地球椭球及数学投影

第四章地球椭球数学投影的基本理论1、球面三角形2、球面角超OabcBCA定义计算公式补充：正弦公式（四元素）单位球3、球面三角形公式（单位球）边的余弦公式（四元素）角的余弦公式（四元素）正余弦公式（五元素）OabcBCA余切公式（四元素）正切公式（四元素）OabcBCA纳白尔规则

环形上任一元素的正弦等于：

1）相邻两元素正切的积；

2）相对两元素余弦的积。4、解算直角球面三角形的纳白尔规则一、参考椭球适于大地测量计算的基准面应满足以下要求：1.应是接近地球自然形体的曲面，这样可使地面观测量归算的改正数很小；2.应是一个便于计算的数学曲面，从而能保证由观测量计算坐标的可行性；3.与大地提的位置要固定下来，即能建立起地面点与基准面上点的一一对应。几何参数长半径短半径极曲率半径扁率

第一偏心率第二偏心率1、地球椭球大地测量中，用以代表地球形状和大小的旋转椭球。椭球名称年代a(m)α克拉索夫斯基194063782451∶298.3

IUGG-1975197563781401∶298.257WGS-84199663781371∶298.257223563GRS80198063781371∶298.2572我国采用的地球椭球参数表

1、地球椭球大地测量中，用以代表地球形状和大小的旋转椭球。克拉索夫斯基椭球a=6387245.00000mb=6356863.01877mc=6399698.90178mα=1∶298.3=0.00335232986926e2=0.00669342162297=0.00673852541468近似估算1、地球椭球大地测量中，用以代表地球形状和大小的旋转椭球。定义：具有确定的几何参数和定位的地球椭球。长半径短半径极曲率半径扁率

第一偏心率第二偏心率地球椭球定位参考椭球2、参考椭球地球形状自然表面大地水准面参考椭球面正常椭球面大小地轴地心大小参考椭球定位

作用1）一定的参考椭球确定了一定的大地坐标系；2）它是地面点水平坐标（大地经纬度）的参考面，高程（大地高）的基准面；3）它是描述大地水准面形状的参考面；4）它是地图投影的参考面；5）参考椭球面及其法线分别是大地测量计算的基本面和基本线。2、参考椭球北极N、南极S子午面、子午圈（线）赤道面、赤道平行圈（线、纬圈）大地纬度B参数之间的关系2、参考椭球参数之间的关系长半径短半径极曲率半径扁率

第一偏心率第二偏心率几何参数第一辅助函数W第二辅助函数W2、参考椭球大值=小值小值=大值规律参数之间的关系2、参考椭球二、大地坐标系与大地空间直角坐标系（一）定义1、大地坐标系赤道面起始大地子午面：NGS椭球面法线基本面、线参考椭球参考椭球测站法线：PKP测站大地子午面：NP0S大地坐标（B，L，H）1、大地坐标系地面点大地经度：L，0o~360o或0o~±180o地面点大地维度：B，0o~±90o地面点大地高：H，可正可负。大地坐标（B，L，H）参考椭球1、大地坐标系说明：P0与P0'的B、L对于任意地面点而言相差甚微；H与H+N或H+ς也相差甚微。故现在常用赫尔默特投影。两种表示地面点大地坐标的方法大地水准面参考椭球面法线铅垂线毕兹特投影赫尔默特投影1、大地坐标系原点：椭球中心OZ轴：与椭球短轴重合，指向北极方向X轴：指向起始大地子午面与椭球赤道的交点方向Y轴：构成右手坐标系原点及轴向2、大地空间直角坐标系参考椭球地面点X坐标：

