《直线的倾斜角和斜率》教案与说课稿

教学内容分析教材解析

本节课是《全日制普通高级中学科书（必修）教学第二册（上）（人教版）第章第1节课《直线的倾角和斜率根据实际情况，这是第一课时。本节教学是高中解析几何内容的始。直线的倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素和数表示，是平面直角坐标系内以解析法（坐标法）的方式来究直线及其几何性质如直线的位置关系、夹角、点到直线的离等）的基础。通过本节内容的学习，帮助学生步了解直角坐标系内几何要素代数化的过程和意义，初步渗透解析几何的基本思想和基本究方法，进一步培养学生对函数、数形结合、分类讨论思想应用知识。本课有着开启全章，定基调，渗透方法的作用。用坐标法解决几何问题是解析几的主要目标，其本质是抽象的代数语言和直观的集合语言之间的数学对话。对直线的方程和方程的直线的概的理解需要一个过程。在本节教学中，将一次函数与其图象的对应关系，直接转换成直线程与直线的对应关系，只需学生对其有一个初步的了解，为后学习曲线和方程的概念作准备直线的倾斜角和斜率都是反映直相对于x轴正方向的倾斜程度的。倾斜角是直接用几何要素反映这种倾斜程度的。斜率等倾斜角的正切值，是用函数刻画直线倾斜程度的代数表示，义本身从“数”和“形”两方面通了表示直线倾斜程度的内在联系，将直线的倾斜度和实数间建立对应关系，使几何问题的究具有了普遍性。由于在解析几何中，通过过两点直线的斜率公式，把斜率坐标化，在研究直线时比使用倾斜角更方便。因此，它是研究直问题的重要工具。正确理解斜率的概念，掌握过两点的直线斜率公式，是学习直线方程，研直线的位置关系等许多问题的关键。

目标与目标解析教学问题诊断分析教法特点及预

目标：了解直线的方程和方程的线概念，理解直线的倾斜角和斜率概念，掌握过两点的直线的斜率公式。目标解析：通过斜率概念的构建斜率公式的探究，经厉几何问题代数化的过程，渗透数形结合、分类讨论的思想方法，强函数的应用意识，训练学生的逆向思维能力。通过师生的双活动使学生进一步获得分类讨论抽象概括等研究数学的规律和方法，培养学生周密思考，主学习、合作交流的意识和勇于探的良好品质。、两点确定一条直线，这是学生知道的，但就已知一再需要增加什么量才能确定直线，以及如何来刻画这个量，对学生来有点困难，所以在教学过程中，通过逐个给出的三个问题，学生在讨论后形成倾斜角的概念、斜率概念的学习是本节的难点，学生认为倾斜角就以刻画直线的方向，而且每一条直线的而倾斜角是唯一的，而斜率却这样，另外，为什么要用倾斜角的正切定义斜率对学生也有定的困难，教学中从计算具体的线的倾斜角入手，通过师生对话探究，从学习斜率的必要性合理性、完备性三个角度进行突。3、过两点的斜率概念建立是本节又一难点，受思维定势影响，在坐标系中，学生应几何法探究斜率公式是必然，应重视一方法，除此之外，要积极引导学生应用向量法，把几何要用点的坐标来刻画描述，使几何题代数化。、教学上应用新课标理念，以启发式为主。亚里士德讲思维从问题，惊讶从开始。通过问题驱动法，采用师生对话的式，能使学生在讨论探究中激发学习新知识的兴趣和欲望，可加深对得到概念的理解。、本节课采用学导式，改变了以往研究斜率的方法，学生从数、形两个不同的角度对斜率公式进行一个全方位的研究，不仅是通过对比总结得到斜率的计算公式，更重要的预期是向生渗透坐标法，体会向量法的优性，教师可以真正做到“授之以渔

期效果分析重点难点

3、应用多媒体教具的教手段弥补在直观感、立体感和动态感方面的不足，增大了教内容，增强了学生的思维训练密度。、通过合作学习，上台展示，让学生在活动中感受教思想方法之和谐优美。教学重点：直线的倾斜角和斜率念，过两点的直线的斜率公式。教学难点：斜率概念的学习和过点的直线的斜率公式的建立。教学程

