2023年数学选修知识点及习题

选修１-2知识点记录案例1.线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；②制作散点图,判断线性相关关系③线性回归方程：（最小二乘法）注意：线性回归直线通过定点。2.相关系数（鉴定两个变量线性相关性)：注：⑴>０时,变量正相关；＜0时，变量负相关；⑵①越接近于１，两个变量的线性相关性越强；②接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。3．回归分析中回归效果的鉴定:⑴总偏差平方和：；⑵残差：；⑶残差平方和：;⑷回归平方和:－；⑸相关指数。注：①得知越大,说明残差平方和越小,则模型拟合效果越好；②越接近于１，,则回归效果越好。4.独立性检查(分类变量关系):随机变量越大,说明两个分类变量,关系越强，反之，越弱。ﻬ推理与证明一．推理：⑴合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有事实,通过观测、分析、比较、联想，在进行归纳、类比,然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。①归纳推理:由某类食物的部分对象具有某些特性，推出该类事物的所有对象都具有这些特性的推理,或者有个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳。注:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。②类比推理:由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特性，推出另一类对象也具有这些特性的推理,称为类比推理，简称类比。注:类比推理是特殊到特殊的推理。⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎推理。注：演绎推理是由一般到特殊的推理。“三段论”是演绎推理的一般模式,涉及：⑴大前提-－-－---－－已知的一般结论；⑵小前提－---－--－－所研究的特殊情况;⑶结论－－－--－---根据一般原理，对特殊情况得出的判断。二．证明⒈直接证明⑴综合法一般地，运用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,通过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。⑵分析法一般地，从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充足条件,直至最后，把要证明的结论归结为鉴定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等),这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。2．间接证明-－----反证法一般地，假设原命题不成立,通过对的的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立,这种证明方法叫反证法。第三章数系的扩充与复数的引入1.概念:(1）ｚ＝a+bi∈Rb=0(ａ,b∈R)z=ｚ2≥０;（2)z=a+bi是虚数b≠0(a,b∈Ｒ);(3)z=a+bi是纯虚数ａ=0且b≠０(a,b∈Ｒ)z＋＝0（z≠0）z2＜0;(4)a+bi=c+dia=c且c=ｄ（a,b,ｃ,d∈Ｒ）；2.复数的代数形式及其运算:设z１=ａ+bi，ｚ２=c+ｄi(a,ｂ,c，d∈R)，则:(１)z1±z２=（a+b)±(c+d）ｉ;(２）z１.z2=(a＋ｂｉ)·（ｃ+dｉ)＝（ac-bd)+(ａd+bｃ)i；（3）z１÷z２＝（z2≠0)；３.几个重要的结论:(1)；⑷(２)性质：T=4；；（３)。4.运算律：(1）5．共轭的性质：⑴;⑵;⑶；⑷。６．模的性质：⑴;⑵;⑶;⑷;

