平稳时间序列预测法

平稳时间序列预测法第一页，共五十四页，2022年，8月28日目录基本概念ARMA模型建模流程第二页，共五十四页，2022年，8月28日平稳时间序列：设时间序列来自一个随机过程，如果此随机过程的随机特征不随时间变化，则我们称过程是平稳的。实际应用中一般要求平稳性为“宽平稳”。基本概念第三页，共五十四页，2022年，8月28日宽平稳：基本概念第四页，共五十四页，2022年，8月28日如果时间序列式平稳的，我们就可以用具有确定参数方程将时间序列模型化。并且利用以往的序列对模型的参数进行估计。ARMA模型是一个研究平稳时间序列的模型基本概念第五页，共五十四页，2022年，8月28日白噪声序列：序列由独立同分布的随机变量构成。对所有都有基本概念第六页，共五十四页，2022年，8月28日白噪声序列式最简单的平稳序列，在不同点上的协方差为0。该特性称之为“无记忆性”，意味着人们无法根据其过去的特点推断其未来的特点，其变化没有规律可循。在时间序列的分析中，当模型的残差序列为白噪声序列时，可认为模型达到了较好的效果，剩余的残差中已没有可提取的信息。基本概念第七页，共五十四页，2022年，8月28日自相关函数与偏自相关函数①自相关函数过程的第j阶自相关系数即，自相关函数记为ACF(j)。基本概念第八页，共五十四页，2022年，8月28日②偏自相关函数偏自相关系数度量了消除中间滞后项影响后两滞后变量之间的相关关系。偏自相关函数记为PACF(j)基本概念第九页，共五十四页，2022年，8月28日③自相关函数和偏自相关函数的联系2阶以上的偏自相关函数计算公式较为复杂，这里不再给出。可自行查阅相关书籍。基本概念第十页，共五十四页，2022年，8月28日ARMA模型自回归移动平均模型（autoregressivemovingaveragemodels,简记为ARMA模型），由因变量对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值回归得到。包括移动平均过程（MA）、自回归过程（AR）、自回归移动平均过程（ARMA）。ARMA模型第十一页，共五十四页，2022年，8月28日AR（p）模型自回归（AR）模型表示为：

其中为为白噪音过程。ARMA模型第十二页，共五十四页，2022年，8月28日MA（q）模型移动平均（MA）模型表示为：

其中为为白噪音过程。ARMA模型第十三页，共五十四页，2022年，8月28日ARMA（p,q）模型将AR模型与MA模型连起来：

其中为为白噪音过程。ARMA模型第十四页，共五十四页，2022年，8月28日AR、MA模型的相互转化结论一：平稳的AR(p)过程可以转化为一个MA(∞)过程，可采用递归迭代法完成转化结论二：特征方程根都落在单位圆外的MA(q)过程具有可逆性平稳性和可逆性的概念在数学语言上是完全等价的，所不同的是，前者是对AR过程而言的，而后者是对MA过程而言的。ARMA模型第十五页，共五十四页，2022年，8月28日以上三个模型都要满足一下条件：第一，平稳性。序列时平稳的。第二，残差符合白噪声。第三，AR的平稳与MA的可逆ARMA模型第十六页，共五十四页，2022年，8月28日ARIMA模型将ARMA模型推广到非平稳的序列，就是ARIMA模型。非平稳的序列通过若干次处理，如：取对数，差分等可化为平稳的序列。经过d阶差分后得到平稳序列的ARMA(p,q)模型就是原序列的ARIMA(p,d,q)模型ARMA模型第十七页，共五十四页，2022年，8月28日ARIMA的建模流程图：建模流程原始序列周期带周期成分不带周期成分平稳差分白噪声结束ARMA模型第十八页，共五十四页，2022年，8月28日周期性检验：谱分析谱分析方法把时间序列看成是由多种不同频率的规则波（正弦波或余弦波）迭加而成。在频率域上比较不同频率波的方差大小，从而找出波动的主要周期。对某一时间序列的谱分析，有两种方法：

一是功率谱分析，

二是最大熵谱分析。建模流程第十九页，共五十四页，2022年，8月28日功率谱分析在时域中,如果假设标准化时间函数自相关系数为

则功率谱与自相关系数

通过傅里叶变换可建立如下关系：建模流程第二十页，共五十四页，2022年，8月28日功率谱估计法第一步，计算样本自相关系数：建模流程第二十一页，共五十四页，2022年，8月28日功率谱估计法第二步，计算功率谱：建模流程第二十二页，共五十四页，2022年，8月28日的最大值即为主要周期。功率谱在分析时间序列的周期时存在如下问题：(1)功率谱不能兼顾高频和低频段的需要;(2)某些短周期振动易在一些周期长度为它们整数倍的长周期中表现出来,又混在长周期中;(3)所取样本较短时,不利于谱的分辩,可能得出的周期与实际有偏离。建模流程第二十三页，共五十四页，2022年，8月28日SPSS中的功率谱分析：观察谱周期图；做Fisher峰值检验；有效的峰值处就是周期；建模流程第二十四页，共五十四页，2022年，8月28日平稳性检验一般地，以时间序列数据为依据的实证研究工作都必须假定有关的时间序列时平稳的，否则回导致谬误回归问题的出现。先给出两种非平稳序列现象：d阶单整和协整，这两类非平稳序列经过变换可以达到平稳。建模流程第二十五页，共五十四页，2022年，8月28日d阶单整：是指非平稳序列经过d阶差分后可以达到平稳。协整：若两个或多个非平稳的变量序列，其线性组合后的序列呈平稳，则称这些序列见有协整关系。建模流程第二十六页，共五十四页，2022年，8月28日先来看一个随机游动过程：

