固体物理阎守胜第二章晶体的结构

第二章晶体的结构晶体最主要的特点是具有周期性重复的规则结构，可以看成是一个或一组p个原子（或离子实）以某种方式在空间周期性重复平移的结果。2.1晶格晶体结构包括两个方面：一是重复排列的具体单元，称为基元（basis）。基元是晶体结构中最小的重复单元（结构单元）。二是基元重复排列的形式，一般抽象成空间点阵，称为晶体格子（crystallattice），或简称为晶格，由布拉维格子（Bravaislattice）的形式来概括，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。晶体结构＝基元＋空间点阵第二章晶体的结构晶体最主要的特点是具有周期性重复的规则结构，可以看成是一个或一组p个原子（或离子实）以某种方式在空间周期性重复平移的结果。2.1晶格晶体结构包括两个方面：一是重复排列的具体单元，称为基元（basis）。基元是晶体结构中最小的重复单元（结构单元）。二是基元重复排列的形式，一般抽象成空间点阵，称为晶体格子（crystallattice），或简称为晶格，由布拉维格子（Bravaislattice）的形式来概括，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。晶体结构＝基元＋空间点阵2.1.1布拉维格子定义：布拉维格子是矢量

全部端点的集合，其中取整数，是三个不共面的矢量，称为布拉维格子的基矢，称为布拉维格子的格矢，其端点称为格点（一个格点代表一个基元，它可以代表基元重心的位置，也可以代表基元中任意的点子。

）。布拉维格子是一个无限延展的理想点阵。忽略了实际晶体中表面、结构缺陷的存在，以及时原子瞬时位置相对平衡位置的偏离。只考虑晶体中原子周期性的规则排列，或所具有的平移对称性，即平移任一格矢，晶体保持不变的特性。(b)(c)(a)基元，格点，晶格（空间点阵）的区分BA2.1.2原胞原胞（primitivecell）是晶体中体积最小的周期性重复单元，当它平移布拉维格子所有可能的格矢，将精确地填满整个空间。常取为以基矢为棱边的平行六面体。体积为原胞的选取不惟一，习惯上常取三个不共面的最短格矢为基矢。原胞具有相同的体积，每个原胞平均只包含一个格点。原胞的选取不惟一，只包含一个格点原胞的选取维格纳-赛茨（Wigner-Seitz）原胞，简称WS原胞：以晶格中某一格点为中心，作其与近邻格点连线的垂直平分面，这些平面所围成的以该点为中心的最小体积是属于该点的WS原胞。2.1.3配位数在布拉维格子中，离某一格点最近的格点，称为该格点的最近邻。由于布拉维格子中格点相互等价，每一格点有相同的最近邻数，称为该格点的配位数（coordinationnumber）。配位数：晶体中原子排列紧密程度的标志。是一个原子周围最近邻的原子数。晶体结构中最大配位数是12

，以下依次是8

，6

，4

，3

，2

。2.1.4单胞（惯用单胞）

晶体学中，用晶系基矢构成的平行六面体作为周期性重复排列的最小单元，称为单胞或惯用单胞。单胞的边长称为晶格常数。单胞与原胞的区别：原胞只含一个格点，是体积最小的周期性重复单元。单胞可含一个或数个格点，体积是原胞的一倍或数倍。2.1.4几种常见的布拉维格子1.简单立方布拉维格子3个基矢等长并相互垂直。

每个原胞包含1个格点，每个单胞包含1个格点。原胞和单胞的体积都是简单立方布拉维格子的配位数为6。2.体心立方布拉维格子原胞的体积每个原胞包含1个格点，每个单胞包含2个格点。简单立方布拉维格子的配位数为8。单胞的体积为3.面心立方布拉维格子每个原胞包含1个格点，每个单胞包含4个格点。简单立方布拉维格子的配位数为12。原胞的体积单胞的体积为4.简单六角布拉维格子每个原胞包含1个格点，每个单胞包含3个格点。简单立方布拉维格子的配位数为6。原胞的体积单胞的体积为二、复式格子结构基元中原子数的称为复式晶格。复式晶格可看成2套或多套简单晶格（通常称为子格子）的相互嵌套。一、简单晶格基元中原子数p=1的晶格称为简单晶格。简单晶格必须由同种原子组成；反之，由同种原子组成的晶格却不一定是简单晶格。1、氯化钠结构