大地空间直角坐标（X，Y，Z）地面点Y坐标：地面点Z坐标：参考椭球2、大地空间直角坐标系

一个参考椭球（大小+定位）可以确定一套大地坐标系和一套大地空间直角坐标系，这些坐标系之间必有一定的关系，坐标系的关系也即同一点的两套坐标之间的关系。参考椭球3、几点补充说明参考椭球大地测量学中，所说的地面点的大地坐标和大地空间直角坐标都隐含着一个参考椭球，没有参考椭球也就没有这些坐标。3、几点补充说明参考椭球实用中，经常说的某个点的某一坐标系下的坐标，也意味着有一个参考椭球，坐标是相对该参考椭球的。因此，大地测量学中，坐标系与参考椭球是等价的。3、几点补充说明3、几点补充说明参考椭球地面点沿法线在参考椭球面上都有一个投影点，这两点的B、L相同，如果知道了投影点的B、L，也就知道了地面点的水平坐标，这是今后在椭球面上推算地面点B、L的思想。参考椭球相对参考椭球的坐标系也称为参心坐标系、相对坐标系，相对总地球椭球的坐标系也称为地心坐标系、绝对坐标系。3、几点补充说明（二）法线长公式1、椭球面上点的法线长公式参考椭球1、椭球面上点的法线长公式大地子午面（二）法线长公式1、椭球面上点的法线长公式大地子午面（二）法线长公式（二）法线长公式1、椭球面上点的法线长公式大地子午面（二）法线长公式2、地面点的法线长公式参考椭球（三）大地坐标与大地空间直角坐标的转换1、（B，L，H）→（X，Y，Z）参考椭球2、（X，Y，Z）→（B，L，H）参考椭球（三）大地坐标与大地空间直角坐标的转换2、（X，Y，Z）→（B，L，H）迭代求解法，初始值：收敛条件为：迭代收敛解为：参考椭球说明：1）ε为一小正数，如ε=5×10-10；2）J为迭代收敛时的迭代次数。（三）大地坐标与大地空间直角坐标的转换2、（X，Y，Z）→（B，L，H）参考椭球1、（B，L，H）→（X，Y，Z）（三）大地坐标与大地空间直角坐标的转换三、法截线与大地线（一）、任意方向法截线曲率半径1、有关定义法截面：包含椭球面某点法线的平面。法截线：法截面与参考椭球面的交线。斜截面：不包含椭球面某点法线的平面。斜截线：斜截面与参考椭球面的交线。大地方位角：过椭球面曲线上一点的子午线与该曲线的夹角，从子午线北方向起，瞬时针量取，0度~360度。可理解为切线的夹角。子午圈：A=0度或180度卯酉圈：A=90度或270度（一）、任意方向法截线曲率半径1、有关定义三、法截线与大地线P2POP1BK视铅垂线和法线一致，或者经过改正使它们一致，则照准面即于法截面一致，水平观测方向即对应于法截线方向。（一）、任意方向法截线曲率半径三、法截线与大地线2、法截线的作用椭球面法截线是一平面曲线法截线方程：联立椭球面方程与法截面方程即可求得椭球面方程如一坐标面与法截面重合，法截面方程将十分的简单难点：法截面方程比较复杂YZXP2POP1BKxyz如一坐标面与法截面重合，法截面方程将十分的简单（一）、任意方向法截线曲率半径3、基本思路新坐标系的定义：坐标原点：与P点重合；z轴：与P点法线PK重合；x轴：为法截线P1PP2在P

点处的切线方向；y轴：与P点的法截面垂直使坐标系P-xyz成右手系。P-xyz中法截面方程YZXP2POP1BKxyz3、基本思路如一坐标面与法截面重合，法截面方程将十分简单。1）求P-xyz中的椭球面方程2）求任意方向法截线方程3）求任意方向法截线曲率半径ZXP2POP1BKxyz3、基本思路1）坐标系P-xyz与O－XYZ的转换ZXYOBKP点在O-XYZ中的坐标Q4、公式推导过旋转椭球面平行圈上任一点，同方向法截线的形状都一样，即法截线的曲率与大地经度无关。YZXO方位角都为α的两条法截线PP1和P'P2在同一平行圈上的两点P和P′处的曲率相等。1）坐标系P-xyz与O－XYZ的转换ZXYOBKP点在O-XYZ中的坐标Q4、公式推导移轴：将原点O移至P点得坐标系P-X'Y'Z'ZXYOBKPQ1）坐标系P-xyz与O－XYZ的转换4、公式推导转轴：使两坐标系各轴重合（两次转轴)。KOPBO第一次转轴第一次转轴：

