2023年数列的极限知识点方法技巧例题附答案和作业题

数列的极限一、知识要点１数列极限的定义：一般地,假如当项数无限增大时,无穷数列的项无限趋近于某个常数(即|aｎ-ａ|无限地接近于0),那么就说数列认为极限记作．（注：ａ不一定是｛an}中的项）２几个重要极限：（１)（2）（C是常数)(3)(4)３.数列极限的运算法则:假如那么4.无穷等比数列的各项和⑴公比的绝对值小于1的无穷等比数列前ｎ项的和，当ｎ无限增大时的极限,叫做这个无穷等比数列各项的和，记做⑵二、方法与技巧⑴只有无穷数列才也许有极限,有限数列无极限．⑵运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.（参与运算的数列都有极限,运算法则适应有限个数列情形)⑶求数列极限最后往往转化为或型的极限.⑷求极限的常用方法:①分子、分母同时除以或.②求和(或积）的极限一般先求和(或积)再求极限.③运用已知数列极限（如等）.④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限．⑤∞-∞,,0-0，等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限题型讲解例1求下列式子的极限：①;②；③；④;（２）（-n)；(3）(＋+…+)例2的（）Ａ充足必要条件B充足不必要条件C必要不充足条件Ｄ既不充足又不必要条件例3数列{aｎ}和｛bn}都是公差不为0的等差数列,且=3,求的值为求（a>0）;已知,求实数ａ,b的值;已知等比数列{ａｎ}的首项为a1，公比为q,且有（－qn)=,求a１的取值范围例7已知数列{aｎ}是由正数构成的数列，ａ１＝3，且满足lｇan=lgａn－1+lgc，其中n是大于1的整数,c是正数.(1）求数列｛aｎ}的通项公式及前n和Sn；(2)求的值.数列极限课后检测1下列极限对的的个数是（）①=0（α>0）②ｑn=０③＝－1④C=C（C为常数)A2ﻩ ﻩB３C４D都不对的3下列四个命题中对的的是(）A若aｎ２＝A2，则ａn=AB若ａn>0,an＝A,则A>０C若aｎ＝Ａ，则an2=A2Ｄ若（aｎ-b)=0，则an=bn５若数列{aｎ}的通项公式是aｎ=,ｎ=1,2,…,则（a1+a2+…+ａｎ）等于（）ＡBCD6数列{an｝中,的极限存在,a1=,an+an＋1=，n∈N＊,则(a1+ａ2+…+ａn）等于()ＡＢCD7．=_＿_＿＿___＿_=_____＿______［n（1－)（1-）(1－)…（１-）］=8已知a、b、c是实常数,且=2,=3,则的值是（)９{an}中a1=3，且对任意大于1的正整数n,点（,）在直线x-y－＝０上，则=______＿＿__＿__１０等比数列{ａn}公比q=-,且（a1＋a3+ａ5+…＋ａ２ｎ－1）=,则a1=_＿_____＿____＿11已知数列{ａn｝满足（ｎ-1)an+1=(ｎ＋1）（an-１）且a２=６,设bｎ=an＋n（ｎ∈N*）（1)求｛bn}的通项公式;（2）求（+＋+…+)的值12已知｛an}、{bｎ}都是无穷等差数列,其中a1=3,ｂ1=2，ｂ2是a2与ａ3的等差中项,且=,求极限(++…+）的值例题解析答案例１分析:①的分子有界,分可以无限增大,因此极限为0；②的分子次数等于分母次数，极限为两首项（最高项）系数之比;③的分子次数小于于分母次数,极限为0解：①；②;③点评：分子次数高于分母次数,极限不存在;分析：(4）由于分子分母都无极限,故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n２后再求极限；（５）因与n都没有极限，可先分子有理化再求极限;（6)由于极限的运算法则只合用于有限个数列,需先求和再求极限解:（1）==(2）（－n)===（3）原式===（1+）＝１点评:对于（１)要避免下面两种错误：①原式===1，②∵（2n2+ｎ＋7）,(５n2+７)不存在，∴原式无极限对于(2）要避免出现下面两种错误:①(－n）=-n=∞－∞＝0;②原式=－n=∞-∞不存在对于（3）要避免出现原式=＋+…+=0＋０+…+0=０这样的错误例２Ｂ例３数列{aｎ}和｛bn}都是公差不为０的等差数列,且＝３,求的值为解：由＝3ｄ１=3d2,∴=＝点评:化归思想例４求（a>０）；解:=点评:注意分类讨论例５已知，求实数a,b的值；解:＝１，∴a=1,b=─1例6已知等比数列{an}的首项为a１,公比为q，且有（－qn）=,求ａ1的取值范围解:（-qn)=,∴qn一定存在∴0<|q|＜1或ｑ=1当q=1时,-1=,∴a1=3当0＜|q|<1时，由（－ｑn）＝得=,∴２a1-1=ｑ∴０<｜2a1-１｜<１∴0＜a１<１且a1≠综上,得0＜a1＜1且a１≠或a１＝3例7已知数列｛an}是由正数构成的数列,a1＝3，且满足ｌgan=lgan-1+lgc，其中ｎ是大于1的整数,c是正数．（１)求数列{an}的通项公式及前ｎ和Sn；(2）求的值．解:（1)由已知得an=c·ａn－１,∴｛an｝是以a１=３,公比为c的等比数列,则ａｎ＝3·ｃn－1∴Sn=（２)＝①当c=2时,原式＝－；②当ｃ>2时，原式＝=-;③当0＜ｃ<２时,原式=＝点评:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用试卷解析1答案:Ｂ3解析:排除法,取ａn＝(－１）ｎ,排除Ａ；取an＝,排除B；取an=ｂn=n,排除D．答案:C５解析:ａn=即aｎ=∴a１+a2+…+an=（2－1+2－3＋2-５+…）+(３－2+３－4+3-6+…）∴(a１+a2＋…+aｎ）=＋＝答案:C6解析:2（a１+a２+…+an）=ａ1+[(ａ1+ａ2)+(a2＋a3)+（a3+a4）+…+(ａn-１+an）]+an=+［++…+]+an∴原式=[++an］＝(++an)∵aｎ+an+１=,∴an+ａn+1=0∴aｎ=０答案:C7解析：原式＝=＝0=＝解析：[ｎ（1－)（1-）（1－)…（１－）]＝［n××××…×]＝=2答案:C8解析:答案:D由＝2,得a=2ｂ由=3,得b=3c,∴c=b∴=6∴===6９析:由题意得－=(n≥2）∴｛}是公差为的等差数列,＝∴=＋(ｎ-１）·=n∴ａn=3n２∴=＝＝３10析:∵q=-,∴(ａ1+ａ３+a５+…+a2n-1)==∴a1=２１1解:（１）ｎ=1时,由（ｎ-１)an＋1=(n+１）（an-1),得ａ1=1n=2时,a2=6代入得a3=15同理a4=2８,再代入bn=ａn+n,有b1=2,b2=８，b3＝18,b４=32,由此猜想bn=２n２要证bｎ＝２n2,只需证an=2n2-n①当ｎ＝１时,ａ1=2×1２-1=1成立②假设当n＝ｋ时,ak＝2k２-k成立那么当n=k+1时，由（k-1)ak+１＝（ｋ+1)（ak-1),得aｋ+1＝(ａk－1)=（2k2-ｋ-1）＝（2ｋ＋1）(k-1）＝(k+1）(2ｋ+1)=2（k+1）２－（k+１)∴当n＝k+1时,an＝２ｎ２-n对的,从而bｎ=２n2（2)(++…+）＝（+＋…＋）=［++…+]=