专题13位置确定

阅读与思考在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系．从而坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系．利用平面直角坐标系是确定位置的有效方法之一，解与此相关的问题需注意：1）理解点的坐标意义；2）熟悉象限内的点、坐标轴上的点、对称轴的坐标特征；3）善于促成坐标与线段的转化．例题与求解【例1】（1）已知点A(2a＋3b，－2)和B(8，3a＋2b)关于x轴对称，那么a b＝______________．(

四川省中考试题

)（2）在平面直角坐标系中，若点

M(1，3)和点

N(x，3)之间的距离为

5，则

x的值是

____________．解题思路：对于（

1）纵坐标互为相反数，对于（

2），M，N在平行于

( 辽宁省沈阳市中考试题x轴的直线上 787．

)【例2】如图的象棋盘中，“卒”从A点到B点，最短路径共有()A．14条B．15条C．20条D．35条(全国初中数学竞赛预赛试题 )解题思路：以点A为起点，逐渐地寻找到达每一个点的不同走法的种数，找到不同走法的规律．A

y

E

B卒BG卒xOFCA例2题图例3题图【例3】如图，已知OABC是一个长方形，其中顶点A，B的坐标分别为(0，a)和(9，a)，点E在AB上，且AE1AB，点F在OC上，且OF1OC．点G在OA上，且使△GEC的面积为20，△33GFB的面积为16，试求a的值．（“创新杯”竞赛试题）解题思路：把三角形的面积用a表示，列出等式进而求出a的值．【例4】如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为：A(0，0)，B(7，0)，C(9，5)，D(2，7)．1）在坐标系中，画出此四边形．2）求此四边形的面积．（3）在坐标轴上，你能否找一个点P，使SPBC50？若能，求出P点坐标；若不能说明理由．解题思路：对于（2），过C，D两点分别向x轴，y轴引垂线，由坐标得到相关线段．对于（3），由于P点位置不确定，故需分类讨论．yxO【例5】如果将电P绕顶点M旋转1800后与点Q重合，那么称点 P与点Q关于电M对称，定点M叫作对称中心，此时，点 M是线段PQ的中点，如图，在平面直角坐标系中，△ ABO的顶点A，B，O的坐标分别为 (1，0)，(0，1)，(0，0)，点P1，P2，P3，⋯中相邻两点都关于△ ABO的一个顶点对称，点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，⋯对称中心分别是 A，B，C，A，B，C，⋯且这些对称中心依次循环，已知 P的坐标是(1，1)．试写出点 P，P，P 的坐标．1 2 7 100（江苏省南京市中考试题）解题思路：在操作的基础上，探寻点的坐标变化规律．yB P11 xO1A【例6】如图①，在平面直角坐标系中，点 A、B的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，现同时将点 A，B分别向上平移 2个单位．再向右平移 1个单位，分别得到点 A，B的对应点 C，D，连接AC，BD．（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC．（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使SPABS四边形ABDC，若存在这样一点，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由．（3）如图②，点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO．当点P在BD上移动时（不与B，D重合），DCPBOP的值是否变化？若不变，求其值．CPO解题思路：（1）由平移知C(0，2)，D(4，2)．另求出四边形面积．（2）设OP＝h，用h表示出SPABS四边形ABDC可求出h的值．若为整数，则是y轴上的点，若不是，则说明该点不存在．yyCDCDAOBAOPB-13x-13x图①图②能力训练级1AOBO900，得到'OB'A(ab)'绕点逆时针旋转，若点的坐标为，，则点A的坐标．如图，△为______.（吉林省中考试题）yA' B'AxO B2．△ABC的坐标系中的位置如图所示，若 A'B'C'与△ABC关于y轴对称，则点 A的对应点A'的坐标为______.（山东省青岛市中考试题）y5B43A21C4x–4–3–2–1O123–1–2–3–4–53．线段CD是由线段AB平移得到的，点A(－1，4)的对应点为C(4，7)，则点B(－4，－1)的对应点D的坐标是____________.（内蒙古包头市中考试题）4．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点．其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(3，2)，(3，1)，(3，0)，⋯，根据这个规律探究可得，第100个点的坐标为____________.（四川省德阳市中考试题）y(5,4)(4,3)(5,3)(3,2)(4,2)(5,2)(2,1)(4,1)(5,1)(3,1)O(1,0)(2,0)(3,0)(4,0)(5,0)x5．若点A(－，－，＋1)在()．2n)在x轴上，则点B(n1nA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限（江西省南昌市中考试题）6．若点M(a＋，－2a)在y轴上，则点M的坐标是()．23A.(－2，7)B.(0，3)C.(0，7)D.(7，0)（重庆市中考试题）7．如图，若平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是()．A.(3，7)B.(5，3)C.(7，3)D.(8，2)（江苏省南京市中考试题）yD CABx8．如果点P(m，1－2m)在第四象限，那么m的取值范围是()．1B.1C.m01A.0mm0D．m222（陕西省中考试题）9．如图，已知 A(8，2)，B(2，2)，E，F在AB上且∠EOA＝∠EAO，OF平分∠BOE．1）求∠FOA．2）若将A点向右平移，在平移过程中∠OAB:∠OEB的值是否发生变化？请说明理由．yB F E AO x10．如图，智能机器猫从平面上的

