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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年唐山职业技术学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.某商场举行购物抽奖促销活动,规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中,每次取出一球记下编号后放回,连续取两次,若取出的两个小球号码相加之和等于6则中一等奖,等于5中二等奖,等于4或3中三等奖.
(1)求中三等奖的概率;
(2)求中奖的概率.答案:(1)设“中三等奖”为事件A,“中奖”为事件B,从四个小球中有放回的取两个共有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1)(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)16种不同的结果两个小球号码相加之和等于4的取法有3种:(1,3),(2,2),(3,1)两个小球号相加之和等于3的取法有4种:(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)由互斥事件的加法公式得:P(A)=316+416=716,即中三等奖的概率为716;(2)两个小球号码相加之和等于3的取法有4种;(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)两个小球相加之和等于4的取法有3种;(1,3),(2,2),(3,1)两个小球号码相加之和等于5的取法有2种:(2,3),(3,2)两个小球号码相加之和等于6的取法有1种:(3,3)由互斥事件的加法公式得:P(B)=116+216+316+416=58.即中奖的概率为:58.2.设a,b,c是三个不共面的向量,现在从①a+b;②a-b;③a+c;④b+c;⑤a+b+c中选出使其与a,b构成空间的一个基底,则可以选择的向量为______.答案:构成基底只要三向量不共面即可,这里只要含有向量c即可,故③④⑤都是可以选择的.故为:③④⑤(不唯一,也可以有其它的选择)3.对任意实数x,y,定义运算x*y=ax+by+cxy,其中a,b,c是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。已知1*2=3,2*3=4,并且有一个非零常数m,使得对任意实数x,都有x*m=x,则m的值是(
)
A.4
B.-4
C.-5
D.6答案:A4.向量b与a=(2,-1,2)共线,且a•b=-18,则b的坐标为______.答案:因为向量b与a=(2,-1,2)共线,所以设b=ma,因为且a•b=-18,所以ma2=-18,因为|a|=22+1+22=3,所以m=-2.所以b=ma=-2(2,-1,2)=(-4,2,-4).故为:(-4,2,-4).5.如图所示的多面体,它的正视图为直角三角形,侧视图为矩形,俯视图为直角梯形(尺寸如图所示)
(1)求证:AE∥平面DCF;
(2)若M是AE的中点,AB=3,∠CEF=90°,求证:平面AEF⊥平面BMC.答案:(1)证法1:过点E作EG⊥CF交CF于G,连结DG,可得四边形BCGE为矩形,又四边形ABCD为矩形,所以AD=EG,从而四边形ADGE为平行四边形故AE∥DG
因为AE?平面DCF,DG?平面DCF,所以AE∥平面DCF
证法2:(面面平行的性质法)因为四边形BEFC为梯形,所以BE∥CF.又因为BE?平面DCF,CF?平面DCF,所以BE∥平面DCF.因为四边形ABCD为矩形,所以AB∥DC.同理可证AB∥平面DCF.又因为BE和AB是平面ABE内的两相交直线,所以平面ABE∥平面DCF.又因为AE?平面ABE,所以AE∥平面DCF.(2)在Rt△EFG中,∠CEF=90°,EG=3,EF=2.∴∠GEF=30°,GF=12EF=1.在RT△CEG中,∠CEG=60°,∴CG=EGtan60°=3,BE=3.∵AB=3,M是AE中点,∴BM⊥AE,由侧视图是矩形,俯视图是直角梯形,得BC⊥AB,BC⊥BE,∵AB∩BM=B,∴AE⊥平面BCM又∵AE?平面ACE,∴平面ACE⊥平面BCM.6.设直线的参数方程是x=2+12ty=3+32t,那么它的斜截式方程是______.答案:∵直线的参数方程为x=2+12ty=3+32t(t为参数),消去参数化为普通方程可得y-3=3(x-2),那么它的斜截式方程是y=3x+3-23.故为:y=3x+3-23.7.过点(2,4)作直线与抛物线y2=8x只有一个公共点,这样的直线有()
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条答案:B8.已知a>0,b>0且a+b>2,求证:1+ba,1+ab中至少有一个小于2.答案:证明:假设1+ba,1+ab都不小于2,则1+ba≥2,1+ab≥2(6分)因为a>0,b>0,所以1+b≥2a,1+a≥2b,1+1+a+b≥2(a+b)即2≥a+b,这与已知a+b>2相矛盾,故假设不成立(12分)综上1+ba,1+ab中至少有一个小于2.(14分)9.已知函数①f(x)=3lnx;②f(x)=3ecosx;③f(x)=3ex;④f(x)=3cosx.其中对于f(x)定义域内的任意一个自变量x1都存在唯一个个自变量x2,使f(x1)f(x2)=3成立的函数序号是______.答案:根据题意可知:①f(x)=3lnx,x=1时,lnx没有倒数,不成立;②f(x)=3ecosx,任一自变量f(x)有倒数,但所取x】的值不唯一,不成立;③f(x)=3ex,任意一个自变量,函数都有倒数,成立;④f(x)=3cosx,当x=2kπ+π2时,函数没有倒数,不成立.所以成立的函数序号为③故为③10.“sinx=siny”是“x=y”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案:∵“sinx=siny”不能推出“x=y”,例如sin30°=sin390°,但30°≠390°,即充分性不成立;反过来,若“x=y”,一定有“sinx=siny”,即必要性成立;∴“sinx=siny”是“x=y”的必要不充分条件.故选C.11.若下列算法的程序运行的结果为S=132,那么判断框中应填入的关于k的判断条件是
______.答案:本题考查根据程序框图的运算,写出控制条件按照程序框图执行如下:s=1
k=12s=12
k=11s=12×11=132
k=10因为输出132故此时判断条件应为:K≤10或K<11故为:K≤10或K<1112.从5名男学生、3名女学生中选3人参加某项知识对抗赛,要求这3人中既有男生又有女生,则不同的选法共有()A.45种B.56种C.90种D.120种答案:由题意知本题是一个分类计数问题,要求这3人中既有男生又有女生包括两种情况,一是两女一男,二是两男一女,当包括两女一男时,有C32C51=15种结果,当包括两男一女时,有C31C52=30种结果,∴根据分类加法得到共有15+30=45故选A.13.已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点,且,则下列命题中正确命题的个数为(
)
①;
②
③;
④
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:C14.已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是()
A.(1,-1,1)
B.(1,3,)
C.,(1,-3,)
D.(-1,3,-)答案:B15.螺母是由
______和
______两个简单几何体构成的.答案:根据螺母的结构特征知,是由正六棱柱里面挖去的一个圆柱构成的,故为:正六棱柱,圆柱.16.一个箱中原来装有大小相同的
5
个球,其中
3
个红球,2
个白球.规定:进行一次操
作是指“从箱中随机取出一个球,如果取出的是红球,则把它放回箱中;如果取出的是白
球,则该球不放回,并另补一个红球放到箱中.”
