2023年小学数学升学夺冠知识点大集合

数与代数第一节数的结识知识网络知识要点一、整数１.整数的计数单位一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿……都是整数的计数单位。每相邻的两个计数单位间的进率是“十”，这样的计数法叫做十进制计数法。２．整数的数位和位数在计数时，计数单位要按照一定的循序排列起来,他们所占的位置叫做位数。如:2023中的“２”在右起第四位,即“2”所在的位数是千位。位数是指一个数用几个数字写出来（最左端数字不是0)，有几个数字就是几位数,或者说，一个自然数具有几个数位,就是几位数。如：１３５６具有四个数位,则13５６就是四位数。整数数位顺序表数级……亿级万级个级数位……千亿位百亿位十亿位亿位千万位百万位十万位万位千位百位十位个位计数单位……千亿百亿十亿亿千万百万十万万千百十一（个）3.整数的读法和写法按我国的读数习惯,采用四位分级法,即从个位起，每四个数位为一级、个、十、百、千四位称为一个级,万、十万、百万、千万四位为万级,亿、十亿、百亿、千亿四位为亿级，等等。个级、万级、亿级……称为数级。读整数时，从高位到低位,一级一级地读。读亿级、万级时,先按照个级的读法去读，再在后面加上“亿”字、“万”字就可以了,每一级未尾的0都不读出来,其他数位有一个0或连续几个0，都只读出一个零。4．整数的改写和近似数整万、整亿数的改写，就是把万位后面的4个０或亿位后面的8个0省略，换成一个“万”或“亿”字。假如要改写的多位数不是整万或整亿的数,改写的方法就是：在万位或亿位数字和右下角点上小数点,去掉小数点未尾的0,再在小数后面加写“万”或“亿”字。生活中一些事事物的数量，有时不用精确的数表达，而只用一个与它比较接近的数来表达,这样的数是近似数。求近似数的方法一般有下面三种：四舍五入法：是指规定精确的某一位的后一位数字假如是4或比4小，就舍去；假如是5或比5大,就向前一位进1。进一法:在截取近似数时，不管多余部分上的数字是多少，都向前一位进1。去尾法:在截取近似数时,不管多余部分上的数字是多少，一概去掉。５．整数的大小比较比较现个整数的大小,整数数位多的数比较大，整数数位相同的，要从高位依次看相数位上的数字,相同数位上的数字大的那个数比较大。6．整数的分类（1）自然数:在数物体的时候，用来表达物体个数的１,2，3,4，…叫做自然数。一个物体也没有，用0表达。０也是自然数。1是自然数的基本组成单位。自然数既可以表达事物的多少（基数），也可以表达事物的顺序（序数)。（２）负整数以前我们学过的6，1０,,8．５,…这样大于０的数叫做正数。正数前面也可以加“＋”号。而像-５，－18,,-4.6，…这样小于０的数叫做负数。负数前面的“—”称为负号。0既不是正数，也不是负数。像-1，-2,-3，-99,…这样的数叫做负数。7.数的整除(1）因数和倍数假如自然数和自然数的乘积是,即那么和都是的因数，是和倍数。［注：在研究因数和倍数的时候，本书所涉及的数指的是自然数（一般不涉及0)]一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它自身;一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它自身。２,５和3的倍数的特性:2的倍数:个位上是0,2，４,6,8的数。5的倍数：个位上是0或5的数。3的倍数：各个数位上数字的和是３的倍数。(2)奇数和偶数自然数中,是２的倍数的数叫做偶数(0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。(3)质数(素数)、合数与分解质因数质数：一个数,假如只有1和它自身两个因数，这样的数叫做质数（素数)。合数:一个数,假如除了１和它自身尚有别的因数,这样的数叫做合数。质因数:每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,这几个质数都叫做这个合数的质因数。如:其中2,3，5自身是质数,又是30的因数，所以都是３０的质因数。分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表达出来，叫做分解质因数。分解质因数的方法:对于一个较小的数,可采用塔式分解图进行分解。如:短除法。如:（４）公因数和最大公因数几个数公有的因数,叫做这几个数的公倍数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。只有公因数1的两个数叫做互质数。(5)公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。(6)求最大公因数和最小公倍数的方法①一般地，求几个数的最大公因数、最小公倍数通常用短除法。用短除法求几个数的最大公因数时，先用这几个数的公因数连续去除,直到所得的商只有公因数１为止,然后把所有的除数连乘起来。用短除法求几个数的最小公倍数时,先用所有数的公因数去除,然后用任意两数的公因数去除,直到所有的商两两互质为止，然后把所有的除数和最后的几个商连乘起来。特殊方法:假如两个数中小数是大数的因数,那么小数就是这两个数的最大公因数，大数就是这两个数的最小公倍数。假如两个数是互质数，那么它们的最大公因数是1,最小公倍数是这两个数的积。二、小数1．小数的意义把整数“１”平均提成１０份、100份、10０0份……这样的１份或者是几份是十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表达为零点几、零点零几、零点零零几……2.小数的数位和计数单位同整数同样,小数的计数单位也是按照一定的顺序排列起来的,它们所占的位置叫做小数的数位。小数的小数部分按从左往右的顺序，计数单位依次是十分之一(或0.1)、百分之一(或０．0１）、千分之一(或０．0０1)、万分之一（或0.０001）……每相邻两个计数单位间的进率都是十。小数部分最高位十分位上的计数单位是十分之一,它与整数部分最低位个位上的计数单位一(或个）之间的进率也是十。小数数位顺序表整数部分小数点小数部分数位……千亿位百亿位十亿位亿位千万位百万位十万位万位千位百位十位个位．十分位百分位千分位……计数单位……千亿百亿十亿亿千万百万十万万千百十一(个）十分之一百分之一千分之一……3．小数的读法和写法读小数时,整数部分仍按整数的读法读,小数点读作“点”,小数部分的数按数位顺序读出每个数位上的数字,小数点后面的“0”有几个在读几个。写小数时，要先写整数部分，再写小数点,最后写小数部分。