《等差数列》教案

等差数列（一学习目标：1．明确等差数列的定义，探索掌握等差数列的通项公式；．会解决知道

a,dn

中的三个，求另外一个的问题；．通过与一次函数的图像类比，探索等差数列的通项公式的图像特征与一次函数之间的联系。教学重点：教学难点：教学方法：内容分析：

等差数列的概念，等差数列的通项公式等差数列的性质探究、交流、实验、观察、分析本节是等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质图上看什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数(从几何上看两点可以决定一条直)教学过程：一复引：上两节课我们学习了数列的定义及给出数列表示数的几方——列举法公式法公法法前和公式……这些方法从不同的角度反映了数列的特点。现在我们先看下面这些问题：．回忆数列的概念，数列有哪几种表示方法？（）小明觉得自己英语成绩很差，目前他的单词量只有yes、no、you、、he5个，他决定从今天起每天背记10个词，那么从今天开始他的单词量逐日增加，依次为5，1525，，…问：多少天后他的单词量达到？（2小芳觉得自己英语成绩很棒，她目前的单词量多达她算从今天起不再背单词了结果不知不觉地每天忘掉5个单词么从今天开始的单词量逐日递减依次为：3000，，，，…问：多少天后她那个单词全部忘光？从上面两例中，我们分别得到两个数列：①，15，，35，…②3000，，，，…观察以上两个数列，看看它们有什么共同特征？3.

根据以上两个数列，每人能举出个与其特征相同的数列吗？4.

什么是等差数列？这样理解等差数列？其中的关键字词是什么？5.

以上两个数列存在通项公式吗？如果存在，分别是什么？

6.

怎样推导等差数列的通项公式？学生讨论、分析以上几个问题引导学生观察相邻两项间的关系，得到：对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于_10_；对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于-5

；·同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差每邻两项的差相等——应指明作差的顺序后项减前们给具有这种特征的数列一个名字——等数二讲新：1．差数列：一般地，如果一个数列从第二项起每一项与它前一项的差等于同一个常数这个数列就叫做等差数列这个常数就叫做等差数列的差（常用字母“d表示）注意：数列

⑴．

名称：等差数列，首项(，公差(),

则该数列为常⑵．公差一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来;(3)．对于数{

a

n

},若

a

n

－

与关的数或字母)n≥，∈N，此数列是等差数列，为差那么对于以上两组等差数列，它们的首相分别是5和，公差别是10和-10。2．差数列通项公式：aand【a)d】n1n等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一差数列

，1差是，则据其定义可得：aa2a3

即：即：

aa2aaa2d321a即4……aa由此归纳等差数列的通项公式可得：n1∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项a和公差d便可求得其通项1

a

n如数列①5，，2535…；

a5n

（n）

数列②，2995，2990，，…；

a3005nn

（n≥）数列③

2455

nn5

（n1由上述关系还可得：

adm即：

am1m则：

d1

=

amdn)dm即等差数列第二通项公式

n)

∴d=

amn如：

aada2ad45三例讲例⑴等数列85，…第20项⑵-401是是等差数列，，…的项？如果是，是第几项？解：⑴由

a21n=20，得

a

20

⑵由

a1得数列通项公式为：

ann由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，得401n=100，即401是个数列的第项

成立解之得例在差列

a10，a5

，求,daan解法一：∵

a105

，

a

，则

aad

d

∴

andnn1ad5520解法二：∵

a12

d31dd5∴

a

20

adaan12n12

nn小结：第二通项公式

ann四课练：1.1）求等数列37，11……的与第.分析根所给数列的前求得首项和公差写出该数列的通项公式从而求所求项解：根据题意可知：a=3,d－3=4.1∴该数列的通项公式为：

a

n

=3+（n－）×4,即

a

n

=4－（≥∈*∴

a

4

×4－

×10－评述：关键是求出通项公（）求等差数列，，，……第20项.解：根据题意可知：a=10,d=810=－2.1∴该数列的通项公式为：

a

n

（n－1（－）即

a

n

－2n+12,∴a=－220+12=28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确.（）100是是等差数列，916……的项？果是，第几项？如不是，说明理由.分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数值，使得

a

n

等于这一数.解：根据题意可得：a=2,d－2=7.1∴此数列通项公式为：

a

n

=2+（n1）×7=7－令－5=100,解=15,

∴100是个数列的第15项（4）20是不等数，3说明理由.

12

，7……项如是是第项如不，解：由题意可知：a=3177令－n－解得n22

1∴此数列的通项公式为：=－+,2因为－

77+=－没有正整数解，所以－20不这个数列的222.等差数列{a}中）已知aa=19,求与;n471

n1n1n123nn（）已知=9,a=3,a.3912解）题得：

ad10ad

解之得：

ad

d（2解法一：由题意可得：a3

解得

ad∴该数列的通项公式为：

a

n

=11+（n）×（－1=12－n∴

=0解法二：由已知得：ad即：3=9+6∴=193又∵aad∴=3+3×（－）=0.12五课小通过本节学习，首先，要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：a

n

‐

≥，nN）其次，要会推导等差数列的通项公式：

aan1

，并掌握其基本应用最后，还要注意一重要关系式：

)d

和

a

n

、q是常数的解与应用.六课作：一、选择题：．等差数列{a},39,a27,则{}前9的和n7369n

等于（）A

B

C．144

D．

．若

2,lg(2x

成等差数列，则

的值等于（）A

B032

C．

D．

log．在等差数列

，则

a17

181920

的值为（）二、填空题．计算log

33___________.．已知数列{a}满a=1=a+…+(n－1)(≥2)则n≥2时，___________

关于的程2

－3x＋a=0和x－x＋a)的四个根组成首项为的等差数列，求＋b的七设感本教案设计突出了重点概念的教学了差数列的定义和对通项公式的认识与应用数是特殊数列恰是其特殊性也是本质属性的准确反映和高度概括，准确地把握定义是正确认识等差数列决相关问题的前提条件项式是项与项数的函数关系，是研究一个数列的重要工具。本教案设计突出了发散思维的训练。通过一题多解，多题一解的训练，比较优劣，换个角度观察问题是数学发散思维的基本素质有在学习过程中有意识地讲知识迁移、组合、融合，激发好奇心，体验多样性，学懂学透，融会贯通，创新思维才能与日俱增。

