第3章 动量 牛顿运动定律gai

第三章牛顿运动定律·动量守恒定律§1牛顿运动定律力——是物体间的相互作用.力是引起物体运动状态改变的根本原因.（提出加速度的概念）(1)科学地阐明了惯性和力这两个物理概念，正确地解释了力和运动状态的关系任何物体都有保持静止或匀速直线运动的状态的特性，只要当它受到其它物体作用，物体的运动状态才会发生改变。1.牛顿第一定律(惯性定律)

惯性——物体所固有的，保持原来运动状态不变的特性.(2)定义了惯性系（*）

惯性定律成立的参考系称之为惯性参考系，简称惯性系.地球参考系：固定在地面上的参考系.基准参考系(FK4系)：是以相对于选定的若干颗恒星平均加速度为零的参考系.日心—恒星参考系：坐标原点在地心，坐标轴指向恒星的参考系.地心—恒星参考系：坐标原点在地心，坐标轴指向恒星的参考系.理想的惯性系：相对整个宇宙的平均加速度为零的参考系.从上到下惯性系的精度逐渐升高2.1惯性质量2.牛顿第二定律12两滑块相碰，改变滑块1、2初速度,反复实验，发现滑块1、2速度改变量各次虽然不同，但总有或相同的两滑块为常量，不同的滑块不同。♥实验:取巴黎国际计量局中铂铱合金国际千克原器为标准物体，规定其质量为m0=1kg(千克)，此即国际单位质量的基本单位.一个原子质量单位(u)为碳的同位素12C原子质量的1/12.♥标准物体♥质量的定义：令某物体与标准物体相碰，并令m就是某物体“质量的操作型定义”.从物体质量的操作型定义可见，m大者较难改变运动状态或速度，m小者则较易.所以m应是物体惯性的反映，即惯性的大小.因此，我们把惯性量度的质量称惯性质量，简称质量.定义对任何两质点（相互作用），有动量的变化量2.2力的量度及单位2.2.1动量（矢量）单位：kg·m/s2.2.2力的量度及单位单位：N质点动量对时间的变化率等于作用于该质点的力的矢量和（合力）.推广到一般情形，诸力作用于质点m——质点动量定理单力作用于质点m在经典力学中，质点质量不变，由力的定义有2.3牛顿第二定律的内容物体受到外力作用时，它所获得的加速度的大小与外力的大小成正比，并与物体的质量成反比，加速度的方向与外力的方向相同。对应单位：惯性参考系、质点及低速运动的宏观物体.四点说明：

(1)质量的理解：质量是惯性大小的量度。不受外力保持运动状态不变；一定外力作用时，质量越大，加速度越小，运动状态越难改变；质量越小，加速度越大，运动状态容易改变。

(2)瞬时性的理解：定律中的力和加速度都是瞬时的，同时存在，同时消失。

(3)矢量性的理解：力与加速度都是矢量。直角坐标系与自然坐标系中的分量形式叠加原理：几个力同时作用在一个物体上，物体产生的加速度等于每个力单独作用时产生的分加速度的叠加。

(4)叠加原理的理解3.牛顿第三定律

两个物体之间的作用力和反作用力沿同一直线，大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。(2)作用力和反作用力是性质相同的力。四点说明：作用力、反作用力，分别作用于二物体，同时产生，同时消失；(4)在电磁场中，牛顿第三定律不成立.但静电场中电荷间的相互作用力满足第三定律，因为静电场的动量不变.(3)第三定律不涉及运动,不要求参考系是惯性的

