高中数学北师大版2第一章统计案例 第1章12

第一章§1第2课时1.下列说法错误的是()A．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能直接用线性回归方程描述它们之间的相关关系B．把非线性回归化线性回归为我们解决问题提供一种方法C．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能描述变量之间的相关关系D．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，可以通过适当的变换使其转换为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决[答案]A[解析]此题考查解决线性相关问题的基本思路．2．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：月份x1234用水量y/百吨43由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是y＝－＋a，则a等于()A． B．C． D．[答案]D[解析]eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4,4)＝eq\f(5,2)，eq\x\to(y)＝eq\f＋4＋3＋,4)＝eq\f(7,2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝eq\f(7,2)＋×eq\f(5,2)＝.3．由一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则下列说法不正确的是()A．直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))B．直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))至少经过点(x1，y1)(x2，y2)……(xn，yn)中的一个点C．直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率为eq\f(\o(∑,\s\up6(n))\o(,\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n))\o(,\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)D．直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))和各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的偏差是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线[答案]B4．对于指数曲线y＝aebx，令u＝lny，c＝lna，经过非线性化回归分析之后，可以转化成的形式为()A．u＝c＋bx B．u＝b＋cxC．y＝b＋cx D．y＝c＋bx[答案]A[解析]对方程y＝aebx两边同时取对数，然后将u＝lny，c＝lna代入，不难得出u＝c＋bx.5．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：x34y12对于表中数据，现给出下列拟合曲线，其中拟合程度最好的是()A．y＝2x－2 B．y＝(eq\f(1,2))xC．y＝log2x D．y＝eq\f(1,2)(x2－1)[答案]D[解析]代入检验，当x取相应的值时，所得y值与已知数据差的平方和最小的便是拟合程度最高的．6．下列数据符合的函数模型为()x12345678910y234A．y＝2＋eq\f(1,3)x B．y＝2exC．y＝2eeq\f(1,x) D．y＝2＋lnx[答案]D[解析]分别将x的值代入解析式判断知满足y＝2＋lnx.二、填空题7．在两个变量的回归分析中，作散点图的目的是__________________________；相关系数是度量________________________的量．[答案]从散点图中看出数据的大致规律，再根据这个规律选择适当的函数进行拟合两个变量之间线性相关程度8．若回归直线方程中的回归系数b＝0时，则相关系数r的值为__________________.[答案]0[解析]若b＝0，则eq\i\su(i＝1,n,x)iyi－neq\x\to(x)eq\x\to(y)＝0，∴r＝0.三、解答题9．某工厂今年1～4月份生产某种产品的数量分别是1万件、万件、万件、万件．为了估测以后每个月的产量，可用函数y＝aebx来模拟该产品的月产量y(万件)与月份x的关系，求模拟函数．[答案]y＝e－1＋24x[解析]设μ＝lny，c＝lna，则μ＝c＋bx.月份x1234产量y(万件)1x1234μ0348eq\i\su(i＝1,4,x)i＝10，eq\i\su(i＝1,4,μ)i＝5，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝30，eq\i\su(i＝1,4,μ)eq\o\al(2,i)≈2，eq\i\su(i＝1,4,x)iμi＝，eq\x\to(x)＝，eq\x\to(μ)≈9，相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iμi－4\x\to(x)\x\to(μ),\r(\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,4,μ)\o\al(2,i)－4\x\to(μ)2))≈eq\f－4××9,\r(30－4××\r2－4×92))≈7，相关程度较强．b＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iμi－4\x\to(x)\x\to(μ),\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\x\to(x)2)≈eq\f－4××9,30－4×＝4，c＝eq\x\to(μ)－beq\x\to(x)≈9－4×＝－1，所以μ＝－1＋4x，y＝e－1＋24x.10．下表所示是一组试验数据：xeq\f(1,6)y64138205285360(1)作出散点图，并猜测y与x之间的关系；(2)利用所得的函数模型，预测x＝10时y的值．[答案](1)散点图略y与x不具线性相关关系，可能成反比例型函数关系(2)－[解析](1)散点图如图所示，从散点图可以看出y与x不具有线性相关关系．根据已有知识发现样本点分布在函数y＝eq\f(b,x)＋a的图像的周围，其中a，b为待定参数．