时,取得最大值22故选D.39.平行线l1:3x-2y-5=0与l2:6x-4y+3=0之间的距离为______.答案:将l1:3x-2y-5=0化成6x-4y-10=0∴l1:3x-2y-5=0与l2:6x-4y+3=0之间的距离为d=|-10-3|62+(-4)2=1352=132故为:13240.已知:如图,四边形ABCD内接于⊙O,,过A点的切线交CB的延长线于E点,求证:AB2=BE·CD。
答案:证明:连结AC,因为EA切⊙O于A,所以∠EAB=∠ACB,因为,所以∠ACD=∠ACB,AB=AD,于是∠EAB=∠ACD,又四边形ABCD内接于⊙O,所以∠ABE=∠D,所以△ABE∽△CDA,于是,即AB·DA=BE·CD,所以。41.平面上一动点到两定点距离差为常数2a(a>0)的轨迹是否是双曲线,若a>c是否为双曲线?答案:由题意,设两定点间的距离为2c,则2a<2c时,轨迹为双曲线的一支2a=2c时,轨迹为一条射线2a>2c时,无轨迹.42.双曲线的中心是原点O,它的虚轴长为26,右焦点为F(c,0)(c>0),直线l:x=a2c与x轴交于点A,且|OF|=3|OA|.过点F的直线与双曲线交于P、Q两点.
(Ⅰ)求双曲线的方程;
(Ⅱ)若AP•AQ=0,求直线PQ的方程.答案:解.(Ⅰ)由题意,设曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)由已知a2+6=c2c=3a2c解得a=3,c=3所以双曲线的方程:x23-y26=1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知A(1,0),F(3,0),当直线PQ与x轴垂直时,PQ方程为x=3.此时,AP•AQ≠0,应舍去.当直线PQ与x轴不垂直时,设直线PQ的方程为y=k(x-3).由方程组x23-y26=1y=k(x-3)得(k2-2)x2-6k2x+9k2+6=0由于过点F的直线与双曲线交于P、Q两点,则k2-2≠0,即k≠±2,由于△=36k4-4(k2-2)(9k2+6)=48(k2+1)>0得k∈R.∴k∈R且k≠±2(*)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=6k2k2-2(1)x1x2=9k2+6k2-2(2)由直线PQ的方程得y1=k(x1-3),y2=k(x2-3)于是y1y2=k2(x1-3)(x2-3)=k2[x1x2-3(x1+x2)+9](3)∵AP•AQ=0,∴(x1-1,y1)•(x2-1,y2)=0即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=0(4)由(1)、(2)、(3)、(4)得9k2+6k2-2-6k2k2-2+1+k2(9k2+6k2-2-36k2k2-2+9)=0整理得k2=12,∴k=±22满足(*)∴直线PQ的方程为x-2y-3=0或x+2y-3=043.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点M在AB上,且AM=13AB,点P在平面ABCD上,且动点P到直线A1D1的距离与P到点M的距离相等,在平面直角坐标系xAy中,动点P的轨迹方程是______.答案:作PN⊥AD,则PN⊥面A1D1DA,作NH⊥A1D1,N,H为垂足,由三垂线定理可得PH⊥A1D1.以AD,AB,AA1为x轴,y轴,z轴,建立空间坐标系,设P(x,y,0),由题意可得M(0,1,0),H(x,0,3),|PM|=|pH|,∴x2+(y-1)2=y2+9,整理,得x2=2y+8.故为:x2=2y+8.44.己知集合A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a},且a∈N*,x∈A,y∈B,使B中元素y=3x+1和A中的元素x对应,则a=______,k=______.答案:若x∈A,y∈B,使B中元素y=3x+1和A中的元素x对应,则当x=1时,y=4;当x=2时,y=7;当x=3时,y=10;当x=k时,y=3k+1;又由a∈N*,∴a4≠10,则a2+3a=10,a4=3k+1解得a=2,k=5故为:2,545.直线m的倾斜角为30°,则此直线的斜率等于()A.12B.1C.33D.3答案:因为直线的斜率k和倾斜角θ的关系是:k=tanθ∴倾斜角为30°时,对应的斜率k=tan30°=33故选:C.46.已知|a=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,求向量.a+2b与2a+b的夹角.答案:由题意得,a?b=2×1×12=1,∴(a+2b)?(2a+b)=2a2+5a?b+2b2=15,|a+2b|=a2+4a?b+4b2=23,|2a+b|=4a2+4a?b+b2=21,设a+2b与2a+b夹角为θ,则cosθ=(a+2b)?(2a+b)|a+2b||2a+b|=1523×21=5714,则θ=arccos571447.如图,在复平面内,点A表示复数z的共轭复数,则复数z对应的点是()A.AB.BC.CD.D答案:两个复数是共轭复数,两个复数的实部相同,下部相反,对应的点关于x轴对称.所以点A表示复数z的共轭复数的点是B.故选B.48.2012年3月2日,国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定:居民区的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.