4.伽利略的相对性原理如图O´系相对于O系作等速直线运动，两者均为惯性参考系.O系中质点的运动有力取决于质点动量对时间的变化率，故O′系中质点的运动有牛顿第二定律在不同惯性系形式一样惯性定律适用一切惯性系，即牛顿第一定律适用一切惯性系伽利略相对性原理——在研究力学规律时,一切惯性系都是等价的；或者说，力学现象对一切惯性系来说，都遵从同样的规律.若在O系中有若在O´系中亦有O´系中对同一质点，因又质点加速度有伽利略不变性，即说明在不同的惯性系中测得的力是一样牛顿第三定律形式一样§2牛顿运动定律的应用1恒力作用下的质点的直线运动2变力作用下的直线运动3质点的曲线运动4质点的平衡牛顿定律解题步骤:确定研究对象，建立坐标系（或规定正方向）；(2)使用隔离法分析受力情况，作出受力图；(3)分析运动情况，判断加速度方向或规定；(4)根据牛顿第二定律列出各个方向的方程(分量式)；(5)正确写出约束关系方程；(6)求解，进行讨论。1恒力作用下的直线运动[例题1]英国剑桥大学物理教师阿特伍德(GeorgeAtwood,1746—1807)，善于设计机巧的演示实验，他为验证牛顿第二定律而设计的滑轮装置，称作“阿特伍德机”，该机是最早出现验证牛顿定律的最好设备，于1784年发表于“关于物体的直线运动和转动”一文中.物理学进行研究需要建立理想模型.在理论模型中，重物m1和m2可视作质点；滑轮是“理想的”，即绳和滑轮的质量不计，轴承摩擦不计，绳不伸长.求重物释放后物体加速度及物体对绳的拉力.x[解]选地球为惯性参考系（坐标系Ox如图），取质点m1和m2为隔离体，受力如图由牛顿第二定律,有不计绳和滑轮质量，有约束关系有

常量O[讨论]若m1>m2，a1为正，a2为负，表明m1的加速度与x轴正向相同；若m1<m2，则a1为负，表明m1的加速度与x轴的正向相反；若m1=m2，加速度为零，即加速度的方向大小均取决于m1和m2.求解，得例题2如图A为定滑轮，B为动滑轮，三个物体的质量分别为m1、m2、m3。求(1)每个物体的加速度，（2）每根绳子中的张力。AB[解]选地球为惯性参考系.（坐标系OX如图），取质点m1、m2

、m3为隔离体，受力如图。OX由牛顿第二定律,有约束关系AB五个方程六个未知数，无法求解。几个加速度之间关系怎么样？注意：上述所有加速度都相对于地球OX由图示可看出B滑轮相对于地面的加速度可表示为AB由m2、m3相对于B滑轮的加速度大小相等，方向相反有解得：[例题]如图所示情况中，若忽略一切摩擦.试求(1)两物体的相对加速度大小；(2)三棱柱相对于地面的加速度大小；(3)滑块与三棱柱之间的正压力；(4)滑块相对地面的加速度大小.mM解：以地面为参考系，设相对地加速度为,对加速度为，相对地的加速度为，由牛顿第二定律有对m列方程分量分量对M列方程OXY分量分量由相对加速度公式可知解得OXY2变力作用下的直线运动动力学方程为若已知力、坐标和速度的初始条件，可通过积分求解方程.(1)已知质点的运动方程，求力；(2)已知力，求质点的运动方程。通常力是时间、速度和坐标的函数，求解出的运动方程具有混沌行为，比较复杂，本章研究力的类型仅仅指下述三种情况：★力仅仅是时间的函数；（太简单，不值得研究）★力仅仅是速度的函数；★力仅仅是坐标的函数。★力仅仅是速度的函数，如何求质点的速度方程和运动方程。★力仅仅是位置的函数，如何求质点的速度方程和运动方程。[例题1]已知一质点从静止自高空下落，设重力加速度始终保持一常量，质点所受空气阻力与其速率成正比.求质点速度并与自由下落相比.[解]建立以开始下落处为坐标原点且铅直向下的坐标系Oy.又选开始下落时为计时起点.由牛顿第二定律,有Oy该式可写作作定积分，得Otvy红色直线表示自由下落蓝色曲线表示有阻力时，最后可达一极限——终极速度终极速度与高度无关自由落体与高度有关例题2有一密度为的细棒，长度为l，其上端用细线悬着，下端紧贴着密度为的液体表面。现悬线剪断，求细棒在恰好全部没入水中时的沉降速度。设液体没有粘性。xlxo解：以棒为研究对象，在下落的过程中，受力如图。棒运动在竖直向下的方向，取竖直向下建立坐标系。当棒的最下端距水面距离为时x，浮力大小为：此时棒受到的合外力为：由牛顿第二定律有细棒在恰好全部没入水中时的沉降速度？一根长为、质量均匀的软绳，挂在一半径很小的光滑木钉上，如图示。开始时。试证当时，绳的加速度为，速度为。例题3证明：建立以钉子为坐标原点且铅直向下的坐标系Oy.设软绳的线密度为λ，由牛顿第二定律,有当，有，例题4证明：建立以B为坐标原点且沿斜面向下为X轴X设链条的线密度为λ，由牛顿第二定律,有