教学情境

学情预设

设计意图序情帮助学生境

师：在初中不与坐标轴平行的直线可以用回忆初中平面

由函数的创

一次几何中的相关

概念引入解设概念指出前析何引面研究问题的

比较自然出

函数来表示，开口向上或向下的抛物线可以用方法称几何生不陌生。课

二次函数来表示，这样就把对图形的研究转化法提同

同时为日后题

为对函数的研究，这里沟通数形关系的桥梁是学们注意它与

体会“坐标约

坐标系。这种以坐标系为桥梁，把几何问题转今后研究问题

法问3

化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性所用的“坐标

的一般性埋分

质的方法，叫坐标法。用坐标法研究几何的学法”有何异同。下伏笔。钟

科称为解析几何。

1.直线方个别学程的概念通师生互动探究新知

探究一线方程和方程的直约3分）第一步：作：请同学们在直角坐标系中任意画一个一次函数的图像，并任取一点标上坐标。第二步：想：所画一次函数的解析式是否是方程？如果是，是何方程？第三步：探讨：方程的解和直线上的点有何对应关系？

生有可能画出形如“y=a”“x=a图像，应及时指出它们虽不是一次函数仍是直线引同学们考虑其中方程的解和直线上的点的关系。

过一次函数的解析式与图像的对应关系引入比较自然。2.直线方程的概念学习需要一个过程的为后面分类讨约22分钟

当学生归纳出方程的解和直线上的点存在一一对应关系时，师生共同总结出直线的方程和方程的直线（幻灯片以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解。这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。探究二：直线的倾斜角（约5分）

论作准备。(2)学准确说出方程的解和直线上的点的对应关系有一定的困难，可积极引导学生应用逆向思维。对于问题(2)，学如果

方程和方程的直线概念的描述中体现出来的逆向思维与本节学习重点直线的倾斜角和斜率的关系中的逆向思维一致。从研究直问题逐个给出：

回再一个线方程的需14、

大家观察刚才所画的图像，对于表示倾斜度

要出发平面直角坐标系内的一条直线L，它的位置由的量顺势引直线在平面哪些条件确定？

出倾斜角的概

直角坐标系(2)一能确定一条直线吗？再加一个什

念果生已中的倾斜角么条件就可以确定一条直线？

经看到课本上

和斜率的概(3)什是直线的倾斜角？如何定义？范

倾斜角的概念，念学

1234师1234

围是什么？

就直接让学生

的认知特点。生

在学生讨论的同时，师板书（为了加深对讨问题3互

概念的理解出下图直线的倾斜角。

关于问题

通过环环动

（3可能相扣的三个探究新

y

L

y

说出直线向上问题生的方向与y轴在讨论后得正向之间所成出倾斜角的L的角是倾斜角。概念生知

xOO

此时应立即点有就感x拨学生什么可加深学生(1)(2这样定义不合

对得到概念)

y

适。

的理解。在总结出L

y

直线的倾斜角

对于直线O

x

O

L概念后可根据x学生理解的实

和x轴行或重合的认际情况做详释：识理解(3)(4)

直线的倾斜角是一个几何概

养学生周密的思维能力，念直地描强化应用分师：确定平面直角坐标系中一条直线位置述和表现直

类讨论思想关系的几何要素是定点和倾斜角。师生共同幻灯片归纳总结：(1)在面直角坐标系中，对于一条与x

线向上的方向和x轴方向所成的最小正

的意识。“上”轴相交的直线，如果把轴绕交点按逆时针角。可简记为

“正方向旋转到和直线重合时所转的最小角正角

“上正，是将倾斜角记为，那么就叫做直线的倾角。(2)当直线和x轴平或重合时，规定直

“正

概念做出的精炼概述师

线的倾斜角为0。

加强记忆。生

故倾斜角的范围是

0oo

互动

探究三：让学生讨论给出直线的斜率的定义（约6分

有的同学预习了课本见到斜率的概

1.通过师生对话探究

1你求出下图中直线的倾斜角？y

念以为什出用斜率表么采用，示直倾斜新知

33

B

y=

3

而不是别的三程度的必要角函数学生性A

Ox

经过思考讨论后，让学生明

2.让学同学们经过计算回答60

确：

生自己定义师说们的算法能现方法是：

平面内的

斜率的概念，生1Rt中由生2：在Rt中由

tan

AB

得出。得出。

任意一条直线可增强成就都有且只有一感学个倾斜角斜兴于生3用

ycot

和

也可以。

角的大小确定

该难点的突了线方向破2同们还能定义别的表示直线斜程度的量吗？

也就确定了斜角不同线的倾斜程度也

3.函数的应用应与实际研究问3应哪一个三角函数更能合理表示直

不同么所用题的需要相线的倾斜程度？借住师生、生生间的辨析得出斜率的概念：

函数尽可能是一一映射且单调性一致才更

结合这样直线的倾斜角与斜率定义）斜角不是90的线，它的

加合理析各两个概念才倾斜角的正切叫做直线的斜率。用k表，即

种三角函数

“和谐k

。

用

k

，

存表（2倾角是90的线没有斜率。

只需补充

直线的倾斜师生互

教师可以接着问：倾斜角为60直线的斜率为多少？

和120

的

o时斜率不存在即可。

程度数学中的“和谐”美。4.可加

动

对于定义

深对分类讨用幻灯片出示第36页1解的过程。（2师论思想的应探

生对话明确1.