(1)求进行第二次操作后,箱中红球个数为
4
的概率;
(2)求进行第二次操作后,箱中红球个数的分布列和数学期望.答案:(1)设A1表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球”,B1表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球”,A2表示事件“第二次操作从箱中取出的是红球”,B2表示事件“第二次操作从箱中取出的是白球”.则A1B2表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球,第二次操作从箱中取出的是白球”.由条件概率计算公式得P(A1B2)=P(A1)P(B2|A1)=35×25=625.B1A2表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球,第二次操作从箱中取出的是红球”.由条件概率计算公式得P(B1A2)=P(B1)P(A2|B1)=25×45=825.A1B2+B1A2表示“进行第二次操作后,箱中红球个数为
4”,又A1B2与B1A2是互斥事件.∴P(A1B2+B1A2)=P(A1B2)+P(B1A2)=625+825=1425.(2)设进行第二次操作后,箱中红球个数为X,则X=3,4,5.P(X=3)35×35=925,P(X=4)=1425,P(X=5)=25×15=225.进行第二次操作后,箱中红球个数X的分布列为:进行第二次操作后,箱中红球个数X的数学期望EX=3×925+4×1425+5×225=9325.17.已知a,b为正数,求证:≥.答案:证明略解析:1:∵a>0,b>0,∴≥,≥,两式相加,得≥,∴≥.解析2.≥.∴≥.解析3.∵a>0,b>0,∴,∴欲证≥,即证≥,只要证
≥,只要证
≥,即证
≥,只要证a3+b3≥ab(a+b),只要证a2+b2-ab≥ab,即证(a-b)2≥0.∵(a-b)2≥0成立,∴原不等式成立.【名师指引】当要证明的不等式形式上比较复杂时,常通过分析法寻求证题思路.“分析法”与“综合法”是数学推理中常用的思维方法,特别是这两种方法的综合运用能力,对解决实际问题有重要的作用.这两种数学方法是高考考查的重要数学思维方法.18.一个水平放置的平面图形,其斜二测直观图是一个等腰梯形,其底角为45°,腰和上底均为1(如图),则平面图形的实际面积为______.答案:恢复后的原图形为一直角梯形,上底为1,高为2,下底为1+2,S=12(1+2+1)×2=2+2.故为:2+219.已知一个几何体是由上下两部分构成的一个组合体,其三视图如图所示,则这个组合体的上下两部分分别是(
)答案:A20.
已知椭圆(θ为参数)上的点P到它的两个焦点F1、F2的距离之比,
且∠PF1F2=α(0<α<),则α的最大值为()
A.
B.
C.
D.答案:A21.已知M(-2,7)、N(10,-2),点P是线段MN上的点,且PN=-2PM,则P点的坐标为______.答案:设P(x,y),则PN=(10-x,-2-y),PM=(-2-x,7-y),∵PN=-2PM,∴10-x=-2(-2-x)-2-y=-2(7-y),∴x=2y=4∴P点的坐标为(2,4).故为:(2,4)22.分析如图的程序:若输入38,运行右边的程序后,得到的结果是
______.答案:根据程序语句,其意义为:输入一个x,使得9<x<100a=x\10
为去十位数b=xMOD10
去余数,即取个位数x=10*b+a
重新组合数字,用原来二位数的十位当个位,个位当十位否则说明输入有误故当输入38时输出83故为:8323.已知AB和CD是曲线(t为参数)的两条相交于点P(2,2)的弦,若AB⊥CD,且|PA|·|PB|=|PC|·
|PD|,
(Ⅰ)将曲线(t为参数)化为普通方程,并说明它表示什么曲线;
(Ⅱ)试求直线AB的方程。答案:解:(Ⅰ)由y=4t得y2=16t2,而x=4t2,∴y2=4x,它表示抛物线;(Ⅱ)设直线AB和CD的倾斜角分别为α,β,则直线AB和CD的参数方程分别为,把①代入y2=4x中,得t2sin2α+(4sinα-4cosα)t-4=0,③依题意知sinα≠0且方程③的判别式Δ=16(sinα-cosα)2+16sin2α>0,∴方程③有两个不相等的实数解t1,t2,则由t的几何意义知|PA|=|t1|,|PB|=|t2|,∴|PA|·|PB|=|t1t2|=,同理|PC|·|PD|=,由|PA|·|PB|=|PC|·|PD|知,即sin2α=sin2β,∵0≤α,β<π,∴α=π-β,∵AB⊥CD,∴β=α+90°或α=β+90°,∴直线AB的倾斜角∴kAB=1或kAB=-1,故直线AB的方程为y=x或x+y-4=0。24.已知命题p:“有的实数没有平方根.”,则非p是______.答案:∵命题p:“有的实数没有平方根.”,是一个特称命题,非P是它的否定,应为全称命题“所有实数都有平方根”故为:所有实数都有平方根.25.在大小相同的5个球中,2个是红球,3个是白球,若从中任取2个,则所取的2个球中至少有一个红球的概率是______.答案:由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的基本事件有C52=10种结果,其中至少有一个红球的事件包括C22+C21C31=7个基本事件,根据古典概型公式得到P=710,故为:710.26.以过椭圆+=1(a>b>0)的右焦点的弦为直径的圆与直线l:x=的位置关系是()
A.相交
B.相切
C.相离
D.不能确定答案:C27.设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆x2+y2=2相切,则a的值为()
A.±
B.±2
C.±2
D.±4答案:B28.已知函数f(x)=(12)x
x≥4
f(x+1)
x<4
则f(2+log23)的值为______.答案:∵2+log23∈(2,3),∴f(2+log23)=f(2+log23+1)=f(3+log23)=(12)3+log23=(12)3(12)log23=18×13=124故为12429.在空间直角坐标系0xyz中有两点A(2,5,1)和B(2,4,-1),则|AB|=______.答案:∵点A(2,5,1)和B(2,4,-1),∴AB=(0,-1,-2).∴|AB|=0+(-1)2+(-2)2=5.故为5.30.在空间直角坐标系中,点,过点P作平面xOy的垂线PQ,则Q的坐标为()
A.
