初等数学研究(第一讲)

初等数学（方法）研究

石家庄学院数信系孙庆利TELmail：1311727576@课程简介《初等数学（方法）研究》主要包括初等代数和初等几何两部分内容，它是一门古老而又充满生命力的学科，是师范院校数学教育专业的必修课程。本课程比较系统地阐述了初等数学的基础理论，其中包括集合与逻辑、数与式的理论及方法、函数、方程与不等式的理论及方法、几何变换、几何推理论证的理论与方法、排列组合与概率统计初步以及中学数学解题策略等内容。为密切联系中学教学实际，本课程配置了与中学数学教学、中学生数学竞赛题相吻合的例题与习题，并在内容、形式上略作提高。例题分析，着重揭示初等代数与初等几何问题中所蕴含的数学思想及通性通法，以提高用数学的思想方法分析问题、解决问题的能力。参考书目1赵振威,章士藻，《初等代数研究》，华东师大出版社,2008年印。2赵振威,章士藻，《初等几何研究》，华东师大出版社，2008年印。3余元希编著，《初等代数研究》，高等教育出版社,2010年印。4李长明,周焕山，《初等数学研究》，高等教育出版社，2007年印。数学是研究数与形的关系的一门学科，它是以解决客观世界的事物的内在逻辑联系的“问题”为主要目的．在这个意义上来讲，探索解决数学问题的解题规律及解题方法就是十分重要的．通过对数学形态的内在基本结构的分析和研究，从而顺利地解决问题，对提高我们的数学思维方式及解决问题的能力都有十分重要的意义．数学的内容就是由一种形态与另一种形态的对比和关系的转化（化归）．要解决好一个数学问题，首要的是要对一个数学问题构成的结构要先有充分的认识，再熟知一些推演关系的基本手段及方法．其次，要善于把问题的假设和结论沟通起来，借助已有的（尽可能多的）数学知识和数学理论，从而顺利地解决问题．解决问题有“通法”和“技巧”，但我们一定要知道“巧”不是解题的大道，只是一条捷径，而捷径不是处处都有的．只有练好解题的基本功，则解题的捷径也就不难找到．要掌握解题的通法，必须要知道一些数学形态的“通性”，即它的内部结构及这些结构的逻辑联系、演化规律．每一种典型的基本结构在数学形态中的作用以及处理它的一些常见的数学方法和数学知识．解题能力的大小，就是你拥有的这种数学知识的体现．它就像要给人治病，必须先了解人体的各部分组成的器官和构成器官的细胞和它们的生命作用．只有这样练好了基本功，就会得到解题的通法，找到处理数学问题的“大道”．总之，通过对数学问题的基本结构进行深入的分析，对各种基本结构彼此关联的本质进行探索，掌握好处理数学问题的一般的数学思维方式和方法，才能达到掌握解决问题的本领．把初等数学作为一个系统，用“结构”的观点来进行分析研究。第一讲元的认识---主元及常用的元第二讲数系的扩充与数学归纳法第三讲关于解析式理论的一些问题及方法第四讲关于函数的思想与方法第五讲关于方程与不等式第六讲关于几何证明与推理第七讲关于几何量计算的有关问题第一讲元的认识内容简介：

代数一个主要内容是对数符、字符和运算符组合成的代数式进行研究，通过运算、恒等变形、转换形式及数理的逻辑推演，从而达到对客观世界的自然形态的认识和变化规律的认知，使人类改造世界的目标得以实现；初等数学中，代数的基本内容主要是对数的认识、式子的恒等变形的技巧训练、方程的求解、函数观点的确定、不等量的比较等；它对学者有一个最基本的要求就是要建立对“基元”的认识．下面举例说明：元的认识---换元法思想

1、解数学问题时，如果直接解决原问题有困难，或原问题不易下手，或由原问题的条件难以直接得出结论时，往往需要引入一个或若干个“新元”代换问题中原来的“元”，使以“新元”为基础的问题求解比较容易，解决以后将结果恢复为原来的元，即可得原问题的结果。这种解决问题的方法称为换元法。又称变量代换法或辅助元素法。2、换元的实质就是转化，它是用一种变数形式去取代另一种变数形式，使问题得到简化的一种解题方法。换元法的基本思想是通过变量代换，使原问题化繁为简、化难为易，使问题发生有利的转化，从而达到解决问题的目的。换元法是数学中经常采用的基本方法之一。3、利用换元法的关键在于适当地选择“新元”，引进适当的代换，找到较容易的解题思路，能使问题简化。或把未知问题转化为已知问题，把复杂问题转化为简单问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题。

例9

分解因式

解:设

原式

例10在实数域内分解因式解一：令原式=解二：令原式=思考：例11：求证任意四个连续自然数的乘积再加上1是一个完全平方数。分析证明：设任意四个连续的自然数最小的为x由题意：x(x+1)(x+2)(x+3)+1主元及常用的元在一个数学形态中，可作元的基本结构可能不止一个，有些元是明确的，有的元是模糊的；有的元处于主导地位，有的元处于从属地位；有些元互相关联，有些元之间关系不太明朗；所以在应用方面技巧性强，比较灵活．处理相关问题时，要留心观察，认真比较，仔细分析，反复思考，在一个问题的众多元中，选择主元十分重要，根据问题的结构关系等特征，解决问题采用的变形手段也是有一定的规律可遵循的．例12分解因式解一：注意到观察原式可设原式=为待定系数。故，原式=展开上式，原式=由多项式恒等定理知：解二：a2a-(2b-1)b-3例13在实数集内解方程解:原方程可化为:

①

则方程①化为:

解方程②,得

②经检验,知它们都是原方程的解。

例14如果实数满足那么的最大值是多少？

解：令（比值换元）代入原式化简得:解得:所以,的最大值是例15若解：（均值换元）则例16

已知且，求证：。分析一：由代入消元可以求解。分析二：对比上