整数部分按照整数写法来写,整数部分是零的写作“0”,然后把小数点点在个位的右下角，小数部分从十分位起，由高位到低位依次写出每一个数位上的数字。4.小数的性质小数的未尾添上“０”，小数的大小不变。５．小数点移动引起小数大小的变化小数点向右(左)移动一位、两位、三位……小数就扩大（缩小）到本来的10倍（）、１０0倍（)、10０0倍（)……反过来把小数扩大（缩小）到本来的１０倍(）、１00倍（)、1000倍(）……只需把小数点向右（左)移动一位、两位、三位……移动小数点时,假如位数不够，就用0补足。6.小数的分类(１）按整数部分分类①纯小数：一个整数部分是零的小数叫做纯小数。②带小数:一个小数的整数部分不是零时就叫带小数或混小数。(２)按小数部分分类①有限小数:小数部分的位数是有限的小数。②无限小数：小数部分的位数是无限的小数。无限小数又可分为循环小数和无限不循环小数。小数部分从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地反复出现，这样的小数叫做循环小数。依次不断反复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。循环节从小数部分第一位开始的小数叫做纯循环小数。循环节不是从小数部分第一位开始的小数叫做混循环小数。一个无限小数，假如它的小数部分各数位上的数字不是循环的，这样的小数就叫混循环小数。7．小数的大小比较比较两个小数的大小,先看它们的整数部分，整数部分大的那个小数就大；整数部分相同的,十分位上的数大的那个小数就大,十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个小数就大……８.小的数近似数求一个小数的近似数,同求整数的近似数相似。三、分数1．分数的意义把单位“1”平均提成若干份,表达这样的一份或者几份的数叫做分数。表达其中一份的数叫做分数单位。２.分数的分类（1）真分数：分子比分母小的分类叫做真分数。如：。（2）假分数:分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。如:。(3）带分数:一个假分数,假如分子不是分母的倍数，它就可以写成由一个整数和一个真分数合并而成的分数,这样的数叫做带分数。如:假分数可以写成带分数。3．分数的读法和写法(1)分数的读法在读真分数和假分数时，先读分母，再读“分之”，后读分子。如:读作十七分之二十一。在读带分数时,先读带分数的整数部分,再读分数部分，并在两者之间加读“又”字。如：读作三又一半。(2)分数的写法写真分数或假分数时,先写出分数线，再写分母。写带分数时，先写带分数的整数部分，后写分数部分。如：五又七分之二写作。4．分数与除法的关系注:由于0不能作除数,因此,所有分数的分母不能为0。5.分数的基本性质分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外)，分数的大小不变。这叫做分数的基本性质。约分：把一个分数化成和它相等,但分子、分母都比较小的分数叫做约分。通分：把异分母分数分别化成和本来分数相等的同分母分数叫做通分。６．分数的大小比较(1）同分母分数的大小比较分母相同的两个分数，分子大的分数比较大。同分子分数的大小比较分子相同的两个分数，分母小的分数比较大。分子、分母都不相同的分数的大小比较分子、分母都不相同的分数比较大小,一般先通分再比较,也可以把各个分数分别化成小数再比较。四、百分数1.百分数的意义表达一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫百分率或比例。2.百分数的读法和写法百分数的读法与分数的读法相同,先读分母,再读分子。一个百分数，百分号“%”前面的数是几，我们就把这个百分数读作百分之几。如：２１％读作百分之二十一。3．成数和折扣（1）成数：一成表达十分之一，成数就是十分数，几成就是十分之几。(2)折扣:几折就表达十分之几，化成百分数就是百分之几十。4.税率和利率纳税是根据国家税法的有关规定,按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。缴纳的税款叫应纳税额。应纳税额与各种收入的比率叫税率。人们常把暂时不用的钱存入银行,存款分为活期、整存整取和零存整取等方式。存入银行的钱叫做本金,取款时银行多付的钱叫做利息。。典型考题例１某一个数十万位上是最大的一位数,万位上是最小的合数，百位上是最小的质数，其余各位上都是０，则这个数写作（)，读作（），省略万位后面的尾数约是()。分析本题综合考察自然数的数位、数位顺序以及多位数的读写等。由题意可知最高位是十万位，十万位上的数字是9，万位和百位上的数字分别是４和2，其他各位上的数字都是0,所以这个数写作９40200,读作九十四万零二百,省略万位后面的尾数约是94万。解9４0200九十四万零二百9４万例2用三个8和三个０组成的六位数中,一个零都不读出的最小六位数是（）,只读出一个零的最大六位数是(）,读出两个零的六位数是(）。分析多位数读写中的难点是多位数中的“0”。根据读数法则，只有每级未尾的0不读,其他数位上的一个或连续几个零只读出一个。那么写数时，要符合“一个零都不读出”的条件,就要把０放在级尾,六位数中涉及万级和个级两个级尾，同时要使此数最小，就要尽量把０放在万级的级尾，只能是8０8800；要符合“只读出一个零”的条件,就要把0放在个级首或个级中,又要此数尽也许大,就要尽量把８放在高位上，于是可得8８０800;要符合“读出两个零”的条件，就要把0放在个级首和个级中,应是8０0808。解8０8８00８808００8008０８例3填空（1）假如向东走20米记作+20米，那么向西走10米应当记作（）。（２）假如把零下10.50Ｃ记作-10.5０Ｃ，那么零下14．80C记作()，零上2４０Ｃ记作()。（3）假如足球比赛负一场记作-１,那么负两场记作(),胜三场记作(）。分析为了表达两种相反意义的量,人们就发明了负数，用它表达与正数相反的数。如此题中东和西相反，零上和零下相反,胜的负相反。假如向东记作“＋”,那么向西记作“—”。假如足球比赛的负记作“—”，那么胜记作“＋”。而我们通常将零上温度记作“+”，零下温度记作“—”，。高于海平面记作“+”，低于海平面记作“—”。解例４判断下面各题，对的的画“√”,错误的画“×”。(1)纯循环小数。()（2）一个自然数不是质数,就是合数。()（３）。（)(4）小数点的后面添上0或去掉０,小数的大小不变。()分析（１)用纯循环小数的定义来判断。循环节从小数部分第一们开始的循环小数叫做纯循环小数,而的循环节不是从小数部分开始的,所以它不是纯循环小数。