B.
C.
D.答案:D31.在空间直角坐标系O-xyz中,点P(4,3,7)关于坐标平面yOz的对称点的坐标为______.答案:设所求对称点为P'(x,y,z)∵关于坐标平面yOz的对称的两个点,它们的纵坐标、竖坐标相等,而横坐标互为相反数,∴x=-4,y=3,z=7即P关于坐标平面yOz的对称点的坐标为P'(-4,3,7)故为:(-4,3,7)32.设集合A={1,2,4},B={2,6},则A∪B等于()A.{2}B.{1,2,4,6}C.{1,2,4}D.{2,6}答案:∵集合A={1,2,4},B={2,6},∴A∪B={1,2,4}∪{2,6}={1,2,4,6},故选B.33.下列说法中正确的有()
①平均数不受少数几个极端值的影响,中位数受样本中的每一个数据影响;
②抛掷两枚硬币,出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大
③用样本的频率分布估计总体分布的过程中,样本容量越大,估计越准确.
④向一个圆面内随机地投一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,则该随机试验的数学模型是古典概型.A.①②B.③C.③④D.④答案:中位数数不受少数几个极端值的影响,平均数受样本中的每一个数据影响,故①不正确,抛掷两枚硬币,出现“两枚都是正面朝上”的概率是14“两枚都是反面朝上的概率是14、“恰好一枚硬币正面朝上的概率是12”,故②不正确,用样本的频率分布估计总体分布的过程中,样本容量越大,估计越准确.正确向一个圆面内随机地投一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,则该随机试验的数学模型是几何概型,故④不正确,故选B.34.设四边形ABCD中,有且,则这个四边形是()
A.平行四边形
B.矩形
C.等腰梯形
D.菱形答案:C35.若两直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2,则下列四个命题中正确的是()
A.若α1<α2,则两直线斜率k1<k2
B.若α1=α2,则两直线斜率k1=k2
C.若两直线斜率k1<k2,则α1<α2
D.若两直线斜率k1=k2,则α1=α2答案:D36.已知函数f(x)=x2+2,x≥13x,x<1,则f(f(0))=()A.4B.3C.9D.11答案:因为f(0)=30=1,所以f[f(0)]═f(1)=1+2=3.故选B.37.据上海中心气象台发布的天气预报,一月上旬某天上海下雨的概率是70%至80%.写出下列解释中正确的序号______.
①上海地区面积的70%至80%将降雨;
②上海地区下雨的时间在16.8小时至19.2%小时之间;
③上海地区在相似的气候条件下有70%至80%的日子是下雨的;
④上海地区在相似的气候条件下有20%至30%的日子是晴,或多云,或阴.答案:据上海中心气象台发布的天气预报,一月上旬某天上海下雨的概率是70%至80%.表示上海地区在相似的气候条件下下雨的可能性很大,是有70%至80%的日子是下雨的.是但不一定下,也不是的70%至80%的时间与地区.故解释中正确的序号③故为:③38.如图,CD是⊙O的直径,AE切⊙O于点B,连接DB,若∠D=20°,则∠DBE的大小为()
A.20°
B.40°
C.60°
D.70°答案:D39.有3名同学要争夺2个比赛项目的冠军,冠军获得者共有______种可能.答案:第一个项目的冠军有3种情况,第二个项目的冠军也有3种情况,根据分步计数原理,冠军获得者共有3×3=9种可能,故为9.40.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,过F且斜率为1的直线交C于A,B两点.设|FA|>|FB|,则|FA|与|FB|的比值等于______.答案:设A(x1,y1)B(x2,y2)由y=x-1y2=4x⇒x2-6x+1=0⇒x1=3+22,x2=3-22,(x1>x2)∴由抛物线的定义知|FA||FB|=x1+1x2+1=4+224-22=2+22-2=3+22故为:3+2241.下列四组函数,表示同一函数的是()A.f(x)=x2,g(x)=xB.f(x)=x,g(x)=x2xC.f(x)=lnx2,g(x)=2lnxD.f(x)=logaax(0<a≠1),g(x)=3x3答案:同一函数必然具有相同的定义域、值域、对应关系,A中的2个函数的值域不同,B中的2个函数的定义域不同,C中的2个函数的对应关系不同,只有D的2个函数的定义域、值域、对应关系完全相同,故选D.42.某重点高中高二历史会考前,进行了五次历史会考模拟考试,某同学在这五次考试中成绩如下:90,90,93,94,93,则该同学的这五次成绩的平均值和方差分别为()
A.92,2
B.92,2.8
C.93,2
D.93,2.8答案:B43.复数1+i(i为虚数单位)的模等于()A.2B.1C.22D.12答案:|1+i|=12+12=2.故选A.44.已知点P为△ABC所在平面上的一点,且,其中t为实数,若点P落在△ABC的内部,则t的取值范围是()
A.
B.
C.
D.答案:D45.下列命题:
①用相关系数r来刻画回归的效果时,r的值越大,说明模型拟合的效果越好;
②对分类变量X与Y的随机变量的K2观测值来说,K2越小,“X与Y有关系”可信程度越大;
③两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近1;
其中正确命题的序号是
______.(写出所有正确命题的序号)答案:①是由于r可能是负值,要改为|r|的值越大,说明模型拟合的效果越好,故①错误,②对分类变量X与Y的随机变量的K2观测值来说,K2越大,“X与Y有关系”可信程度越大;故②正确③两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近1;故③正确,故为:③46.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是()
A.
B.
C.
