平均指标和变异指标

平均指标和变异指标第一页，共七十七页，2022年，8月28日第五章平均指标和变异指标本章学习目标1.理解和掌握平均指标和变异指标的概念2.掌握平均指标和变异指标的种类3.掌握各类平均指标的计算和应用4.掌握各类变异指标的计算和应用5.掌握几种平均指标之间的关系第二页，共七十七页，2022年，8月28日第一节平均指标

一、什么是平均指标

？平均指标——是同质总体各单位某一标志在一定时间、地点、条件下所达到的一般水平，是总体的代表值，它描述分布数列的集中趋势。二、平均指标的特点1.同质性2.代表性

3.抽象性

第三页，共七十七页，2022年，8月28日第一节平均指标

三、平均指标的作用1.可以比较同类现象在不同单位、不同地区间的平均水平。2.可以比较同类现象在不同时期的平均水平。3.可用于研究事物之间的依存关系。4.利用平均数还可以进行推算和预测。第四页，共七十七页，2022年，8月28日第一节平均指标

四、平均指标的分类

（五）几何平均数（二）众数（三）算术平均数（四）调和平均数（一）中位数位置平均数数值平均数怎么计算呢？第五页，共七十七页，2022年，8月28日数值平均数第六页，共七十七页，2022年，8月28日（一）算术平均数概念：

算术平均数是总体各单位某一数量标志的平均数。基本计算公式：算术平均数=标志总量÷总体总量算术平均数与强度相对数的比较①含义不同。强度相对数分子与分母是两个性质但又有联系的指标值；而平均数分子同一总体的某一标志总量，而分母为总体总量。

②有些强度相对数的分子和分母可以互换，而平均数则不可以。

③平均数的分子与分母的数值存在着一一对应关系。

第七页，共七十七页，2022年，8月28日（一）算术平均数计算方法：由于掌握的资料不同和计算上的复杂程度不同，可分为简单算术平均数和加权算术平均数。（1）简单算术平均数公式中：代表算术平均数

代表总体各单位标志值

代表标志值的项数

∑为求和符号

第八页，共七十七页，2022年，8月28日（一）算术平均数计算方法：（2）加权算术平均数公式中：代表算术平均数

代表总体各单位标志值

代表各组的次数第九页，共七十七页，2022年，8月28日【例5－3】某销售公司12月份各天的销售额数据如下表所示：

销售额（万元）销售的天数（天）销售额×天数230240260280290300389712690192023401960290600合计307800（一）算术平均数第十页，共七十七页，2022年，8月28日解：＝7800/30

＝260（万元）当我们掌握的资料是组距数列时，用各组的组中值代替各组平均数，再用公式来计算加权算术平均数。（一）算术平均数第十一页，共七十七页，2022年，8月28日（一）算术平均数算术平均数的性质：（1）算术平均数与总体单位数的乘积，等于各单位标志值的总和。

（2）各单位标志值与算术平均数离差之和等于零。

（3）各单位标志值与算术平均数离差平方之和为最小。（4）对各单位标志值加或减一个任意数则算术平均数也要增加或减少该数(5)对各单位标志值乘以或除以任意一个非零数,则算术平均数也要乘以或除以该数第十二页，共七十七页，2022年，8月28日（二）调和平均数概念：调和平均数又称倒数平均数，是变量倒数的算术平均数的倒数。基本计算公式：

（简单公式）（加权公式）第十三页，共七十七页，2022年，8月28日（二）调和平均数调和平均数与算术平均数的联系：调和平均数是算术平均数的变形。调和平均数的权数是算术平均数中的标志值乘以总体单位数所得到的标志总量，即：第十四页，共七十七页，2022年，8月28日（二）调和平均数运用调和平均数该注意的问题：（1）当变量数列有一变量X的值为零时，调和平均数公式的分母将等于无穷大，因而无法求出确定的平均值。（2）调和平均数和算术平均数一样，易受两极端值影响。

（3）要注意区分调和平均数和算术平均数的使用条件，因事制宜

。第十五页，共七十七页，2022年，8月28日【例5－4】某农贸市场苹果5元每斤、香蕉2元每斤、西瓜3元每斤，如果苹果买了5元、香蕉买了8元、西瓜买了6元，请问买回来的水果平均每斤多少钱？解：价格＝则平均价格H为：（二）调和平均数第十六页，共七十七页，2022年，8月28日（三）几何平均数概念：几何平均数是个变量值连乘积的次方根，用Ｇ表示。