试卷1一、选择题(本大题共10小题,每题５分,共50分,每小题给出的4个选项中,只有一选项是符合题目规定的)参考公式0．50０.４００.2５0．1５０.１00．050.０250.０100.０050.00１０.4５５0.70８１.3232.０7２2．7063.8415．0246.6３57.８79１0.８281.在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是对的的ﻩ (） A．预报变量在轴上，解释变量在轴上ﻩB.解释变量在轴上,预报变量在轴上ﻩC．可以选择两个变量中任意一个变量在轴上 D．可以选择两个变量中任意一个变量在轴上2．数列…中的等于 ﻩ()ﻩA．28ﻩB.32 C.33ﻩD．３．复数的共轭复数是ﻩ (）ﻩA．i+2 Ｂ．i-2ﻩC.－ｉ-2ﻩＤ.２-i4.下面框图属于 ﻩﻩ （）A．流程图 ﻩB．结构图ﻩﻩC.程序框图 D．工序流程图５.设大于0,则3个数：，，的值ﻩ （) A.都大于２ﻩ B.至少有一个不大于2ﻩC.都小于2 ﻩD.至少有一个不小于２6．当时，复数在复平面内相应的点位于ﻩ(）ﻩＡ．第一象限 B.第二象限ﻩＣ．第三象限ﻩD．第四象限7．考察棉花种子通过解决跟生病之间的关系得到如下表数据:种子解决种子未解决合计得病32101１３3不得病6１2１3274合计933１４407 根据以上数据,则ﻩ （) Ａ.种子通过解决跟是否生病有关B．种子通过解决跟是否生病无关 Ｃ.种子是否通过解决决定是否生病D．以上都是错的8.变量与具有线性相关关系，当取值16,14,１2,８时,通过观测得到的值分别为1１,9,8，5,若在实际问题中，的预报最大取值是10，则的最大取值不能超过ﻩ() A．16B.１７C．1５D.1２9．根据右边程序框图，当输入１0时,输出的是（) A．12 ﻩＢ.19ﻩ C.14.1 Ｄ.-301０.把正整数按下图所示的规律排序，则从２０23到2023的箭头方向依次为ﻩ（)开始②结束是否开始②结束是否输出an:=1①i:=i+1第(15)题图二、填空题（本大题共５个小题，每小题4分，共２0分,把答案填在答题卡的横线上）1１．在复平面内,平行四边形ABCD的三个顶点A、B、Ｃ相应的复数分别ﻩ是1+3i,－i,2+i,则点D相应的复数为__＿______.１2．在研究身高和体重的关系时,求得相关指数＿____＿____＿,可以叙 述为“身高解释了64％的体重变化,而随机误差奉献了剩余的36%”所ﻩ以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。13.对于一组数据的两个函数模型,其残差平方和分别为１５3．4和20０，若ﻩ从中选取一个拟合限度较好的函数模型，应选残差平方和为_____＿_的 那个.1４．从中得出的一般性结论是＿___＿__＿____＿ＨＹPEＲLINＫ""。1５.设计算法，输出100０以内能被3和5整除的所有正整数,已知算法流程图如右图,请填写空余部分：①____＿____；②＿_________。三、解答题:(本大题共６小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算环节。)1６.(本小题满分1２分)某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有18人,认为作业不多的有9人，不喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有8人，认为作业不多的有１5人，则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约是多少？1７.(本小题满分14分）已知a，b,c是全不相等的正实数,求证。18．（本小题满分１2分)已知19．(本小题满分1４分）某工厂加工某种零件有三道工序:粗加工、返修加工和精加工。每道工序完毕时，都要对产品进行检查。粗加工的合格品进入精加工，不合格品进入返修加工;返修加工的合格品进入精加工,不合格品作为废品解决;精加工的合格品为成品,不合格品为废品。用流程图表达这个零件的加工过程。２0．（本小题满分14分)设函数中，均为整数,且均为奇数。求证：无整数根。21．（本小题满分１4分）设(1)求｜z1|的值以及z1的实部的取值范围;（2）若,求证：为纯虚数。ﻬ试卷１答案一、选择题：1、B2、Ｂ３、B4、A5、D６、D7、B8、C９、C１0、B二、填空题:11．３+５ｉ12．0．64１3.153．414.注意左边共有项1５．①a:=15n;②ｎ＞66三、解答题：16．解：认为作业多认为作业不多总数喜欢玩电脑游戏1８９2７不喜欢玩电脑游戏81523总数２62450Ｋ２=，Ｐ（K２>5.024)=0.0２5,有97.5％的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系.17.证法1:(分析法)要证只需证明即证而事实上，由a,b,c是全不相等的正实数∴∴∴得证.证法2:（综合法)∵a，b,c全不相等∴与,与,与全不相等.∴三式相加得∴即.18．解:零件到达零件到达粗加工检查精加工最后检查返修加工返修检查不合格合格废品成品合格合格不合格不合格(19)图19．解：流程图如右:２0．证明:假设有整数根,则而均为奇数，即为奇数,为偶数,则同时为奇数或同时为偶数，为奇数,当为奇数时，为偶数;当为偶数时,也为偶数，即为奇数，与矛盾.无整数根.21．解：(１）设，则由于z２是实数,b≠0，于是有a2+ｂ2=1,即|ｚ1|=1，还可得z２=２a,由-1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得，即ｚ1的实部的取值范围是.（2)由于a,b≠０,所认为纯虚数。ﻬ试卷２一、选择题：本大题共14小题，每小题５分,共70分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合规定的.1．若复数,则在复平面内相应的点位于A．第一象限ﻩ ﻩ ﻩﻩB．第二象限C.第三象限 ﻩ ﻩ ﻩﻩ Ｄ.第四象限2.按流程图的程序计算，若开始输入的值为,则输出的的值是输入输入x计算的值输出结果x是否A. ﻩ ﻩB．ﻩ ﻩﻩC.ﻩ ﻩD.3．用演绎法证明函数是增函数时的小前提是A.增函数的定义 ﻩ ﻩﻩﻩ B．函数满足增函数的定义C.若，则 ﻩﻩﻩD．若，则4．用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:……①②③按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为A. B．ﻩﻩﻩC. D．5.数列１,2,２,3,3,３，4，4,4，4,…中第100项的值是A.1０