O点出发，按下列规律走：由

O向东走

12cm到A1，再由

A1向北走

24cm到

A2，由

A2向西走

36cm到

A3，由

A3向南走

18cm到

A4，由

A4向东走

60cm到

A5，⋯，问：智能机器猫到达

A6点与

O点的距离是多少？（“华罗庚金杯”数学竞赛试题）y A6A3 A2O A1 P xA4 A511．中国象棋棋盘中蕴含这平面直角坐标系，如右图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规律是沿“日”形的对角线走．例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点 A，B处．（1）如果“帅”位于点 (0，0)，“相”位于点(4，2)，则“马”所在的点的坐标为 ，点C的坐标为 ，点D的坐标为 ．2）若“马”的位置在C点，为了达到D点，请按“马”走的规律，在图中画出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示．（浙江省舟山市中考试题）楚河 汉界CB 相DA马 帅B级1．点A(－3，2)关于原点的对称点为 B，点B关于x轴的对称点为 C，则点C的坐标为______.（广西壮族自治区竞赛试题）2．在平面直角坐标系中，已知 A(3，－3)，点P是y轴上一点，则使△ AOP为等腰三角形的点 P共有______个．（内蒙古自治区包头市中考试题）3．如图，在直角坐标系中，已知点 A(－3，0)，B(0，4)，且AB＝5，对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④，⋯，则三角形⑩的直角顶点的坐标为 ______．（浙江省嘉兴市中考试题）y4 B1243AO481216x3mx2y34．若关于x，y的方程组的解为坐标的点(x，y)在第二象限，则符合条件的实数mx3my9的范围是()．A.m1m21D．1B.C.2mm9992（四川省竞赛试题）5．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a，b)，若规定以下三种变换：①f(a,b)(a,b)．如f(1,3)(1,3)；②g(a,b)(b,a)．如g(1,3)(3,1)；③h(a,b)(a,b)．如h(1,3)(1,3)．按照以上变换由：f[g(2,3)]f(3,2)(3,2)，那么f[h(5,3)]等于()．A.(－5，－3)B.(5，3)C.(5，－3)D．(－5，3)（山东省济南市中考试题）6．设平面直角坐标系的轴以1cm作为长度单位，△PQR的顶点坐标为P(0，3)，Q(4，0)，R(k，5)，其中0k4，若该三角形的面积为8cm2，则k的值是()．A.1B.8C.21313D．E．42（澳洲数学竞赛试题）7．如图，四边形ABCO各个顶点的坐标分别为(－2，8)，(－11，6)，(－14，0)，(0，0)．（1）求这个四边形的面积．（2）若把原来四边形ABCO各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增大a，则所得的四边形面积又是多少？yABCOx8．如图，平面直角坐标系中A(－2，0)，B(2，－2)，线段AB交轴于点C．（1）求点C的坐标．（2）若D(6，0)，动点P从D点开始在x轴上以每秒3个单位向左运动，同时，动点Q从C点开始在y轴上以每秒1个单位向下运动．问：经过多少秒钟，SAPCSAOQ？yAO xC B9．某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第K棵树种植在P(xk,yk)处，其中x11,y11，当k2时，xkxk115([k1][k2])k5k5ykyk112[][5]5[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.6]2,[0.2]0，按此方案，求第2009棵树种植点的坐标．（浙江省杭州市中考试题）10．如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－1，0)，现将点A向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到点A的对应点B，点C的坐标为(3，2)．