（２）自然数按其因数个数的多少可分为三类：只有一个因数的自然数“1”,只有两个因数的自然数“质数”，有两个以上因数的自然数“合数”。所以一个自然数不是质数，也不能拟定它一定是合数。（3）米表达３３个米，即33厘米,而是一个百分数，它只是表达两个量的倍数关系,即一个数是另一个数的百分之几。（４)用小数的基本性质来判断。小数未尾添上０或去掉0,小数的大小不变。“小数点的后面”不一定在小数的未尾，所以添上0或去掉0，小数大小不也许发生变化,如。解（１）×（2)×（３）×(4)×例5一个三位小数，“四舍五入”后约是。这个三位小数最大是（），最小是（)。分析由题意可知,这个三位小数要满足“最大”的条件,必然是通过“四舍”得到,所以这个最大的三位小数是。反之，要满足“最小”的条件,应是通过“五入”得到，所以这个最小的三位小数是。解庆“六一”，六年级同学买来。用这些花最多可以扎成多少束同样的花束？在每束花中，红‘黄’粉三种花各有几枝？分析这道题规定同学们能用所学的最大公因数知识解答平常生活中的问题。扎成的花束都相同,则每束花中的红花枝数都相同,那么336就是被扎成的蕴含束数的倍数,即花束数就是红花枝数33６的因数。同样的道理,花束数也是２5２,2１0的因数。又规定花束最多,则花束数就是３3６,２52，210的最大公因数。解最多可扎成(束),每束花中红花8枝,黄花6枝,粉花5枝。例7有一堆苹果,3个３个地数余2个，4个4个地数余3个，5个５个地数余4个,这堆苹果最少有多少个?分析此题是一道较复杂的倍数问题，规定同学们灵活运用最小公倍数知识解题。由题意可知，苹果数不是３，4，5的公倍数，而是有余数。这里应注意观测，其余数分别是2，3,4,正好比除数小1。也就是说,若添上1个苹果，则苹果总数就是3，4,5的公倍数。规定“苹果总数最少”，则是求3，４,5的最小公倍数。[3，4,5］=６0,原有苹果数是:解(个）答这堆苹果最少有59个。例8要比较和的大小，你能用哪些方法?分析此题属于一道开放性试题,考察学生对分数的意义、分数的基本性质灵活运用的能力,解题过程、方法呈多样性。解法一化成同分母分数比较大小：。解法二化成同分子分数比较大小：,由于,所以。解法三选择“1”作参照:，由于，即比1少得多,所以。解法四把分数扩大成整数进行比较：，由于所以。解法五用倒数进行比较：的倒数是，,由于，所以。例9分析这道题目的关键数据是,化成分数是，再根据分数和比的关系,可知=,化成百分数是;这里尚有一个“折数”，化成“折数”就是二五折。解====二五折拓展训练填空。１.据世博官网记录,２0２3年9月１７日,世博园西藏南路出入口累计入园人数为1６５07人。横线上的数读作(）,四舍五入到万位大约是()万人。2.一个八位数，千万位上的数字是最小的自然数,这个数记作（)，省略万位后面的尾数约是(）。3．一个数由５个亿、６个千万、9个百和4个一组成,这个数写作(),它是一个(）位数。４.用最小的三位数与最大的两位数之差去乘最大的三位数与最小的四位数之和，积是(）。5．０.9９的计数单位是(），它有(）个这样的计数单位;的计数单位是(）,再添上（）个这样的计数单位就可得到最小的合数。6．18和２4的最大公因数是（)，最小公倍数是（）。7.8．把下面一组数按从大到小的顺序排列起来。9．在自然数中，同时是3和5的倍数的最大三位数是(），最小三位数是（）。1０.的商,用循环小数的简便记法记作(），它是()循环小数,保存三位小数是(）。11．把一根长米的铁丝平均提成5段,每段是这根铁丝的，每段长(）米。12．给的分子加上10，要使分数大小不变,分母应加上(）。13.把一个最简分数的分子扩大一本来的3倍，分母缩小到本来的,得，这个最简分数是（）。１4.在一位数中,只有公因数是１的两个合数是(）和（)或(）和（）。１5.的分子减去１0，要使分数大小不变,分母应减去（)。１6.一个最简分数,把它的分子扩大到本来的4倍,分母缩小到本来的,等于24,这个最简分数是()。１7．学校栽树５0０棵，成活4９5棵,成活率是，死亡率是。1８．甲、乙人同时从Ａ地出发，假如甲向南走４8m，记为+48m，则乙向北走3２m,记为（）m,这时甲、乙两人相距（）m.19．一种商品七折出售,售价是本来的。20．在3张卡片上分别写有3,5，7这3个数字中的一个，由这3张卡片可以组成一位数、两位数和三位数，其中质数的个数是(）个。二、判断。（对的在括号内画“√”，错的画“×”)１．0.5８与0.580大小相等，它们的计数单位也相同。()2．全体自然数涉及质数与合数两部分。（）3.由于，所以2，5,５1都是质因数。()４.小数和整数同样,每相邻两个计数单位之间的进率都是“10”。（）5.在和之间不是只有一个分数。（）6.一个分数的分子扩大到本来的2倍，分母扩大到本来的3倍,原分数就扩大到本来的6倍。(）７.三个连续自然数(0除外)的积一定是2和３的倍数。（）８．任意一个自然数的倍数一定比这个数的因数大。(）９.在自然数中,除２以外，再没有其他的质数是偶数。(）１０.无限小数是循环小数。(）11.一人自然数不是奇数就是偶数，不是合数就是质数，。（)12.有公因数1的两个数叫做互质数。(）13．大于又小于的最简分数不存在。（）14．一种商品现在打八折出售,就是现价比原价减少了。(）１５．一个奇数和一个偶数(0除外）的最大公因数一定是奇数。()1６．一个数除以0．01,就是把这个数扩大到本来的100倍。(）１7.相邻的两个非0自然数一定是互质数。(）18．用3个5和2个0组成一个五位数,规定这个五位数中的2个０都读出来,则组成的五位数是５０５05。(）19．分子相同的两个分数,分数单位大的分数一定比较大。(）2０.两根同样长的铁丝,且都比1米长,第一根剪去米,第二根剪去全长的，第一根剩下的比较长。（）三、选择。（把对的答案的序号填在括号里）１．下面三个数中,两个0都读出来的是()。2．最小的整数是（）。３.省略万位后面的尾数约是5４万,中能填（）个数。4.下面句子中有（)个数是近似数。①地球上天天约有八百万吨水流失。②我国的陆地国土面积约为９60万平方千米。③北京西郊大钟寺的一口古钟上有二十五万零一百八十四个汉字。5.。分数单位大小 ﻩ所表达的意义６.在中，负数有（)个。7．在５的后面写上“”，这个数就缩小到本来的（)。8．一个大于零的数乘一个真分数,所得的积（)本来的数。．小于大于等于9.()的倒数大于它自身。.真分数假分数带分数１０．把8４９０0米改写成以“万米”为单位的数是(）。．８．４9万8.49米8.４９万米11．用简便方法记作（）。12.读作（）。．九百亿零零六十万四千零一九百亿六十万四千零一九百亿零六十万四千零一13．下面各数中,有限小数是()。.14．