某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据,数据统计如下:
组别PM2.5浓度
(微克/立方米)频数(天)频率
第一组(0,25]50.25第二组(25,50]100.5第三组(50,75]30.15第四组(75,100)20.1(Ⅰ)从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中,随机抽取2天,求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率;
(Ⅱ)求样本平均数,并根据样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由.答案:(Ⅰ)
设PM2.5的24小时平均浓度在(50,75]内的三天记为A1,A2,A3,PM2.5的24小时平均浓度在(75,100)内的两天记为B1,B2.所以5天任取2天的情况有:A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2共10种.
…(4分)其中符合条件的有:A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2共6种.
…(6分)所以所求的概率P=610=35.
…(8分)(Ⅱ)去年该居民区PM2.5年平均浓度为:12.5×0.25+37.5×0.5+62.5×0.15+87.5×0.1=40(微克/立方米).…(10分)因为40>35,所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准,故该居民区的环境需要改进.
…(12分)49.已知a=(1,0),b=(m,m)(m>0),则<a,b>=______.答案:∵b=(m,m)(m>0),∴b与第一象限的角平分线同向,且由原点指向远处,而a=(1,0)同横轴的正方向同向,∴<a,b>=45°,故为:45°50.下图是由A、B、C、D中的哪个平面图旋转而得到的(
)答案:A第3卷一.综合题(共50题)1.设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是()
A.若m∥n,m∥α,则n∥α
B.若α⊥β,m∥α,则m⊥β
C.若α⊥β,m⊥β,则m∥α
D.若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β答案:D2.教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有()
A.10种
B.25种
C.52种
D.24种答案:D3.在统计中,样本的标准差可以近似地反映总体的()
A.平均状态
B.频率分布
C.波动大小
D.最大值和最小值答案:C4.若定义运算a⊕b=b,a<ba,a≥b则函数f(x)=2x⊕(12)x的值域为______(用区间表示).答案:由题意画出f(x)=2x?(12)x的图象(实线部分),由图可知f(x)的值域为[1,+∞).故为:[1,+∞).5.用随机数表法从100名学生(男生35人)中选20人作样本,男生甲被抽到的可能性为()A.15B.2035C.35100D.713答案:由题意知,本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件是用随机数表法从100名学生选一个,共有100种结果,满足条件的事件是抽取20个,∴根据等可能事件的概率公式得到P=20100=15,故选A.6.已知平行四边形ABCD,下列正确的是()
A.
B.
C.
D.答案:B7.将一枚均匀硬币
随机掷20次,则恰好出现10次正面向上的概率为()
A.
B.
C.
D.答案:D8.己知集合A={sinα,cosα},则α的取值范围是______.答案:由元素的互异性可得sinα≠cosα,∴α≠kπ+π4,k∈z.故α的取值范围是{α|α≠kπ+π4,k∈z},故为{α|α≠kπ+π4,k∈z}.9.已知:空间四边形ABCD,AB=AC,DB=DC,求证:BC⊥AD.答案:取BC的中点为E,∵AB=AC,∴AE⊥BC.∵DB=DC,∴DE⊥BC.这样,BC就和平面ADE内的两条相交直线AE、DE垂直,∴BC⊥面ADE,∴BC⊥AD.10.以过椭圆+=1(a>b>0)的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系是()
A.相交
B.相切
C.相离
D.不能确定答案:C11.已知两条直线l1:y=x,l2:ax-y=0,其中a为实数,当这两条直线的夹角在(0,)内变动时,a的取值范围是(
)
A.(0,1)
B.
C.
D.答案:C12.已知0<a<2,复数z的实部为a,虚部为1,则|z|的取值范围是()A.(1,5)B.(1,3)C.(1,5)D.(1,3)答案:|z|=a2+1,而0<a<2,∴1<|z|<5,故选C.13.从单词“equation”选取5个不同的字母排成一排,含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排列共有()A.120个B.480个C.720个D.840个答案:要选取5个字母时首先从其它6个字母中选3个有C63种结果,再与“qu“组成的一个元素进行全排列共有C63A44=480,故选B.14.已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则a+b在a方向上的投影为______.答案:∵|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,∴a?b=a|×|b|×cos60°=1由此可得(a+b)2=|a|2+2a?b+|b|2=1+2+4=7∴|a+b|=7.设a+b与a的夹角为θ,则∵(a+b)?a=|a|2+a?b=2∴cosθ=(a+b)?a|a+b|?|a|=277,可得向量a+b在a方向上的投影为|a+b|cosθ=7×277=2故为:215.已知直线经过点A(0,4)和点B(1,2),则直线AB的斜率为______.答案:因为A(0,4)和点B(1,2),所以直线AB的斜率k=2-41-0=-2故为:-216.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上,E,F分别是棱AA1,DD1的中点,则直线EF被球O截得的线段长为()
A.