B.13

C．1４

D．１0０6．有下列关系：①人的年龄与他(她）拥有的财富之间的关系;②曲线上的点与该点的坐标之间的关系;③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，其中有相关关系的是A.①②③ ﻩﻩB．①② ﻩﻩ Ｃ．②③ ﻩD.①③④开始①是否S开始①是否S＝0A＝1S＝S+AA＝A+2输出x结束其中①应为A．ﻩ Ｂ.ﻩC．ﻩﻩ D.8.在线性回归模型中，下列说法对的的是A．是一次函数B．因变量y是由自变量x唯一拟定的Ｃ．因变量y除了受自变量x的影响外,也许还受到其它因素的影响,这些因素会导致随机误差e的产生D．随机误差e是由于计算不准确导致的,可以通过精确计算避免随机误差ｅ的产生9．对相关系数r，下列说法对的的是Ａ．越大,线性相关限度越大B.越小,线性相关限度越大C．越大,线性相关限度越小，越接近0，线性相关限度越大D．且越接近1,线性相关限度越大,越接近0,线性相关限度越小10.用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个环节：①，这与三角形内角和为相矛盾,不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角、、中有两个直角,不妨设,对的顺序的序号为A．①②③ B．③①② ﻩC．①③②ﻩﻩﻩD．②③①。１１．在独立性检查中，记录量有两个临界值：３．841和６.６３５;当＞３.８4１时,有95%的把握说明两个事件有关,当>６．６３5时，有99%的把握说明两个事件有关,当3．8４1时,认为两个事件无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中,共调查了2０23人，经计算的=2０.87,根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间A．有9５％的把握认为两者有关 ﻩﻩB.约有95%的打鼾者患心脏病C．有９９%的把握认为两者有关 ﻩﻩD.约有99%的打鼾者患心脏病1２．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一个平面的两条直线互相平行③垂直于同一条直线的两个平面互相平行④垂直于同一个平面的两个平面互相平行则对的的结论是A.①② ﻩﻩﻩＢ．②③ﻩ ﻩﻩC.③④ﻩ ﻩﻩD.①④13.若定义运算:，例如,则下列等式不能成立的是A. ﻩ ﻩﻩ B.C． ﻩ ﻩD.（)14．已知数列的前项和为，且，,可归纳猜想出的表达式为A. Ｂ． ﻩ C. ﻩ D.二、填空题:本大题共5小题,每小题6分,共30分.把答案填在题中横线上.动物爬行动物飞行动物狗狼鹰动物爬行动物飞行动物狗狼鹰蛇1６.在如图所示程序图中,输出结果是.

17．在等比数列中，若,则有,且成立,类比上述性质,在等差数列中,若，则有.18.在平面直角坐标系中,以点为圆心,为半径的圆的方程为，类比圆的方程,请写出在空间直角坐标系中以点为球心,半径为的球的方程为.１9.观测下列式子：,,,，，归纳得出一般规律为．三、解答题:本大题共4小题,共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算环节.２０.（本小题满分12分)某市居民199９~20２3年货币收入与购买商品支出的记录资料如下表所示：单位:亿元年份199９20２32023２0２32023货币收入4042444750购买商品支出33３4363941x/亿元Y/亿元3840x/亿元Y/亿元384042444648333537394125031432522（Ⅱ）已知,请写出Y对ｘ的回归直线方程,并估计货币收入为5２（亿元)时,购买商品支出大体为多少亿元？21．（本小题满分14分）设数列的前项和为，且满足.（Ⅰ)求，,，的值并写出其通项公式；(Ⅱ）用三段论证明数列是等比数列.2２.（本小题满分1２分)用反证法证明：假如，那么.23．(本小题满分12分),已知ａ＞b>０，求证:-＜－.

