高中数学北师大版第三章不等式 全市获奖

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若a，b∈R且a＋b＝0，则2a＋2b的最小值是()A．2 B．3C．4 D．5解析：∵2a＞0,2b＞0，∴2a＋2b≥2eq\r(2a·2b)＝2eq\r(2a＋b)＝2，当2a＝2b，即a＝b＝0时取等号．答案：A2．函数f(x)＝eq\f(\r(x),x＋1)的最大值为()\f(1,2) \f(2,5)\f(\r(2),2) D．1解析：令t＝eq\r(x)(t≥0)，则x＝t2，∴f(x)＝eq\f(\r(x),x＋1)＝eq\f(t,t2＋1).当t＝0时，f(x)＝0；当t>0时，f(x)＝eq\f(1,\f(t2＋1,t))＝eq\f(1,t＋\f(1,t)).∵t＋eq\f(1,t)≥2，∴0<eq\f(1,t＋\f(1,t))≤eq\f(1,2)，∴f(x)的最大值为eq\f(1,2).答案：A3．已知点P(x，y)在经过A(3,0)、B(1,1)两点的直线上，那么2x＋4y的最小值为()A．3 B．4eq\r(2)\r(2) D．2解析：直线AB的方程为：x＋2y＝3.点P(x，y)坐标适合上述方程，则2x＋4y≥2eq\r(2x·4y)＝2eq\r(2x＋2y)＝4eq\r(2)，当且仅当2x＝4y，即x＝eq\f(3,2)，y＝eq\f(3,4)时等号成立．答案：B4．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则eq\f(a＋b2,cd)的最小值是()A．0 B．1C．2 D．4解析：∵a＋b＝x＋y，cd＝xy，∴eq\f(a＋b2,cd)＝eq\f(x＋y2,xy)≥eq\f(2\r(xy)2,xy)＝4.答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．解析：每年购买次数为eq\f(400,x)次．∴总费用＝eq\f(400,x)·4＋4x≥2eq\r(6400)＝160，当且仅当eq\f(1600,x)＝4x，即x＝20时等号成立．答案：206．若对任意x＞0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a的取值范围是________．解析：a≥eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)，又x＋eq\f(1,x)≥2，∴eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq\f(1,5).∴a≥eq\f(1,5).答案：a≥eq\f(1,5)三、解答题(每小题10分，共20分)7．(1)求函数y＝eq\f(1,x－3)＋x(x＜3)的最大值；(2)求函数y＝x(a－2x)(x>0，a为大于2x的常数)的最大值．解析：(1)∵x>3，∴y＝eq\f(1,x－3)＋x＝eq\f(1,x－3)＋(x－3)＋3＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3－x＋\f(1,3－x)))＋3≤－2＋3＝1当且仅当3－x＝eq\f(1,3－x)，即x＝2时取等号．∴ymax＝1.(2)∵x>0，a>2x，∴y＝x(a－2x)＝eq\f(1,2)·2x·(a－2x)≤eq\f(1,2)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x＋a－2x,2)))2＝eq\f(a2,8)，当且仅当x＝eq\f(a,4)时，取等号，∴ymax＝eq\f(a2,8).8．已知a>0，b>0，ab＝a＋b＋3，求：(1)ab的最小值；(2)a＋b的最小值．解析：(1)∵a>0，b>0，∴ab＝a＋b＋3≥2eq\r(ab)＋3.∴(eq\r(ab))2－2eq\r(ab)－3≥0，∴eq\r(ab)≥3或eq\r(ab)≤－1(舍去)，∴ab≥9.等号成立的条件是a＝b且ab＝9，即a＝b＝3，故ab的最小值为9.(2)∵a>0，b>0，ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，∴ab＝a＋b＋3≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2.∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0.∴a＋b≥6或a＋b≤－2(舍去)．当且仅当a＝b且a2－2a－3＝0，即a＝b＝3时取等号．∴当a＝b＝3时，a＋b取得最小值6.eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)北京市有关部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为y＝eq\f(920v,v2＋3v＋1600)(v>0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到千辆/小时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？解析：(1)由题意y＝eq\f(920v,v2＋3v＋1600)＝eq\f(920,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(v＋\f(1600,v)))＋3)≤eq\f(920,2\r(v·\f(1600,v))＋3)＝eq\f(920,83)，当且仅当v＝eq\f(1600,v)，即v＝40时取等号．∴ymax＝eq\f(920,83)≈(千辆/小时)，∴当车速v＝40千米/小时，车流量最大为