由两个面心立方格子套构而成。

具有氯化钠结构的化合物：LiF、LiCl、NaF等。（1~3为晶胞中的立方晶系）2.3几种常见的晶体结构Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格。其布拉维晶格为面心立方。氯化钠结构属面心立方。氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方简单格子的选取方法相同。基元由一个Cl-和一个Na+组成。2、氯化铯结构由两个简单立方格子套构而成。具有氯化铯结构的化合物有：

CsBr、CsI、TlCl、TlI、TLBr等。氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移1/2的长度套构而成。Cl-和Cs+分别组成简立方格子，其布拉维晶格为简单立方，氯化铯结构属简单立方。

基元由一个Cl-和一个Cs+组成。3、金刚石结构金刚石由碳原子组成。每个晶胞含有8个碳原子。由碳原子共价键的取向分析可知，在面心和顶角处的碳原子与体内的4个碳原子是不等价的。金刚石结构属面心立方，每个单胞包含4个格点。金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/4的长度套构而成,其布拉维晶格为面心立方。cc金刚石基元由两个碳原子组成。具有这种结构的晶体有：锗、硅等。闪锌矿结构：（与金刚石类似结构的化合物）在晶胞顶角和面心处的原子与体内原子分别属于不同的元素。许多重要的半导体化合物都是闪锌矿结构。六角密积：复式格子（∵A层原子与B层原子所处的环境不同），其布拉菲格子是菱形柱体，六角密积由两个菱形柱体套构而成。立方密积：简单格子（∵每一个原子所处的环境都是一样的），其布拉维格子是面心立方。密堆积：晶体内全同原子小圆球最紧密的堆积。4、密堆积结构密堆积的配位数为12。其堆积方式有两种方式：立方密积、六角密积。一维二维（二维密排堆积）（二维正方堆积）三维

典型晶体：Be、Mg、Zn、Cd、Ti密排六角（hexagonalclose-packed,hcp

）堆积排列方式：ABABAB(六角密堆积)（六角视频）面心立方（face-centeredcubic,fcc）堆积

排列方式：ABCABC(立方密堆积)典型晶体：Ca、Al、Cu、Ag（立方视频）一、晶向通过晶格中任意两个格点连一条直线称为晶列，晶列的取向称为晶向，描写晶向的一组数称为晶向指数(或晶列指数)2.1.5晶向、晶面和基元的坐标过一格点可以有无数晶列。(3)晶列族中的每一晶列上，格点分布都是相同的(4)在同一平面内，相邻晶列间的距离相等。(1)平行晶列组成晶列族，晶列族包含所有的格点(2)晶列上格点分布是周期性的晶向的特点：轴方向记为，轴方向记为,习惯将负号放在相应数字之上。如沿晶向方向的最短格矢为，该晶向可记为。称为晶向指数。在结晶学中，以、、为原胞基矢，把、、称为晶轴，格点的位矢可写成n’

、m’

、p’

不一定是整数，但乘上公倍数后，可得到一组整数n、m、p，并有称为晶向指数。例1：如图在立方体中，D是BC的中点，求BE,AD的晶向指数。解：晶列BE的晶向指数为：[011]OABCDEAD的晶向指数为:二、晶面晶面：晶体内三个非共线结点组成的平面。面间距：同族晶面中，相邻两晶面的距离。（晶面的概念是以格点组成互相平行的平面，再构成晶体。）（1）平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点；（3）同一晶面族中的每一晶面上，格点分布(情况)相同；（4）同一晶面族中相邻晶面间距相等。（2）晶面上格点分布具有周期性；与晶列相似，同族晶面中的晶面完全等同。以原胞基矢、、为坐标轴，若一族晶面中任一不过原点的晶面在三个轴上的截距、、已知，那么这一晶面的取向就完全确定了。习惯上用三个截距、