某日傍晚,黄山的气温由中午的零上1４0C下降了70C,这天傍晚黄山的气温是（)。.＋2０Ｃ+７０C-５0C-70C15．一个真分数的分子、分母同时加上5以后，得到的分数值一定（）。.与原分数相等比原分数小比原分数大无法拟定１6.用3,５,８组成一个三位数,使组成的三位数是5的倍数，有(）种组法。.123617．有两个两位数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是9０。这两个数的和是()。.９06０48３018.一个最简分数,分子、分母的和是50，假如把这个分数的分子、分母都减去5，所得分数的值是。本来的分数是(）。．19．在２,4,7,8中，互质数有()对。.2３4５２0.下列程式按从大到小的顺序排列对的的是(）。．四、实践与应用。1.用2个0和3个2按规定组成一人五位数。(1)使这个数一个零也不读。（2)两个零都要读出来。（3）只读出一个零。2．有卡片摆出不同的小数。(１)小于1，小数部分是三位数的最小的小数。(2)大于5,小数部分是三位的最大的小数。（3)0不读出来,且小数部分是两位的最大的小数。３．甲、乙两个齿轮互相咬合，甲有2４个齿,乙有40个齿。甲的某一齿与乙的某一齿接触后，至少需要各转几周才干再次接触?４．在A，Ｂ这条新铺的路的一边等距离安装路灯，但规定在Ｃ处及AＣ和BC的中点都必须安装一盏,至少需要安装多少盏灯？５.运动会的表演方队由３06名同学组成,如何站队才干使每行人数与每列人数尽也许地接近?6.你能把10,２２,2６,34，３3,５1,３9,15这八个数提成两组(每组四个数)，使两组数的乘积相等吗?请试一试。7．A,B两地之间每隔45米栽一根电线杆,涉及两端的电线杆在内，共栽有65根电线杆。现在要改为每隔６0米栽一根杆,那么除了两端的两根电线外，尚有多少根电线杆不必移动?挑战奥数有一个电子钟,每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃,从中午１2点整电子钟既响铃又亮灯，到下一次既响铃又亮灯是几点钟？２．有两堆石子，第一堆有123４枚，第二堆有４321枚，每次允许要么从两堆中拿走相同数目的石子（每次拿的数目可以不同)，要么从一堆中拿若干枚放入另一堆。问:能否通过若干次操作把两堆石子同时拿光?为什么？３．有一个自然数，它的最小的两个因数之和是4,最大的两个因数之和是100，求这个自然数。4.有一个四位数，在它的某位数字后加上一个小数点,再和这个四位数相加，得数是400３.64。求这个四位数。5.有一个分数,分子加2等于,分子减２等于,求这个分数。第二节数的运算知识网络知识要点四则运算的意义数的分类运算名称整数小数分数加法把两个数合并成一个数的运算与整数加法的意义相同与整数加法的意义相同减法已知两个数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算与整数减法的意义相同与整数减法的意义相同乘法求几个相同加数的和的简便运算小数乘整数与整数乘法的意义相同。一个数乘小数，就是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少分数乘整数与整数乘法的意义相同。一个数乘分数，就是求这个数的几分之几是多少除法已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算与整数除法的意义相同与整数除法的意义相同二、四则运算的法则1．加、减法的法则整数小数分数相同数位对齐;从低位算起;加法中满几十就向前一位进几；减法中不够减时，就从前一位借，借几当十相同数位对齐（小数点对齐);从低位算起;按整数加、减法则进行计算；结果中的小数点和相加、减的数里的小数点对齐同分母分数相加减,分母不变，分子相加减;异分母分数相加减，先通分;然后计算；结果能约分的要约分乘、除法的法则整数小数分数乘法从个位乘起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数；用第二个因数哪一位上的数去乘,得数的未位就和第二个因数的那一位对齐；再把几次乘得的数加起来按整数乘法的法则先求出积；看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分每相乘的积作分母；有整数的把整数看做分母是1的假分数;有带分数的，通常先把带分数化成假分数除法除数是整数的除法:从被除数的高位起,除数是几位数，就先看被除数的前几位,假如不够除,就要多看一位。除到哪一位就要把商写在那一位的上面,商的小数占和被除数的小数占对齐除数是小数的除法:先移动除数的小数点,使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向石移动相同的位数(位数不够的补“0”),然后按照除数是整数的除法进行计算1．甲数除以乙数（0除外),等于甲数乘乙数的倒数倒数：乘积是１和两个数互为倒数。三、四则运算各部分之间的关系四、四则运算的顺序四则运算分为两级。加、减法叫做第一级运算,乘、除法叫做第二级运算。运算顺序:在一个没有括号的算式里,假如只具有同一级运算,要从左往石依次计算；假如具有两级运算,要先算第二级运算,后算第一级运算。在一个有括号的算式里,要先算小括号里的，再算中括号里面的,最后算括号外面的。五、运算定律定律内容字母表达互换律加法两个数相加,互换加数的位置,它们的和不变乘法两个数相乘,互换因数的位置，它们的积不变结合律加法三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者先把后两个数相加，再和第一个数相加,它们的和不变乘法三个数相乘，先把前两个数相乘,再与第三个数相第乘，或者先把后两个数相加,再和第一个数相加，它们的和不变乘法分派律两个数的和与一个数相乘,可以用两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加六、运算性质名称内容字母表达及推广减法性质一个数减去两个数的和,等于这个数依次减去和里的每一个加数一个数减去两个数的差，等于先从这个数中减去差里的被减数,然后加上减数除法性质一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以积里的两个因数七、和、差、积、商的变化规律内容字母表达和加法中,加数增长(或减少)一个数,和也随着增长(或减少)同一个数。当一个加数增长一个数,另一个数减少同一个数时,和不变积乘法中,因数乘上(或除以)一个数(不为0)，积也随着乘上(或除以)这个数。