。3质点的曲线运动在自然坐标系中，质点动学方程分量式——法向力(各力在法线方向投影的代数和)——切向力(各力在切线方向投影的代数和)

——曲率半径[例题1]一质量为m的珠子系在线的一端，线另一端绑在墙上的钉子上，线长为l。先拉动珠子使线保持水平静止，然后松手使珠子下落。求线摆下θ时，珠子的速率、线的张力、小球受到的作用力。[解]建立坐标系如图任意时刻，当摆下角度为时，牛顿第二定律的切向分量形式为以ds乘以上式两侧，有对珠子：在摆下角时，牛顿第二定律的法向分量式为：小球受到的作用力[例题2]北京紫竹院公园有一旋风游戏机，大意如图所示.设大圆盘转轴OO´与铅直方向成=18°，匀速转动，角速度为0=0.84rad/s.离该轴R＝2.0m处又有与OO´平行的PP´，绕PP´转动的座椅与PP´轴距离为r=1.6m.为简单起见，设转椅静止于大圆盘.设椅座光滑，侧向力全来自扶手.又设两游客质量均为m=60kg.求游客处于最高点B和较低点A处时受座椅的力.RrOO´

PP´AB0RrOO´PP´AB0AB[解]建立坐标系如图，游客在XOZ平面内作匀速率圆周运动。A、B二人在图示位置在Z轴方向没有受到椅子力的作用，所以我们只需考虑A、B二人XOY平面内受力情况。A、B二人受力分析如上右图根据牛顿第二定律，得×RrOO´PP´AB0分量式AB×解之得AB×RrOO´PP´AB0与Y轴正方向约成16.3°

与Y轴正方向约成3°BA×16.3°3°4质点的平衡（质点）质点平衡方程质点平衡条件——质点处于平衡时，作用于质点的合力等于零.直角坐标系中的分量式[例题1]将绳索在木桩上绕几圈，能使绳的一端受到极大拉力，例如拴着一头牛，只要用很小的力拽住绳的另一端，即可将绳索固定，原因在哪里？如图表示绳与圆柱体在AB弧段上接触且无相对滑动，弧AB对应的圆心角称为“包角”.和分别表示A点和B点绳的张力.设绳与圆柱间的静摩擦系数为0，不计绳的质量.求在一定的条件下，的最大值.ABAB[解]在绳AB段上想象的截取小弧段对应于圆心角d，受力如下图所示.d圆柱体给绳的支撑力静摩擦力设张力建自然坐标系，将上式投影到法向和切向可得略去二级无穷小量，得dd问题：车的a=0时单摆和小球的状态符合牛顿定律，a≠0时单摆和小球的状态为什么不符合牛顿定律？a=0a0§3非惯性中的动力学1直线加速参考系中的平移惯性力设动参考系O´相对于静参考系O以加速度作直线加速运动,则质点在O´系中的加速度和质点在O系中的加速度关系为平移惯性力真实力所以即其中[例题1]杂技演员站在沿倾角为的斜面下滑的车厢内，以速率v0垂直于斜面上抛红球，经时间t0后又以v0垂直于斜面上抛一蓝球.车厢与斜面无摩擦.问二球何时相遇.yO