P-X'Y'Z'绕Y'顺时针旋转(90°+B)，使Z'轴与P点的椭球面法线重合，得坐标系P-X''Y''Z''。B1）坐标系P-xyz与O－XYZ的转换4、公式推导转换关系为：KOPBO第一次转轴1）坐标系P-xyz与O－XYZ的转换4、公式推导第二次转轴：

P-X''Y''Z''绕Z''轴，顺时针旋转角A（A为P点处法截线方位角），得坐标系P-xyz：O第二次转轴KPBOA1）坐标系P-xyz与O－XYZ的转换4、公式推导综合一次移轴和两次转轴得两坐标系的关系：1）坐标系P-xyz与O－XYZ的转换4、公式推导在O－XYZ中椭球面方程为：两边同乘以a2，并顾及a2=N2W2=N2(1－e2sin2B)，得到O-XYZ中椭球面方程的另一表达式：代入转换关系可得P－xyz中椭球面的方程为：2）在P-xyz中的椭球面方程式4、公式推导将法截面方程y=0代入椭球面方程可得法截线方程为：3）任意方向法截线方程4、公式推导平面曲线z=f(x)上某点P处的曲率半径为：Pzx4）任意方向法截线曲率半径4、公式推导法截线方程4）任意方向法截线曲率半径4、公式推导（二）、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径两个特殊方向的曲率半径：卯酉圈A子午圈K任意方向法截线B任意方向法截线曲率半径RA子午圈曲率半径M卯酉圈曲率半径NP任意方向法截线曲率半径卯酉圈曲率半径子午圈曲率半径（二）、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径1）卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径恰好等于法线在椭球面和短轴之间的长度KPBA（二）、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径在极点处卯酉圈变为子午圈，N为极曲率半径cN随纬度的升高而增大，其值介于a和c之间逐渐减小在赤道上，卯酉圈是赤道，此时N为赤道半径说明NW、VBN的变化规律（N是B的增函数）（二）、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径1）卯酉圈曲率半径（二）、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径2）子午圈曲率半径：KPBA在极点处，M为极曲率半径cM随纬度的升高而增大，其值介于a(1-e2)和c之间逐渐减小在赤道上，M小于赤道半径a说明MW、VBM的变化规律（M是B的增函数）（二）、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径2）子午圈曲率半径：欧拉（L.Euler）定理：描述曲面上任意一点在任意方位角A的法截线曲率半径与主曲率半径的关系的定理3）欧拉定理——M、N与RA的关系3）M、N与RA的关系子午圈卯酉圈1432当A=0º（或A=180º）时，RA=M，最小值；当A=90º（或A=270º）时，RA=N，最大值当A由0º趋于90º时，RA逐渐增大由M趋于N变化当A由90º趋于180º时，RA逐渐减小由N趋于M变化

RA随A的变化以180º为周期的，对称于M、N变化

M和N是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，在微分几何中称为主曲率半径。意义：用球面代替椭球面计算的需要。方法：用积分的方法。定义：椭球面上一点所有方向法截线曲率半径的算术平均值。4）平均曲率半径：根据积分中值定理：由于RA随A变化的对称性，可仅在第一象限积分4）平均曲率半径：5）三种曲率半径的比较NRM关系：（三）、子午线弧长与平行圈弧长1）子午线弧长公式赤道椭圆积分1）子午线弧长公式1）子午线弧长公式由赤道起算的子午线弧长公式赤道怎么由X求B？sin8B一项不超过0.3mm1）子午线弧长公式按1800年德兰勃椭球(a=6375653m，α＝1:334.0)求得的Q正好就是40,000,000m，－米的最初定义。当X<45km，计算精确到0.0001m时，可将子午线视为圆弧，圆弧的半径取为该弧的平均纬度Bm处的子午线曲率半径Mm。子午圈周长赤道平行圈弧素公式平行圈弧长2）平行圈弧长公式平行圈弧素公式子午线弧素公式3）单位子午线、平行圈弧长变化情况单位纬差的子午线弧长：南短北长，随纬度的升高而缓慢的增长