、(以、、为单位）倒数的互质整数比来表示晶面的取向，三个互质整数、、称为该晶面族的面指数，记为。称为该晶面族的米勒指数。例2：如图所示，I和H分别为BC，EF之中点，试求晶面AEG，ABCD，DIHG的米勒指数。AEG

ABCD

DIHG111121h'k'l'在三个坐标轴上的截距OABCDEFGHI1:1:1(hkl)(111)(001)(120)AEG

的米勒指数是(111)；ABCD的米勒指数是(001)；DIHG的米勒指数是(120)。ABCDEFG晶面在三个坐标轴上的截距分别为：1（210）11米勒指数是(210)的晶面是ABCD面；（121）米勒指数是（121）的晶面是EFG面；例3:在立方晶系中画出(210)、(121)晶面。<>表示一组由于对称性而相互等价的晶向。如<100>表示6个相互等价的方向，[100]，[100]，[010]，[010]，[001]和[001]。()表示晶面。如(100)，(010)，(001)等。[]表示晶向。如[100]，[010]，[001]等。[100][001][010][100][010][001]简单立方格子中的(100)，(110)和(111)面{}表示一组由于对称性而相互等价的晶面。如{100}表示3个等价的晶面(100)，(010)和(001)。原胞中原子的坐标通常用其在、、轴上的投影表示。投影通常写成周长的分数形式。如：原胞中心点记为：沿体对角线到体心的一半处，记为：原胞原点附近3个面心点记为：2.2对称性和布拉维格子的分类

对称性是指在一定的几何操作下，物体保持不变的特性。布拉维格子是按其对称性来分类的。对称操作的集合称为对称群（空间群）。将平移操作除外的剩余部分称为点群。群是一组元素的集合，G={E,A,B,C,D,…}，其性质有：1.群G中任意两元素的“乘积”仍为群G内的元素，这个性质称为群的闭合性。2.存在单位元素E，使得对所有元素，有3.对任意元素，存在逆元素，使得4.元素间的乘法运算满足结合律2.1.1点群保持空间某一点固定不动的对称操作称为点对称操作。在点对称操作基础上组成的操作群称为点群。

对于点群操作的类型，固体物理中习惯用熊夫利符号标记。晶体学家惯用国际符号标记。点对称操作：1.绕固定轴的转动，，如晶体绕某一固定轴转以后自身重合，则此轴称为n重对称转轴，简称n重轴。2.镜面反映，，相当于把所有的点转换到它们的镜像位置。如xy平面为反演面，则3.中心反演，，如取原点为反演中心，则4.旋转--反演对称，，若晶体绕某一固定轴转以后，再经过中心反演,晶体自身重合，则此轴称为n重旋转反演对称轴。（3，4，6重反演轴的视频。）基本的点对称操作3、i（中心反演，）1、E（不变）2、Cn（n重转轴）

n：2346（国际符号）C2C3C4C6

（熊夫利符号）最基本的点对称操作：E、C2、C3、C4、C6、i、σ、S4

5、（n重旋转反演轴，作n重旋转后再作中心反演）（m）S4

4、镜面反映表示转动轴并非主轴。主轴是晶体中对称性最高的转动轴。反映面含原点并垂直于主轴。下标h表示水平面的意思。反映面含主轴，称为垂直面。反映面含主轴并平分与主轴垂直的两2重轴间的夹角。一般点对称操作的几何变换：则与的关系为xyoθ绕z轴旋转θ角度的矩阵例：一矢量在oxy平面旋转θ角度（绕z轴），得到矢量，同理，绕x轴旋转θ角度有：绕y轴旋转θ角度有：几种简单操作的变换矩阵：（1）分别绕x，y，z轴转动（3）中心反演（2）镜像反映（对称面为oxy平面）晶体的平移对称性（或称周期性排列）对许可的转动操作的限制：0假定（长度为）是布拉维格子在该方向的最短格矢，并有通过O点与纸面垂直的n重轴。旋转角度，转到，必为格矢，那么其逆操作转动所得亦为格矢。在方向，按布拉维格子的定义应为格矢，那么有（m为整数）由于

