自动控制原理第2章

数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。静态数学模型在静态条件下，描述变量之间关系的代数方程叫静态数学模型动态数学模型描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数学模型数学模型：第2章控制系统的数学模型2.1建立动态微分方程的一般方法用解析法建立系统或子系统（也称元件）微分方程的一般步骤是：1、清楚系统的工作原理，确定系统和子系统之间的输入、输出变量；2、从系统的输入端开始，根据各子系统所遵守的物理规律列写出它们的微分方程，一般为微分方程组；3、消去中间变量，写出仅含有系统输入输出变量的微分方程。一般情况下，与输入量有关的项写在微分方程的右端，与输出量有关的项写在微分方程的左端，微分方程两端变量的导数项均按降幂排列。ucuriRC【例2-1】试编写出图2-1所示RC无源网络的微分方程。电压为输入量，电压为输出量。解：根据电路理论，可写出如图所示，i为流经电阻R和电容C的电流。消去中间变量i，得到令T=RC，则式中T称为网络的时间常数。上式表示了RC电路的输入量与输出量之间的关系。线性微分方程的求解（3）对输出量的拉式变换式进行拉式反变换，得到系统微分方程的解。

线性微分方程的求解方法：解析法、拉普拉斯变换法、计算机辅助求解拉普拉斯变换法求解微分方程基本步骤：（1）考虑初始条件，对微分方程中的各项进行拉式变换，变成变量s的代数方程。（2）由变量s的代数方程求出系统输出量的拉式变换式。2.2传递函数2.2.1传递函数的基本概念1.传递函数定义2-1线性定常系统的传递函数定义为在零初始条件下，系统的输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比。线性定常系统的微分方程一般可写为在零初始条件下，根据拉普拉斯变换的微分定理，对上式取拉普拉斯变换，得到系统的传递函数为例2-2求例2-1所示RC串联电路的传递函数。设输入量为，输出量。解：由例2-1得该电路的微分方程为对上式进行拉氏变换得传递函数为

2．传递函数的基本性质▲传递函数表征系统内在的动态特性，与系统输入什么样的类型信号无关。▲传递函数只能反映系统在零初始条件下输入、输出变量之间的动态关系，不能反映系统内部中间变量的传递关系。▲传递函数是从实际物理系统出发，用数学方法抽象出来的，相同的微分方程，可以有相同的传递函数。但是，无法代表具体系统的物理结构。▲传递函数描述的是系统的动态特性，它与描述系统的微分方程是一一对应的。传递函数的分母多项式就是系统的特征多项式，它决定系统的暂态响应的基本特点和动态本质。分母多项式中的最高阶数表示系统的阶数，具有n阶特征多项式的系统称为n阶系统。令系统的特征多项式等于零所得到的方程称为系统的特征方程；系统的特征方程的解称为系统的特征根。传递函数还可写成式中和均为常数，为分子多项式的根，称为传递函数的零点；为分母多项式的根，称为传递函数的极点，也就是系统的特征根。零点和极点为实数或共轭复数。将零、极点标注在一个复平面上则得到关于零极点的分布图，这个复平面称为s平面。一般情况下，零点用圈号表示，极点用叉号表示。某系统的传递函数的零极点分布图如图所示。2.2.2典型环节的传递函数1）比例环节：其输出量和输入量的关系，由下面的代数方程式来表示式中——环节的放大系数，为一常数。传递函数为：特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。比例环节实例：电子放大器，齿轮，电阻(电位器)，感应式变送器等2）惯性环节：其输出量和输入量的关系，由下面的常系数非齐次微分方程式来表示传递函数为：式中T