当一个因数乘上（或除以)一个数(不为0），另一个因数除以（或乘上）这个数时,它们的积不变差减法中，被减数加上(或减去)一个数，差也随着增长(或减少）同一个数;减数加上(或减去)一个数，差反而减少（或增长)同一个数。当被减数和减数都加上(或减去)同一个数时,它们的差不变商除法中，被除数乘上(或除以）一个数（不为0),除数不变,商也随着乘上（或除以)这个数;被除数不变,除数乘上（或除以）一个数（不为０）,商则除以(或乘上)这个数。被除数和除数同时乘上(或除以)一个数(不为0）,其商不变八、有关“０”和“1”的运算1．2．典型考题例1计算：(1）（2）分析此题综合考察四则混合运算的顺序。（1)中只有第二级运算,按照从左到右的顺序计算;（2)中具有括号，要先算小括号里的，再算中括号里的,最后算括号外面的。解(１）（2)例2假如解依题意,原等式可变为:例3解答下面各题。有一个减法算式，被减数、减数和差的和是,差是减数的2倍。请写出这个减法算式。有一个除法算式,被除数、除数、商和余数的和是100，已知商是１2,余数是5。请你求出被除数。分析这两道题都以考察四则运算中各部分之间的关系为目的。（1）被减数=差＋减数，可将差与减数的和看做被减数,那么就是被减数的２倍,则被减数是也就是减数与差的和是。又有差是减数的2倍,所以减数是,差是。（2）因而可将被除数、除数、商、余数四者的和写为:=除数×,即有,从而求出被除数。解（１）减法算式是:(２)例4选择。是大于0的数,的结果是（)。A．B.C．分析此题重要规定同学们能对的、纯熟地运用0和１的计算特点解题。(1）(2）原式中。解B０和1的计算特点,在简算中也有广泛的应用。如:计算。原式中，所以可简算为:原式=。例5下面各题如何简便就如何算。（1）（2）(３）(4)分析(1)若将原式中的除以改为乘,则在求和的两个积中都有因数,这样就可运用乘法分派律简算。(2)此式为加减混合运算，且相加的数３.72与2.28的小数部分可凑成整数6，要减去的数与的分母又相同,故可先调整原式中的运算顺序。原式。接着可发现运用减法的性质可将“-”“-”结合为-（+）。(3）原式中的三个减数都接近于１0,运用差的变化规律,要使差不变，多减的再加上。(4）（4）将原式分为三部分:，第三部分并不是积的形式，可将其改为,这样就可运用乘法分派律简算。例6计算下面各题。（1）分析（１）按照运算顺序，先算小括号里面的，再算中括号里面的,最后算括号外面的。(２）要计算此题,一方面要探究其规律。很明显分子都是1，分母变化较大，但分母都可以写成相邻两个自然数的积。如:由此可见分母都可以表达为而分子正好是。由于这样就可将原式中每个分数表达成两个分数单位的差,即。现在不难发现其简算方法就是去掉括号,再进行计算。拓展训练一、填空。1．在这四个算式中,得数最大的是（），得数最小的是(）。得数相等的是(）和(）。2．小利问小王：“你们家共有几个人呢？”小王答道:“我家人数的再加上个人，就等于我空的人数。”小王家有（）个人。3.;甲数除以乙

数,商是119,余数是8。若甲数扩大到本来的10倍，乙数乘上１0后,商是（）,余数是（）。4.将这4个分步算式列成综合算式是()。５．在○里填入“>”“<”或“＝”。○○○○6．在一道除法题里,除数和商都是19,余数最大是（），这时被除数是(）。7.(1)37００÷7０0＝(）……(）(商是整数）（2)513.4÷0.11＝()……（）（商是整数）8.把2.5×4.4进行简算是：２.５×4．4＝(）×()×()或２．5×４.4=(）×()+()×（)9．在里填上适当的数。（1)（2)(3)（填相同的数)10.若那么。(填“＞”“＜”或“=”)1１.假如和都是非0自然数，并且满足，那么。１２．假如那么=()。１3．14.15.将按从小到大的顺序排列为()＜(）＜(）<（）。16.数除以数,商1２时余8。若给加上7，用和除以，商是１3，余数是0。数是（)。17．小明在计算时,错算成了,结果是10,那么＝(）。18．在下面式子中的○里填上合适的运算符号，使等式成立。(1）○(2）（20○4.5）○2（３）[○]＝2(4)○[（○)]＝1９.在方框内填上适当的整数，使不等式成立。(１）（2）2０．在下面各题中的□里填上适当的数字，并拟定（1）中第一个因数和(2）中被除数的小数点的位置。(1)0(2）二、选择。(把对的答案的序号填在括号里）1.是自然数（),下面各式计算结果最大的是()。2.一个因数扩大到本来的10倍，另一个因数缩小到本来的,积()。缩小到本来的缩小到本来的扩大到本来的１0倍扩大到本来的２倍3.1００增长１0％后，再减少1０％,结果是（）。991００10199.54.假如△÷□＝6，那么（△×2)÷(□×２）的商是（）。12２41６５．若,则。２22３24无法知道三、口算。四、估算。五、脱式计算1.2．３．4.5.[］6.[]7.8．９.10．六、简算。１.2.3.4.5．6．7．8.9.10.１1.１2.13.1４.15.七、列式计算。1.5．６与3．８的和乘它们的差,积是多少？2．５.４9除以0.9的商比10.2乘0.5的积多多少？3.６除以与６除的差是多少?４.4８减去4与的积后,再去除21，商是多少？5.24个的和比的多多少?6.１2０的除以0.5与的和,商是多少?7．2.７的3倍加上２．4乘0．7的积，和是多少?８．的倒数加上2.4乘0.8的积,和是多少?9．１２加上一个数的,和是18,这个数是多少？１０.10减去除以０.７的商，再除以，商是多少？挑战奥数1．1000减去它的，再减去剩下的，再减去剩下的……最后减去剩下的,最后剩下的是(）。2．算“２4点”是我国传统的数学游戏,若有扑克牌的点数分别是3，3，7,7，用它们凑成:“24点”的算式是（）。假如扑克牌的点数分别是4，４,７,7,用它们凑成“24点”的算式是（)。3．若※且※，求（※)×(※)的值。4.定义运算※,已知※,那么等于多少?5．用简便方法计算。（1）(2)（３)(4)第三节常见的量知识网络知识要点常用计量单位及换算关系计量单位换算关系长度单位1千米=１0００米1米＝10分米1分米＝1０厘米１厘米=１0毫米面积单位1平方千米=100公顷1公顷=１０００0平方米1平方千米=1０00000平方米1平方米=10０平方分米1平方分米=100平方厘米１平方厘米＝１0０平方毫米体积单位１立方米=１０00立方分米1立方分米=１00０立方厘米1立方厘米=1000立方毫米容积单位1升＝10０0毫升1升＝1立方分米1毫升＝1立方厘米质量单位1吨=１00０公斤1公斤＝１０0０克时间单位1年=12月1年＝365日(平年)1年=3６6日(闰年）1月＝31日(一、三、五、七、八、十、十二各月)1月=30日(四、六、九、十一各月）１月=2９日(闰年二月）1月=28日（平年二月）1日=24时1时＝60分１分＝６0秒人民币单位1元＝10角1角=10分注：公历年份是４的倍数的一般都是闰年,但公历年份是整百数的，必须是４００的倍数才是闰年。