单位经差的平行圈弧长：南长北短，随纬度的升高而急剧的缩短B子午线弧长平行圈弧长△B＝1º1′1″l＝1º1′1″0º1105761842.9430.7161113211855.3630.923151106561844.2630.7381075521792.5429.876301108631847.2630.795

964881608.1326.802451111431852.3930.873

788481341.1421.902601114231857.0430.951

55801930.0215.500751116251860.4231.007

28902481.71

8.028901116961861.6031.027

0

0.00

0.0003）单位子午线、平行圈弧长随纬度变化情况如果视地球为球体，则球面上弧长和它所对应的弧心角有以下关系:弧长111km1.852km1km31m1m1cm弧心角1º1′33″1″0″.030″.00031海里要求熟记3）单位子午线、平行圈弧长随纬度变化情况（四）、梯形图幅面积无论测绘地图还是编制地图，都要知道这幅地图的位置及其范围大小。通常是沿经线和纬线，按照一定的经差和纬差，将椭球表面划分成一系列的图幅，因每个图幅呈现为梯形，故称为梯形图幅。地形图分幅示意图（四）、梯形图幅面积椭球面积元图幅ABCD的椭球面积令l=360°，B1

＝0°，B2＝90°，并乘以2，则可得椭球总面积公式：利用克拉索夫斯基椭球参数则可计算得到地球的总面积为510083060km2，即地球面积约为5.1亿km2，等价的地球半径等于6371116m。（五）、相对法截线①相对法截线的形成

什么时候重合？当A、B两点在同一子午圈（经度相等）或同一平行圈（纬度相等）上时相对法截线重合。OK是纬度B的增函数正法截线：包含A点的法线与照准点B的法截面与椭球面的交线称为A点的正法截线。反法截线：包含照准点B的法线与A点的法截面与椭球面的交线称为A点的反法截线。①相对法截线的形成

②相对法截线的位置

规律：纬度高的点对纬度低的点法截线偏上；纬度低的点对纬度高的法截线偏下②相对法截线的位置

LC>LB>LA,BB>BC>BA.

影响：相对法截线造成了几何图形的破裂。（六）、大地线主法线：法平面与密切面的交线。密切面：过曲线上三点M，N，P作一平面，当N,P->M时，平面的极限位置。切线：过曲线上两点N，M的直线NM，当N->M时，直线NM的极限位置。法平面：与切线垂直的平面。①大地线的定义－关于空间曲线几个概念

切线主法线密切面法平面副法线定义2：大地线是一曲面曲线，在该曲线上各点的相邻两弧素，位于该点的同一法截面中

，或者说大地线上每点的密切面都包含该点的曲面法线。定义1：大地线是一曲面曲线，在该曲线上任一点的曲线主法线与该点的曲面法线重合。①大地线的定义

①大地线的定义

②大地线的性质

平面上两点的最短线：直线

球面上两点的最短线：大圆弧

椭球面上两点的最短线：大地线性质1：大地线是椭球面上两点间的最短线。②大地线的性质

性质2：大地线是无数法截线弧素的连线。椭球面上的法截线中只有子午圈和赤道是大地线。大地线通过沿线各点的所有法截面。②大地线的性质

性质3：椭球面上的大地线是双重弯曲的空间曲线。纵向弯曲（曲率）：椭球面的弯曲产生。横向弯曲（挠率）：法线不相交，法截面不重合产生。在一非常光滑的椭球面上，两点间绷一橡皮筋，那么这条绷紧的橡皮筋，就是两点间的大地线。②大地线的性质

通常情况下，大地线靠近正法截线它分相对法截线的夹角约为二比一，即u:v=2:1。在子午圈和赤道上，大地线和相对法截线重合。在平行圈上相对法截线虽然合而为一，但大地线、法截线和平行圈三者都不重合。在北半球，大地线在上，法截线居中，平行圈在下。性质4：大地线位于相对法截线之间。③大地线微分方程大地线长度与大地经纬度、大地方位角间的微分关系式适用于椭球面上的任意曲线③大地线微分方程大地线专有微分方程③大地线微分方程作用：椭球面上大地坐标计算的基础。④

