D3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性

第三章山东交通学院高等数学教研室第四节函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定方法二、曲线的凹凸性与拐点一、函数单调性的判定方法1.定理1则在[a,b]内单调递增.证明:任取由lagrange中值定理得在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,(2)如果在(a,b)内则在[a,b]内单调递减.(1)如果在(a,b)内(1)若则在[a,b]内单调递增.(2)若则在[a,b]内单调递减.设函数例1

讨论函数的单调性.解:令得在内在区间上单减;函数的定义域为在内在区间上单增;例2

讨论函数的单调性.解:时,导数不存在.在内在区间上单减;函数的定义域为在内在区间上单增;注：如果如2.确定函数y=f(x)单调性的一般步骤则函数在该区间上仍单增(或单减).确定函数f(x)

的定义域;在某区间内的有限个点处为零,处均为正(或负),(1)以这些点(2)的单调性,从而判定函数其它点求出使的点和不存在的点,为界点将定义域划分为若干个子区间.(3)确定各个子区间内的符号,并求出单调区间.例3

确定函数的单调区间.解:令得故的单调递增区间为的单调递减区间为函数的定义域为例4

求函数的单调区间.解:令得和在区间函数的定义域为为不可导点.不存在上单调递增;在区间上单调递减.例5证明:时,证明:即令则在上连续.在内,则在上单调递增,时,时,例6证明:时,证明:即令则在上连续.在内,则在上单调递增时,∴在上单调递增时,例7证明方程有且仅有一个实根.解:令则在上连续.使得∴在内至少存在一点x0,又曲线和x轴最多有一个交点.即方程至少有一个实根.∴在上单增.即方程最多有一个实根.∴方程有且仅有一个实根.1.定义1在区间

I

上连续,(1)则称图形在I上是(向上)凹的(或凹弧);(2)则称二、曲线的凹凸性与拐点曲线经过点凹凸性如果发生了改变,若x0是I的内点,(x0,

f(x0))时,则称点(x0,

f(x0))是该曲线的拐点.若恒有若恒有图形在I上是(向上)是凸的(或凸弧).定义2设函数定理2(1)若在

(a,b)

内则f(x)在[a,b]内图形是凹的;(2)若在

(a,b)

内则f(x)在[a,b]内图形是凸的.证明:则由lagrange定理设函数在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内有二阶导数,则且记两式相减得(1)则即则图形是凹的;(2)则即则图形是凸的.而若若例1判断曲线的凹凸性.解:故曲线在内,是凸的.函数的定义域为例2判断曲线的凹凸性.解:故曲线在内,函数的定义域为在是凹的.故曲线在内,在是凸的.2确定函数y=f(x)凹凸性的一般步骤确定函数f(x)

的定义域;(1)以这些点(2)的凹凸性,从而判定函数求出使的点和不存在的点,为界点将定义域划分为若干个子区间.(3)确定各个子区间内的符号,并求出凹凸区间和拐点.注:拐点的嫌疑点:二阶导数为零的点二阶导数不存在的点.例3求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)

为曲线的拐点.凹凸函数的定义域为为二阶导数不存在的点.对应例4求曲线的凹凸区间及拐点.解:令得故该曲线在及上是凹的,是凸的,为拐点.凹凹凸函数的定义域为在上点

及证明:当时,证明:则例5则曲线在时是凸弧设能否利用单调性证明?时,即证明:当时,证明:则例5设当时,时单减,在

时,即扇形AOB的面积二、两个重要极限证明:∴即△AOB

的面积＜＜△AOD的面积注时不等式仍成立.设内容小结1.可导函数单调性判别在I

上单调递增在I

上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别拐点—连续曲线上的凹凸分界点在I上是凹的曲线在I上是凸的曲线思考与练习上则或的大小顺序是()提示:单调增加