D.答案:B47.(几何证明选讲选做题)已知PA是⊙O的切线,切点为A,直线PO交⊙O于B、C两点,AC=2,∠PAB=120°,则⊙O的面积为______.答案:∵PA是圆O的切线,∴OA⊥AP又∵∠PAB=120°∴∠BAO=∠ABO=30°又∵在Rt△ABC中,AC=2∴BC=4,即圆O的直径2R=4∴圆O的面积S=πR2=4π故为:4π.48.已知双曲线的焦点在y轴,实轴长为8,离心率e=2,过双曲线的弦AB被点P(4,2)平分;
(1)求双曲线的标准方程;
(2)求弦AB所在直线方程;
(3)求直线AB与渐近线所围成三角形的面积.答案:(1)∵双曲线的焦点在y轴,∴设双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1;∵实轴长为8,离心率e=2,∴a=4,c=42,∴b2=c2-a2=16.或∵实轴长为8,离心率e=2,∴双曲线为等轴双曲线,a=b=4.∴双曲线的标准方程为y216-x216=1.(2)设弦AB所在直线方程为y-2=k(x-4),A,B的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2).∴k=y1-y2x1-x2,x1+x22=4,y1+y22=2;∴y1216-x1216=1
y2216-x2216=1⇒y12-y2216-x12-x2216=0⇒(y1-y2)(y1+y2)16-(x1-x2)(x1+x2)16=0代入x1+x2=8,y1+y2=4,得(y1-y2)×416-(x1-x2)×816=0,∴y1-y2x1-x2×14-12=0,∴14k-12=0,∴k=2;所以弦AB所在直线方程为y-2=2(x-4),即2x-y-6=0.(3)等轴双曲线y216-x216=1的渐近线方程为y=±x.∴直线AB与渐近线所围成三角形为直角三角形.又渐近线与弦AB所在直线的交点坐标分别为(6,6),(2,-2),∴直角三角形两条直角边的长度分别为62、22;∴直线AB与渐近线所围成三角形的面积S=12×62×22=12.49.函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2,则a的值为()A.32B.2C.12或32D.12答案:当a>1时,函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在区间[1,2]上是增函数,由题意可得a2-a=a2,∴a=32.当1>a>0时,函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在区间[1,2]上是减函数,由题意可得a-a2=a2,解得
a=12.综上,a的值为12或32故选C.50.若圆台的上下底面半径分别是1和3,它的侧面积是两底面面积和的2倍,则圆台的母线长是()A.2B.2.5C.5D.10答案:设母线长为l,则S侧=π(1+3)l=4πl.S上底+S下底=π?12+π?32=10π.据题意4πl=20π即l=5,故选C.第2卷一.综合题(共50题)1.由9个正数组成的矩阵
中,每行中的三个数成等差数列,且a11+a12+a13,a21+a22+a23,a31+a32+a33成等比数列,给出下列判断:①第2列a12,a22,a32必成等比数列;②第1列a11,a21,a31不一定成等比数列;③a12+a32≥a21+a23;④若9个数之和等于9,则a22≥1.其中正确的个数有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个答案:B2.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.则该几何体的体积为______.答案:由题意几何体复原是一个底面边长为8,6的距离,高为4,且顶点在底面的射影是底面矩形的中心的四棱锥.底面矩形的面积是48所以几何体的体积是:13×46×4=64故为:64.3.若集合A={1,2,3},则集合A的真子集共有()A.3个B.5个C.7个D.8个答案:由集合A={1,2,3},所以集合A的真子集有?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}共7个.故选C.4.如图,AB为⊙O的直径,弦AC、BD交于点P,若AP=5,PC=3,DP=5,则AB=______.
答案:∵AP=5,PC=3,DP=5由相交弦定理可得:BP=35又∵AB为直径,∴∠ACB=90°∴BC=PB2-PC2=6∴AB=AC2-BC2=10故为:105.已知向量a、b的夹角为60°,且|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=______;向量a与向量a+2b的夹角的大小为______.答案:∵a?b=|a|?|b|cos60°=1,∴|a+2b|=(a+2b)2=4+4+4a?b=23,设向量a与向量a+2b的夹角的大小为θ,∵a?(a+2b)=2×23cosθ=43cosθ,a?(a+2b)=a2+2a?b=4+2=6,∴43cosθ=6,cosθ=32,∴θ=30°,故为23,30°.6.若椭圆长轴长与短轴长之比为2,它的一个焦点是(215,0),则椭圆的标准方程是______.答案:由题设条件知a=2b,c=215,∴4b2=b2+60,∴b2=20,a2=80,∴椭圆的标准方程是x280+y220=1.故为:x280+y220=1.7.已知x=-3-2i(i为虚数单位)是一元二次方程x2+ax+b=0(a,b均为实数)的一个根,则a+b=______.答案:∵x=-3-2i(i为虚数单位)是一元二次方程x2+ax+b=0(a,b均为实数)的一个根,∴(-3-2i)2+a(-3-2i)+b=0,化为5-3a+b+(12-2a)i=0.根据复数相等即可得到5-3a+b=012-2a=0,解得a=6b=13.∴a+b=19.故为19.8.两条平行线l1:3x+4y-2=0,l2:9x+12y-10=0间的距离等于()
A.
B.
C.
