高中数学人教A版3第二章随机变量及其分布二项分布及其应用 全国公开课

2．独立重复试验与二项分布[学习目标]1．理解n次独立重复试验的模型．2．理解二项分布．3．能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．[知识链接]1．在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互有影响吗？答在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互之间无影响．因为每次试验是在相同条件下独立进行的，所以第i次试验的结果不受前i－1次结果的影响(其中i＝1，2，…，n)．2．你能说明两点分布与二项分布之间的关系吗？答两点分布是特殊的二项分布，即X～B(n，p)中，当n＝1时，二项分布便是两点分布，也就是说二项分布是两点分布的一般形式．[预习导引]1．n次独立重复实验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．2．二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.要点一独立重复试验的判断例1判断下列试验是不是独立重复试验：(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上．(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中．(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．解(1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是独立重复试验．(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是独立重复试验．(3)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是独立重复试验．规律方法判断的依据要看该实验是不是在相同的条件下可以重复进行，且每次试验相互独立，互不影响．跟踪演练1小明同小华一起玩掷骰子游戏，游戏规则如下：小明先掷，小华后掷，如此间隔投掷．问：(1)小明共投掷n次，是否可看作n次独立重复试验？小华共投掷m次，是否可看作m次独立重复试验？(2)在游戏的全过程中共投掷了m＋n次，则这m＋n次是否可看作m＋n次独立重复试验．解(1)由独立重复试验的条件，小明、小华各自投掷骰子时可看作在相同条件下，且每次间互不影响，故小明、小华分别投掷的n次和m次可看作n次独立重复试验和m次独立重复试验．(2)就全过程考查，不是在相同条件下进行的试验，故不能看作m＋n次独立重复试验．要点二相互独立重复事件的概率例2某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为eq\f(3,5)，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求：(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率；(2)其中恰有3次击中目标的概率；(3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率．解(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也就是在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影响，故所求概率为P＝eq\f(3,5)×(1－eq\f(3,5))×eq\f(3,5)×(1－eq\f(3,5))×eq\f(3,5)＝eq\f(108,3125)；(2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标．根据排列组合知识，5次当中选3次，共有Ceq\o\al(3,5)种情况，因为各次射击的结果互不影响，所以符合n次独立重复试验概率模型．故所求概率为P＝Ceq\o\al(3,5)×(eq\f(3,5))3×(1－eq\f(3,5))2＝eq\f(216,625)；(3)该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，把3次连续击中目标看成一个整体可得共有Ceq\o\al(1,3)种情况．故所求概率为P＝Ceq\o\al(1,3)·(eq\f(3,5))3·(1－eq\f(3,5))2＝eq\f(324,3125).规律方法解答独立重复试验中的概率问题要注意以下几点：(1)先要判断问题中所涉及的试验是否为n次独立重复试验；(2)要注意分析所研究的事件的含义，并根据题意划分为若干个互斥事件的并．(3)要善于分析规律，恰当应用排列、组合数简化运算．跟踪演练2甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为eq\f(2,3)，没有平局．(1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率是多少？(2)若进行五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？解(1)甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜，则P＝(eq\f(2,3))2＋Ceq\o\al(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(20,27).(2)甲前三局胜，或甲第四局胜，而前三局仅胜两局，或甲第五局胜，而前四局仅胜两局，则P＝(eq\f(2,3))3＋Ceq\o\al(2,3)×(eq\f(2,3))2×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)(eq\f(2,3))2×(eq\f(1,3))2×eq\f(2,3)＝eq\f(64,81).要点三二项分布问题例3某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为eq\f(3,4)，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列．解由题意可知：X～B(3，eq\f(3,4))，所以P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)(eq\f(3,4))k(eq\f(1,4))3－k(k＝0，1，2，3)．