大地线克莱劳方程说明：1）椭球面上，大地线上各点的平行圈半径与该点大地线方位角的正弦之积为一常数。2）它是长距离大地问题解算的基础。④

大地线克莱劳方程四、地面元素归算至椭球面地面观测元素角度距离方向1、归算的意义和要求①归算的意义？①归算的意义通过归算，为在椭球面上的计算提供观测数据。垂线偏差u以椭球面法线为基准线垂线偏差u地面点沿法线投影到椭球面椭球面两点连线用大地线

②归算的要求③归算的方法归算方法：对地面观测元素加入适当改正数，使之转化为椭球面上相应的元素精度要求：不损害野外观测的精度④归算的内容水平观测方向观测天顶距归算地面长度归算天文方位角归算2、水平观测方向归算到椭球面三差改正：水平方向归算到椭球面上，需进行垂线偏差改正、标高差改正和截面差改正，通常把这三项改正简称为三差改正。①垂线偏差改正（δ1）定义：地面上以铅垂线为准观测的水平方向值，归算为以椭球面法线为准的水平方向值时，顾及测站点垂线偏差的影响所加的改正。2、水平观测方向归算到椭球面法线垂线照准线度盘零线①垂线偏差改正（δ1）①垂线偏差改正（δ1）垂线偏差改正，不仅与测站的垂线偏差有关，而且与观测方向的方位角和垂直角有关。①垂线偏差改正（δ1）讨论：垂线偏差为0的情况？1）铅垂线与法线重合，2）照准点位于面内，3）照准点位于测站水平面，②标高差改正

（δ2）原因：由于A、B两点的法线不在同一平面所产生的。

照准点标石中心正常高

照准点的高程异常

照准点的觇标高②标高差改正

（δ2）

标高差（δ2）为零：1）、H2=0照准点在椭球面上2）、A1=0°、90°、180°、270°，照准点在测站点的子午圈或平行圈上3）、B2=±90°

照准点在极点上【原因】由于相对法截线不重合而采用大地线代替产生的【定义】法截线方向化为大地线方向所加的改正，称为截面差改正，以δ3表示③截面差改正

（δ3）

③截面差改正

（δ3）

δ3为0的情况：A1=0º，90º，180º，270º，照准点与测站点在同一子午圈或接近于同一平行圈。④三差改正的计算现行作业规定，各等三角测量归算时，一等算至0.001″，二等算至0.01″，三四等算至0.1″。

三差改正归算意义主要关系量通常数值一等二等三、四等δ1化为法线为准的观测方向值ξ、η0.05"~0.1"加加酌情δ2化为椭球面上的法截线方向值H20.01"~0.7"δ3化为椭球面上的大地线方向值S0.001"~0.007"不加3、地面观测长度归算至椭球面用测距仪测得的长度是连接地面两点间的直线斜距，将其归算到椭球面上两点的大地线长，称为斜距归算。

作两点近似：1）认为KaKb重合（相对法截线重合）；2）视大地线S为大圆弧。在此基础上，进一步顾及以上两项近似产生的误差项，可推导长距离的斜距归算公式。

短距离（小于30km）斜距归算公式推导3、地面观测长度归算至椭球面精密斜距归算公式短距离（小于30km）斜距归算公式推导3、地面观测长度归算至椭球面五、大地测量主题解算地面观测元素天文方位角距离方向高斯平面上的元素坐标方位角距离方向大地坐标（L，B）平面坐标（x，y）归算归算概算概算椭球面上的元素大地方位角距离方向控制网点坐标平差平差地面点水平坐标的确定五、大地测量主题解算椭球面上点P(S,A)

极轴：过极点P1的子午线P1N极点：椭球面上某已知点极角：大地线在极点的大地方位角极径：P1P的大地线长SNP1PSA1.大地极坐标系2.基本概念①来历

1）从一已知点测得一未知点的平距d12和方位角T12，P1(x1,y1)P2(x2,y2)T12T21yxd12求未知点的坐标及方位角。P1(x1,y1)P2(x2,y2)T12T21yxd122）已知两点的高斯平面直角坐标P1(x1y1),P2(x2y2),