D.答案:C9.把下列直角坐标方程或极坐标方程进行互化:
(1)ρ(2cosϑ-3sinϑ)+1=0
(2)x2+y2-4x=0.答案:(1)将原极坐标方程ρ(2cosθ-3sinθ)+1=0展开后化为:2ρcosθ-3ρsinθ+1=0,化成直角坐标方程为:2x-3y+1=0,(2)把公式x=ρcosθ、y=ρsinθ代入曲线的直角坐标方程为x2+y2-4x=0,可得极坐标方程ρ2-4ρcosθ=0,即ρ=4cosθ.10.复数3+4i的模等于______.答案:|3+4i|=32+42=5,故为5.11.已知函数y=与y=ax2+bx,则下列图象正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案:C12.抛掷3颗质地均匀的骰子,求点数和为8的概率______.答案:由题意总的基本事件数为6×6×6=216种点数和为8的事件包含了向上的点的情况有(1,1,6),(1,2,5),(2,2,4),(2,3,3)有四种情况向上点数分别为(1,1,6)的事件包含的基本事件数有3向上点数分别为(1,2,5)的事件包含的基本事件数有6向上点数分别为(2,2,4)的事件包含的基本事件数有3向上点数分别为(2,3,3)的事件包含的基本事件数有3所以点数和为8的事件包含基本事件数是3+6+3+3=15种点数和为8的事件的概率是15216=572故为:572.13.已知正整数指数函数f(x)的图象经过点(3,27),
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求f(5);
(3)函数f(x)有最值吗?若有,试求出;若无,说明原因.答案:(1)设正整数指数函数为f(x)=ax(a>0,a≠1,x∈N+),因为函数f(x)的图象经过点(3,27),所以f(3)=27,即a3=27,解得a=3,所以函数f(x)的解析式为f(x)=3x(x∈N+).(2)由f(x)=3x(x∈N+),可得f(5)=35=243.(3)∵f(x)的定义域为N+,且在定义域上单调递增,∴f(x)有最小值,最小值是f(1)=3;f(x)无最大值.解析:已知正整数指数函数f(x)的图象经过点(3,27),(1)求函数f(x)的解析式;(2)求f(5);(3)函数f(x)有最值吗?若有,试求出;若无,说明原因.14.过点P(-3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线x=t+1ty=t-1t(t为参数)相交于A,B两点.求线段AB的长.答案:直线的参数方程为
x
=
-3
+
32sy
=
12s
(s
为参数),曲线x=t+1ty=t-1t
可以化为
x2-y2=4.将直线的参数方程代入上式,得
s2-63s+
10
=
0.设A、B对应的参数分别为s1,s2,∴s1+
s2=
6
3,s1•s2=10.∴AB=|s1-s2|=(s1+s2)2-4s1s2=217.15.语句“若a>b,则a+c>b+c”是()
A.不是命题
B.真命题
C.假命题
D.不能判断真假答案:B16.设O是坐标原点,F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,A是抛物线上的一点,FA与x轴正向的夹角为60°,则|OA|为______.答案:过A作AD⊥x轴于D,令FD=m,则FA=2m,p+m=2m,m=p.∴OA=(p2+p)2+(3p)2=212p.故为:212p17.在△ABC中,D为AB上一点,M为△ABC内一点,且满足AD=34AB,AM=AD+35BC,则△AMD与△ABC的面积比为()A.925B.45C.916D.920答案:AP=AD+DP=AD+35BC,DP=35BC.∴三角形ADP的高三角形ABC=ADAB=34,∴S△APDS△ABC=35?34=920.故选D.18.如图,点O是正六边形ABCDEF的中心,则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点,与始点不同的另一点为终点的所有向量中,除向量外,与向量共线的向量共有()
A.2个
B.3个
C.6个
D.9个
答案:D19.有五条线段长度分别为1、3、5、7、9,从这5条线段中任取3条,则所取3条线段能构成一个三角形的概率为()A.110B.310C.12D.710答案:由题意知本题是一个古典概型,∵试验发生包含的所有事件是从五条线段中取三条共有C53种结果,而满足条件的事件是3、5、7;3、7、9;5、7、9,三种结果,∴由古典概型公式得到P=3C35=310,故选B.20.小王通过英语听力测试的概率是,他连续测试3次,那么其中恰有1次获得通过的概率是()
A.
B.
C.
D.答案:A21.下面对算法描述正确的一项是:()A.算法只能用自然语言来描述B.算法只能用图形方式来表示C.同一问题可以有不同的算法D.同一问题的算法不同,结果必然不同答案:算法的特点:有穷性,确定性,顺序性与正确性,不唯一性,普遍性算法可以用自然语言、图形语言,程序语言来表示,故A、B不对同一问题可以用不同的算法来描述,但结果一定相同,故D不对.C对.故应选C.22.已知A(4,1,3)、B(2,-5,1),C为线段AB上一点,且则C的坐标为()
A.
B.
C.
D.答案:C23.|a|=2,|b|=3,|a+b|=4,则a与b的夹角是______.答案:∵|a+b|=4,∴a2+2a?b+b2=16∴a?b=32∴cos<a,b>=a?b|.a|×|.b|=322×3=14∵<a,b>∈[0°,180°]∴.a与.b的夹角为arccos14故为arccos1424.两名女生,4名男生排成一排,则两名女生不相邻的排法共有______
种(以数字作答)答案:由题意,先排男生,再插入女生,可得两名女生不相邻的排法共有A44?A25=480种故为:48025.解不等式logx(2x+1)>logx2.答案:当0<x<1,logx(2x+1)>logx2?0<2x+1<20<x<1,解得0<x<12;当x>1,logx(2x+1)>logx2?2x+1>2x>1,解得x>1.综上所述,原不等式的解集为{x|0<x<12或x>1}.26.某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示,则这组数据的中位数是______;众数是______.
答案:将比赛中的得分按照从小到大的顺序排,中间两个数为23,23,所以这组数据的中位数是23,所有的数据中出现次数最多的数是23故为23;2327.已知正数x,y,且x+4y=1,则xy的最大值为()
A.
B.
C.
D.答案:C28.抛物线y=4x2的焦点坐标是()
A.(0,1)
B.(0,)
C.(1,0)
D.(,0)答案:B29.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的=(m,n),=(p,q)
,令⊙=mq-np,下面说法错误的序号是()
①若若a与共线,则⊙=0
②⊙=⊙a
③对任意的λ∈R,有(λ)⊙=λ(⊙)
④(⊙)2+(a)2=||2||2
A.②
B.①②
C.②④
D.③④答案:A30.已知z是纯虚数,z+21-i是实数,则z=______.答案:令Z=bi,则z+21-i=(2+bi)(1+i)(1-i)(1+i)=(2-b)+(2+b)i2又z+21-i是实数,故b=-2则Z=-2i故为:-2i31.复数Z=arccosx-π+(-2x)i(x∈R,i是虚数单位),在复平面上的对应点只可能位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:∵a=arccosx-π,arccosx∈[0,π],∴a<0,∵b=-2x<0,∴复数Z对应的点的实部和虚部都小于零,∴复数在第三象限,故选C.32.下列说法:
①在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选择的模型比较合适;
②用相关指数可以刻画回归的效果,值越大说明模型的拟和效果越好;
③比较两个模型的拟和效果,可以比较残差平方和的大小,残差平方和越小的模型拟和效果越好.
