“构造函数”-巧求参数范围

函）判断零点的个数问题）根等本专题围绕高【典型题】第招参变分，造数例届三第一次全国大考数

恰有三个零点的值范围()A．B）CD）【答案】【解析】当点，令

时，

为减函数，令则问题可转化为函数

易得的图象与

，所以只需的图象有两个交.求导可得

有两个零，令

，即

，可解得

；令，即，解得，所以当

时，函数

单调递减；当

时，函数

单调递增，由此可知当

时，函数

取得最小值，即．同一坐标系中作出函数

与

的简图如图所示，-1-

根据图可得

故选D.第招根据方做，造数例2.【东北三省三校（哈尔滨师附中、东北师大附中、辽宁省实验中)2019届高第一次模拟】已知函数

（为自然对数的底数

.（1当

时，求函数

的极小值；（2若当

时，关于的程

有且只有一个实数解，求的取范.【答案（2）【解析】（1当令

时，则

，列表如下：

，1单调递减所以.

极小值

单调递增（2设

，，-2-

设，，由

得，

，，

在

单调递增，即

在

单调递增，

，①当

，即

时，

时，，

在

单调递增,又

，故当

时，关于的程

有且只有一个实数解，符合题.②当，即所以故，故当时，，

时，由（1）可知时，，

，

，又单调递减，又，在

内，关于的程

有一个实数解1.又

时，

，

单调递增，且

，令

，,,故

在

单调递增，又在

单调递增，故

，故，又，零点存在定理可知，，故在又在综上，

内，关于的程内，关于的程.

有一个实数解.有一个实数解1，不合题意.第招求导转，造数例3.【山东省菏泽市2019届三下学期第一次模拟】已知函数.-3-

（1设，求函数

的单调区间；（2若函数

在其定义域内有两个零点，求实数的值范围【答案）单调递增区间为【解析】（1

，无单调递减区间.（2）函数

的定义域为，令，令，；令，所以函数

在区间

上单调递减，在区间

上单调递增所以所以

对任意

恒成立，所以（2一

的单调递增区间为，单调递减区.的定义域为，所以“函数即方程

在其定义域内有两个零点”等价于“方程在区间内有两个不同的实数根

在区间

内有两个不同的实数根”故上述问题可以转化为函数

与函数

的图像在

上有两个不同的交点，如图-4-

若令过原点且与函数

图像相切的直线斜率为，由图得令切点由，得，以又，以，解得于是，以故实数的值范围是（法二）

的定义域为，当所以

时，在

，，单调递增，所以

在

不会有两个零点，不合题意，当

时，令，，在

上，，

在

上单调递增，在

上，，

在

上单调递减，所以，-5-

又

时，时，

，，要使

有两个零点，则有即所以所以，实数的值围为.第招换元转，造数例4川高中届三诊】已知

．求

的极值；若

有两个不同解，求实数的取值围．【答案）有极小值，为【解析】

；无极大值）的定义域是，

，令，得：，令，得：，故

在

递减，在

递增，故

时，；-6-

故

记，，，可转化成，：，令，，令令故且

在

，解得：，，解得：，递增，在时，，

递减，时，故，由，，

的性质有：，

和

有两个不同交点，，，，

各有一解，即

有2个同解，，

和

仅有1个点，，有2个同的解，即取其它值时，综上，的围是

有两个不同解，最多1个，【规律方法】构造函数的几种常用的构造技巧：1.通过作差构造函数：作差构造的函数，通过研究新函数的性质从而得出结论．当然，适合这个方法解的题目中，构造的函数要易于求导，易于判断导数的正负．-7-

2.利用“换元法”构造函数，换的目的是简化函数的形式．3.先分离参数再构造函数，将方变形为=h()构函数x，研究h()的性质来确定实数的取范围．4.根据导函数的结构，构造函数.【提升练】1建届考关键问题指导适应性练习（)已知函数，，关的方程在区间

内有两个实数解，则实数的取范围()A．B．C．D．【答案】【解析】易知当≤0时，方程只有一个，所以>0．令，，令

得，为函数的极小值点，又关于的程=

在区间

内有两个实数解，所以，得，故选A.2省唐山市2019届高三下学期第一次模拟函-8-

，

有且仅有一个零点，

则实数的为（）A．B．C．D．【答案】【解析】∵函数，有且只有一个零点，∴方程，，且只有一个实数根，令g（x，则g′（x）=，

时，g′（x）0，当

时，g′）0，∴g）在

上单调递增，在

上单调递减，当x=时g）取得极大值g）=，又g（0g（）=0，∴若方程故选B.