v0v0相遇时间为yO

v0v0[解]以车厢为参考系，小球受力见上右图.以出手高度为坐标原点建立坐标系Oy.以抛出红球时为计时起点.对红球和蓝球分别有:两球相遇时[例题2]如图所示情况中，若忽略一切摩擦.试求(1)两物体的相对加速度大小；(2)三棱柱相对于地面的加速度大小；(3)滑块与三棱柱之间的正压力；(4)滑块相对地面的加速度大小.mMmMyyOx1yx2hFNFNmgx´[解法二]m1在非惯性系中，取动坐标系x’o’y’如图受力分析如图在非惯性系中应用牛顿定律有o’y’2离心惯性力（转动参照系）物体位于过原点而垂直转轴的平面内，相对于圆盘静止，则对于观察者1：对于观察者2：——离心惯性力(离心力)其中:[例题3]北京紫竹院公园有一旋风游戏机，大意如图所示.设大圆盘转轴OO´与铅直方向成=18°，匀速转动，角速度为0=0.84rad/s。离该轴R＝2.0m处又有与OO´平行的PP´，绕PP´转动的座椅与PP´轴距离为r=1.6m.为简单起见，设转椅静止于大圆盘.设椅座光滑，侧向力全来自扶手.又设两游客质量均为m=60kg.求游客处于最高点B和较低点A处时受座椅的力.RrOO´PP´AB0要求在非惯性系中求解.AB[解]选大转盘为参考系，人相对于转盘静止OA´B´C´OABC物体相对转盘沿直线OA’B’C’运动物体相对地面沿曲线OABC运动物体相对惯性系作曲线运动，表明物体必受真实力作用.在非惯性系中(转盘)，若物体相对于非惯性系作匀速直线运动，物体所受真实力与物体所受惯性力大小相等、方向相反。3科里奥利力（转动参照系，质点相对转动参照系作匀速直线运动）定性说明这里惯性力肯定有一个通过圆心且背离圆心的离心惯性力。有没有其他惯性力？如果有，大小方向如何？科里奥利力定量表述考虑物体相对地面走的是曲线，则相对转盘走的是直线.OABCDD´设物体相对转盘速度为——科里奥利力设物体向右方的加速度为a物体受到一个向右的力质点相对转盘走的是直线OABCDD´O§4质点的动量定理质点动量对时间的变化率等于作用于该质点所受到的合外力.诸力作用于质点m1.动量定理的微分形式即:力在时间上的积累作用产生的效果是使质点的动量增加.冲量的方向——速度增量的方向.动量定理积分形式

冲量——力对时间的积累作用，是矢量.2.动量定理的积分形式动量定理动量定理的几点说明：(1)冲量的方向：冲量的方向一般不是某一瞬时力的方向(3)在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程(4)动量定理使用范围是惯性系是过程量(2)(5)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。平均力定义(6)动量定理解题步骤.[例题1]气体对容器壁的压强是由大量分子碰撞器壁产生的.从分子运动角度研究气体压强，首先要考虑一个分子碰撞器壁的冲量.设某种气体分子质量为m，以速率v沿与器壁法线成60°的方向运动与器壁碰撞，反射到容器内，沿与法线成60°的另一方向以速率v运动，如图所示，求该气体分子作用于器壁的冲量.A60°60°A60°