——环节的时间常数。特点：含一个储能元件，对突变的输入,其输出不能立即发现，输出无振荡。

实例：RC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节3）积分环节：其输出量和输入量的关系，由下面的微分方程式来表示传递函数为：特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。4）微分环节：是积分的逆运算，其输出量和输入量的关系，由下式来表示传递函数为：式中——环节的时间常数。特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节5）振荡环节：其输出量和输入量的关系，由下面的二阶微分方程式来表示。传递函数为：特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。6）延迟环节：其输出量和输入量的关系，由下式来表示传递函数为：式中——延迟时间特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。以上6种是常见的基本典型环节的数学模型1）是按数学模型的共性建立的，与系统元件不是一一对应的；2）同一元件，取不同的输入输出量，有不同的传递函数，有不同的传递函数；3）环节是相对的，一定条件下可以转化；4）基本环节适合线性定常系统数学模型描述。典型环节及其传递函数1．比例环节2．惯性环节3．积分环节其传递函数为其传递函数为其传递函数为4．微分环节其传递函数为5．振荡环节6．延迟环节其传递函数为其传递函数为2.3系统动态结构图2.3.1结构图的构成任何线性控制系统，都可以用方框、相加点、信号线和分支点所组成的结构图来表示。方框：标有某一元件传递函数的方框图。方框的输出量等于方框的输入量与传递函数的乘积。信号线：带有箭头的直线，它有方向性，用箭头表示信号传递的方向，箭头处用字母符号代表信号。)RrG(s)(s)C(s信号线方框(t)c(t)相加点：也称综合点，用“”符号表示，箭头表示信号传递方向，表示两个以上信号的代数和。当反馈信号为正反馈时，用“+”号表示；当反馈信号为负反馈时，用“-”号表示。“+”号可以省略不写。分支点：用“”符号表示由方框出来的信号，从这一点同时进入另一方框或相加点，信号在数值和性质上没有任何变化。ERC±CCC+X1X1+X2X2+想加点示意图分支点示意图)X(s)X(s)R(s)C(s)(1sG)(2sG建立系统动态结构图的步骤如下：第一步：根据系统的结构和工作原理，将系统分解成若干个环节，确定各环节的输入量、输出量，写出各环节的传递函数。第二步：绘制出各环节的动态结构图。第三步：按照信号在系统中的传递方向，把各环节的动态结构图连接起来，就得到了系统的动态结构图。【例2-4】绘制滤波网络的动态结构图uri1R1C1uci2R2C2u1解：根据电路理论的KVL、KCL运算法则，可直接列写出下列各式1/R11/R21/C1s1/C2S1/R11/C1s1/C2S1/R21/R11/R21/C1s1/C2S2.3.2控制系统的传递函数1.前向通道传递函数：输出量与偏差量之比。2.反馈通道传递函数：反馈量与输出量之比。3.开环传递函数：反馈量与偏差量之比。4.闭环传递函数：输出量与输入量之比。5.误差（偏差）传递函数：偏差量与输入量之比。典型的闭环负反馈系统的结构图如图所示，其中代表输入量，代表输出量，代表偏差量，代表反馈量。解：按照上述开环传递函数、闭环传递函数以及误差传递函数的定义，可知开环传递函数闭环传递函数误差传递函数【例2-5】控制系统的结构图如图所示，其中前向通道传递函数，反馈通道传递函数。试求该系统的开环传递函数、闭环传递函数以及误差传递函数。为了由方块图写出它的闭环传递函数，通常需要对方块图进行等效变换。

等效变换的原则：变换前后各变量之间的传递函数保持不变。

在控制系统中，任何复杂系统主要由响应环节的方块经串联、并联和反馈三种基本形式连接而成。2.4结构图的等效变换2.4.1串联环节的等效变换特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量。

n为相串联的环节数

R(s)C(s))(1sU（a）)(1sG)(2sG结论：串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积。结论：并联环节的等效传递函数等于并联环节传递函数的代数和。n为相并联的环节数，当然还有“-”的情况。

2.4.2并联环节的等效变换特点：输入信号是相同的，输出C(s)为各环节的输出之和.（a）R(s)C(s))(2sG)(1sG)(2sC)(1sC

2.4.3反馈环节的等效变换

推导(负反馈)：右边移过来整理得即：这是一种应用非常广泛的等效变换方法，可将所有闭环系统等效为一个环节。当正反馈时，分母取“-”号；当负反馈时，分母取“+”号。

1.综合点的移动（前移、后移）2.4.4结构图的等效变换法则

2.分支点的移动（前移、后移）

4.引出点之间互移3.比较点之间互移5.比较点和引出点之间不能互移X(s)Y(s)Z(s)C(s)X(s)Y(s)Z(s)C(s)X(s)Y(s)Z(s)C(s)X(s)Y(s)Z(s)C(s)ababX(s)Z(S)=C(s)Y(s)C(s)X(s)Y(s)C(s)