《直线的倾斜角与斜率》教案及说明

直线的倾斜角斜率的教学设计一教目123轴4二教重与点重：1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念；2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式；3难：三教方即在让学

四教过（）设境揭课问点P、Q相同吗问过这（如点P）除了再用一点外还（1（2问在答xy轴）以或用x轴问点与x轴形成角

分与121倾角定x

l

x，x轴ll的点Px斜角在哪儿？

l

x

0

是0

（）固知同新升高量坡度（）

（即坡

的切

前进量

与

升高量2斜：倾斜角不是

ktan(90)问y

ko

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率k如

y

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lxl＜

°

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k存在

k

k=0问7、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度，哪个量更优越呢？质是数值，（）试导深认可即来问8、在平面直角坐标系中，已知直线上两P，y（x11122y且2

1

x用、P的坐率k？212P、P及直线PP，探究各种1212类似升高量前进点的坐标

1α1αy

yP

（x，y）2

P

（x，）2α

PO

Q（x，）（x，）11x

PQ（x，y）1O

（，）1

xy

yP

（，）11

P

（，）11α

PO

Q（x，）2（x，y）x

P（，y）Q（，y）α2Ox线P倾斜12

线P方向12x轴的平行P作轴的平行Q，12Q（，y21为Pxyy122

2

PQtan12

tanQP2

y2x1tan为=tan(180

QPP=yy1221

2

PQtan12

yy21x2

212

P论21tan

y212

221

思：1、各种一般情形得出的结论一致吗？与P122于x轴或y3巩练并）A（3,2

AB

17

）A（3,2（4,1

k

AB）A（3,2不存在）A（3,2

AB

（）思结概提（同学们这节课有何收获？）12了求斜率2x23,()书计直线的斜角与斜率、倾斜角的定义范围[0，）

（学生展示推导斜率公式的图形）、直线的斜率

tan（90为钝角时，

）ktantan(180

（）业本例1、例85P：、2、3。89【教案说明】线的倾斜角与斜率一教内与位用析版A（的3.1.1节的1内分的直线华罗庚显然，与倾斜角相比，用斜为过两点的直线是唯一确定从而在

y212

数形结合化归等重要数学思2地作分生具备的知识基础是在确不后二教目解12受数学概念3x4三教问诊分1于倾斜角的概念么

也直接你只要接样我们就把缺乏数学学2

()斜率

tan

后学中应放手让学生1、2、推导并初步掌握过两

3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导教难：四本课教方：即在让学五教过设（）设境揭课问点P、Q问2P）可除了再用一点外还有其他问在平以哪条轴问4、P与x轴形45角选择

出过一点的完善倾斜角的定义。（）固知同新通过坡问5问

[

率k如问7、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度，哪个量更优越呢？使用方（）试导深认问8（x（x，11122y且2

1

x用、P的坐率k？212P、P线PP，探1212类似

请克服公式推1、两tan养数形结合与分类思：1、各种情形得出的结论一致吗？与两点坐标顺序有关系吗？2于x轴或y3（）思结概提（同学们这节课有何收获？）122x23,六预效分12

直线的方——点斜式从研究直线方程开始，学生对“解析几何”的学习进入了实质性阶段“直线与方程”关系的研究，是“曲线与方程”的关系研究的前奏和基础，所以本节课教学的效果直接决定了整个“解析几何”教学的效果.刚刚接触“解析几何”的学生，幼稚懵懂的心理致使他们还不能理解“解析几何”的实质，而本节课则以比较浅显的问题开启了“解析几何”学习的先河，他们可渐渐地逐步深刻地认识到直线上的点与有序实数对之间的对应关系，进而可理解“两个独立条件确定一条直线点、斜与“斜、截”分别是“两个独立条件解析几何乃至全部数学内容的精髓，引导学生深刻理解、熟练掌握这些，对于提高他们的数学素养大有裨益.贯穿“解析几何”始终的一个重要问题就是由曲线求其方程和由方程研究曲线性质，而本节课则以简单问题为载体，揭示了解决这个问题的基本方法和步骤，为进一步解决后继的问题打下了坚实的基础.“解析几何”中处处渗透了各种数学思想，特别是数形结合与等价转化思想，本节课则以生动的具体事例有效地促进学生树立、巩固和熟练应用这些数学思想教学是以发展学生的数学思维为重要目标本节课则在优化数学思维的多种特征上有着独特的功能.综上，本节课是高中数学教学中极为关键的内容，创设和实施优质的教学程序，在一定程度上影响着今后高中数学教学的成败.2.1知识与能(1)知道由一个点和斜率可以确定一条直线索并掌握直线的点斜式截式方程；(2)能根据条件熟练地求出直线的点斜式、斜截式方程，并能化为一般式