基本计算公式：

（简单公式）（加权公式）银行平均利率、各年平均发展速度、产品平均合格率等的计算就采用几何平均法第十七页，共七十七页，2022年，8月28日（三）几何平均数运用几何平均数该注意的问题：（1）变量数列中任何一个变量值不能为0，一个为0，则几何平均数为0。（2）用环比指数计算的几何平均易受最初水平和最末水平的影响。（3）几何平均法主要用于动态平均数的计算。第十八页，共七十七页，2022年，8月28日【例5－5】一位投资者持有一种投资产品，在2005、2006、2007、2008、2009和2010年的收益率分别是4.5％、2.5％、5％、4％、4.2％、4.6％。试计算该投资者在这六年内的平均收益率。解：根据计算公式得：

（三）几何平均数第十九页，共七十七页，2022年，8月28日几何平均数的计算过程中往往要求开高次方，计算起来比较麻烦，因此可利用对数，将几何平均数转化为算术平均数：

(简单)(加权)（三）几何平均数第二十页，共七十七页，2022年，8月28日【例5－6】一位投资者持有一种投资产品，在2001-2010年10年收益情况如下表所示，试计算该投资者在这几年平均投资收益。收益率（％）

4.04.55.05.41.0401.0451.0501.05424510.017030.019110.021190.022840.034060.076440.105950.02284合计／10／0.26029（三）几何平均数第二十一页，共七十七页，2022年，8月28日解：由公式可知：G＝0.06177＝6.177％（三）几何平均数第二十二页，共七十七页，2022年，8月28日几种平均数的关系（一）算术平均数、调和平均数和几何平均数的关系：（1）各自的适用场合不同。

（2）各种数值平均数在计算上的繁简程度也不同

。第二十三页，共七十七页，2022年，8月28日HG计算公式（简单）计算公式（加权）单项式分组变量值为分组标志值，实际值组距式分组变量值为组中值，近似值计算原则平均数=标志总量÷总体总量适用范围权数总和为总体总量（分母数据），如：总人数、总购买量、总天数权数总和为标志总量（分子数据），如：总产值、总支出、总费用、总产量、总成本变量各值相互联系，如发展速度、年收益率、流水作业条件下各车间及格率数值比较（同变量值、同权数）第二十四页，共七十七页，2022年，8月28日位置平均数第二十五页，共七十七页，2022年，8月28日众数一、众数1、众数是指变量数列中出现次数最多或频率最大的变量值。2、适用条件：只有集中趋势明显时，才能用众数作为总体的代表值。3、特点：一组数据中出现次数最多的变量值适合于数据量较多且有明显的集中趋势时使用不受极端值的影响(缺乏敏感性)一组数据可能没有众数或有几个众数第二十六页，共七十七页，2022年，8月28日众数(不惟一性)无众数

原始数据:10591268

一个众数

原始数据:659855多于一个众数

原始数据:252828364242第二十七页，共七十七页，2022年，8月28日众数的计算方法（1）单项数列确定众数，即出现次数最多（频率最大）的标志值就是众数。（2）组距数列确定众数：在等距数列条件下，先确定众数组，然后再通过公式进行具体计算，找出众数点的标志值。第二十八页，共七十七页，2022年，8月28日第一步：确定众数所在的组，即从变量数列中找出频率最大的组“众数组”；第二步：根据与众数组相邻的两个组的频数，通过公式近似计算众数值。

下限公式：Mo=上限公式：Mo=其中：L代表众数组的下限值；U代表众数组的上限值；表示众数组次数与前一组次数之差；表示众数组次数与后一组次数之差；i表示众数组的组距。（一）众数第二十九页，共七十七页，2022年，8月28日身高人数（CM）（人）

152115421552156415711582159216012161716281634身高人数（CM）（人）

1643165816651673168716911705171217231741总计

83152154154155155156156156156157158158159159160160160160160160160160160160160160161161161161161161161162162162162162162162162163163163163164164164165165165165165165165165166166166166166167167167168168168168168168168169170170170170170171171172172172174【例】某年级女生的身高分布情况,求出众数第三十页，共七十七页，2022年，8月28日例：某厂甲车间有200名工人，他们每月加工的零件数如下表所示：按日产量分组（件）x工人数f121316172313合计8则，日产量众数为13或者17第三十一页，共七十七页，2022年，8月28日现检测某厂生产的一批电子产品的耐用时间，得到资料如下表所示：众数位于第三组

L=800U=1000i=1000-800=200

＝244-161＝83

＝244-157＝87耐用时间产品个数（个）600以下84600-800161800-10002441000-12001571200-1400361400以上18合计700例题第三十二页，共七十七页，2022年，8月28日代入公式得：第三十三页，共七十七页，2022年，8月28日二、中位数1、中位数：将总体单位的某一数量标志的各个数值按照大小顺序排列，居于中间位置的那个数值就是中位数。2、中位数的特点和作用代表整个总体各单位标志值的平均水平各单位标志值与中位数离差的绝对值之和最小不受极端值的影响(缺乏敏感性)第三十四页，共七十七页，2022年，8月28日计算方法