令x′＝eq\f(1,x)，y′＝y，由已知数据制成下表：序号ixi′yi′x′eq\o\al(2,i)y′eq\o\al(2,i)x′iy′i126444096128241381619044552362053642025123048285648122522805103601001296003600∑3010522202759907790eq\x\to(x)′＝6，eq\x\to(y)′＝，故eq\i\su(i＝1,5,x)′eq\o\al(2,i)－5(eq\x\to(x)′)2＝40，eq\i\su(i＝1,5,y)′eq\o\al(2,i)－5eq\x\to(y)′2＝54，r＝eq\f(7790－5×6×,\r(40×54)≈7，由于r非常接近于1，∴x′与y′具有很强的线性关系，计算知b≈，a＝－×6＝－，∴y′＝－＋′，∴y对x的回归曲线方程为y＝eq\f,x)－.(2)当x＝10时，y＝eq\f,10)－＝－.11.我国1990～2000年的国内生产总值如下表所示：年份199019911992199319941995产值/亿元182126344657年份19961997199819992000产值/亿元6673768089则反映这一时期国内生产总值发展变化的函数模型可能为()A．y＝aekx B．y＝a＋bxC．y＝axb D．y＝aeeq\f(b,x)[答案]B[解析]画出散点图，观察可用y＝a＋bx刻画国内生产总值发展变化的趋势．12．设由线性相关的样本点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(xn，yn)，求得的回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，定义残差ei＝yi－eq\o(y,\s\up6(^))i＝yi－bxi－a，i＝1,2，…，n，残差平方和m＝eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＋…＋eeq\o\al(2,n).已知甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：甲乙丙丁rm106115124103则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性()A．甲 B．乙C．丙 D．丁[答案]D[解析]r越接近1，相关性越强，残差平方和m越小，相关性越强，故选D．二、填空题13．若一函数模型为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则作变换t＝__________________才能转为y是t的线性回归方程．[答案](x＋eq\f(b,2a))2[解析]∵y＝ax2＋bx＋c＝a(x＋eq\f(b,2a))2＋eq\f(4ac－b2,4a)，∴令t＝(x＋eq\f(b,2a))2，则y＝at＋eq\f(4ac－b2,4a)，此时y为t的线性回归方程．14．若x、y满足x－2－－1－01y则可用来描述x与y之间关系的函数解析式为__________________.[答案]y＝2ex[解析]画出散点图，形如y＝a·ebx，其中a≈2，b≈1.∴y＝2ex.15．若x、y满足x12345y209642则可用来描述x与y之间关系的函数解析式为__________________.[答案]y＝eq\f(2,x)[解析]画出散点图，观察图像形如y＝eq\f(b,x)，通过计算知b≈2，∴y＝eq\f(2,x).三、解答题16．如下表所示，某地区一段时间内观察到的大于或等于某震级x的地震次数为N，试建立N对x的回归方程，并表述二者之间的关系.震级34地震数283812038014795106957641550238422698震级6地震数19191356973746604435274206震级7地震答案]eq\o(N,\s\up6(^))＝10－＋[解析]由表中数据得散点图如图1.从散点图中可以看出，震级x与大于或等于该震级的地震次数N之间呈现出一种非线性的相关性，随着x的减少，所考察的地震数N近似地以指数形式增长．于是令y＝lgN.得到的数据如下表所示．图1x34yx6yx7yx和y的散点图如图2.图2从散点图(2)中可以看出x和y之间有很强的线性相关性，因此由最小二乘法得a≈，b≈－，故线性回归方程为y＝－＋.因此，所求的回归方程为：lgN＝－＋，故eq\o(N,\s\up6(^))＝10－＋.[点评]在解回归分析问题时，一般先作出原始数据的散点图．依据散点图中点的分布，选择合适的函数模型进行拟合17．以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：房屋面积(m2)11511080135105销售价格(万元)22(1)画出数据对应的散点图；(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；(3)据(2)的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格[答案](1)略(2)eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋6(3)6[解析](1)数据对应的散点图如下图所示：(2)eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)eq\o(∑,\s\up6(5))eq\o(,\s\do4(i＝1))xi＝109，lxx＝eq\o(∑,\s\up6(5))eq\o(,\s\do4(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2＝1570，eq\x\to(y)＝，lxy＝eq\o(∑,\s\up6(5))eq\o(,\s\do4(i＝1))(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝308.设所求回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(lxy,lxx)＝eq\f(308,1570)≈2，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝6.故所求回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋6.(3)据(2)，当x＝150m2时，eq\o(y,\s\up6(^))＝2×150＋6＝6(万元)．18．某商店各个时期的商品流通率y(%)和商品零售额x(万元)资料如下：xy64xy散点图显示出x与y的变动关系为一条递减的曲线．经济理论和实际经验都证明，流通率y决定于商品的零售额x，体现着经营规模效益，假定它们之间存在关系式：y＝a＋eq\f(b,x).试根据上表数据，求出a与b的估计值，并估计商品零售额为30万元时的商品流通率．[答案]eq\o(y,\s\up6(^))＝－＋eq\f,x)所求流通率约为%[解析]设u＝eq\f(1,x)，则y≈a＋bu，得下表数据：u3