P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)(eq\f(3,4))0(eq\f(1,4))3＝eq\f(1,64)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)·eq\f(3,4)·(eq\f(1,4))2＝eq\f(9,64)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)(eq\f(3,4))2·eq\f(1,4)＝eq\f(27,64)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)(eq\f(3,4))3＝eq\f(27,64).所以分布列为X0123Peq\f(1,64)eq\f(9,64)eq\f(27,64)eq\f(27,64)规律方法利用二项分布来解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否为n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．跟踪演练3从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件为相互独立的，并且概率都是eq\f(2,5)，设ξ为途中遇到红灯的次数，求随机变量ξ的分布列．解由题意ξ～B(3，eq\f(2,5))，则P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,3)(eq\f(2,5))0(eq\f(3,5))3＝eq\f(27,125)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)(eq\f(2,5))(eq\f(3,5))2＝eq\f(54,125)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)(eq\f(2,5))2(eq\f(3,5))＝eq\f(36,125)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,3)(eq\f(2,5))3＝eq\f(8,125).所以随机变量ξ的分布列为ξ0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)1．每次试验的成功率为p(0<p<1)，重复进行10次试验，其中前7次都未成功，后3次都成功的概率为()A．Ceq\o\al(3,10)p3(1－p)7B．Ceq\o\al(3,10)p3(1－p)3C．p3(1－p)7D．p7(1－p)3答案C2．若X～B(5，，则P(X≤2)等于()A．B．56C．54D．44答案D解析P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝Ceq\o\al(0,5)×＋Ceq\o\al(1,5)×＋Ceq\o\al(2,5)×＝44.3．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．答案eq\f(11,32)解析正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次、5次或6次，所求概率P＝Ceq\o\al(4,6)(eq\f(1,2))6＋Ceq\o\al(5,6)(eq\f(1,2))6＋Ceq\o\al(6,6)(eq\f(1,2))6＝eq\f(11,32).4．重复抛掷一枚骰子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)．解依题意，随机变量ξ～B(5，eq\f(1,6))．∴P(ξ＝4)＝Ceq\o\al(4,5)(eq\f(1,6))4·eq\f(5,6)＝eq\f(25,7776)，P(ξ＝5)＝Ceq\o\al(5,5)(eq\f(1,6))5＝eq\f(1,7776).∴P(ξ>3)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝eq\f(13,3888).1．独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验中的事件是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．2．如果一次试验中某事件发生的概率是p，那么n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k.此概率公式恰为[(1－p)＋p]n展开式的第k＋1项，故称该公式为二项分布公式.一、基础达标1．种植某种树苗，成活率为.若种植这种树苗5棵，则恰好成活4棵的概率约为()A．B．C．D．答案A解析根据n次独立重复实验中，事件A恰好发生k次的概率公式得到种植这种树苗5棵，则恰好成活4棵的概率为Ceq\o\al(4,5)(1－≈，故选A.2．已知随机变量ξ～B(6，eq\f(1,3))，则P(ξ＝2)等于()\f(3,16)\f(4,243)\f(13,243)\f(80,243)答案D解析P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,6)(eq\f(1,3))2(1－eq\f(1,3))4＝eq\f(80,243).3．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是eq\f(1,2)，质点P移动五次后位于点(2，3)的概率是()A．(eq\f(1,2))5B．Ceq\o\al(2,5)×(eq\f(1,2))5C．Ceq\o\al(3,5)×(eq\f(1,2))3D．Ceq\o\al(2,5)×Ceq\o\al(3,5)×(eq\f(1,2))5答案B解析如图，由题可知，质点P必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2，3)，问题相当于5次重复试验向右恰好发生2次的概率．所求概率为P＝Ceq\o\al(2,5)×(eq\f(1,2))2×(eq\f(1,2))3＝Ceq\o\al(2,5)×(eq\f(1,2))5.故选B.4．某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分．已知他解题的正确率为eq\f(3,5)，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是()A．