（1）由未分组资料确定中位数排序：确定中位数位置奇数：中间位置的标志值为中位数。偶数：中间位置相邻两个变量值的简单平均数是中位数。第三十五页，共七十七页，2022年，8月28日（2）由分组资料确定中位数第一步：确定中位数所处位置，按确定（f为次数）。第二步：采用公式计算上限法：用“以上累计”法确定中位数。下限法：用“以下累计”法确定中位数。其中：U是中位数所在组的上限，L是中位数所在组的下限，fm是中位数所在组的次数，Sm+1是中位数所在组后面各组累计数，Sm-1是中位数所在组前面各组累计数，i是中位数所在组的组距。第三十六页，共七十七页，2022年，8月28日

1、设有9个工人生产某种产品，其日产量件数按大小顺序排列为67778991014。则中位数位次即处于第5位的那个标志值为中位数。即Me=8件。例题第三十七页，共七十七页，2022年，8月28日2、设有10个工人生产某种产品，其日产量件数按大小顺序排列为6777899101418。则其中位数位次:

中位数处在第5个标志值与第6个标志值之间中点的位置。则Me=(8+9)/2=8.5第三十八页，共七十七页，2022年，8月28日3、某学院1999到2000学年共有30名同学获得奖学金

学生获奖学金分布情况及计算表奖学金金额（元/人）人数（人）人数累计以下累计（人）以上累计（人）300500800100015003687639172430302721136合计30—

—

第三十九页，共七十七页，2022年，8月28日从表中资料计算，中位数位置为：（人）中位数在第15人的位置上。无论是以下累计法还是以上累计法，所选择的累计人数数值都应是含15人的最小数值。表中的17和21符合这一要求，它们对应的都是第三组，即800元就中位数。第四十页，共七十七页，2022年，8月28日4、现检测某厂生产的一批电子产品的耐用时间，得到资料如下表所示：耐用时间产品个数累计次数以下累计以上累计600以下8484700600-800161245（Sm-1)616800-1000244(fm)4894551000-1200157646211（Sm+1)1200-140036682541400以上1870018合计700－－第四十一页，共七十七页，2022年，8月28日第四十二页，共七十七页，2022年，8月28日几种平均数的关系数值平均数与位置平均数的关系：（1）它们代表的意义不同。

（2）受个别或少数极端值的影响程度不同

。（3）数值平均数与位置平均数各自适用的数据类型不同

。第四十三页，共七十七页，2022年，8月28日图5-1三种集中趋势的关系几种平均数的关系（4）三者关系：第四十四页，共七十七页，2022年，8月28日第二节变异指标

一、什么是变异指标

？变异指标——是指综合反映总体各单位标志值及其分布的差异程度的指标，也称为标志变异度指标。二、变异指标的作用1.可以反映平均指标的代表性程度2.说明现象或过程的均衡程度与稳定程度

3.在抽样调查中，变异度指标是计算抽样误差和确定样本量的依据第四十五页，共七十七页，2022年，8月28日第二节变异指标三、变异指标的分类？1.全距和四分位差2.平均差、标准差、方差和变异系数

3.偏度和峰度掌握它们的计算、特点和适用范围。第四十六页，共七十七页，2022年，8月28日全距和四分位差第四十七页，共七十七页，2022年，8月28日全距概念：全距指总体各单位标志值中最大值与最小值之差，因为它是总体中两个极端值之差，故又称为极差。计算公式：

优点：计算简单，涵义直观，运用方便。缺点：①不够全面。它仅仅取决于两个极端值的水平，不能反映整个数列的分布情况；②不够准确。它受个别极端值的影响过于显著，不符合稳健性和耐抗性的要求。

第四十八页，共七十七页，2022年，8月28日四分位差概念：四分位差是指四分位数中间两个分位数之差。

计算公式：其中：为第三个四分位数，

的位置

为第一个四分位数，

的位置

全距和四分位差均只使用部分数据进行计算。第四十九页，共七十七页，2022年，8月28日四分位差例：在某城市随机抽取9个家庭，调查得到每个家庭的人均月收入数据如下（单位：元），计算人均月收入的四分位差