试卷2答案一、选择题(每小题4分，共5６分）1．Ｄ2．D3．B4.D５．C6.Ｄ7.B8．C9．Ｄ1０.Ｂ１1．C12.Ｂ1３．C14.A二、填空题（每小题4分，共16分)15.如图所示.动物动物爬行动物飞行动物狗狼鹰蛇哺乳动物地龟长尾雀１6.17.……，且18.１9.三、解答题(解答题共28分)19.（本小题满分8分)x/亿元Y/亿元384042444648333537x/亿元Y/亿元384042444648333537394125031432522（Ⅱ)（Ａ版)Ｙ对的回归直线方程为……6分年和年的随机误差效应分别为0．263和-0.１57．……8分(Ⅱ）(B版）Y对x的回归直线方程为……………6分货币收入为５2（亿元）时,即x=52时,,所以购买商品支出大体为43亿元……………８分20．(本小题满分1０分）解:(Ⅰ)由，得;；;，猜想．……………５分(Ⅱ）由于通项公式为的数列，若，是非零常数,则是等比数列;由于通项公式,又;所以通项公式的数列是等比数列．……………10分２1.(本小题满分1０分)证明:假设,则容易看出，下面证明.要证明：成立，只需证：成立，只需证：成立，上式显然成立，故有成立.……………8分综上，，与已知条件矛盾.因此,.……………1０分ﻬ试卷３一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共５0分．1.下列命题对的的是（)A．虚数分正虚数和负虚数B．实数集与复数集的交集为实数集2.“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于（）Ａ.演绎推理B．类比推理Ｃ．合情推理D．归纳推理3．下面对相关系数描述对的的是()A.表白两个变量负相关B.１表白两个变量正相关Ｃ.只能大于零Ｄ．越接近于0,两个变量相关关系越弱4．已知两个复数的和是实数，则这两个复数（)A.都是实数Ｂ．互为共轭复数C.都是实数或互为共轭复数D．以上都不对5.用反证法证明命题:“，，，且，则中至少有一个负数”时的假设为（)Ａ．中至少有一个正数B．全为正数C．全都大于等于0D.中至多有一个负数二、填空题:本大题共4小题，每小题5分,共20分．1３.关于的方程的实数解为__＿___＿＿__＿_＿_.14.用支付宝在淘宝网购物有以下几步：①买家选好商品，点击购买按钮,并付款到支付宝;②淘宝网站收到买家的收货确认信息，将支付宝里的货款付给卖家；③买家收到货品，检查无问题,在网上确认收货;④买家登录淘宝网挑选商品;⑤卖家收到购买信息,通过物流公司发货给买家.他们对的的顺序依次为__＿_＿__＿___＿__＿＿_＿.1５.将正整数1，2,３,……按照如图的规律排列，则１00应在第_＿___＿＿__列．1123654789101514131211……16．下列命题对的的有______＿_____＿_＿__＿．①若,则;②若,则;③若(),则且;④若且,则（）．三、解答题：本大题共４小题,共４0分．1１６.复数()，(1）若，求；(2)若在复平面内复数相应的点在第一象限,求的范围.17．尘肺病是一种严重的职业病，新密市职工张海超“开胸验肺”的举动引起了社会的极大关注.据悉尘肺病的产生,与工人长期生活在粉尘环境有直接的关系.下面是一项调查数据：有过粉尘环境工作经历无粉尘环境工作经历合计有尘肺病222２４无尘肺病8９8１49８2396合计9201500２420请由此分析我们有多大的把握认为是否患有尘肺病与是否有过粉尘环境工作经历有关系．1８．证明不等式:（其中皆为正数）．选做题（时间：3０分钟满分：40分）一、选择题:本大题共2小题，每小题5分,共10分．１．（测试题3变式）若复数，则的实部和虚部分别为（)A．Ｂ.C．D.以上都不对2.对于命题“平行六面体的体积等于底面积乘以侧棱长,长方体为平行六面体，所以长方体的体积为底面积乘以侧棱长”,下列叙述对的的是(）A．该命题为真命题Ｂ.该命题为假命题，由于大前提是错误的C.该命题是假命题，由于小前提是错误的D.该命题是假命题，由于结论是错误的二、填空题：本大题共2小题,每小题5分，共10分．3.已知集合,，则_____＿___＿__＿_＿＿_＿．开始i=1开始i=1,a=2,S=0②in输出SS=S+a①i=i+1结束是三、解答题:本大题共2小题，共30分.5．设函数中,均为整数,且均为奇数.求证：无整数根．６.以下为求数列前若干项和的框图：(1）①处应填的执行语句是什么；（2）若输出的为的值,则②处的值为多少．ﻬ测试题参考答案与提醒一、选择题１．B提醒：实数集包含于复数集,所以其交集为实数集．2.C提醒:Ａ、Ｄ皆为函数关系,B中两个量即不是函数关系,也不是相关关系３．D提醒：若,则其实部为,虚部为.４．Ａ提醒:由一般到特殊，是演绎推理．5.Ｄ