其中说法正确的个数为()
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个答案:C33.在平面直角坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为x=4cosθy=2sinθ(θ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,得曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ-4sinθ(ρ>0).
(Ⅰ)化曲线C1、C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(Ⅱ)设曲线C1与x轴的一个交点的坐标为P(m,0)(m>0),经过点P作曲线C2的切线l,求切线l的方程.答案:(Ⅰ)曲线C1:x216+y24=1;曲线C2:(x-1)2+(y+2)2=5;(3分)曲线C1为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是4,短半轴长是2的椭圆;曲线C2为圆心为(1,-2),半径为5的圆(2分)(Ⅱ)曲线C1:x216+y24=1与x轴的交点坐标为(-4,0)和(4,0),因为m>0,所以点P的坐标为(4,0),(2分)显然切线l的斜率存在,设为k,则切线l的方程为y=k(x-4),由曲线C2为圆心为(1,-2),半径为5的圆得|k+2-4k|k2+1=5,解得k=3±102,所以切线l的方程为y=3±102(x-4)(3分)34.已知三个数a=60.7,b=0.76,c=log0.76,则a,b,c从小到大的顺序为______.答案:因为a=60.7>60=1,b=0.76<0.70=1,且b>0,c=log0.76<0,所以c<b<a.故为c<b<a.35.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是()
A.至少有1个白球;都是白球
B.至少有1个白球;至少有1个红球
C.恰有1个白球;恰有2个白球
D.至少有一个白球;都是红球答案:C36.设椭圆=1和x轴正方向的交点为A,和y轴的正方向的交点为B,P为第一象限内椭圆上的点,使四边形OAPB面积最大(O为原点),那么四边形OAPB面积最大值为()
A.ab
B.ab
C.ab
D.2ab答案:B37.已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3,ρ=4cosθ(ρ≥0,0≤θ<π2),则曲线C1与C2交点的极坐标为______.答案:我们通过联立解方程组ρcosθ=3ρ=4cosθ(ρ≥0,0≤θ<π2)解得ρ=23θ=π6,即两曲线的交点为(23,π6).故填:(23,π6).38.两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为()
A.4
B.
C.
D.答案:D39.在下列四个命题中,正确的共有()
①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率;
②直线的倾斜角的取值范围是[0,π];
③若一条直线的斜率为tanα,则此直线的倾斜角为α;
④若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tanα.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个答案:A40.设x1、x2、y1、y2是实数,且满足x12+x22≤1,
证明不等式(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1).答案:证明略解析:分析:要证原不等式成立,也就是证(x1y1+x2y2-1)2-(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0.(1)当x12+x22=1时,原不等式成立.……………3分(2)当x12+x22<1时,联想根的判别式,可构造函数f(x)=(x12+x22-1)x-2(x1y1+x2y2-1)x+(y12+y22-1)…7分其根的判别式Δ=4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1).………9分由题意x12+x22<1,函数f(x)的图象开口向下.又∵f(1)=x12+x22-2x1y1-2x2y2+y12+y22=(x1-y1)2+(x2-y2)2≥0,………11分因此抛物线与x轴必有公共点.∴Δ≥0.∴4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0,…………13分即(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1).……………14分41.构成多面体的面最少是(
)
A.三个
B.四个
C.五个
D.六个答案:B42.已知圆的极坐标方程为:ρ2-42ρcos(θ-π4)+6=0.
(1)将极坐标方程化为普通方程;
(2)若点P(x,y)在该圆上,求x+y的最大值和最小值.答案:(1)ρ2-42ρcos(θ-π4)+6=0
即
ρ2-42(22ρcosθ+22ρsinθ
),即x2+y2-4x-4y+6=0.(2)圆的参数方程为x=
2
+2cosαy=
2
+2sinα,∴x+y=4+2(sinα+cosα)=4+2sin(α+π4).由于-1≤sin(α+π4)≤1,∴2≤x+y≤6,故x+y的最大值为6,最小值等于2.43.设A(3,4),在x轴上有一点P(x,0),使得|PA|=5,则x等于()
A.0
B.6
C.0或6
D.0或-6答案:C44.在统计中,样本的标准差可以近似地反映总体的()
A.平均状态
B.频率分布
C.波动大小
D.最大值和最小值答案:C45.如图,AB,AC分别是⊙O的切线和割线,且∠C=45°,∠BDA=60°,CD=6,则切线AB的长是______.答案:过点A作AM⊥BD与点M.∵AB为圆O的切线∴∠ABD=∠C=45°∵∠BDA=60°∴∠BAD=75°,∠DAM=30°,∠BAM=45°设AB=x,则AM=22x,在直角△AMD中,AD=63x由切割线定理得:AB2=AD?ACx2=63x(63x+6)解得:x1=6,x2=0(舍去)故AB=6.故是:6.46.一个类似于细胞分裂的物体,一次分裂为二,两次分裂为四,如此继续分裂有限多次,而随机终止.设分裂n次终止的概率是(n=1,2,3,…).记X为原物体在分裂终止后所生成的子块数目,则P(X≤10)=()
A.
B.
C.
D.以上均不对答案:A47.已知A,B两点的极坐标为(6,)和(8,),则线段AB中点的直角坐标为()
A.(,-)
B.(-,)
C.(,-)
D.(-,-)答案:D48.设直线l与平面α相交,且l的方向向量为a,α的法向量为n,若<a,n>=,则l与α所成的角为()
A.
B.
C.
