高中数学人教A版第三章函数的应用学业分层测评23

学业分层测评（二十三）函数模型的应用实例(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为()A．200副 B．400副C．600副 D．800副【解析】由5x＋4000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．【答案】D2．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()【导学号：97030143】\f(p＋q,2) \f(p＋1q＋1－1,2)\r(pq) \r(p＋1q＋1)－1【解析】设年平均增长率为x，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x＝eq\r(1＋p1＋q)－1.【答案】D3．某种细胞在正常培养过程中，时刻t(单位：分)与细胞数n(单位：个)的部分数据如下表：t02060140n128128根据表中数据，推测繁殖到1000个细胞时的时刻t最接近于()A．200 B．220C．240 D．260【解析】由表中数据可以看出，n与t的函数关系式为n＝2eq\f(t,20)，令n＝1000，则2eq\f(t,20)＝1000，而210＝1024，所以繁殖到1000个细胞时，时刻t最接近200分钟，故应选A.【答案】A4．若镭经过100年后剩留原来质量的%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()A．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co16))eq\f(x,100) B．y＝6)100xC．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f9,100)))x D．y＝1－4)eq\f(x,100)【解析】设镭一年放射掉其质量的t%，则有%＝1·(1－t)100，t＝6)eq\f(1,100)，∴y＝(1－t)x＝6)eq\f(x,100).【答案】A5．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,\r(x))，x<A，,\f(c,\r(A))，x≥A))(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30min，组装第A件产品用时15min，那么c和A的值分别是()A．75,25 B．75,16C．60,25 D．60,16【解析】由题意知，组装第A件产品所需时间为eq\f(c,\r(A))＝15，故组装第4件产品所需时间为eq\f(c,\r(4))＝30，解得c＝60.将c＝60代入eq\f(c,\r(A))＝15，得A＝16.【答案】D二、填空题6．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米元收费；超过8km时，超过部分按每千米元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费元，则此次出租车行驶了________km.【解析】设出租车行驶xkm时，付费y元，则y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9，0<x≤3，,8＋x－3＋1，3<x≤8，,8＋×5＋x－8＋1，x>8，))由y＝，解得x＝9.【答案】97．(2023·深圳高一检测)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(t,h)，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降到40℃需要20分钟，那么此杯咖啡从40℃降温到32℃时，还需要________分钟．【解析】设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(t,h)，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降到40℃需要20分钟，可得Ta＝24，T0＝88，T＝40，可得：40－24＝(88－24)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(20,h)，解得h＝10，此杯咖啡从40℃降温到32℃时，可得：32－24＝(40－24)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(t,10)，解得t＝10.【答案】108．(2023·郑州模拟)为了在“十一”黄金周期间降价促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．辛云和她母亲两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为________元．【解析】依题意，价值为x元商品和实际付款数f(x)之间的函数关系式为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，0≤x≤200，,，200<x≤500，,500×＋x－500×，x>500.))当f(x)＝168时，由168÷≈187<200，故此时x＝168；当f(x)＝423时，由423÷＝470∈(200,500]，故此时x＝470.∴两次共购得价值为470＋168＝638(元)的商品，∴500×＋(638－500)×＝(元)，故若一次性购买上述商品，应付款额为元．【答案】三、解答题9．(2023·西安模拟)如图3­2­10所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．图3­2­10(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值．【解】(1)作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝(8－y)米，EQ＝(x－4)米．又△EPQ∽△EDF，所以eq\f(EQ,PQ)＝eq\f(EF,FD)，即eq\f(x－4,8－y)＝eq\f(4,2).所以y＝－eq\f(1,2)x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．(2)设矩形BNPM的面积为S平方米，则S(x)＝xy＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(x,2)))＝－eq\f(1,2)(x－10)2＋50，S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x＝10，所以当x∈[4,8]时，S(x)单调递增．所以当x＝8米时，矩形BNPM的面积取得最大值，为48平方米．10．有时可用函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1＋15ln\f(a,a－x)，x≤6，,\f(x－,x－4)，x>6，))描述学习某学科知识的掌握程度．其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N*)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.【导学号：97030144】(1)证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．【解】(1)证明：当x≥7时，f(x＋1)－f(x)＝eq\f,x－3x－4)，而当x≥7时，函数y＝(x－3)(x－4)单调递增，且(x－3)(x－4)＞0，故函数f(x＋1)－f(x)单调递减，所以当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降．(2)由题意可知＋15lneq\f(a,a－6)＝，整理得eq\f(a,a－6)＝，解得a＝eq\f,－1)·6＝×6＝123,123∈(121,127]，由此可知，该学科是乙学科．[能力提升]1．一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图3­2­11所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是()图3­2­11【解析】水深h越大，水的体积V就越大，故函数V＝f(h)是一个增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的，曲线斜率是先增大后变小的．【答案】D2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，1≤x＜10，x∈N，,2x＋10，10≤x＜100，,，x≥100，x∈N，))x∈N，其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为()【导学号：97030145】A．15 B．40C．25 D．130【解析】若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若＝60，则x＝40＜100，不合题意．故拟录用人数为25人．【答案】C3．某地区发生里氏级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：强度(J)×1019×1019×1019×1019震级(里氏)注：地震强度是指地震时释放的能量．地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝algx＋b(其中a，b为常数)．利用散点图可知a的值等于________．(取lg2＝进行计算)图3­2­12【解析】由记录的部分数据可知x＝×1019时，y＝，x＝×1019时，y＝.所以＝alg×1019)＋b，①5．2＝alg×1019)＋b，②②－①得＝algeq\f×1019,×1019)，＝alg2.所以a＝eq\f,lg2)＝eq\f,＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)4．某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：(单位：万美元)项目类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多可生产的件数A产品20m10200B产品40818120其中年固定成本与年生产的件数无关，m是待定常数，其值由生产A产品的原材料决定，预计m∈[6,8]，另外，年销售x件B产品时需上交万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系，并求出其定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？请设计相关方案．【解】(1)y1＝10x－(20＋mx)＝(10－m)x－20,0≤x≤200，且x∈N，y2＝18x－(8x＋40)－＝－＋10x－40，0≤x≤120且x∈N.(2)∵6≤m≤8，∴10－m＞0，∴y1＝(10－m)x－20为增函数，又0≤x≤200，x∈N.∴x＝200时，生产A产品有最大利润(10－m)×200－20＝1980－20