如19２0２3不是闰年,而２０23年是闰年。二、名数的改写1.基数概念（１)名数：在数的后面附有计量单位的数。(2）单名数:只带有一个计量单位的名数。（３)复名数:带有两个或两个以上同类计量单位的名数。（４)高级单位和低档单位：在同类单位中,较大的单位叫高级单位，较小的单位叫低档单位。２．名数改写的方法把高级单位的名数改写成低档单位的名数的方法是：用进率乘高级单位的数;如里碰到复名数,把高级单位的数改写成低档单位的数以后,还要加上原有低档单位的数。把低档单位的名数改写成高级单位的名数的方法是：用低档单位的数除以相应的进率,商就是高级单位的数;假如改写成复名数，整数商是高级单位的数，余数是低档单位的;复名数改写成高级单位的名数,把低档单位的数改写成高级单位的数以后,还要加上本来高级单位的数。改写的关系如下：典型考题例１（1)450００平方米=(）公顷（2）１.25小时＝（)分钟(3）4小时１5分钟＝（）小时＝（)分钟(4）20升２０毫升=()升(５）8.０４公斤＝（）公斤()克=（)克分析（1）低档单位平方米改成高级单位公顷，用低档单位的数除以进率１０000，即小数点向左移到四位,得到4.５。(2）“小时”化成“分钟”是高级单位的数改写成低档单位的数,应乘它们的进率60，1.25×6０=7５（分钟)。这里要注意小时、分钟、秒之间的单位进率是6０而不是100。(3)此式为连等,一方面是将4小时1５分钟化为小时，1５分钟是15÷６0=0.25（小时)，再加上原有的4小时,是4．2５小时。接着再将4小时1５分钟(或将4.25小时)化成分钟,４小时是４×６0＝240(分钟)，再加上15分钟共2５5分钟。４小时15分钟＝4.25小时=255分钟。（4)此题是将复名数改写成单名数。20毫升=0.02升，加上本来的20升共

20．０2升。此题一定要注意升与毫升之间的单位进率是1００0，在移动小数点时，要移够三位。２0升20毫升=2０.02升。(5)先将8.04公斤改写成复名数，8.04公斤中有8公斤,还剩下0.０4公斤，把0.04公斤化为下一级单位克是４0克。第二步再将8.04公斤改写成以克为单位的数，８.04公斤＝８0４0克。８.04公斤＝8公斤4０克=８040克,。解此题时注意区分“连等”与“单名数改写复名数”。解（１)4.5（2）１25（３）4.25255(4)20.０２(５)８40８０4０例２王军天天早上7：45到校，中午11：05放学；下午2:２0到校,５：5０放学。王军一天的在校时间是多少?分析王军上午的在校时间：1１：0５—7：45=3小时20分钟王军下午的在校时间:5：00—2:2０=2小时4０分钟一天的在校时间：３小时２0分钟+2小时4０分钟＝６小时解王军天天在佼6小时。例3王芳今年１2岁，可她只过了3个生日，她的生日是几月几日?分析此题考察了年、月、日方面的知识。由于1２岁才过了３个生日,根据每4年内有1个闰年,即就是每4年才会出现1个2月29日这个特殊日了,从她出生后过2023也刚好只会出现３个２月29日，说明王芳的生日是2月29日。解她的生日是2月29日。拓展训练在括号里填上适当的计量单位。１．火车每小时行１20（)。2．一支铅笔约重5()。3．一棵树约高9（）。4．一个西瓜约重4(）。５.教室占地面积约42()。6.贝贝的身高是１30（）。７.学校操场大约1（）。8.一块手帕的面积大约是4（)。９.贝贝跑1００米用了20（）。10.我国的陆地面积大约是９6０万()。二、真空。1.１15厘米=()米１200平方分米=(）平方米０.０４公顷＝()平方米4．08平方米=（）平方分米5.2升＝（)毫升3.５升＝（）立方分米=（)立方厘米吨=(）公斤４2毫升＝(）立方厘米＝（）立方分米２2３0毫升＝（)升５620立方厘米=（）毫升=(）升36分钟＝（)小时4５00克=(）公斤2．3.05千米＝（）千米()米10立方米１０立方分米=（)立方米小时=（)小时（）分钟2平方米２０平方分米=（)平方米日=（)日(）小时4２600平方米＝()公顷()平方米2.２5小时=（)小时()分钟10.０1千米=（)千米()米4米６分米8厘米=（)厘米6.15元=（)元（)角()分３．在182023、192023、１９８5年、19９２年、２02３年、2０2３年这些年份中，闰年是（）。4．小华上午8:0０乘车去叔叔家，下午2:0０到达。他乘车()小时，合（）分钟。5．小明早上7点50分到校,1１时30分放学;下午２时半到校,5时4０分放学。小明天天在校时间是(）小时（）分钟。三、判断。(对的打“√”,错的打“×”）1.相邻两个面积单位之间的进率是100。（)2．3公斤2５克是3．25公斤。（)3．张华说:“一年中，有６个大月，6个小月。”()4.钟表上分针转动的速度是时针的３６0倍。()５.１立方分米的水约重1公斤。()６.５米2厘米<５2厘米,。()7.１小时５０分钟=150分钟。(）８．小华说：“我表弟是1996年２月2９日出生的。”()9.1平方分米比1米大。（）１0.相邻两个时间单位之间的进率是100。()１１．一个水池最多能装0．2立方分米的水,这个水池的容积是２0０毫升。（)12．面积是1平方为的正方形,边长是10分米。()13．1公斤棉花比1公斤铁重。（)１4.边长是１００米的正方形地，面积是1公顷。（)１5.一个体积是１立方米的长方体占地面积是1平方米。（）四、选择。（把对的答案的序号填在括号里）１．一个油桶,最多可装200升，我们就说这个油桶的(）是200升。质量容积体积2．小强体重5２（)。吨公斤克3．2０2３年的1２月3１日是星期三,在2023年的12月３1日是星期(）。三四五４．右边的图是小明在镜子中看到的钟表的图像,它表达的真实时间是()。4：40４:2０7:207:40５.每年的第三季都是（）天。90919２3656.一根木料锯成3段，需6分钟，假如锯成６段需（）分钟。９121５167.下面的时间最接近你的年龄的是(）。6000分6000时６00周６00月8.天安门广场的面积为44万平方米,请你估计一下,它的百万分之一大约相称于（)的面积。教室地面黑板面课桌面文具盒面9.将１立方米的大正方体锯成体积是１立方厘米的小正方体，然后将它们一个一个地连成一排，其总长度是（）。１千米10千米１00０千米1０.下面表达时刻的句子是（）。上午６时半起床做１0分钟早操中午午睡１小时五、解决问题。1．张大伯给小麦地施化肥。