D.答案:C49.下列说法不正确的是()A.圆柱侧面展开图是一个矩形B.圆锥的过轴的截面是等腰三角形C.直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D.圆台平行于底面的截面是圆面答案:圆柱的侧面展开图是一个矩形,A正确,因为母线长相等,得到圆锥的轴截面是一个等腰三角形,B正确,圆台平行于底面的截面是圆面,D正确,故选C.50.已知x、y的取值如下表所示:
x0134y2.24.34.86.7若从散点图分析,y与x线性相关,且
y=0.95x+
a,则
a的值等于()A.2.6B.6.3C.2D.4.5答案:∵.x=0+1+3+44=2,.y=2.2+4.3+4.8+6.74=4.5,∴这组数据的样本中心点是(2,4.5)∵y与x线性相关,且y=0.95x+a,∴4.5=0.95×2+a,∴a=2.6,故选A.第3卷一.综合题(共50题)1.过点(-3,-1),且与直线x-2y=0平行的直线方程为______.答案:直线l经过点(-3,-1),且与直线x-2y=0平行,直线的斜率为12所以直线l的方程为:y+1=12(x+3)即x-2y+1=0.故为:x-2y+1=0.2.(上海卷理3文8)动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则P的轨迹方程为______.答案:由抛物线的定义知点P的轨迹是以F为焦点的抛物线,其开口方向向右,且p2=2,解得p=4,所以其方程为y2=8x.故为y2=8x3.若命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+2也成立,又已知命题P(2)成立,则下列结论正确的是()
A.P(n)对所有自然数n都成立
B.P(n)对所有正偶数n成立
C.P(n)对所有正奇数n都成立
D.P(n)对所有大于1的自然数n成立答案:B4.某超市推出如下优惠方案:
(1)一次性购物不超过100元不享受优惠;
(2)一次性购物超过100元但不超过300元的一律九折;
(3)一次性购物超过300元的一律八折,有人两次购物分别付款80元,252元.
如果他一次性购买与上两次相同的商品,则应付款______.答案:该人一次性购物付款80元,据条件(1)、(2)知他没有享受优惠,故实际购物款为80元;另一次购物付款252元,有两种可能,其一购物超过300元按八折计,则实际购物款为2520.8=315元.其二购物超过100元但不超过300元按九折计算,则实际购物款为2520.9=280元.故该人两次购物总价值为395元或360元,若一次性购买这些商品应付款316元或288元.故为316元或288元.5.如图,平行四边形ABCD中,AE:EB=1:2,若△AEF的面积等于1cm2,则△CDF的面积等于______cm2.答案:平行四边形ABCD中,有△AEF~△CDF∴△AEF与△CDF的面积之比等于对应边长之比的平方,∵AE:EB=1:2,∴AE:CD=1:3∵△AEF的面积等于1cm2,∴∵△CDF的面积等于9cm2故为:96.袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,现从袋中任意取出3个小球,假设每个小球被取出的可能性都相等.
(Ⅰ)求取出的3个小球上的数字分别为1,2,3的概率;
(Ⅱ)求取出的3个小球上的数字恰有2个相同的概率;
(Ⅲ)用X表示取出的3个小球上的最大数字,求P(X≥4)的值.答案:(I)记“取出的3个小球上的数字分别为1,2,3”的事件记为A,则P(A)=C12C12C12C310=8120=115;(Ⅱ)记“取出的3个小球上的数字恰有2个相同”的事件记为A,则P(B)=C15C18C310=40120=13;(Ⅲ)用X表示取出的3个小球上的最大数字,则X≥4包含取出的3个小球上的最大数字为4或5两种情况,当取出的3个小球上的最大数字为4时,P(X=4)=C12C26+C22C16C310=36120=310;当取出的3个小球上的最大数字为5时,P(X=5)=C12C28+C22C18C310=64120=815故P(X≥4)=56.7.
如图,已知平行六面体OABC-O1A1B1C1,点G是上底面O1A1B1C1的中心,且,则用
表示向量为(
)
A.
B.
C.
D.
答案:A8.已知函数f(x)满足:x≥4,则f(x)=(12)x;当x<4时f(x)=f(x+1),则f(2+log23)═______.答案:∵2+log23<4,∴f(2+log23)=f(3+log23)=f(log224)=(12)log224=124故应填1249.下面对算法描述正确的一项是:()A.算法只能用自然语言来描述B.算法只能用图形方式来表示C.同一问题可以有不同的算法D.同一问题的算法不同,结果必然不同答案:算法的特点:有穷性,确定性,顺序性与正确性,不唯一性,普遍性算法可以用自然语言、图形语言,程序语言来表示,故A、B不对同一问题可以用不同的算法来描述,但结果一定相同,故D不对.C对.故应选C.10.在复数范围内解方程|z|2+(z+.z)i=3-i2+i(i为虚数单位).答案:原方程化简为|z|2+(z+.z)i=1-i,设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得x2+y2+2xi=1-i,∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=-12且y=±32,∴原方程的解是z=-12±32i.11.已知向量与的夹角为120°,若向量,且,则=()
A.2
B.
C.