用意识究

当倾斜角是90

完善对斜率新

4师有倾斜角的概念为什么还用斜率时线斜率概念的理解。知

来表示直线的倾斜程度？

不存在不是

5.采用仅用倾斜角这个几何概念来刻画直线的方

该直线不存在，数形结合向是不符合解析思想的（即用代数思想研究几此直线垂直于

直线的倾斜何问题此到三角函数

R

可

轴2.所有的直

度和实数之设

ktan

，这样就可以从代数的角度去刻

线都有倾斜角，间建立对应画直线对x轴倾斜程度。

但不是所有的

关系何直线都有斜率。问题的研究具有了普遍性体“坐标法数学研究中划时代的历史意义。在探究中应向学生指出：探究四：直线的斜率公式8分）

斜公式与两点的顺

问题（）让学生复习序无关横纵斜率概念可师：在坐标平面内，已知P

坐标在公式中

起到承上启（x,y),P(x,y),就确定一直线斜的前后次可

下的作用。师

角不等于90°时条线的斜也是唯一确以用时颠倒；生

定的么何用两点的坐标来示直线P

斜公

问题（）互

的斜率呢？

式表明线对引导学生从动

于x轴倾斜

不同的角度第一步：提出两个问题

程度可以通过

计算斜率

探

(1)如何求斜率K？

直线上任意两

对学生进行究

（当

2

时，由

tan

[0,

）

点的坐标表示，数形结合新

(2)计

tan

可以从什么角度计算？用

而不需要求出

类讨论知

什么方法？

斜角用时比→特殊→一（可以构造直角三角形由

对边邻边

入手，

较方便；(3)当=x

般等数学思想方法的有还可以根据定义，将角平移使始边与x正半轴

时，

=90°，

机渗透。重合，顶点与坐标原点重合，在终边上取一点

斜率不存在。P，y）用

yx

来计算）

在坐标系中生用几

通过合作师

第二步：分组活动，合作学习

何法探究斜率学习生公式是必然充当学习的重视这一方法。主体用生

师：下面就从这两个不同角度来计算斜

学生有可能对

“坐标法互

率。

倾斜角为钝角

究几何问题动

的情况不太注

的一般

方意要学生法和对得到探究新知

(1)让生分两大组，一组从构造直角三角形入手计算斜率，另一组通过向量来计算斜率。(2)每大组再分几个合作小组，直线的倾斜角取不同的值。第三步：交流，总结教师在巡视中关注各组研究情况适时给予点拨、指导。条件成熟时，要求学生分析，除了公式是否还可得到一些有价值的副产品（如对直线的方向向量的感性认识

取不同的倾斜角进行分析给予适时的点拨和帮助。应用向量法探究斜率公式的学生能对pp取1向上的方向不太注意，将

结论的理解。让学生上台展示可训练分析和表达问题的能力。过两点的直线的斜率公式的建立是本节难点生pp1

2

平移至起

交流中从两可选一些有代表性的小组上台展示成果，点与坐标点

3241得出斜率公:3241

重合时合三方面进行探ykx21

角函数的定义是思维上的障

究解决使该难点的突破第四步：归纳向量法推导斜率公式的要

碍虑学生显自然点义线的方向向量线的向量1

2

的个体差异

时让学生在及与它平行的向量都称为直线的方向向量，其

师应从向量的

探究中逐步坐标是

(xy1

1

定义角函数意识到向量的定义等方面是处理直线时，

=，k）也是它的方向向量。

对个别

小组

方程中许多进行适时的点评、指导。

问题的重要工具。典例

师：求经过（-2,0两点的直线的斜率和倾斜角。分析

解：

k

3

，

本题考查公式的直接应

通过典例分析0oo

用问题生估斜率公式的能力

o

计能做的很好！正用与逆用可找二同学板问题学提升

直的

，倾斜角是135

。

演他学除生的逆向思做本题外做维能力。师：在平面直角坐标系中，画出经过原

书中P37练点，且斜率分别为1,-1，-2，-3的线，1,3。L，L，L。分析：要画经过原点的直线，只需再找一

学生画出图后强“坐标法”约

L个点若设L上A（x则

y11x

的

本题属斜率与数形结合公式的逆用问的识。6

xy1

，只需取满足

xy1

的任意点均可，

题生可能

让学生分

如（1,1似可画出其它直线。

对L求

体会例钟

倾斜角画直线。法带L

L

y

·

A（1,2）L

的方便。

O

···

A（1,1）A（）A（）

x巩

画固

师：练习P39中4。

出

对练习的进练

y

一步思考习

请2位同学板演4。

且

以让学生深延

师：做书上P39页练习2，进步讨论

2

)