，，且只有一个实数，则a=3.【东省济宁市2019届高三第一次模拟知当唯一实数解，则所的区间是()

时于的方

有A．(3，4)

B，5)C，6)

D．(6【答案】【解析】由xlnx+﹣a）x+a，，令f（x）（x′）．令g（x）＝x﹣lnx﹣4则g′（x＝1∴g（x）在（，+∞）上为增函，

0，-9-

∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g）＝2﹣ln6＞0∴存在唯一x∈，6得g（x）＝0∴当x∈，x），′）＜0，∈（x，+∞）时，′（x）．则f（x）在（，x）单调递，在x，+）上单调递增．∴f（x）＝f）．∵﹣4＝0，∴，则∈，6∴a所在的区间是（5，6故选：4市平区2019届三下学期第一次调查知数，

若关于的程

恰有三个不相等的实数,则的取值范围是A．B．C．D．【答案】【解析】关于的程即方程

恰有三个不相等的实数解，恰有三个不相等的实数解，即

与

有三个不同的交点.令，当当且当

时，，函数单调递减；时，，数单调递增；时，，-10-

当时，当时，据此绘制函数

，的图像如图所示，

，

，结合函数图像可知，满足题意时的取值范围是本题选择C选项.

.5徽省合肥市2019届三二次检测】设函数零点，则实数的值范围是（）A．BC．D．【答案】【解析】

，若函数

有三个-11-

设

，则

，在

上递减，在，且

上递增，时，，有三个零点等价于

与

的图象有三个交点，画出由图可得，

的图象，如图，时，

与

的图象有三个交点，此时，函数实数的值范围是

有三个零点，，故选【西省南昌市2019届三一次模拟已知函数

（为然对数的底数，直线（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）是否存在

是曲线，使得

在在

处的切.上有唯一零点？若存在，求出的；若不存在，请说明理由.【答案）【解析】（Ⅰ）

）存在k=0或2.，-12-

由已知，有，，得.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令，

恒成立，所以

在

上单调递减，又因为，，所以存在唯一的

，使得

，且当

时，，，当

时，

，即

.所以

在

上单调递增，在

上单调递减又因为当

时，，，，，所以存在

或，得

在

上有唯一零点.7东青岛市2019届高三月一】已知函数数的底数

，，

为自然对（1当

时，证明：函数

只有一个零点；（2若函数

存在两个不同的极值点，，实数的值范.【答案）详见解析）.【解析】（1由题知：令

，，，当因为

，，以，所以在

在

上单调递减上单调递增，在

上单调递减，-13-

所以

，故

只有一个零.（2由（）知：

不合题意，当又因为

时，因为，所以

，；

；，；又因为，因为函数，，，所以，，所以存在，足，所以此时

，；，；，；存在两个极值点，0，符合题.当

时，因为

，；

，；以；所以

，即

在

上单调递减，所以

无极值点，不合题意综上可得：

.8.【陕西省咸阳市2019年高考拟检测（】已知函数

.（1当（2若函数

，求证；有两个零点，求实数的值范.【答案】(1)见证明；(2)【解析】（1证明：当

时，，-14-

得，知

在

递减，在

递增，综上知，当

，时，.（2法1，即，令，，知

在

递增，在

递减，注意到，当且由函数

时，；，有个点，

时，，即直线法2：由

与函数

图像有两个交点，得.得，，当

时，，

在

上递减，不满足题意；当

时，，

在

递减，在

递增.，的零点个数为，即

，综上，若函数有两个零点，则.9南怀化市2019届高三3月第一次模拟】设函数.-15-

（1若（2当

是，

的极大值点，求的值范围；时，方程（中）有唯一实数解，求的值【答案）【解析】（1由题意，函数

（2）的定义域为，则导数为由，，①若当当

，由时，时，

，得，此时，此时

.单调递增；单调递减.所以②若

是，由

的极大值点，得，.因为

是

的极大值点，所以

，解得综合①②：的值范围是（2因为方程

有唯一实数解，所以

有唯一实数解设，，令，因为，，以（舍去当当

时，时，

，，

在在

上单调递减，单调递增当

时，，

取最小值-16-

则，，所以设函数因为当

时，

，因为，是增函数，所以

，所以（*至多有一解因为，以方程*）的解为，，解得10通中届三质量测（)】已知函数.（1讨论（2若方程

的单调性；有两个实数根，求实数的值围【答案】(1)见解析；(2)【解析】（1由题可得

，当

时，

，

在

上单调递增；当

时，

，

，

在

上单调递增；，

，

在

上单调递减（2令，，知为，，，，

单调递增且一定有大于0的零，不妨设故若有有两个零点，需满足，即令，，以

在

，上单调递减-17-

，所以由，以.

的解集为，当

时，，有，令，由于，以，，故，以，故，

在

上有唯一零点，另一方面，在

上，当

时，由

增长速度大，所以有，综上，.11东汕头市2019年通考第一次模拟】已知

．（1讨论

的单调性）

存在3个点，求实数的值围．【答案）见解析）【解析）因为，，

或）当

时，，在

和

上，，

单调递增；在

上，，

单调递减，（ii）当（iii）当

时，，时，，

上，，

单调递增，在

和

上，，

单调递增；在

上，，

单调递减，-18-

（2，所以

有一个零点．使得

有3个零点，即方程

有2个数根，又方程图像有两个交点，令，的单调性如表：

令即函数1

与－－＋＋↘↘

极小值↗↗当

时，，，

的大致图像如图，所以，要使得

有3个零点，则实数的值范围为12东淄博市2019届三3模拟】已知函数

.（1若（2若

是在

的极大值点，求的；上只有一个零点，求的取范.-19-

【答案）【解析】

（2）(1)

，因为当

是时，

的极大值点，所以，

，解得，令

，，解