求两点间的平距d12，正反方位角T12，T212.基本概念①来历

②定义在椭球面上推算点的大地坐标，或者根据两点的大地坐标计算大地线长和大地方位角，这样的计算问题就叫做大地问题解算。2.基本概念已知P1点的大地坐标（L1，B1），P1至P2点的大地线长S和大地方位角A1，②定义大地问题正解NP1(L1,B1)SA1P2(L2,B2)A2L2，B2，A2L1，B1，S，A1要求算出P2点的大地坐标（L2，B2）及大地线在P2点处的反方位角A2。②定义大地问题反解已知P1点和P2点的大地坐标（L1，B1），（L2，B2）L1，B1，L2,B2S,A1,A2P1(L1,B1)SA1P2(L2,B2)A2N计算两点间的大地线长S及正反大地方位角A1，A2是椭球面上极三角形的解算NP1(L1,B1)SA1P2(L2,B2)A22)大地坐标与大地极坐标的相互化算L2，B2，A2L1，B1，S，A1L1，B1，L2，B2S，A1，A2③实质④基本方法幂级数形式投影形式以大地线的三个微分方程为理论基础。幂级数形式

幂级数形式：利用椭球面上大地线及其三个微分方程为基础，将大地线两端点的大地经差（l）、大地纬差（b）和大地方位角差（a）展开为大地线长度S的升幂级数式。这类公式的特点在于：解算精度与距离有关，距离越长，收敛越慢，甚至不收敛而不能解。因此，这类方法适用于短距离。代表公式：勒让德级数、高斯平均引数公式。投影形式

投影形式：利用球面作辅助面，将椭球面上的元素转换到球面上，在球面上进行解算，而后再把解算的结果转换回椭球面上。由于椭球面和球面之间只相差一个很小的扁率，所以椭球面和球面相应诸元素中一些转换关系式仅包含微小量e2或e/2的升幂级数式。特点：这类公式不受距离限制，适用于任意距离的大地问题解算。代表公式：白塞耳公式。⑤精度要求大地测量中，大地问题解算精度的要求一般应遵循下述原则：保证由公式引起的计算误差，不再影响野外测量和平差结果的实际精度。如一等三角测量中，大地经、纬度应计算至0.0001"，大地方位角应计算至0.001"。至于其它方面的需要，其计算精度要根据其用途和实际情况来决定。例如，对于导航应用来说，大地经、纬度和大地方位角只要计算到0.1",解算距离精度至10m即可。3.白塞尔大地主题解算方法

1825年，白塞尔（Bessel）提出一种长距离的大地问题解算公式，不受边长（距离）的限制，是长距离大地问题解算中具有代表性的一种公式，当然也适用于短距离解算。

yP’’NSOPP’KBux归化纬度大地纬度与归化纬度之间的关系yP’’NSOPP’KBux建立起以椭球中心为球心，以任意长为半径的辅助球，按以下三个步骤解算：a、按一定条件将椭球面元素投影到球面上；b、在球面上解算大地问题；c、将求得的球面元素按投影关系换算为相应的椭球面元素。①

解算步骤②

投影条件a球面上点的球面纬度等于椭球面上对应点的归化纬度b椭球面上两点间的大地线投影到辅助球面上为大圆弧c大地方位角A1投影后保持不变。

证明:证明：方位角投影后保持不变平行圈弧素：子午线弧素：椭球单位球椭球单位球③

白塞尔微分方程③

白塞尔微分方程③

白塞尔微分方程④

白塞尔大地问题正解NP1(L1,B1)SA1P2(L2,B2)A2L2，B2，A2L1，B1，S，A1►

解算步骤1） 将椭球面元素投影到球面上由B1求u1计算辅助量m和M注意奇异点④

白塞尔大地问题正解1） 将椭球面元素投影到球面上将S化为σ其中σ的单位为度。提问：以下收敛条件对应的精度是多少？米级近似解时，取至k4项，百米级近似解时可舍弃γ项。2）在球面上解算求A2求u2求λ3）将球面元素换算到椭球面上由u2求B2求L2►