B.1
C.1+
D.答案:D17.某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A饮料,另外4杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对,则月工资定位3500元;若4杯选对3杯,则月工资定为2800元,否则月工资定为2100元,今X表示此人选对A饮料的杯数,假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.
(1)求X的分布列;
(2)求此员工月工资的期望.答案:(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,P(X=0)=1C48=170P(X=1)=C14C34C48=1670P(X=2)=C24C24C48=3670P(X=3)=C14C34C48=1670P(X=4)=1C48=170(2)此员工月工资Y的所有可能取值有3500、2800、2100,P(Y=3500)=P(X=4)=1C48=170P(Y=2800)=P(X=3)=C14C34C48=1670P(Y=2100)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=5370EY=3500×170+2800×1670+2100×5370=228018.已知A(4,1,9),B(10,-1,6),则A,B两点间距离为______.答案:∵A(4,1,9),B(10,-1,6),∴A,B两点间距离为|AB|=(10-4)2+(-1-1)2+(6-9)2=7故为:719.设A、B、C、D是半径为r的球面上的四点,且满足AB⊥AC、AD⊥AC、AB⊥AD,则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是[
]A、r2
B、2r2
C、3r2
D、4r2答案:B20.(不等式选讲选做题)
已知实数a、b、x、y满足a2+b2=1,x2+y2=3,则ax+by的最大值为______.答案:因为a2+b2=1,x2+y2=3,由柯西不等式(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2,得3≥(ax+by)2,不且仅当ay=bx时取等号,所以ax+by的最大值为3.故为:3.21.(几何证明选讲选做题)如图,△ABC的外角平分线AD交外接圆于D,BD=4,则CD=______.答案:∵A、B、C、D共圆,∴∠DAE=∠BCD.又∵CD=CD,∴∠DAC=∠DBC.而∠DAE=∠DAC,∴∠DBC=∠DCB.∴CD=BD=4.故为4.22.一个水平放置的平面图形,其斜二测直观图是一个等腰梯形,其底角为45°,腰和上底均为1(如图),则平面图形的实际面积为______.答案:恢复后的原图形为一直角梯形,上底为1,高为2,下底为1+2,S=12(1+2+1)×2=2+2.故为:2+223.用反证法证明命题“在函数f(x)=x2+px+q中,|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|至少有一个不小于”时,假设正确的是()
A.假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|至多有一个小于
B.假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|至多有两个小于
C.假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都不小于
D.假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于答案:D24.如图是《集合》一章的知识结构图,如果要加入“交集”,则应该放在()
A.“集合”的下位
B.“概念”的下位
C.“表示”的下位
D.“基本运算”的下位
答案:D25.若回归直线方程中的回归系数b=0时,则相关系数r=______.答案:由于在回归系数b的计算公式中,与相关指数的计算公式中,它们的分子相同,故为:0.26.如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,CD与⊙O切于C,那么∠CAB═______.答案:连接OC,BC.∵CD是切线,∴OC⊥CD.∵BD=OB,∴BC=OB=OC.∴∠ABC=60°.∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAB=30°故为:30°27.选修4-4:坐标系与参数方程
已知极点O与原点重合,极轴与x轴的正半轴重合.点A,B的极坐标分别为(2,π),(22,π4),曲线C的参数方程为答案:(Ⅰ)S△AOB=12×2×228.在极坐标系中与圆ρ=4sinθ相切的一条直线的方程为()
A.ρcosθ=2
B.ρsinθ=2
C.ρ=4sin(θ+)
D.ρ=4sin(θ-)答案:A29.已知:集合A={x,y},B={2,2y},若A=B,则x+y=______.答案:∵集合A={x,y},B={2,2y},而A=B∴x=2y=0或x=2yy=2即x=4y=2∴x+y=2或6故为:2或630.有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190L,假如它的两底面边长分别等于60cm和40cm,求它的深度.答案:由于台体的体积V=13(S+SS′+S′)h,则h=3VS+SS′+S′=3×1900003600+2400+1600=75cm.故它的深度为75cm.31.下列四个函数中,与y=x表示同一函数的是()A.y=(x)2B.y=3x3C.y=x2D.y=x2x答案:选项A中的函数的定义域与已知函数不同,故排除选项A.选项B中的函数与已知函数具有相同的定义域、值域和对应关系,故是同一个函数,故选项B满足条件.选项C中的函数与已知函数的值域不同,故不是同一个函数,故排除选项C.选项D中的函数与与已知函数的定义域不同,故不是同一个函数,故排除选项D,故选
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