Ceq\o\al(4,5)(eq\f(3,5))4×eq\f(2,5)B．Ceq\o\al(5,5)(eq\f(3,5))5C．Ceq\o\al(4,5)(eq\f(3,5))4×eq\f(2,5)＋Ceq\o\al(5,5)(eq\f(3,5))5D．1－Ceq\o\al(3,5)(eq\f(3,5))3×(eq\f(2,5))2答案C解析该生被选中包括“该生做对4道题”和“该生做对5道题”两种情形．故所求概率为P＝Ceq\o\al(4,5)×(eq\f(3,5))4×eq\f(2,5)＋Ceq\o\al(5,5)×(eq\f(3,5))5.故应选C.5．从次品率为的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为________．答案6解析P＝Ceq\o\al(2,4)2(1－2＝6.6．在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为eq\f(65,81)，则事件A在1次试验中发生的概率为________．答案eq\f(1,3)解析设事件A在1次试验中发生的概率为p.由题意知，1－(1－p)4＝eq\f(65,81)，∴(1－p)4＝eq\f(16,81)，故p＝eq\f(1,3).7．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为eq\f(5,6)和eq\f(4,5)，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的4棵大树中，(1)至少有1棵成活的概率；(2)两种大树各成活1棵的概率．解设Ak表示第k棵甲种大树成活，k＝1，2，Bl表示第l棵乙种大树成活，l＝1，2，则A1，A2，B1，B2相互独立，且P(A1)＝P(A2)＝eq\f(5,6)，P(B1)＝P(B2)＝eq\f(4,5).(1)至少有1棵成活的概率为1－P(Aeq\o(1,\s\up6(－))·Aeq\o(2,\s\up6(－))·Beq\o(1,\s\up6(－))·Beq\o(2,\s\up6(－)))＝1－P(Aeq\o(1,\s\up6(－)))·P(Aeq\o(2,\s\up6(－)))·P(Beq\o(1,\s\up6(－)))·P(Beq\o(2,\s\up6(－)))＝1－(eq\f(1,6))2(eq\f(1,5))2＝eq\f(899,900).(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知，所求概率为P＝Ceq\o\al(1,2)(eq\f(5,6))(eq\f(1,6))·Ceq\o\al(1,2)(eq\f(4,5))(eq\f(1,5))＝eq\f(10,36)×eq\f(8,25)＝eq\f(80,900)＝eq\f(4,45).二、能力提升8．某人参加一次考试，4道题中答对3道则为及格，已知他的解题正确率为，则他能及格的概率约为()A．B．C．D．答案A解析P＝Ceq\o\al(3,4)××(1－＋Ceq\o\al(4,4)×＝2≈.9．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{an}，an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1，第n次摸取红球，,1，第n次摸取白球，))如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为()A．Ceq\o\al(5,7)×(eq\f(1,3))2×(eq\f(2,3))5B．Ceq\o\al(2,7)×(eq\f(2,3))2×(eq\f(1,3))5C．Ceq\o\al(5,7)×(eq\f(1,3))2×(eq\f(1,3))5D．Ceq\o\al(2,7)×(eq\f(1,3))2×(eq\f(2,3))2答案B解析由S7＝3知，在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的概率为eq\f(2,3)，摸取白球的概率为eq\f(1,3)，则S7＝3的概率为Ceq\o\al(2,7)×(eq\f(2,3))2×(eq\f(1,3))5，故选B.10．某射手射击1次，击中目标的概率为，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第三次击中目标的概率为；②他恰好击中目标3次的概率为×；③他至少击中目标1次的概率为1－.其中正确结论的序号为________．答案①③解析在n次试验中，每次事件发生的概率都相等，故①正确；②中恰好击中3次需要看哪3次击中，所以正确的概率应为Ceq\o\al(3,4)×；利用对立事件，③正确．11．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列．解(1)任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝.所以，该下岗人员没有参加过培训的概率是P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝(1－(1－＝.∴该人参加过培训的概率为1－＝.(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布B(3，，P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,3)×－k，k＝0，1，2，3.∴ξ的分布列是ξ0123P12.在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为eq\f(1,2).(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的学生数为ξ个，求ξ的分布列．解(1)设事件A表示“甲选做第14题”，事件B表示“乙选做第14题”，则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“AB＋eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))”，且事件A，B相互独立．∴P(AB＋eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)P(B)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋(1－eq