（1）判断BC与x轴的位置关系，并求出△ABC的面积SABC．（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PC，使SPBC1SABC，若存在这样的点，求出点P2的坐标，若不存在，试说明理由．（3）如图②所示，点D是线段AC上的一个动点，过D作DE⊥AC交x轴于点E，过E点作∠DEF＝∠DEA交AC于F点，试求出∠ACB与∠1之间的数量关系，并证明你的结论．yyBCBCDFx1AOAOEx图①图②专题13位置确定——平面直角坐标系例1（1）2提示：由题意知2a3b8，解得a2，故a+b=(－3a2b2b42)+4=2．（2）6或－4提示：由题意知|1－x|=5，解得x=6或－4．例2D提示：如右图，从点A出发，每次向上或向右走一步，到达每一点的最短路径条数如图中所标数字，如：到达点P，Q的最短路径条数分别为2和3，以此类推，到达点B的最短路径条数为35条．例3如图：设G点坐标为（0，b），b>0，因为S长方形OABC－SGEC=SOGC+SAGE+SBEC，所以9a－20=19b13(ab)16a，解得b3a20．同理，由S长方形OABC－SGFB=SABG+SOGF+SBFC，得222239a1619(ab)13b16a，解得3a=32－6b．把b3a2022223代入上式中，得3a=72－9a，解得a=6例4（1）略（2）S四边形ABCD=44（3）①当点P在x轴上，设P（x,0)．∴PB=|x－7|，∴SPBC1|x7|5=50．∴x=27或－213．∴P1（27，0），P2（－13，0）．②当P点在y轴上，延长CB交y轴于E点，过点C作CF⊥y轴于F．设E（0，yE），SEFC117(yE)，=（5-yE)9,SBOE22S梯形CFOB=1(79)5．又SCFE=SBOES梯形CFOB，解得2yE35．E(0,35)，设P（0，y)，当P点在E点上方时，PE=y+35，∴222SPBCSPECSPEB，解得y65；当P点在E点下方时，PE=35y，∴22SPBCSPECSPEB，解得y135．综上：P1（27，0），P2（－13，0），P3（0，65），P4（0，135）222满足题意．例5点P7与点P1重合，6个点构成一个循环，P2（1，－1），P7（1，1）．∵100=6×16+4，∴点P100与点P4坐标相同，为（1，－3）．例6（1）由平移知C（0，2），D（4，2）．S四边形ABCD=4×2=8．（2）∵SPAB=S四边形ABDC=8，设OP=h，则SPAB18．又AB=4，∵AB=4，1，解得ABh4h822h=4．故点P的坐标为（0，4）或（0，－4）．（3）∵CD∥AB，∴∠OPC=∠DCP+∠POB，DCPBOP的值为1．CPOA级1．（－b，a)2．（4，2）3．（1，2）4．（14，8）提示：第一列1个点，第二列2个点，⋯⋯，前13列一共(113)1391个点，第100个点位于第14列第9个点，坐标为（14，8）．25．B6．C7．C8．D9．（1）∠FOA=22．50．（2）会变化．A点向右平移，∠OEB不会发生变化，但∠ OAB会变化．10．依规律第6次由A5向北走72cm到A6，OP=12－36+60=36cm，PA6=24－48+72=48cm，222222OA6=OP+PA6=36+48=60，得OA6=60cm，即A6与O点的距离为60cm．11．(1)(－3，0)（1，3）（3，1）（2）略B级1．（3，2）提示：由题意知，点B坐标为（3，－2），点B关于x轴的对称点C的坐标为（3，2）．2．43．（36，0）提示：图形摆放形状每3个一循环，第10个图形与第1个图形摆放形状相同，横坐标为（4+5+3）×3=36．4．B5．B6．B7．两个四边形面积都为808．（1）由面积公式可知：C（0，－1）．（2）设经过t秒后，SAPCSADQ．∴PA=|8－3t|，则SAPC13t|1(1t)1|83t||81，OQ=1+t，则SAOQ2.222×1=1+t，解之得t6或10.59．根据题意知，当k=6,11,16，21，⋯时，k1k251，当k(k≥2)取其他值时，5k1k20；所示横坐标xk值有如下规律：x1=1,x2=xl+1=2，x3=x2+1=3,x4=x355+1=4