象限判断A1mMλ1λ2A2IIII与（M+σ）同象限

tanA2为正在III象限

tanA2为负在IV象限IIIIIIIIIIIVIIIII与360°－（M+σ）同象限tanA2为正在Ⅰ象限

tanA2为负在Ⅱ象限IVIVIIVP1(L1,B1)SA1P2(L2,B2)A2NL1，B1，L2,B2S,A1,A2⑤

白塞尔大地问题反解⑤

白塞尔大地问题反解►

解算步骤1） 将椭球面元素投影到球面上由B求ub.

由l求λ2）解算球面三角形求σ求A1、A23）将球面元素换算至椭球面上►

象限判断►

解算步骤六、地图投影概述1、投影的意义1）大地经纬度仅适用于角度测量，不适用与距离和面积等测量；2）大地坐标不能直接用来控制平面测图；3）在椭球面上计算比较复杂。在大地测量中，所谓地图投影，就是将椭球面上的元素，按照一定的数学规则归算到平面上。椭球面元素包括点的大地坐标、大地线的方向和长度以及大地方位角等，其中点的坐标是关键。因为点的位置确定后，两点间大地线的方位和距离自然就确定了。

六、地图投影概述2、投影的定义六、地图投影概述3、投影方程描述了椭球面与平面之间点与点的一一对应关系

F1和F2称为投影函数，它们是由“一定的数学规则”所决定的。不同的投影方法对应的F1

、F2不同，因此，又可说它们是由一定的投影条件确定的。如果F1和F2的形式已经确定，即可由大地坐标求得平面直角坐标。

椭球面是不可展曲面，不能展成平面。如果取一可展曲面（如平面、圆锥面、圆柱面），使其与椭球面相切或相割，然后按一定的数学规则，将椭球面上的元素转换到可展曲面上，并将可展曲面展平，就变成平面上的元素了。这样就将本来是不可展平的椭球面，人为地转变成平面。

六、地图投影概述4、投影变形

将本来是不可展平的椭球面，人为地转变成平面。由此得到的平面元素必然要产生投影变形。投影变形包括长度变形、角度变形和面积变形。

长度变形方向或角度变形面积变形变形在所难免！1)长度比

4、投影变形2）主方向

过椭球面上某点，通常有两条互相正交的曲线，它们在平面上的投影曲线也是互相正交的，这样两条曲线所在地方向叫主方向。因为长度比在主方向上有极值存在，所以也可说，长度比极值所在的方向称为主方向。

O'OKIK1I1K'I1'K1'I'4、投影变形3）变形椭圆在一定点上，长度比一般随方向而变化的。如果以定点为中心，以长度比的数值为向径，构成以两个主方向为轴，以两个长度比极值为长短半径的椭圆，这个椭圆称为变形椭圆。

OAPBO'A'P'B'xy

椭球面ξη投影平面4、投影变形4）投影变形的种类4、投影变形定义：长度比m与1之差，用r表示，即量级：m值可能大于、小于、等于1，因此r值可能为正、为负或为零。

a)长度变形4）投影变形的种类4、投影变形b)方向变形定义：设椭球面上一个角度u，投影到平面上为u'，则（u-u'）称为角度变形。4）投影变形的种类4、投影变形c)角度变形面积比P：椭球面上一无限小的图形，投影到平面上的面积与原椭球面图形面积之比的极限。面积变形：4）投影变形的种类4、投影变形d)面积变形六、地图投影概述5、投影分类等角投影（正形投影）投影前后，角度不发生变形投影前后，方向不发生变形椭球面某点的长度比为一常数，不随方向而变按投影面：平面投影、圆锥投影、圆柱投影等按变形性质：等角、等面积、任意投影等按创始人的姓名：如墨卡托、高斯投影等等角投影（正形投影）等积投影

任意投影

六、地图投影概述5、投影分类按投影面：平面投影、圆锥投影、圆柱投影等按变形性质：等角、等面积、任意投影等按创始人的姓名：如墨卡托、高斯投影等等角投影（正形投影）等积投影