60°60°BC[解]将气体分子视为质点一个分子在一次碰撞器壁中动量的增量大小为即分子一次碰撞施于器壁的冲量大小为60°A60°60°A60°60°方向如图所示动量定理[例题2]一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为m及的M物体A和B，M大于m。B静止在地面上，当A自由下落距离h后，绳子才被拉紧。求绳子刚被拉紧时两物体的速度，以及能上升的最大高度。MmBAh解：以物体A和B为系统作为研究对象，采用隔离法分析受力，作出绳拉紧时的受力图：AB绳子刚好拉紧前的瞬间，物体A的速度为：取竖直向上为正方向。动量定理绳子拉紧后，经过短暂时间的作用，两物体速率相等，规定竖直向上为正方向，对两个物体分别应用动量定理，得到：忽略重力，考虑到绳不可伸长，有：解得：当物体B上升速度为零时，达到最大高度MmBAhAB§5质点系的动量定理和质心运动定理1.质点系动量定理质点系——有相互作用的若干个质点组成的系统.内力——系统内各质点间的相互作用力.外力——系统以外其它物体对系统内任意一质点的作用力.质点的动量定理微分、积分形式质点系动量定理微分形式质点系动量定理积分形式在一段时间内质点系动量的增量等于作用于质点系合外力在这段时间内的冲量质点系动量定理微分形式质点系动量定理积分形式质点系的合外力等于质点系总动量对时间的一阶变化率。几点说明(1)只有外力对体系的总动量变化有贡献，内力对体系的总动量变化没有贡献，但内力对动量在体系内部的分配是有作用的.(2)牛顿第二定律只适于质点，动量定理既适于质点又适于质点系.(3)动量定理只适用于惯性系,对非惯性系，还应计入惯性力的冲量.(4)动量定理是矢量式,应用时可用沿坐标轴的分量式求解,如x轴分量式（5）对于碰撞、爆炸、变质量等问题，使用动量定理较为方便。[例题1]火箭沿直线匀速飞行，喷射出的燃料生成物的密度为喷口截面积为S，喷气速度(相对于火箭的速度)为v，求火箭所受推力.dt时间内喷出气体质量dm喷出前后动量分别为由动量定理表示留在燃烧室内的燃烧物质对排出物质的作用力向下火箭所受推力，也等于向上[解]选择匀速直线运动的火箭为参考系，是惯性系.并设火箭水平向上运动，速度为，喷气后，火箭相对于地面的速度[例题2]如图表示传送带以水平速度将煤卸入静止车厢内。每单位时间内有质量为m0的煤卸出，传送带顶部与车厢底板高度差为h，开始时车厢是空的，不考虑煤堆高度的改变.求车厢对煤的作用力.xyO[解]把单位时间内落入车厢的煤视作质点系，并建立直角坐标系Oxy.到达车厢前一瞬间，煤的速度到达车厢后速度为零.质点系动量的改变量第一步：单位时间内车厢对煤的冲量煤落到车厢时车厢对煤的冲力取煤到达空车厢时为计时起点，车厢对煤的支撑力质点系动量的改变量车厢对煤作用力等于第二步：2质心运动定理质点系动量定理而有m——总质量.令质点系中存在一个特殊点C，

由上式所确定的空间点称质点系的质量中心(质心).——质心运动定理质心的行为与一个质点相同.质心的运动只决定于系统的外力，内力不影响质心的运动在直角坐标系质心坐标为对由两个质点组成的质点系，有推论：质心位于m1与m2的连线上，质心与各质点距离与质点质量成反比.几点说明：（1）质心坐标的确定质量均匀分布的物体，其质心就在物体的几何中心.(2)质心的位矢与坐标原点的选取有关，但质心与体系各质点的相对位置与坐标原点的选取无关.质心是质点系全部质量的集中点；重心是重力的合力的作用点.(3)质心与重心的区别[例题1]一质点系包括三质点，质量为和，位置坐标各为求质心坐标.[解]质心坐标质心在图中的*处.Oxym1m3m2*C[例题4]三名质量相等的运动员手拉手脱离飞机作花样跳伞.由于作了某种动作，运动员D质心加速度为铅直向下；运动员A质心加速度为，与铅直方向成，加速度均以地球为参考系.求运动员B的质心加速度.运动员所在高度的重力加速度为g.运动员出机舱后很长时间才张伞，不计空气阻力.ADB[解]将三运动员简化为质点系，受外力只有重力，W表示各运动员所受重力.建立直角坐标系如图，m表示各运动员质量，根据质心运动定理，ADBxyO得B质心坐标系——以质心为原点，坐标轴总与基本参考系平行.*质点系相对于质心系的动量质点系相对质心坐标系的动量（质心系中质心位置矢量）即质点系相对质心坐标系的动量总为零.而§6动量定恒定律1动量守恒定律的描述——质点系动量守恒在某一段时间内，若质点系所受外力矢量和自始自终保持为零，则在该时间内质点系动量守恒.直角坐标系分量式2.几点说明(2)内力对系