D.答案:C12.俊、杰兄弟俩分别在P、Q两篮球队效力,P队、Q队分别有14和15名球员,且每个队员在各自队中被安排首发上场的机会是均等的,则P、Q两队交战时,俊、杰兄弟俩同为首发上场交战的概率是(首发上场各队五名队员)(
)A.B.C.D.答案:B解析:解:P(俊首发)=
P(杰首发)==P(俊、杰同首发)=
选B评析:考察考生等可能事件的概率与相互独立事件的概率问题。13.长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15,则它的体积为______.答案:设长方体过同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,∵从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为3,5,15,∴a?b=3,a?c=5,b?c=15∴(a?b?c)2=152∴a?b?c=15即长方体的体积为15,故为:15.14.已知圆C:x2+y2-4x-6y+12=0的圆心在点C,点A(3,5),求:
(1)过点A的圆的切线方程;
(2)O点是坐标原点,连接OA,OC,求△AOC的面积S.答案:(1)⊙C:(x-2)2+(y-3)2=1.当切线的斜率不存在时,对直线x=3,C(2,3)到直线的距离为1,满足条件;当k存在时,设直线y-5=k(x-3),即y=kx+5-3k,∴|-k+2|k2+1=1,得k=34.∴得直线方程x=3或y=34x+114.(2)|AO|=9+25=34,l:5x-3y=0,d=134,S=12d|AO|=12.15.假设两圆互相外切,求证:用连心线做直径的圆,必与前两圆的外公切线相切.答案:证明:设⊙O1及⊙O2为互相外切的两个圆,其一外公切线为A1A2,切点为A1及A2令点O为连心线O1O2的中点,过O作OA⊥A1A2,由直角梯形的中位线性质得:OA=12(O1A1+O2A2)=12O1O2,∴以O1O2为直径,即以O为圆心,OA为半径的圆必与直线A1A2相切,同理可证,此圆必切于⊙O1及⊙O2的另一条外公切线.16.(不等式选讲选做题)已知x+2y+3z=1,求x2+y2+z2的最小值______.答案:解法一:由柯西不等式可知:(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)(12+22+33),∴x2+y2+z2≥114,当且仅当x1=y2=z3,x+2y+3z=1,即x=114,y=17,z=314时取等号.即x2+y2+z2的最小值为114.解法二:设向量a=(1,2,3),b=(x,y,z),∵|a?b|≤|a|
|b|,∴1=x+2y+3z≤12+22+32x2+y2+z2,∴x2+y2+z2≥114,当且仅当a与b共线时取等号,即x1=y2=z3,x+2y+3z=1,解得x=114,y=17,z=314时取等号.故为114.17.若一元二次方程kx2-4x-5=0
有两个不相等实数根,则k
的取值范围是______.答案:∵kx2-4x-5=0有两个不相等的实数根,∴△=16+20k>0,且k≠0,解得,k>-45且k≠0;故是:k>-45且k≠0.18.如图,F1,F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为3的正三角形,则b2的值是______.答案:∵△POF2是面积为3的正三角形,∴S=34|PF2|2=3,|PF2|=2.∴c=2,∵△PF1F2为直角三角形,∴a=3+1,故为23.19.已知求证:答案:证明见解析解析:证明:20.在极坐标系中,曲线ρ=4cosθ围成的图形面积为()
A.π
B.4
C.4π
D.16答案:C21.从2008名学生中选取50名学生参加数学竞赛,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从2008人中剔除8人,剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人,则在2008人中,每人入选的概率()
A.不全相等
B.均不相等
C.都相等,且为
D.都相等,且为答案:C22.若a、b是直线,α、β是平面,a⊥α,b⊥β,向量m在a上,向量n在b上,m=(0,3,4),n=(3,4,0),则α、β所成二面角中较小的一个余弦值为______.答案:由题意,∵m=(0,3,4),n=(3,4,0),∵cos<m,n>=m?n|m||n|=125?5=1225∵a⊥α,b⊥β,向量m在a上,向量n在b上,∴α、β所成二面角中较小的一个余弦值为1225故为122523.对变量x,y
有观测数据(x1,y1)(i=1,2,…,10),得散点图1;对变量u,v
有观测数据(v1,vi)(i=1,2,…,10),得散点图2.下列说法正确的是()
A.变量x
与y
正相关,u
与v
正相关
B.变量x
与y
负相关,u
与v
正相关
C.变量x
与y
正相关,u
与v
负相关
D.变量x
与y
负相关,u
与v
负相关答案:B24.已知|a|=8,e是单位向量,当它们之间的夹角为π3时,a在e方向上的投影为
______.答案:a在e方向上的投影为a?e=|a||e|cosπ3=4故为:425.在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N+).(Ⅰ)求a2,a3,a4,并猜想数列{an}的通项公式(不必证明);(Ⅱ)证明:当λ≠0时,数列{an}不是等比数列;(Ⅲ)当λ=1时,试比较an与n2+1的大小,证明你的结论.答案:(Ⅰ)∵a1=2,∴a2=λa1+λ2+2(2-λ)=λ2+4,同理可得,a3=2λ3+8,a4=3λ4+16,猜想an=(n-1)λn+2n.(Ⅱ)假设数列{an}是等比数列,则a1,a2,a3也成等比数列,∴a22=a1•a3⇒(λ2+4)2=2(2λ3+8)⇒λ4-4λ3+8λ2=0,∵λ≠0,∴λ2-4λ+8=0,即(λ-2)2+4=0,但(λ-2)2+4>0,矛盾,∴数列{an}不是等比数列.(Ⅲ)∵λ=1,∴an=(n+1)+2n,∴an-(n2+1)=2n-(n2-n+2),∵当n=1,2,3时,2n=n2-n+2,∴an=n2+1.当n≥4时,猜想2n>n2-n+2,证明如下:当n=4时,显然2k>k2-4+2假设当n=k≥4时,猜想成立,即2k>k2-k+2,则当n=k+1时,2k+1=2•2k>2(k2-k+2),∵2(k2-k+2)-[(k+1)20-(k+1)+2]=(k-1)(k-2)>0∴2k+1>2(k2-k+2)>(k+1)2-(k+1)+2,∴当n≥4时,猜想2n>n2-n+2成立,∴当n≥4时,an>n2+1.26.9、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有()
A.140种
B.84种
C.70种
D.35种答案:C27.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定
是()
A.所有不能被2整除的整数都是偶数
B.所有能被2整除的整数都不是偶数
C.存在一个不能被2整除的整数是偶数
D.存在一个能被2整除的整数不是偶数答案:D28.已知A(0,1),B(3,7),C(x,15)三点共线,则x的值是()
A.5
B.6
C.7
D.8答案:C29.方程组的解集是(
)
A.{(-3,0)}
B.{-3,0}
C.(-3,0)
D.{(0,-3)}
答案:A30.一个试验要求的温度在69℃~90℃之间,用分数法安排试验进行优选,则第一个试点安排在(
)。(取整数值)答案:82°31.下列数字特征一定是数据组中的数是()
A.众数
B.中位数
C.标准差
D.平均数答案:A32.解不等式|2x-1|<|x|+1.答案:根据题意,对x分3种情况讨论:①当x<0时,原不等式可化为-2x+1<-x+1,解得x>0,又x<0,则x不存在,此时,不等式的解集为∅.②当0≤x<12时,原不等式可化为-2x+1<x+1,解得x>0,又0≤x<12,此时其解集为{x|0<x<12}.③当x≥12
时,原不等式可化为2x-1<x+1,解得12≤x<2,又由x≥12,此时其解集为{x|12≤x<2},∅∪{x|0<x<12
}∪{x|12≤x<2
}=
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