在一块长２00米、宽50米的长方形地里施化肥0.67５吨，平均每公顷施化肥多少公斤？２.一辆汽车每小时行54千米，每分钟行多少米？3．一条毛巾的价格是4.5元,一块肥皂的价格是2元5角，一支牙刷的价格是2元4角5分。刘老师买了一条毛巾、一块肥皂和一支牙刷,付１0元，应找回多少钱？4.我国发射的“神舟”六号飞船于2０23年10月1２日９时升空，飞行1１5小时3２分钟后安全着陆,共飞行325万千米。（1）“神舟”六号飞船的着陆时间是什么时刻?（２）若按１1５小时３0分钟估算,“神舟”六号飞船每小时大约飞行多少万千米?挑战奥数1.请你用7升和3升的容器各一个，将１0升的药液平均提成两份，说一说该如何分。2．王明每4年才干过一次生日,到2023年就是他的第十次生日了，你知道他是何时出生的吗?到2023年他多少岁？３．李老师拿出3个圆柱、3个长方体和４个球,对同学们说：“下面是三种物体的不同组合，尚有各种组合的总质量。请你们观测下图,计算出各物体的质量。”圆柱（)公斤，长方体()公斤，球（)公斤。某个月有5个星期一,且这个月的第一天和最后一天都不是星期一，这个月的第一天是星期几？5．颐和园是332路和718路公交车的起点站。３３2路公交车每５分钟发车一次，718路公交车每8分钟发车一次，假如这两路公交车上午8时５0分同时发车，你知道它们下一次同时发车的时间是什么时候吗?第四节式与方程知识网络知识要点一、用字母表达数用字母表达数量关系(１）路程用s表达,速度用v表达，时间用ｔ表达,三者之间的关系:(2)工作效率用表达，工作时间用表达，工作总量用表达,三者之间的关系：(３）收入用表达，支出用表达，结余用表达，三者之间的关系:用字母表达运算定律我们学过的运算定律可以用字母表达,这比用语言叙述更为简洁明确。例如:加法互换律可表达为：加法结合律可表达为:乘法互换律可表达为：乘法结合律可表达为:乘法分派律可表达为:用字母表达计算公式数学中的计算公式或运算法则,都可以用字母很简明地表达出来。如：长方形中,表达长，表达宽，表达周长，表达面积。用字母表达长方形周长的公式为:用字母表达长方形面积的公式为：将数值代入式子求值当字母的数值拟定,把它代入原式中进行计算,所得的结果就是含字母的式子的值。例如：，当时，则。注意:（1）在具有字母的乘法算式里,乘号可以省略不写或用“”表达。如：可写成或。数和数相乘时，一般把数字写在字母的最前面。如：写成。（３)１与字母相乘时，1省略不写。如：写成。二、简易方程1.概念(1)等式:表达相等关系的式子叫做等式。（2)方程:具有未知数的等式叫做方程。（3)方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。（4)解方程:求方程的解的过程叫做解方程。2．解方程简易方程的解法:①对于只有一步运算的方程,可用加、减、乘、除各部分之间的关系求解。对于具有二、三步运算的方程,先根据方程拟定运算顺序，再根据四则运算各部分之间的关系求出方程的解。②把求出未知数的值，分别代入原方程两边计算（即求具有字母的式子的值)，假如原方程的等号左右两边相等,则所求得的未知数的值是原方程的解。典型考题例1省略乘号,写出下面各式。分析这道题重要帮助学生掌握在具有字母的式子中，乘号简写、略写的规则。用字母表达数以后，在具有字母的式子里,字母与字母或数字相乘时，它们中间的“×”可以记作“”,也可以省略不写,但要注意：省略乘号后，必须把数字写在字母前面。数字１与任何字母相乘时，“1”可省略不写。可以写成，读作的平方或的二次方，表达乘。解例2用含字母的式子表达下面各题的数量关系。（1)与的和的7倍。(２）比的8倍少的一半的数。分析（１）按字母表达数的规定,加的和第六7,乘号省略并且7要放在“和”的前面;（2)的一半,一般不写成,而写成。解(1)(2)例3每支铅笔元，钢笔的单价是铅笔的1１倍,小明买了5支铅笔和1支钢笔,小明买了铅笔、钢笔共用去多少元？买钢笔比买铅笔多用去多少元?分析此题一方面考察学生能否用字母表达比较复杂的数量关系,另一方面考核对形如和的式子的计算。铅笔每支元，买5支的总价就是；钢笔单价是铅笔的１1倍,是元。买铅笔和钢笔的总价是元,可理解为“”加上“”,共1６个,即。买钢笔比铅笔多用的钱:解（1)元（2)元例４判断下面说法的正误，并在括号里打上“√”或“×”。（1)是方程。(）(２)等式就是方程。（）（3)是方程。（)（4)是方程。（)分析具有未知数的等式叫做方程。可见方程必须具有两个条件:一必须是等式,二等式中必须具有未知数。(1）具有未知数,但不是等式,所以（１)“×”；(２)满足了等式的条件,但不一定具有未知数，所以(２）“×”;（3)两个条件都满足,是方程，所以(3）“√”;(4）进行化简后变成,不具有未知数,所以（4)“×”。解（1)×(２）×(3)√(４）√例５解方程。（１)(２）（３）(4)分析此题重要考察同学们对方程解法的了解。（1）中两边均有未知数，将具有未知数的放在一边，其余的放在另一边；(２)中将看做被除数；(3）中将看做除数;（4)中方程两边都是分数形式，分子中具有未知数,我们可以运用比例的基本性质将原方程转化为较简朴的方程来解。解例6列方程求解。(１)的倍比一个数的多,这个数是多少？（2)比一个数少它的的数是,这个数是多少?分析列方程解文字题的关键是:先将未知的数用字母表达，然后依据文字叙述的数量关系列出方程。解(1)设这个数为，列方程得：(2)设这个数为。规定△，已知△（４△1)，求的值。分析此题考察求代数式的值和解方程,知识点多，综合性强。规定学生有扎实的基础知识和综合运用知识的能力。先求出4△1的值，再把和这个数按规定运算,转化为一般方程，最后求出的值。解△（4△1）△（4×3-2×1）△1０拓展训练真空。用字母表达下列数量关系。（1）与1０的和（）（2)减去１0的差()(3）的2倍与的的和()(4)除以5的商（)(5)7与的5倍的和(）（6）的５倍减去1２(）２.水果店原有苹果8筐，又运来筐,水果店共有苹果（)筐。３.妈妈买了３公斤萝卜,共用去元，平均每公斤萝卜()元。４.车间有男职工人,女职工比男职工少人,车间共有职工（）人。5．妈妈买了公斤大米，吃了6天，还剩下公斤,平均天天吃（)公斤。6.小明身高１41厘米,比小花高厘米，比小冬矮厘米，小花身高(）厘米,小冬身高()厘米。7．修路队修米的路,还剩下5２米没有修了(）米,比剩下的长（）米。8．王师傅每小时生产个零件，他小时生产(）个零件。9.一个正方形的周长是厘米，它的边长是()厘米，面积是(）平方厘米。10.一个数的倍是2.4，求这个数。如设这个数是,则所列的方程是(）1１．0．36的5倍减去一个数的，差是0.6，求这个数。如设这个数是,则所列的方程是（）１２．