n只能取1，2，3，4，6五个值，不可能有5、7等重轴的存在。正五边形沿竖直轴每旋转720恢复原状，但它不能重复排列充满一个平面而不出现空隙。因此晶体的旋转对称轴中不存在五重轴。晶体中允许的转动对称轴只能是1，2，3，4和6重轴。根据对称性晶体可分成7个晶系；14个布拉维格子；32个晶体学点群；晶系对称性特征晶胞参数所属点群Bravais格子三斜

只有1或iabcC1、CiP单斜唯一2或mabc==90ºC2、CS、C2hP、C正交三个2或mabc=＝=90ºD2、C2V、D2hP、C、I、F三方唯一3或a=b=c=＝90ºC3、S6、D3C3V、D3dR四方唯一4或a=bc=＝=90ºC4、S4、C4h、D4C4V、D2d、D4hP、I六方唯一6或a=bc=＝90º=120ºC6、C3h、C6h、D6、C6V、D3h、D6hH立方四个3a=b=c=＝＝90ºT、Th、TdO、OhP、I、F简单三斜(1)简单单斜(2)底心单斜(3)1.三斜晶系：2.单斜晶系：3.三角晶系：三角(4)4.正交晶系：简单正交(5)底心正交(6)体心正交(7)面心正交(8)5.四角系：(正方晶系)体心四角(10)简单四角(9)6.六角晶系：六角(11)7.立方晶系：简立方(12)体心立方(13)面心立方(14)2.2.6点对称对称性和晶体的物理性质晶体的很多物理性质是各向异性的，其依赖于测量方向与晶轴的相对取向。表征晶体对称性和其物理性质对称性之间的关系是Neumann原理：晶体的任一宏观物理性质一定具有它所属点群的一切对称性。如某一对称操作使坐标系从变到有9个分量的二阶张量T相应的变化为：由于所讨论的晶体是对称操作，故操作前后晶体自身重合，有：故，最终有：证明六角晶体的介电常数张量为证明：对于六角晶体，有绕x轴转的对称操作根据Neumann定理有那么则对于六角晶体，有绕y轴转的对称操作那么则又对于六角晶体，有绕z轴转的对称操作。则那么命题得证。2.4倒格子本节主要内容:2.4.1倒格子的定义2.4.3倒格子与傅里叶变换2.4.2倒格子与正格子的关系§2.4倒格子倒格子正格（点位）矢：倒格基矢倒格（点位）矢：晶体结构=晶格+基元正格基矢正格子一个晶体结构有两个格子，一个是正格子，另一个为倒格子。2.4.1倒格子定义倒格子基矢定义为：其中是正格基矢，

是固体物理学原胞体积倒格基矢的方向和长度如何呢？一个倒格基矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的2倍。1.2.4.2倒格子与正格子的关系其中分别为正格子位矢和倒格子位矢。2.(m为整数)hlGR¢¢和3.(其中和*分别为正、倒格原胞体积)4.倒格矢与正格中晶面族(h1h2h3)正交，且其长度为。(1)证明与晶面族(h1h2h3)正交。BCOA

设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，

ABC在基矢上的截距分别为。由图可知：所以与晶面族(h1h2h3)正交。(2)证明的长度等于。由平面方程：得：在晶胞坐标系中，2.4.3倒格子与傅里叶变换在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。上式两边分别按傅里叶