1500、750、780、1080、850、960、2000、1250、1630解：把题目所给数据排序，结果如下：

750、780、850、960、1080、1250、1500、1630、2000

Q1位置=（n+1）/4=10/4=2.5，Q1=780+（850-780）*0.5=815Q3位置=3（n+1）/4=3*10/4=7.5，

Q3=1500+（1630-1500）*0.5=1565

四分位差Qd=Q3—Q1=1565-815=750第五十页，共七十七页，2022年，8月28日平均差概念：平均差是指总体各单位标志值对其算术平均数的离差绝对值的算术平均数。一般用A.D表示。计算公式：或（简单平均差）

(加权平均差)

第五十一页，共七十七页，2022年，8月28日平均差优点：①含义明确，它是根据总体各单位标志值计算出来的，综合了各单位标志值的变异情况,所以它能够充分、客观地反映出了指标值的平均变异程度；②计算也比较简便。

缺点：平均差的计算需要对离差取绝对值，这就不便于进一步的代数运算了

第五十二页，共七十七页，2022年，8月28日某车间50名工人日加工零件标准差计算表按零件数分组组中值(Xi)频数(Fi)|Xi-X||Xi-X|Fi105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.535814106415.710.75.70.74.39.314.347.153.545.69.843.055.857.2合计—50—312根据表中的数据，计算工人日加工零件数的平均差例题第五十三页，共七十七页，2022年，8月28日方差概念：标准差的平方就是方差，一般用计算公式：或（简单公式）

(加权公式)

表示。第五十四页，共七十七页，2022年，8月28日标准差概念：标准差，是总体所有单位标志值与其平均数的离差平方的算术平均数的正平方根。一般用来表示。

计算公式：或（简单标准差）

(加权标准差)

第五十五页，共七十七页，2022年，8月28日【例5－7】有三个生产小组，各有５个人，每人日产量如下：甲组：24，24，24，24，24乙组：20，22，25，26，27丙组：10，20，25，30，35分别计算各组的日产量差异程度（标准差和方差）。第五十六页，共七十七页，2022年，8月28日解：由于甲组5个工人的日产量都是24件，各单位标志值与平均数之间均无差异，因此，该组日产量方差和标准差均为零，即：第五十七页，共七十七页，2022年，8月28日乙组丙组日产量(件))日产量(件）2022252627-4-2+1+2+31641494004846256767291020253035-14-4+1+6+11196161361211002006259001225合计0342914合计03703050乙组和丙组的标准差和方差计算表

第五十八页，共七十七页，2022年，8月28日（件）（件）第五十九页，共七十七页，2022年，8月28日计算结果表明，甲组方差和标准差均为0，说明该组工人日产量无差异；乙组方差和标准差居中，说明乙组工人日产量有差异，其差异程度大于甲组但小于丙组；丙组的方差和标准差在三组中是最大的。所以，尽管三组的算术平均数相等，但三个组的平均数对本组的代表程度不同，甲组的代表性最强，乙组其次，丙组最差。第六十页，共七十七页，2022年，8月28日若c=0，则

对分布数列而言，则

3、方差的简捷计算第六十一页，共七十七页，2022年，8月28日若分布数列是等距数列，则有a为中间组的组中值或次数最多的组中值，b为（x-a）的最大公约数第六十二页，共七十七页，2022年，8月28日4.方差及标准差的计算一般的计算过程：列表简捷计算方法：不计算离差方差及标准差

第一步计算均值

第二步计算离差

第三步离差平方

第四步乘以权数

第五步计算方差

第一步计算均值

第二步变量平方

第三步乘以权数

第四步计算方差第六十三页，共七十七页，2022年，8月28日变量替换法：等距数列

第二步计算x’均值

第三步计算x’平方

第四步求x’方差

第五步求x方差

第一步变量替换x’第六十四页，共七十七页，2022年，8月28日例4：某班50名学生统计学考试成绩如下表所示，计算其考试成绩的标准差成绩（分）学生数（人）60以下460-701270-802080-901090以上4合计50第六十五页，共七十七页，2022年，8月28日1、一般解法成绩学生数fi组中值xixifixi-x(xi-x)2(xi-x)2fi60以下455220-19.6384.161536.6460-701265780-9.692.161105.9270-80207515000.40.163.2080-90108585010.4108.161081.6090以上49538020.4416.161664.64合计50/3730//5392.00第六十六页，共七十七页，2022年，8月28日2、简捷公式成绩学生数fi组中值xixifixi2xi2fi60以下45522030251210060-70126578042255070070-8020751500562511250080-90108585072257225090以上495380902536100合计50/3730/283650第六十七页，共七十七页，2022年，8月28日3、变量替换法（a=75，b=10）成绩学生数fi组中值xixi’xi’

fixi’

2fi60以下455-2-81660-701265-1-121270-80207500080-9010851101090以上4952816合计50//-2