2.2过程与法(1)让学生经历知识的构建过程，培养学生观察、探究能力；(2)学生进一步理解直线的方程与方程的直线之间的对应关系，渗透数形结合等数学思想.2.3情感态与价值观(1)使学生进一步体会化归的思想，逐步培养他们分析问题、解决问题的能力；(2)用多媒体课件的精彩演示，增强图形美感，使学生享受数学美，增进数学学习的情趣.教学重点：直线的点斜式方程.教学难点：对直线的方程与方程的直线的对应关系的理解(1)教师为主导，学生为主体，师生互动为主线(2)过创设问题情境，引导学生观察、比较、转化、抽象来实现直线的点斜式教学，同时渗透数形结合等数学思想.5.1问题情（了解数学问题1(1)若同学小李说，有一条铁路经过徐州市，你能知道这条铁路的具体位置吗？(不知道，因为不知道这条铁路的方向)(2)若同学小王说一条铁路是正南正北方向能知道这条铁路的具体位置吗？(不知道，因为不知道这条铁路经过哪座城市)(3)同学小张说，有一条铁路经过徐州市，且是正南正北方向，你能知道这条铁路的具体位置吗？(知道了)问题(1)过已知点A(−1，3)的直线有多少条？（无数条）(2)斜率为2的直线有多少条？（无数条）(3)过已知点A(−1，3)，且斜率为−2的直线有多少条？（一条）问题

确定一条直线需要几个独立条件？你能举例说明吗？学生可能的回答：(1)已知直线上的一点和直线的方向(斜率或倾斜角；

11122211111112221111(2)已知直线上的两个点P(,y),(x,y)1112问题

若xy),(,)(x)，则直PP的斜率为.12若xx，则直线P的斜率.125.2学生活（体验数学探究若直l经过点(1，3)，斜率为2，在直l运动，那么点P的坐标(x，y)应满足什么样条件?当点P(x)在直l上运动时点与定点A1所确定的直线的斜率等于−2，故有（1）即y3=2[x(1)]（2）即2x+y−1=0.（3）问题

点A，3）的坐标满足上述各方程吗？答：方程（1）中x；方程（2）及（3）中x=.问题

直l上任意点的坐标与方程（2或（3的解有什么关系？答点在直l上动时坐x足2x+y1=0过来方程2+y1=0的解为坐标的点都在直l上．5.3数学理（建构数学直线的斜式方程:一般地，设直线l经点Pxy)，斜率直l上任意一点的坐标为(xy).1当点P(x)在直l上运动时，PP斜率恒等于k，即1yy1x1

x，除点P外）(丢掉了点P)11即()xx包）(补上点)(比较重要的内容)111方程()叫做直线的点斜式程.(“点”和“斜”是两个独立条件的11浓缩概括，一个极为传神精准的命名)说明：可以验证，直l上的每个点（包括P）的坐标都是这个方程的解；反1

过来，以这个方程的解为坐标的点都在直l上；(2)当直l与l上每一点的横坐标都等于，所以它的方程x．11当直l与l上每一点的纵坐标都等于y，所以它的方程是y，1实际上可写为y-=0(x-0).1特别地，x、y轴所在的直线的方程分别为y=0和x=0.问题

