Ch15 勒让德多项式 球函数

第十五章勒让德多项式2/5/20231拉普拉斯方程的解称为调和函数。如果用球坐标和圆柱坐标来表示拉普拉斯方程,则分别得到球面调和函数和圆柱调和函数,或者简称为球面函数和圆柱函数，球面函数中含有勒让德多项式，圆柱函数中包括贝塞耳函数本章将介绍特殊函数。先导出它的常微分方程,然后用幂级数解法求出特殊函数,再通过母函数来讨论各阶特殊函数之间的递推关系。最后证明特殊函数的正交性和归一性,并叙述展开定理2/5/20232§1勒让德微分方程及勒让德多项式§15.1.1.勒让德微分方程的导出在第十一章中,我们对球形区域曾经提出过狄利克雷问题(15.1)(15.2)其中得到球坐标系统下的拉普拉斯方程其中R为已知正数，引入球坐标变换2/5/20233而边界条件(15.2)变为(15.2)’用乘之,并移项,得令代入方程(15.1)’得对电场中导体球的讨论,即可归结为这样的定解问题2/5/20234于是有(15.3)(15.4)其中λ为泛定常数,(15.4)的解与半径r无关,故称为球面函数,或简称为球函数两端乘以并移项,再令得再令代入(15.4)得2/5/20235于是我们有(15.5)(15.6)(15.6)’方程(15.6)’称为连带勒让德微分方程,取m=0,则得所谓的勒让德微分方程习惯上常令于是方程(15.6)变为2/5/20236(15.7)§15.1.2.幂级数解和勒让德多项式的定义在常微分方程的解析理论中,一个标准形式的二阶线性常微分方程的系数p(z)和q(z)如果都在某点z0解析,则z0称为方程的常点;只要p(z)和q(z)之一在z0点不解析,则z0就称为方程的奇点可以证明,当z0为常点时,方程具有线性无关的两个整幂级数解.其收敛半径等于与z0最近的方程的奇点到z0的距离2/5/20237(15.8)把(15.7)改写为2/5/20238并称之为n阶勒让德微分方程，如果再把它化为标准形式,立即看出x=0是方程的常点,因此,在x=0的领域内,方程的解可以表示为幂级数形式(15.9)(15.10)(15.11)把(15.9),(15.10)和(15.11)代入方程(15.8),得到其中ck为待定系数.对(15.9)逐项求导,得2/5/20239因上式对x是一个恒等式,故x的各次幂的系数均必须为零,遂得从而得ck的循环公式2/5/202310(15.12)将(15.12)代入(15.9),则得方程(15.8)的含有两个任意常数c0和c1的通解(15.13)利用循环公式(15.12)立即得级数y0(x)和y1(x)的收敛半径2/5/202311容易看出,当n为偶数时,y0(x)是一个多项式,可以证明y1(±1)发散.此时,取c1=0,则得微分方程在闭区间[-1,1]上的有界非零解,或者满足自然边界条件的非零解.同理,当n为奇数时,y1(x)是一个多项式,可以证明y1(±1)发散.此时,取c0=0,亦得在[-1,1]上的有界非零解,或者满足自然边界条件的非零解通常把这种多项式的最高次方幂xn的系数规定然后称之为勒让德多项式，并用Pn(x)表示之.Pn(x)的表达式可以如下导出：由(15.12)，令k=n-2,得2/5/202312同样,得2/5/202313借用数学归纳法,可证(15.14)下面给出前六个勒氏多项式的明显表达式，并画出P1(x),P2(x),P3(x)和P4(x)的图形(x=cos)其中[n/2]表示不大于n/2的最大整数，于是得2/5/202314总结以上叙述,勒让德方程(15.7)和解在x=±1有界的自然边界条件构成一个常微分方程的边值问题,n(n+1)(n=0,1,2,…)即是该问题的特征值，勒让德多项式即是相应的特征函数,也就是我们所求的有界非零解。可以证明，n阶勒让德方程的与Pn(x)线性无关的所有其他解，当x=±1时必为无穷大显然2/5/202315§15.1.3.勒让德多项式的微分表达式—洛德利格公式为了讨论问题和计算上的方便,我们介绍勒氏多项式的另一种表示法,即所谓的洛德利格公式证

按二项式展开,有因此2/5/2023162/5/202317§15.1.4.勒让德多项式的施列夫积分表达式设由哥西积分公式(3.9),得因为故2/5/202318于是得勒氏多项式的施列夫利积分表达式或简称为施氏积分2/5/202319§2勒让德多项式的母函数及其递推公式§15.2.1.勒让德多项式的母函数本节我们用另一种方法—母函数数方法—来产生勒氏多项式。由于勒氏多项式从拉普拉斯方程而来,因此,不妨从拉普拉斯方程的基本解出发考虑问题,如下图(变点)(定点)令则现在讨论函数2/5/202320其中z为复变数,而x为绝对值不大于1的参数，因此,G(x,z)在单位圆|z|<1内是解析函数。由复变函数论可知,当|z|<1时,有作自变量代换它把复变数z变为复数u,C是单位圆内包围原点z=0的封闭曲线.由于1/r是拉普拉斯方程的解,而cn(x)又只与x(或者说,只与θ)有关,故cn(x)似应为勒氏多项式.事实上,可以严格推证如下其中2/5/202321显然,z平面上的点O对应于u平面上的点x,z沿C走一圈时,对应地,u围绕点x也沿某条封闭曲线C’走一圈,因此,于是有2/5/202322(15.16)所以,人们把G(x,z)(或者1/r)称为勒让德多项式的母函数,这里补充说明，在前节中，把勒氏方程的多项式解的最高次幂的系数规定为正好使与(15.16)式中的展开系数完全一致借助于(15.16),也可以推出Pn(x)的表达式,例如2/5/202323§15.2.2.勒让德多项式的递推公式利用展开式(15.16),不难证明勒氏多项式满足以下的递推公式(15.17)(15.18)(15.19)(15.20)(15.21)证

首先,对(15.16)式的两端先后关于z,x求导,得2/5/202324乘(15.20)以z,乘(15.21)以(x-z),然后相减,得此式两端关于z的同次幂项的系数应相等,于是当时,有即(15.18)式.

其次,用(1-2xz+z2)乘(15.20),得比较两端的系数,即得(15.17)式.在(15.17)中,对x求导,得用n乘(15.18),再与此式相加,约去因子(n+1)之后,即得(15.19)式2/5/202325§3按勒让德多项式展开我们在讨论付氏级数时,曾经注意到,一个三角函数序列的正交性和归一性是使它成为一个坐标函数系的两个重要性质.同理,要讨论一类函数按勒氏多项式的付氏展开问题时,也必须首先考察勒氏多项式的正交性和归一性2/5/202326§15.3.1.勒让德多项式的正交性

定理15.1.勒氏多项式序列在区间[-1,1]上正交,即(15.22)用Pn乘前式,Pm乘后式,然后相减,并积分,得

证分别满足方程2/5/202327因故2/5/202328§15.3.2.勒让德多项式的归一性定理15.2.(15.23)

证

今用数学归纳法加以证明，因为故n=1时,(15.23)式成立.今设n=m时成立,则由递推公式(15.17)得2/5/202329再在(15.17)中,令n=m+1,得故代入上式,则得2/5/202330即(15.23)式当n=m+1时亦成立.又n=0时(15.23)是明显成立的,于是整个定理得证.故称为Pn(x)的归一因子，勒氏多项式乘上归一因子之后,即得一个在区间[-1,1]