2023年对数函数知识点总结

对数函数（一）对数1．对数的概念:一般地，假如,那么数叫做认为底的对数,记作：(—底数，—真数,—对数式）说明：eｑ＼o\ａc(○,1）注意底数的限制，且;eｑ＼ｏ＼ac(○,２)；eq\o\ac(○,3)注意对数的书写格式．两个重要对数：eq\o\aｃ(○,1）常用对数：以10为底的对数;ｅq\ｏ\aｃ(○，２）自然对数:以无理数为底的对数的对数.(二)对数的运算性质假如,且，，，那么：ｅq＼o\ac(○，1)·+；eq\o\ac（○,2）-；eq\o\ac（○,3)．注意：换底公式 （,且;，且；）．运用换底公式推导下面的结论（１）;（2)．(二)对数函数1、对数函数的概念：函数,且叫做对数函数,其中是自变量，函数的定义域是（０,＋∞).注意：ｅq\o\ac(○，１)对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义，注意辨别。如：,都不是对数函数,而只能称其为对数型函数．eq\ｏ＼ac(○,２)对数函数对底数的限制：,且．2、对数函数的性质:ａ>10<a＜１定义域x＞０定义域ｘ＞0值域为R值域为Ｒ在R上递增在R上递减函数图象都过定点（１,0）函数图象都过定点（1，0）对数函数·例题解析例1.求下列函数的定义域：；（2)；(3).解:（１)由>０得,∴函数的定义域是；(2)由得,∴函数的定义域是;（3）由９－得－３，∴函数的定义域是．例２.求函数和函数的反函数。解:（1)∴；（2）∴.例4.比较下列各组数中两个值的大小：（１）,;(2)，;(３)，.解：（１）对数函数在上是增函数，于是；（2）对数函数在上是减函数,于是;(３)当时,对数函数在上是增函数，于是,当时,对数函数在上是减函数，于是.例５.比较下列比较下列各组数中两个值的大小：(1)，;(2),；(3)，,；(4）,，.解：（１）∵，，∴；（２）∵,,∴.(３)∵，，,∴.（4)∵,∴．例7.求下列函数的值域:;(2）;(3)(且)．解:(1)令，则，∵，∴,即函数值域为.（2)令，则,∴,即函数值域为.（3）令,当时,，即值域为,当时，，即值域为．例8．判断函数的奇偶性。解:∵恒成立,故的定义域为，，所以,为奇函数。例９.求函数的单调区间。解：令在上递增，在上递减，又∵,∴或，故在上递增,在上递减，又∵为减函数，所以,函数在上递增,在上递减。例10.若函数在区间上是增函数,的取值范围。解:令,∵函数为减函数,∴在区间上递减,且满足,∴，解得,所以,的取值范围为．解(2）∵１-ｌoga（x+ａ）＞0,∴loga(x+a)＜1．当a＞1时,0<x+a＜ａ,∴函数的定义域为（－a，0）．当０<a＜1时,x＋a>a,∴函数的定义域为（０，＋∞)．域和值域.反函数的定义域为(0，1),值域为y∈Ｒ.【例3】作出下列函数的图像，并指出其单调区间.(1)ｙ=ｌg(-x)(2）y=lｏg2|ｘ+1｜解(1）y=lg(-x)的图像与y=lgx的图像关于y轴对称,如图2．8-3所示,单调减区间是(-∞,0).解(2)先作出函数y=log２|ｘ|的图像，再把它的图像向左平移1个单位就得y＝loｇ2|x＋1|的图像如图2.8-４所示．单调递减区间是(-∞,-１).单调递增区间是（-1，+∞)．的图像,保存其在ｘ轴及ｘ轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为所示单调减区间是(－1，2].单调增区间是[2,＋∞)．解(4）∵函数y=loｇ2(－ｘ）的图像与函数ｙ＝loｇ2x的图像关于y轴对称,故可先作y=log2(-x）的图像,再把ｙ＝log2(－x)的图像向右平移1个单位得到y=log2（1－ｘ)的图像．如图2.8－６所示.单调递减区间是(－∞，1).【例４】图2．8-７分别是四个对数函数,①ｙ＝ｌｏgaｘ②y＝lｏｇbx③ｙ＝logcｘ④y=ｌogｄx的图像,那么a、b、c、d的大小关系是[]A.d＞c>b>a B.ａ＞ｂ>c＞ｄC.b>ａ＞d>c D.b＞c＞a＞d解选C，根据同类函数图像的比较，任取一个x>１的值，易得b＞a>１＞ｄ＞c．【例5】已知ｌoｇa3>logb３，试拟定ａ和b的大小关系．解法一令y1=logax，y2=logbｘ，∵logax＞lｏgb3，即取x＝3时,y1＞ｙ2,所以它们的图像,也许有如下三种情况：（１)当ｌogａ3＞ｌogb3>0时，由图像2.