《等数列和》案（高一年级一册·第三第三节）一教分●教学容《等差数列前n和》人教版高中教材第三章第三节“等差数列n和”的第一课时，主要内容是等差数列前项和的推导过程和简单应用●地位作用高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。在推导等差数列前项和公式的过程中，采用了：从特殊到一般的研究方法；2.逆序相加求和。不仅得出了等差数列前n和公式，而且对以后推导等比数列前项和公式有一定的启发，也是一种常用的数学思想方法。等差数列前n项和是学习极限、微积分的基础，与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系。二学分●知识础：高一年级学生已掌握了函，数列等有关基础知识，并且在初中已了解特殊的数列求和。●认知平与能力：高一学生已初步具有抽象逻辑思维能力能在教师的引导下独立地解决问题。●任教级学生特点我所任教的班级是普通班级，学生基础知识不是很扎实，处理抽象问题的能力还有待进一步提高三目分1教目依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标．●知识与技能目标掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前项和公式求和。●过程方法目标经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。●情感态度与价值目标获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。2教重、点根据教学内容和本校学生特点，我确定本节课的教学重点为：●重等差数列前n项和公式的推导和应用.●难点等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。

●重、点解决的方策略本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点．四过设结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下：创设情景提出问题归纳总（分钟）五教过

探究等数列前n项公式（分钟）公式应与议练活（2）（分钟）

公式应与议练活（）（分钟）公式的识与理解（4钟）教学环节

教师活动

学生活动

活说

动明新课引入

创设情境首先让学生欣赏一幅美丽的图片——泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景点说中陵寝中有一个三角形的图案嵌有大小相同的宝石共有层同时提出第一个问题能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？也即计算…？

模型直观用实际生活引现实模型：①图片欣赏②生活实例

入课。

新

和再除以2即可学生将首末两项配对第nn12ann(和再除以2即可学生将首末两项配对第nn12ann()2分析高斯求法得出的式子，发现Sn=1＋2＋3＋…＋98+99+100（1）Sn=100＋99＋98＋…＋3+2+1（2）（1）+（2）得：

学生：，2+99=101，所以原式=501+101=5050学生:过等式变形，可把一组数求和看作先求得两组完全相同的数组的

高斯求和众所周知，学生能快速解探索公式

2）设等差数列{}n和为,则a二项与倒数第二项配对问题此类推，每一对的和都相老师利用高斯算法如何求等差数列的前n项和公式？等，并且都等于。1老师：但是否刚好配对成功呢？学生不一定需要对n取值的奇偶进行讨论。但是对n论麻烦了否有更好的当n为偶数时刚好配方法求前n项和公式呢？接下来给出实际对成功。问题木工人是如何快速计算堆放在木场当n奇数时，中间的一的木头根数呢？项落单了。问题：何用倒置的思想求等差数列前项和呢？方法一

答。这里用到了等差数列脚标和性质从高斯算法出发，对进行讨论寻找求和公式思路自然，学生容易想到。S

学生观察动画演示，不难发现用倒置的思想来解决此问题。Sn两式相加得：S()（由上一问题的解决生容易想到序相求和方法二法同样利用倒序相加求和法材做了如学生：利用倒序相加求和下处理：法。S)and]n11

倒序相加求和法是重要的数学思想，为以后数列求和的学习做好了铺垫。)d]nnn两式相加得：S(a)n公：(a)n

将中的每一项用等n差数列的通项公式进行巧妙的改写倒序相加求和时一组中的d被正负抵消了。

在等差数列前n项和公式的推导过程中，

引导学生带入等差数列的通项公式学生类比方法一与方法

通过问探索

掉整理得到公式2(n公式：na能否给求和公式一个几何解释呢？教师提示将求和公式与梯形建立联系。

二的联系与区别。题获得知识，让学生学生将求和公式与梯形面经历积公式建立联系。“发现问题——提出问题——解决公式议

公1:n

n(a)12

问题”的过程利用数形结合的思想，使学生对两个公学生自己阅读教材，体式有直练活

会教材的解法是如何运用观的认求和公式。识，体观察多媒体课件演示。会数学的图形动

例1：某长跑运动员７天里每天的训练量（单位：m）是：750080008500900095001000010500

语言。通过对实际问这位长跑运动员７天共跑了多少米？本例提供了许多数据信息生可以从首项、末项、项数出发，使用公1，也可以从首项公差项数出发使用公式求和。

题的解决让学生认识学生讨公式中一共含有到数学五个量据三个公式之间来源于剖析公：1nna)公式1n2n公式2n12

d

的联系由方程的思想知三可求二。

生活，同时又服务于生活通项公式：andn教师提示，从方程中量的关系入手。

学生讨论分析题目所含的已知量取了公式2进

例在解决了

运算，利用了方程