平稳时间序列模型及其特征

平稳时间序列模型及其特征第一页，共四十五页，2022年，8月28日2第一节模型类型及其表示

一、预备知识第二页，共四十五页，2022年，8月28日3一阶差分(相距一期的两个序列值之间的减法运算称为1阶差分运算)

阶差p分

步差k分对1阶差分后序列再进行一次1阶差分运算称为2阶差分▽2xt=▽xt-▽xt-1依此类推，对p-1阶差分后序列再进行一次1阶差分运算称为p阶差分第三页，共四十五页，2022年，8月28日42.滞后算子滞后算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个滞后算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻

记B为滞后算子，有

第四页，共四十五页，2022年，8月28日5

，其中

第五页，共四十五页，2022年，8月28日6线性差分方程齐次线性差分方程第六页，共四十五页，2022年，8月28日7

特征方程特征方程的根称为特征根，记作齐次线性差分方程的通解不相等实数根场合有相等实根场合复根场合第七页，共四十五页，2022年，8月28日8第八页，共四十五页，2022年，8月28日9AR（p）模型：MA（q）模型：ARMA（p，q）模型：第九页，共四十五页，2022年，8月28日10二、自回归模型一阶自回归模型AR（1）

第十页，共四十五页，2022年，8月28日11第十一页，共四十五页，2022年，8月28日12

AR（1）模型的特例——随机游动

第十二页，共四十五页，2022年，8月28日13随机游动模型有以下特征：1）模型有非常强的一期记忆性。2）系统的一步超前预测。3）与AR（1）模型类似，随机游动模型可以写成，可以看出噪声对yt的影响并不随着时间的推移而减弱。第十三页，共四十五页，2022年，8月28日14

一般自回归模型模型的特点有：第十四页，共四十五页，2022年，8月28日15三、移动平均模型一阶滑动平均模型MA（1）用MA（1）模型作预测，那么得到的预测值仅仅取决于上期系统的随机扰动项。

第十五页，共四十五页，2022年，8月28日16q阶滑动平均模型MA（q）

有限个白噪声的和总是平稳的，因此通常MA（q）模型是平稳的。如果对该模型作向前一步预测，则有第十六页，共四十五页，2022年，8月28日17四、自回归移动平均模型第十七页，共四十五页，2022年，8月28日18第十八页，共四十五页，2022年，8月28日19当q=0时，ARMA（p，0）模型就是AR（p）模型，当p=0时，ARMA（0，q）模型就是MA（q）模型，因此自回归模型和移动平均模型都是ARMA（p，q）模型的特例。第十九页，共四十五页，2022年，8月28日20第二节格林函数和平稳性一、ARMA（p，q）的格林函数（一）ARMA（p，0）系统的格林函数

若一个系统被表示为yt=，则系数函数称为格林函数或记忆函数。

第二十页，共四十五页，2022年，8月28日21

MA（q）过程格林函数为

AR(P)AR（P）过程格林函数为第二十一页，共四十五页，2022年，8月28日22ARMA（p，q）的格林函数第二十二页，共四十五页，2022年，8月28日23例2求模型的格林函数对比等式左右两边有因此模型的格林函数

第二十三页，共四十五页，2022年，8月28日24第二十四页，共四十五页，2022年，8月28日25二、系统的平稳性（一）AR(p)系统的平稳性条件平稳域：第二十五页，共四十五页，2022年，8月28日26例3求一阶自回归模型的平稳域解：即平稳域为：

第二十六页，共四十五页，2022年，8月28日27例4求二阶自回归模型的平稳域解：特征方程需满足：即：第二十七页，共四十五页，2022年，8月28日28

(二)ARMA(p,q)系统的平稳性条件ARMA模型平稳性完全取决于模型中的AR部分，如果模型中的AR部分是平稳的，则ARMA模型是平稳的。第二十八页，共四十五页，2022年，8月28日29第三节逆函数和可逆性一、MA（q）模型的可逆域逆函数形式:I（B）称为逆函数第二十九页，共四十五页，2022年，8月28日30第三十页，共四十五页，2022年，8月28日31例5判断MA（2）模型是否可逆解：特征方程，可逆域为：满足可逆条件，因此可逆。第三十一页，共四十五页，2022年，8月28日32二、MA（q）模型的逆函数第三十二页，共四十五页，2022年，8月28日33例6求模型的逆函数解：第三十三页，共四十五页，2022年，8月28日34三、ARMA（p，q）的可逆域与逆函数第三十四页，共四十五页，2022年，8月28日35第四节平稳时间序列的统计特征一、自相关函数第三十五页，共四十五页，2022年，8月28日36第三十六页，共四十五页，2022年，8月28日37第三十七页，共四十五页，2022年，8月28日38第三十八页，共四十五页，2022年，8月28日39（二）MA（q）的自相关函数第三十九页，共四十五页，2022年，8月28日40第四十页，共四十五页，2022年，8月28日41二、偏相关函数

第四十一页，共四十五页，2022年，8月28日42第四十二页，共四十五页，2022年，8月28日43Yule-Wolker方程：第四十三页，共四十五页，2022年，8月28日44偏相关函数：第四十四页，共四十五页，2022年，8月28日45本章小结1．AR模型、MA模型和ARMA模型是三种基本的线性时间序列模型，能够用有限的参数刻画系统的动态性。这三种模型属于随机差分方程，因此特征方程对研究三类模型的统计特性具有重要意义。2．AR模型的逆函数表示是指用无限阶的MA模型来表示有限阶的AR模型，格林函数就是无限阶MA模型的系数。AR模型平稳性条件是的根在单位圆外或者特征方程的根在单位内，满足这个范围的自回归系数区域构成平稳域。3．将有限阶MA模型表示为无限阶AR模型，就得到MA模型的逆转形式。MA模型具有可逆性的条件是的根在单位圆外或者特征方程的根在单位内。MA模型的格林函数与AR模型的格林函数在形式上是一致的。