离散时间变换

变TheDiscrete-TimeFourier 本内 注释CFS(TheContinuous-TimeFourierSeries DFS(TheDiscrete-TimeFourierSeries CTFT(TheContinuous-TimeFourierTransform DTFT(TheDiscrete-TimeFourierTransform 5.0引言 其系数ak具有周期性。 DFS引出离散非周期信号的表RepresentationofAperiodicSignals:TheDiscrete-timeFourierThransform一.从DFS到N1NN1NN1N

kkk当N时，有ω02πN0，将导致 N时，周

j2π

ak

N1 ak1

x

j2πNNnN/当N 2πk

e N有 （ejω）x(n)en

说明:显 （ejω）对ω是以2π为周期的将其与akaa1X(ekNω2πN

X(e

)ejkωn ω0 0NkN

X

)ejkωnω0 02πkN当N 围变化，所以积分区间是2π。x(n)1X(ejω)ejωn2π离散时间序列可以分解为频率在2π区间 1X(ejω)dω的复指数分x(x(n)XdωX(ejω)x(n)e对二.常用信号的离散时 x(n)anu(n), aX

jω)

ane

1ae通常X(ejω是复函数，用它的模和相位X(ejω)

1a2X(ejω)tg1asinω 1a0a0a0a11a0

xx摆动指数衰x(n)an ax(n)anu(n1) 1a2 矩形脉冲:x(n)

n

nωN1NX(ejω) n

e

sin(2N

2ω2 当N1211sin(2 1)1X(ejω)

2sinω2sinπk(2 1 1

sinπk 1X(ejω 2π

N ω NN2.与对应的连续时x(t)

tT1t

x(n)δ(n)X(ejω)x(n)ejωn1

1n0X(ejω1ω0π当x(n)是无限长序列时，由于eω的表达式2

收敛于eω)x(n)eω于eω)但随着W, 当Wπ时，振荡与起伏将完全 周期信号的TheFourierTransformforPeriodic0对连续时间信号，有2ωωejω0t,由此0ωω0kx(n)1X(ejω)e 2πδ(ωω)ejωndωe π（ωk

kN

ake

ak

kN lX(ejω)

2πaδ(ω

2πk

（对L展开klkN

kN

2πakδ(ω

2πk)NNN

2πakδ(ωkN

2πakδ(ω

kNN

N

2πakδ(ωNk)

N(kN)k

(k2N

k k

N

2πk)N

2N

2πakNδ(ωNk3N

k k

注意到

也以

δ(ωN

k)

2πaδ(ω2πkNkNk

x(n)cosω0n

12

e

n),0周期的。当 2πk时才具有周期性0NX(ejω)

k

2πk)δ(ωX(ejω

2πω0 ω0

ω02. x(n)δ(nkNk

kak

x(n)e

N N X(ejω) δ(ω2πkNk 1 1

X(ejωX(ejωN比较:离散时 变换的性PropertiesoftheDiscrete-TimeFourier一、周期性(periodic)：若xn）（ejω），则X(ej(ω2πX(ejω二.线性ax(n)bx(n)aX(ejω)bX(ejω 三.时移与频移若x(n)X(e x(nn0)

X

x(n)ejω0nX(ej(ωω0)四.时域反转

若x(n)X(e

x(nX(ejω) 共轭对称性(symmetry若x(n)X(ejω 则x*(n)X*(ejωx(n是实信号，则x*(n)X*(ejωX(ejω 即X*(ejω)X(ejω

若x(n)是实偶信号， x(n)x*(n) x(n)X(e于是有 X(ejω)X(ejω)X(ejω X(ejω)是实偶函数 若x(n)是实奇信号，x(n)x(n),于是有:X(ejω)X(ejω)X(ejω), X(ejω)是虚奇函数。

x*(n)若x(n)xe(n)xo xe(n)

X

xo(n)jImX

jω六(Differencingandx(n)x(n1)(1ejω)X(ejω)nn

x(k)

X(ejω)1e

πX(ej0)

δ(ω jωn例:u(n)δ(knk

δ(n)u(n) π1e

k七Interplation定义x(n)x(nk

n为k

其他 X(ejω)x(n)ej

x(rk)e

kx(r)ejωrkX(ek

x(n)X(e 八.频域微分(DifferentioninFrequency):nx(n)

dX(ejωd

21

X(ejω

2n

2πX(ejω)

xn的 1N

2 knN kNk2 卷积特性TheConvolutionProperty y(n)x(n)*h(n), Y(ejω)X(ejω)H(ejωn例:求和特性的证明nx(k)x(n)*u(n)knx(k)X(ejω)U(ejωnkX(ejω) πδ(ω2πk) k1e k X )X )X )1e

δ(ωk相乘性质（TheMultiplication y(n)x1(n)x2 Y(ejω)

X(ejθ)X(ej(ωθ) X(ejω)X(ejω) 由于

)和X2

都是以2π例:c(n

c(n)(1)nejπn

C(ejω)2πδ(ωπY(ejω)1X(ejω)C(ejω1

X(ejθ)C(ej(ωθ) X0

jω)δ(ωπ)dωX

j(ωπ)1

C(ejω π

Y(ejω)

0π

π 变换的性质及基 对偶性一.DFSx(n)

jk2πn

ak

jk2πN1kN NnN1

1

或an x(k

nN

kN这表明：an的DFS

1x(kNx(x(n)ka1x(knN例1:从时移到频移x(n) 1x(k)

00

1x(

k

j2πN

1

j2π

ak j2πx(n)e

akx(n)

例2:x1(n)x2(n)akbk

1x(k b1x(k ab1x(k)1x(k)N1x(k)x(k

1x(n)x(n) aN

N

x1(n)x2(n)ambkmak

X(ejωx(n)ejωn知X(ejω)2π为周期的连续函数, 以2π为周期的连续时间信号X(ejt),则可以将kkX(ejt)aejktkk

a1

X(ejt)ek由DTFT有：x(n

1

X(ejω)e比较x(n和ak的表达式可以看出

x(k X(e X(ejtdx(t)j2πka 若x(nX(ejω

则X(ejt jnx(n) X(ejω x(n)X(ejω x(n)X(ejω X(ejt)x(k X(ejt)x(k x1(t)*x2(t)X(ejt)X(ejtx(k)x(k),(Tπ 2π1(n)x2(n)X1(ejω)X2(ejω x(n)x(n) 22

X1

jω)X(ejω a1 离散离散、周 连续时 级x(t)

x(t)Xx(t)X(X(jt)

X(eNNx(n)x(n)X(ejω

由LCCDE表征的系SystemsCharacterizedbyLinear aky(nk)bkx(nkk k方法一:x(nδ(nh(n),进而对h(nH(ejω) 可以通过求出x(n)ejωn时方程的解H(ejω

因为y(nejω)ejωn aky(nk)bkx(nkk k aejkωY

jω)

be

X

jωk

k0H

jω)

Y(ejωX(ejω

beNkk NkNkkk

ae可见H(ejω)h(n)时,往往是先从方程得到H(ejω),进而通过反变换得到h(n)。二.系统的频率响应: |h(n)|， H(ejω)存在这说明:由H(ejω)所表征的系统应该是稳定系统三.由方框图描述的系统:

W(ejω)e DDDD

1

3/

W(ejω)X(ejω)2W(ejω)ejω3W(ejω)ej2ω4Y(ejω)X(ejω)2W(ejω)ejωW(ejω)ej2ωX(ejω)(12ejω3ej2ω)W(e4Y(ejω)(17ej2ω)