甲、乙两车分别从,两地相对开出，小时后相遇，甲车每小时行千米,乙车每小时行千米。，两地相距(）千米。1３．若六位数是3的倍数，那么也许是(）。１4.三角形的面积为，底为,高为，用字母表达它的面积公式是（)。15.若,那么中，（)。16．若规定△，那么5△7()。１７.在中,()。1８．把写成乘法是(）,可以简写成（)或（）。1９.当(）时，式子的值是;当（）时，式子的值为。20.四年级植树130棵,比本年级植树的2掊少棵。根据题意可以知道:表达()。二、判断。(对的打“√”,错的打“×”）１．表达用５与的和去除的式子是。（)２．()３.求方程中未知数的值的过程叫做方程的解。（)４.（)５．方程没有解。（）6.当时,和相等。（)7.除以的商加上可以写成。（)8．由于,,所以。(）9.由下图可得。（)1０．由于（，都是非0自然数),所以。（)１1．假如,那么一定大于。(）１2．有两个数(都不等于０）,若,那么一定在于。（)13.假如,则。（)１４.当为非0自然数时，表达奇数。（)15．所有的等式都是方程，所有的方程都是等式。()三、选择。（把对的答案的序号填在括号内)1.下面式子中是方程的是(）。２.与方程的解相等的方程是(）。3．若，，,则()。3248２84．小丽比妈妈矮cm,爸爸比小丽高cｍ，已知，爸爸和妈妈比身高，对的的情况是()。爸爸比妈妈高cm爸爸比妈妈高cｍ妈妈比爸爸高cm不能拟定谁高５．把错写成，结果比本来(）。多4少４多24小6６．是(）方程的解。7.孙爷爷今年岁，张伯伯今年()岁，过年后，他们相差（)岁。２08.当时,()。0１６036０9．一个长方形的周长是２８米，长是８米，宽是多少？设宽为米。方程（)是对的的。四、解方程。（其中13,14,１５三道题要检查）1.2．３.4．5．６.7.８．9.10．11.１2.1３．14.１5.五、列方程解文字题。1.一个数加上它的等于20的３倍。求这个数。2．一个数的减去，正好等于。求这个数。３.一个数的比与的积多。求这个数。4.一个数加上它的,和是。求这个数。5.一个数的比的2倍少3。求这个数。6.甲数的比乙数的一半少３0。求这个数。７．一个数的比最大的两位数小1。求这个数。８.一个数减去它的后，剩下的数除以4,结果是。这个数是多少?9．一个数的比它的少。求这个数。1０.一个数的倍,减去这个数的，差是的。这个数是多少？挑战奥数１．已知,，那么（),（）。２．下面是贝贝设计的一个计算程序：(1)当贝贝输入数时，请你表达输出的数:()。（2)当贝贝输入12时,输出数是0;当贝贝输入５2时,输出数是()。3.规定△。假如△(△），那么（）。4．两支粗细不同、长度相同的蜡烛，一支以均匀的速度燃烧3小时可以烧完,另一支可以燃烧4小时。假如下午4时半时，想使其中一支蜡烛剩余部分的长度是另一支剩余部分的2倍,问:应当在下午几时几分同时点燃这两支蜡烛?第五节比和比例知识网络知识要点一、比的结识1.比的意义两个数相除,双叫两个数的比。,２.比的读、写法及各部分的名称比用比号“：”或“—”来表达。如:3比2可表达为3:2或，读作三比二。在一个比中,比号前面的数叫比的前项,比号后面的数叫比的后项。前项除以后项所得的商是比的结果,叫比值。3.比与除法、分数的关系比与除法比较,比的前项相称于除法中的被除数，比的后项相称于除法中的除数，比值相称于商,比号相称于除号。比与分数相比，比的前项相称于分子，比的后项相称于分母,比值相称于分数值，比号相称于分数线。比跟除法、分数的重要区别：比表达两个数的倍数关系，除法是一种运算，而分数是一种数。4.比的基本性质、化简比及求比值比的前项和后项同时乘或除以相同的数(０除外),比值不变,这个叫做比的基本性质。如:1４：2１=（1４÷7)：(21÷7)＝2:3。比的前项和后项都是整数,并且是互质数,这样的比就是最简整数比。把两个数的比化成最简整数比，称为比的化简。根据比的基本性质我们可以把一个比化为最简整数比。求比值:根据比值的意义,用前项除以后项,结果可以是整数、小数或分数。５．按比例分派。把一个数量按照一定的比来进行分派,这种分派方法通常叫按比例分派。二、比例的结识１.比例的意义表达两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数,叫做比例的项。两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项。2.比例的基本性质在比例里,两个外项的积等于两个内项的积,这叫做比例的基本性质。用式子表达是：假如（不为0),那么。3.解比例求比例中的未知项叫做解比例。根据比例的基本性质和乘除法之间的关系,假如已知比例中的任何三项，就可以求出此外一个未知项。4．比例尺：图上距离和实际距离的比叫做比例尺。比例尺分为两大类:（1)数值比例尺。如::或(2）线段比例尺。如:5．正比例和反比例(1)正比例两种相关联的量，一种量变化，另一种也随着变化，假如这两种量中相相应的两个量（，）的比值(也就商)一定,这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。用字母表达为（一定）。(2）反比例两种相关联的量,一种量变化，另一种量也随着变化，假如这两种量中相相应的两个量(，)的积（)一定,这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。用字母式子表达为(一定）。（3)正比例和反比例的区别与联系相同点不同点特性关系式正比例两种相关联的量,一种量变化，另一种量也随着变化两种量中相相应的两个量的比值一定(一定）反比例两种量中相相应的两个量的积一定（一定)典型考题例1填空。（1）加工一批零件,单独做，甲要8小时完毕，乙要１0小时完毕，甲和乙的工作效率比是():（)。(2)把:化成最简整数比是（），比值是(）。分析（１)要写出甲、乙的工作效率比，关键是先要根据工作总量和时间求出甲、乙的工作效率。另一方面还可根据工作总量一定期,工作效率与工作时间成反比来解。本题中,甲和乙的工作效率比就是乙和甲的工作时间比。（2)化简比和求比值，为了计算简便，化简比经常和求比值都用同一种方法“前项除以后项”，求出结果。但两者的结果有本质的区别,化简比要把结果写成两个数的比，比值是一个数的值。解(1)：：(2）化简::（或:）比值:：例2填空。()：分析这是一道典型的考题,综合考察同学们对各类数以及比的掌握情况。一般情况下，都要在式中找出一个最简分数作为每一部分的值,运用分数的基本性质以及分数与除法、比的关系填空。,，，：解:例３下图是学校操场的平面图，请计算操场的实际面积。分析此题与实际生活联系紧密,是数学知识在