为白噪声序列可以看出：期望是常数，方差却随时间变化，是非平稳过程。建模流程第二十七页，共五十四页，2022年，8月28日单位根过程：其中，是一个平稳过程，且

，可见，随机游动过程是单位根过程的一个特例。建模流程第二十八页，共五十四页，2022年，8月28日单位根检验：目前使用比较广泛的是Dickey-FullerTest（DF检验）是Dickey和Fuller在20世纪70年代到20世纪80年代的一系列文章中建立起来的。他是基于参数的最小二乘估计，在单位根过程中，有给定样本构造统计量，易操作，可应用于多种不同形式。建模流程第二十九页，共五十四页，2022年，8月28日单位根检验：1987年Engle提出了ADF(AugmentedDickey-Fuller)检验以修正DF检验中自相关问题，并指出具有高阶自相关的序列应用ADF检验。ADF检验方法加入了漂移项与实践趋势项，更具科学性。建模流程第三十页，共五十四页，2022年，8月28日DF检验的假设：假设模型·样本观测值来自模型因此，在原假设成立时，服从一个随机游动过程；在备择假设成立时，服从一个平稳的一阶自回归模型。建模流程第三十一页，共五十四页，2022年，8月28日在原假设成立的条件下，参数

的最小二乘估计为：T为样本容量。建模流程第三十二页，共五十四页，2022年，8月28日接下来构造统计量：和其中建模流程第三十三页，共五十四页，2022年，8月28日对于上述两种检验Dickey和Fuller分别给出了检验的临界值，对于给定的样本容量T和显著性水平α，将样本观察值带入两个统计量中，和临界值对比，如果统计量大于临界值，则拒绝原假设即认为服从平稳的一阶自回归模型。建模流程第三十四页，共五十四页，2022年，8月28日利用Eviews做单位根检验：建模流程第三十五页，共五十四页，2022年，8月28日前面通过周期性检验确定周期，通过单位根检验判断序列是否平稳。对平稳的序列画出ACF和PACF图，判断是不是白噪声。如果不是白噪声序列，则根据ACF和PACF图尝试给ARMA模型进行初步定阶。建模流程第三十六页，共五十四页，2022年，8月28日自相关图与偏自相关图：根据自相关系数和偏自相关系数画成的图，可以简单直观的从图中读出粗略信息。下面介绍几种序列的大致图形。建模流程第三十七页，共五十四页，2022年，8月28日建模流程第三十八页，共五十四页，2022年，8月28日建模流程第三十九页，共五十四页，2022年，8月28日建模流程第四十页，共五十四页，2022年，8月28日建模流程第四十一页，共五十四页，2022年，8月28日建模流程第四十二页，共五十四页，2022年，8月28日建模流程平稳的时间序列其自相关图和偏自相关图应该很快的落入95%的置信区间。第四十三页，共五十四页，2022年，8月28日建模流程拖尾与结尾：首先拖尾与结尾都是针对平稳的时间序列。拖尾：是一种衰减的趋势，很快落入区间内，通常呈衰减的正弦波或指数形式。截尾：在某一阶后突然变得很小。第四十四页，共五十四页，2022年，8月28日建模流程模型理论上的ACF理论上的PACF白噪声序列全为0全为0AR(p)拖尾p阶截尾MA(q)q阶截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾（不截尾）拖尾（不截尾）第四十五页，共五十四页，2022年，8月28日建模流程截尾性检验：对于自相关系数对每一个时，计算，取

或，考察满足或第四十六页，共五十四页，2022年，8月28日建模流程如果时都明显不为0，而

均近似于0，并满足上述不等式相应的比例，则可近似的判定是阶截尾，平稳的时间序列为MA(q)模型。第四十七页，共五十四页，2022年，8月28日建模流程截尾性检验：对于偏自相关系数类似地，可考察可近似判定为阶截尾，平稳的时间序列为AR(p)模型。第四十八页，共五十四页，2022年，8月28日建模流程以上给出了两种定阶的方法，一种简便但偏主观，一种复杂但较客观。无论哪种定阶方法都不是一蹴而就的，都需要反复的分析与尝试。如：每做完一次模型的建立，都需要进行残差分析，看看残差是否是白噪声序列。如果不是，说明模型没有提取完所有的序列信息。第四十九页，共五十四页，2022年，8月28日建模流程利用信息准则定阶：信息准则法在模型的选择中起到很重要的作用，可以用于ARMA(p,q)模型的定阶，实际上就是ARMA(p,q)模型的筛选。这里给出两种准则：AIC准则和BIC准则。第五十页，共五十四页，2022年，8月28日建模流程

第五十一页，共五十四页，2022年，8月28日建模流程

第五十二页，共五十四页，2022年，8月28日建模流程利用准则的决策矩阵：从中选出AIC(p,q)最小的最为最终ARMA(p,q)模型MA(0)MA(1)……MA(q)AR(0)AIC(0,0)AIC(0,1)