高中数学人教B版第二章函数学业分层测评14

学业分层测评(十四)函数的应用(Ⅱ)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为()副 副副 副【解析】由5x＋4000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本.【答案】D2.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()\f(p＋q,2) \f(p＋1q＋1－1,2)\r(pq) \r(p＋1q＋1)－1【解析】设年平均增长率为x，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x＝eq\r(1＋p1＋q)－1.【答案】D3.某种细胞在正常培养过程中，时刻t(单位：分)与细胞数n(单位：个)的部分数据如下表：t02060140n128128根据表中数据，推测繁殖到1000个细胞时的时刻t最接近于() 【解析】由表中数据可以看出，n与t的函数关系式为n＝2eq\f(t,20)，令n＝1000，则2eq\f(t,20)＝1000，而210＝1024，所以繁殖到1000个细胞时，时刻t最接近200分钟，故应选A.【答案】A4.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,\r(x))，x<A，,\f(c,\r(A))，x≥A))(A，c为常数).已知工人组装第4件产品用时30min，组装第A件产品用时15min，那么c和A的值分别是(),25 ,16,25 ,16【解析】由题意知，组装第A件产品所需时间为eq\f(c,\r(A))＝15，故组装第4件产品所需时间为eq\f(c,\r(4))＝30，解得c＝60.将c＝60代入eq\f(c,\r(A))＝15，得A＝16.【答案】D5.一个人以6m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25m时，交通灯由红变绿，汽车以1m/s2的加速度匀加速开走，那么()A.此人可在7s内追上汽车B.此人可在10s内追上汽车C.此人追不上汽车，其间距最少为5mD.此人追不上汽车，其间距最少为7m【解析】设汽车经过ts行驶的路程为sm，则s＝eq\f(1,2)t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝eq\f(1,2)t2－6t＋25＝eq\f(1,2)(t－6)2＋7.当t＝6时，d取得最小值7.【答案】D二、填空题6.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米元收费；超过8km时，超过部分按每千米元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费元，则此次出租车行驶了________km.【解析】设出租车行驶xkm时，付费y元，则y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9，0<x≤3，,8＋x－3＋1，3<x≤8，,8＋×5＋x－8＋1，x>8，))由y＝，解得x＝9.【答案】97已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x，宽减少eq\f(x,2)，则面积最大，此时x＝________，面积S＝________.【解析】根据题目条件0＜eq\f(x,2)＜3，即0＜x＜6，所以S＝(4＋x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(x,2)))＝－eq\f(1,2)(x2－2x－24)＝eq\f(25,2)－eq\f(1,2)(x－1)2(0＜x＜6).故当x＝1时，S取得最大值eq\f(25,2).【答案】1eq\f(25,2)8.国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超出800元部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的%纳税.某人出版了一书共纳税420元，这个人的稿费为________元.【解析】若这个人的稿费为4000元时，应纳税(4000－800)×14%＝448(元).又∵420＜448，∴此人的稿费应在800到4000之间，设为x，∴(x－800)×14%＝420，解得x＝3800元.【答案】3800三、解答题9.有时可用函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1＋15ln\f(a,a－x)，x≤6，,\f(x－,x－4)，x>6))描述学习某学科知识的掌握程度.其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N*)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.(1)证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133].当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.【解】(1)证明：当x≥7时，f(x＋1)－f(x)＝eq\f,x－3x－4)，而当x≥7时，函数y＝(x－3)(x－4)单调递增，且(x－3)(x－4)＞0，故函数f(x＋1)－f(x)单调递减，所以当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降.(2)由题意可知＋15lneq\f(a,a－6)＝，整理得eq\f(a,a－6)＝，解得a＝eq\f,－1)·6＝×6＝123,123∈(121,127]，由此可知，该学科是乙学科.10.一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是40cm与60cm，现在将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪才能使剩下的残料最少？并求出此时残料的面积.【解】设直角三角形为△ABC，AC＝40，BC＝60，矩形为CDEF，如图所示，设CD＝x，CF＝y，则由Rt△AFE∽Rt△EDB得eq\f(AF,ED)＝eq\f(FE,BD)，即eq\f(40－y,y)＝eq\f(x,60－x)，解得y＝40－eq\f(2,3)x，记剩下的残料面积为S，则S＝eq\f(1,2)×60×40－xy＝eq\f(2,3)x2－40x＋1200＝eq\f(2,3)(x－30)2＋600(0＜x＜60)，故当x＝30时，Smin＝600，此时y＝20，所以当x＝30，y＝20时，剩下的残料面积最小为600cm2.[能力提升]1.一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图2­3­3所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是()【导学号：60210058】图2­3­3【解析】水深h越大，水的体积V就越大，故函数V＝f(h)是一个增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的，曲线斜率是先增大后变小的.【答案】D2.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，1≤x＜10，x∈N，,2x＋10，10≤x＜100，,，x≥100，x∈N，))x∈N，其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为() 【解析】若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若＝60，则x＝40＜100，不合题意.故拟录用人数为25人.【答案】C3.经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数.日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数解析式为S(t)＝________.【解析】日销售额＝日销售量×价格，故S＝f(t)×g(t)＝(2t＋100)×(t＋4)＝2t2＋108t＋400，t∈N.【答案】2t2＋108t＋400，t∈N4.某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：(单位：万美元)项目类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多可生产的件数A产品20m10200B产品40818120其中年固定成本与年生产的件数无关，m是待定常数，其值由生产A产品的原材料决定，预计m∈[6,8]，另外，年销售x件B产品时需上交万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去.(1)求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系，并求出其定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？请设计相关方案.【解】(1)y1＝10x－(20＋mx)＝(10－m)x－20,0≤x≤200，且x∈N，y2＝18x－(8x＋40)－＝－＋10x－40，0≤x≤120且x∈N.(2)∵6≤m≤8，∴10－m＞0，∴y1＝(10－m)x－20为增函数，又0≤x≤200，x∈N.∴x＝200时，生产A产品有最大利润(10－m)×200－20＝1980－200m(万美元)，y2＝－＋10x－40＝－(x－100)2＋460,0≤x≤120，x∈N.∴