等差数列的前n项和公式

等差数列的前n项和复习回顾1、等差数列的定义（如何判定一个数列为等差数列？）2、等差数列的通项公式3、求等差数列公差d的几种方法4、等差中项5、等差数列的性质泰姬陵坐落于印度距首都新德里200多公里外的北方邦的阿格拉市，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑令人心醉神迷，陵寝以宝石镶嵌，图案细致,绚丽夺目、美丽无比，令人叫绝.成为世界八大奇迹之一.问题呈现

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？问题1：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？

问题就是求“1+2+3+4+…+100=？”德国古代著名数学家高斯10岁的时候很快就解决了这个问题：1＋2＋3＋…＋100=？你知道高斯是怎样算出来的吗？高斯（Gauss,1777—1855），德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，是历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”.问题2:求和:1+2+3+4+…+n=?记:S=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+nS=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1上述求解过程带给我们什么启示？(1)所求的和可以用首项、末项及项数来表示；(2)等差数列中任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和。问题3：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，如何求等差数列的前n项和Sn=a1

+a2+a3+…+an?解：因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…

两式左右分别相加，得倒序相加S=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+anS=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a12Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1)=n(a1+an)变式：能否用a1,n,d表示Sn？an=a1+(n-1)d问题4：求和公式等差数列的前n项和的公式：公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前n项和公式.na1an思考：在求等差数列前n项和时如何选用公式？提示：在求等差数列前n项和时，若已知首项a1,末项an和项数n，则使用公式若已知首项a1,公差d及项数n，则可利用公式

例1:根据下列条件，求相应的等差数列的根据下列条件，求相应的等差数列的解：由等差数列前n项和公式，得例2.求前n个正奇数的和.求前n个正偶数的和.【举一反三】解：由等差数列前n项和公式，得【提升总结】例3、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么，从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？分析：①找关键句；②求什么，如何求；解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入的资金构成等差数列{an}，且a1=500,d=50,n=10.故，该市在未来10年内的总投入为：答例4、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？解：由于S10＝310，S20＝1220，将它们代入公式可得所以例4、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？另解：

两式相减得例2.在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈.请问：（1）第9圈共有多少块石板？（2）前9圈一共有多少块石板？课本例题讲解解：（1）设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{an},由题意可知{an}是等差数列，其中a1=9，d=9,n=9.由等差数列的通项公式，得第9圈有石板（2）由等差数列前n项和公式，得前9圈一共有石板答：第9圈有81块石板，前9圈一共有405块石板.例4.在新城大道一侧A处，运来20棵新树苗.一名工人从A处起沿大道一侧路边每隔10m栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵.要栽完这20棵树苗，并返回A处.植树工人共走了多少路程?解：植树工人每种一棵树并返回A处所要走的路程（单位：m)组成了一个数列0,20,40,60，…，380，这是首项为0，公差为20，项数为20的等差数列，其和答：植树工人共走了3800m的路程.例5.九江抗洪指挥部接到预报，24h后有一洪峰到达.为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，需调用20台同型号翻斗车，平均每辆工作24h后方可筑成第二道防线.但目前只有一辆车投入施工，其余的需从昌九高速公路沿线抽调，每隔20min能有一辆车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24h内能否构筑成第二道防线？25辆车可以完成的工作量为：需要完成的工作量为24×20=