８－８,取x=3,可得b>ａ＞1.（2)当0＞ｌoga３>logb３时,由图像2.８－9，得0<ａ<ｂ<１.（３）当lｏgａ３＞0>logｂ３时,由图像2．8－10，得a>１>b＞0.顺序是：_____.奇偶性．解法一已知函数的定义域为R，则－x∈R∴ｆ(ｘ)是奇函数.解法二已知函数的定义域为R=ｌogａ１=０∴f(x)=－f(ｘ),即f(x）为奇函数．单元测试一、选择题（每小题5分，共5０分）.１．对数式中，实数a的取值范围是 ﻩ（）A．ﻩＢ.（2,5) Ｃ.ﻩD.２．假如ｌｇx＝ｌga+3lgb-5lgc,那么 ()Ａ．ｘ=a+3ｂ-cﻩＢ. Ｃ． D．x＝a＋b3－c３3．设函数ｙ=ｌｇ(ｘ2－5x)的定义域为M,函数y=lg(ｘ-5)+ｌgx的定义域为N,则ﻩ()A.M∪N=R B．Ｍ＝ＮﻩC．MNﻩD.MN４.若ａ＞0，b>0，ａｂ＞1，＝lｎ２，则ｌoｇab与的关系是ﻩ（)A．loｇaｂ＜ B．logab=C．loｇab>ﻩ D.ｌoｇab≤5.若函数log2(kx２+4kｘ＋3)的定义域为Ｒ,则ｋ的取值范围是ﻩﻩ(）Ａ. B． C. D.6.下列函数图象对的的是ﻩ （）AＢＣD7．已知函数,其中log2ｆ（x)=2x，xR，则ｇ(x) （）A．是奇函数又是减函数 B．是偶函数又是增函数Ｃ.是奇函数又是增函数ﻩD.是偶函数又是减函数９．假如y=ｌog2a－1x在(０,+∞）内是减函数，则a的取值范围是ﻩ ()Ａ．｜a|＞1ﻩB.｜a|<２ C．a D.１0．下列关系式中，成立的是ﻩ ﻩ（)A．ﻩB.C. D.二、填空题：（每小题6分,共２4分）．11．函数的定义域是，值域是.12．方程lｏg2(２x+１）loｇ2（2ｘ+1+2)=2的解为．1３．将函数的图象向左平移一个单位,得到图象C1,再将C１向上平移一个单位得到图象C2,作出C2关于直线ｙ=x对称的图象C3，则Ｃ3的解析式为.14.函数y=的单调递增区间是．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算环节(共76分）.１５.(12分)已知函数．(１)求函数f（x)的定义域;（2)求函数f(x)的值域.(1２分）设x，y,z∈Ｒ＋,且3x=4y＝6z．（1)求证：;(2)比较３x，4y,６z的大小.１7.（1２分）设函数.(1）拟定函数f(x）的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性；(３)证明函数ｆ(ｘ)在其定义域上是单调增函数;(4)求函数f(ｘ)的反函数.１8．现有某种细胞1０0个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成２个细胞，按这种规律发展下去，通过多少小时，细胞总数可以超过个?（参考数据：)．20.(1４分）已求函数的单调区间.必修１数学章节测试(７）—第二单元(对数函数)一、DＣCABＢDBＤA二、１1．,;１2.0；1３.；１4.;三、１5．解：(1)函数的定义域为(1，p)．(2)当p>3时,ｆ(ｘ)的值域为（－∞，2ｌoｇ2(p+1)－２)；当1<p3时，f（ｘ)的值域为(－，1+loｇ2(p+1)）.16.解：(1)设3ｘ=4y=6z=t．∵x＞０,y>0,z>0，∴ｔ＞1,lgｔ＞0，∴.(2)3x＜４y＜6z.１７．解:(1)由得x∈R，定义域为R.(2)是奇函数.(3）设x1,x2∈R，且ｘ1<x２,则.令，则．＝＝=∵x1-ｘ2＜0，，,，∴t１-t2<0，∴0＜t１<t２,∴，∴f(x1)-ｆ(x２）＜lg1=０,即ｆ(x1)＜f（x２),∴函数f(ｘ)在R上是单调增函数.(４）反函数为(xR).18.解：现有细胞1００个,先考虑通过1、2、3、4个小时后的细胞总数,1小时后，细胞总数为;2小时后,细胞总数为；3小时后,细胞总数为；4小时后,细胞总数为;可见,细胞总数与时间(小时）之间的函数关系为:，由,得,两边取以1０为底的对数，得，∴，∵，∴．答：通过4６小时,细胞总数超过个.19.解:(1）过A，Ｂ,C，分别作AA１,BB１，ＣC1垂直于ｘ轴，垂足为A１,B1,C1,则S=Ｓ梯形ＡA1Ｂ1B+S梯形BB１C1C－S