这两个方程是否是直线的点斜式方程？（此问目的：加深对直线的点斜式方程的理解5.4数学应（巩固数学例1.(1)经点P（2，-3与x轴垂直的直线的方程为.(2)经过点P（2，-3与y垂直的直线的方程为.(3)已知直线经过点P−2，3)，率为2，求这条直线的方程．解：(3)由直线的点斜式方程，得所求直线的方程为y3=2(+2)，即2+7=0.例（课本P.71例2已知直l的斜率为k与轴的交点是（0直l的方程.解：由直线的点斜式方程，得所求直线的方程为yb(x0)，即y=+b5.5数学理（建构数学直线的截式方程:方程y=kx+b做直线的截式方(“斜”和“截”又是两个独立条件的浓缩概括，又一个极为传神精准的命名)问题说明：

由直线的斜截式方程可以联想到我们学习过的哪类函数？(1)直线的斜截式方程是直线点斜式方程的一种特殊情况，即给出了直线与轴交点的纵坐标，从而给出了交点坐标(0，b；(2)直线的斜截式方程、点斜式方程适用范围：直线的斜率存在；(3)直线的斜截式方程y=kx+b与一次函数的表达式y=kx+b虽然有着相同面孔但有着本质的区别者的可以为0者的却不可为集一次函数的=+b

的图象｝是集合｛斜截式方程=kxb示的直线｝的真子集(4)直线的斜截式方程y=kx+b中及直在y轴上的截距纵截距名称中虽然有个“距”字，但这里的“b”却既可以为正、为负，可以为0.但距离是恒为非负的，所以有“截距非距”之说.(5)何记忆这两类直线方程(斜率公式→点斜式→斜截式理顺它们之间的逻辑关系，使学生形成自然的记忆)5.6数学应（巩固数学练习：根据下列条件，分别写出直线的方程：(1)经过点(4，−2)，斜率为3；y+2=3(x−4)，即3x−−14=0.(2)经过点(3，1)，斜率为−2；y−1=−2(x−3)，即2x+y−7=0.(3)斜率为−2，在轴上的截距为−2；y=−2x−2.(4)斜率为2，与轴的交点的横坐标为−1.y−0=2[x−(−1)]，即2x−y+2=0.说明：练习(4)中直线与轴交点的横坐标我们对称地称之为直“在x轴上的截距也可称“横截距”.(与纵截距呼应，形成对偶关系5.7合作探（感悟数学探究

在同一平面直角坐标系中作出直线=2，=+2，=−+2，y=3x+2，y=−3x+2，…这些方程表示的直线有什么共同特点？你能用一个方程表示出它们来吗？(为研究方程y=kx+2作铺垫)推测：当k取任意实数时，方程y=+2表示的直线都经过点（，2它们是一组共点直线.问题

这组直线包括所有过点（，2）的直线吗？答：不含过点（0，2）的直线=0.探究

在同一平面直角坐标系中作出直线=2，=2+1，=2−1，y=2x+4，y=2x−4，…

这些方程表示的直线有什么共同特点？你能用一个方程表示出它们来吗？(为研究方程y=2x+b作铺垫推测：当取任意实数时，方程y=2x+b表示的直线彼此平行，它们是一组平行直线，它们斜率相等，纵截距不等.5.8学应用巩固数学）练习1.当k取任何实数值时，(1)直线y=kx+5恒过点.(2)直线y=k(x+5)恒过点.(3)直线y−2=k(x−4)恒过点.练习.直线y=k(x+1)(k>0)的图象可能是（）

1

1

1

1A.

C.

D.

5.9顾小结再现数学）（1）通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？①直线的点斜率式方程——yy(x)；11②直线的斜截式方程——y=kx+b③直线斜截式方程y=+b是点斜式方y(x)的特殊情况；11④集合函数y=kx+b图象合斜截式方程