任意投影

用途：行政区划图，经济图……用途：基本地形图，航海图，航空图……用途：要求不太严格的地图，普通地图，交通图……5、投影分类6、椭球面到平面的正形投影在微小范围内投影的长度比m

与方向无关，但随点位而改变。在微小区域内，椭球面图形投影后保持形状不变，也就是说，投影到平面上的微小图形与椭球面上的微小图形相似。1）、定义

2）、特点

►正形投影1、等量坐标大地坐标等量坐标►正形投影条件2、公式推导(柯西-黎曼微分方程)

►正形投影条件2、公式推导(柯西-黎曼微分方程)

投影方程(柯西-黎曼微分方程)2、公式推导(柯西-黎曼微分方程)

3、柯西-黎曼微分方程的说明柯西-黎曼方程是正形投影的充要条件

正形投影的长度比公式

平面到椭球面的柯西-黎曼方程为七、高斯平面直角坐标系1、高斯-克吕格投影概念

高斯－克吕格投影又称等角横切椭圆柱投影。是德国数学家、物理学家、大地测量学家高斯于十九世纪二十年代提出的，后经德国大地测量学家克吕格于1912年对投影公式加以补充和完善。通常简称高斯投影。

1、高斯-克吕格投影概念高斯投影三条件正形条件中央子午线投影为一直线中央子午线投影后长度不变1、高斯-克吕格投影概念2、高斯投影的分带

1）、为什么要分带为了有效地控制长度变形。

2）、如何分带将椭球面沿子午线划分成若干个经差相等的狭窄地带各带，分别投影。3）、分带的方法六度带、三度带

3、分带的方法六度带：自零子午线起向东划分，每隔6º为一带三度带：在六度带基础上，其奇数带中央子午线与六度带中央子午线一致；偶数带与六度带中央分带子午线重合。3、分带的方法已知带号计算6°带中央子午线经度

已知6°带中央子午线的经度反算带号

计算任意经度所在投影带的带号公式

已知带号计算3°带中央子午线经度

已知3°带中央子午线的经度反算带号

计算任意经度所在投影带的带号公式

3、分带的方法4、投影带的重叠原因便于跨带三角锁网平差利于图幅拼接

解决办法

西带向东带重迭30′东带向西带重迭15′5、高斯平面直角坐标系

x轴：中央子午线的投影y轴：赤道的投影原点：中央子午线与赤道的交点自然坐标（x，y）自然坐标（x，y）通用坐标（X，Y）500km通用坐标与自然坐标的关系算例：6度带19带的点5、高斯平面直角坐标系

自然坐标（x，y）通用坐标（X，Y）500km通用坐标与自然坐标的关系算例：6度带19带的点5、高斯平面直角坐标系

地面观测元素天文方位角距离方向高斯平面上的元素坐标方位角距离方向大地坐标（L，B）平面坐标（x，y）归算归算概算概算椭球面上的元素大地方位角距离方向控制网点坐标平差平差地面点水平坐标的确定6、高斯平面坐标系与大地坐标系►高斯投影正算高斯投影正算，就是椭球面元素到平面元素的投影计算，即已知椭球面大地坐标（L,B）计算高斯平面直角坐标（x，y）。►高斯投影正算①公式推导展开条件：经差l不大，在0～3.5°（0.061rad）以内，展开后的形式（

l的幂级数

）：级数展开①公式推导b)求待定系数对级数展开式求偏导数对x对y①公式推导A.

正形条件b)求待定系数引入高斯投影的三个条件①公式推导b)求待定系数引入高斯投影的三个条件①公式推导B.

中央子午线投影后为纵坐标轴即l=0时y=0。代入投影方程：得投影方程简化为：高斯投影在中央子午线东西两侧的投影是对称于中央子午线的。b)求待定系数引入高斯投影的三个条件①公式推导B.

中央子午线投影后为纵坐标轴C.

中央子午线投影后长度不变——投影后的纵坐标x等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长X。即l=0时x=X。代入投影方程：得b)求待定系数引入高斯投影