的函数

入的研究直线的倾斜角伸

斜率与倾斜角的取值范围。

图像来讨论

与斜率的内探

可酌情给出：

与k之的关

在联系究

(1)

30

oo

系加对直线的倾斜角和

对直线的倾斜角和斜率约

(2)

o

斜率概念的理

认识的系统7

(3)

120

oo

解化数的

性和深刻性。分

时讨论k范。条件成熟时问，反之，给

应用意识下

将学生的思钟

出k的范围，如何求

的范围。

节内容打下基

维引领向更础。

高的层次。

小结回顾：

学生可能仅仅把直线的

不仅仅小结本节学通过本节的学习，你学到了哪些知识？这倾斜角和率

到的知识梳

些知识是从什么角度研究的？你又掌握了哪些学习数学的方法？

的概念式总重要的是让结一下引导学生感知研理归纳

学生谈谈如何用坐标法探究了直线的倾斜角的概念。从应用坐标法函数的角度定义了直线的斜率。用向量法（坐数形结合类

究数学问题的一般方法，以便将其迁拓

标法）和几何法研究了斜率公式。

讨论思想的关移到以后研照下究几何究直线的位展升华约2分钟

作业：习题7.11.2.3.4.5补充作业：求经过两点A（2，-1）和B（a，-2的直线L的斜角。

问题的。习题7.11.2.3.4.5估问题不大据实际情况可对补充题作一些提示。

置关系中去。补充题意在增强分类讨论的意识后究直线的位置关系做准备。

7.1直的倾斜和斜率（第课时）教学设计明一、教学内容分析本节课是《全日制普通高级中学教科书（必修）教学第二册（上）教）第七章第1节7.1直线的倾斜角和斜率据实情况，这是第一课时。本节教学是高中解析几何内容的开始。直线的倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻直线倾斜程度的几何要素和代数表示，是平面直角坐标系内以解析法的方式来研究直线及其几何性的基础。通过本节内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标系内几何要素代数化的过程和意义，初步渗解析几何的基本思想和基本研究方法，进一步培养学生对函数、数形结合、分类讨论思想的应用意。本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用二、教学目标分析了解直线的方程和方程的直线概念，理解直线的倾斜角和斜率概念，掌握过两点的直线的斜率式。经厉几何问题代数化的过程，培养学生周密思考，主动学习、合作交流的意识和勇于探索的良品质三、教学问题诊断分析1、点确定一条直线，这是学知道的，但就已知一点再需要增加什么量才能确定直线，以及如何来刻画这个量，对学生来说有点困难，所以在教学过程中，通过逐个给出的三个问题，让学生讨论后形成倾斜角的概念。2、率概念的学习是本节的难，学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的而倾斜角是唯一的，而斜率却不这样，另外，为什么要用倾斜角的正切定义斜率对学生也有一定的难，教学中从计算具体的直线的倾斜角入手，通过师生对话探究，从学习斜率的必要性、合理性、完备三个角度进行突破。3、过两点的斜率概念的建立是节又一难点，受思维定势影响，在坐标系中，学生应用几何法探究斜率公式是必然，应重视这一方法，除此之外，要积极引导学生应用向量法，把几何要素用点坐标来刻画描述，使几何问题代数化。四、教法特点及预期效果分析1、教学上应用新课标理念，以发式为主。亚里士多德讲从题，惊讶从开始过问驱动法，采用师生对话的方式，能使学生在讨论探究中激发学习新知识的兴趣和欲望，也可加深得到概念的理解。2、本节课采用学导式，改变了往研究斜率的方法，让学生从数、形两个不同的角度对斜率公式进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到斜率的计算公式，更重要的预期是向学生渗透标法，体

会向量法的优越性，教师可以真正做到“授之以渔3、应用多媒体教具的电教手段补在直观感、立体感和动态感方面的不足，增大了教学内容，增强了学生的思维训练密度。4、通过合作学习，上台展示，学生在活动中感受数学思想方法之和谐优美。五、教学过程及设计意图（一）情境创设，引出课题（约分）（二）师生互动，探究新知（约22分）探究一：直线的方程和方程的直线通过作、问、想三步曲，师生共同总结出直线的方程和方程的直线的概念。探究二：直线的倾斜角逐个明确问题：（1）对于平面直角坐标系内的条直