函数的定义域与值域

盐城高级职业学校：陆军第2课时函数的定义域与值域的求法1．函数的自然定义域和限定定义域：用解析法表示的函数，其定义域有时需要根据解析式何时有意义来求出，有时在给出函数的同时一起给出．函数的自然定义域：使函数的表达式有意义的自变量的取值集合叫做函数的自然定义域．如：函数y＝的定义域为{x|x≠0}．函数的限定定义域：有特殊限制规定的自变量的取值集合叫做函数的限定定义域．限定定义域是自然定义域的子集如：函数y＝＋x＋3，x∈[－2，3]，它的自然定义域为R，[－2，3]是该函数的限定定义域．

2．函数自然定义域的求法求函数的自然定义域，就是使函数的解析式达到如下要求：(1)分式的分母不为0，如：函数f(x)＝－的定义域为{x|x≠－3}；(2)偶次根下的式子不能小于0，如：函数f(x)＝

的定义域为{x|x≥－2}(3)如果函数由几个式子构成，那么函数的定义域就是使各部分式子都有意义的实数集合的交集，如：f(x)＝的定义域为{x|x≥2且x≠－1}．3．函数的值域的定义：在函数y＝f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值．函数值的集合叫做函数的值域．如：函数y＝＋2x＋3的值域为[2，＋∞)．

4．确定函数值域的原则(1)当函数y＝f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；(2)当函数y＝f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；(3)当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；(4)当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定．5．求函数值域的方法常用的方法有：①配方法；②分离常数法；③换元法；④判别式法；⑤图像法．求定义域2、如果函数y=f(x)是用解析式给出的，则可用下列法则求函数定义域：1、使函数的表达式有意义的自变量的取值集合叫做函数的定义域．（1）函数解析式是整数时，它的定义域是一切实数，即R;(2)函数的解析式是分式时，它的定义域是所有使分母不等于零的实数的集合（3）函数的解析式是偶次根式时，它的定义域是所有满足偶次根号下的被开方式大于或等于零的实数的集合（4）函数解析式是

时，(5)函数解析式是对数式时，真数>0,底数>0且底数（6）函数解析式是正切函数时，定义域是(7)如果函数由几个式子构成，那么函数的定义域就是使各部分式子都有意义的实数集合的交集，【例1】求下列函数的定义域：(1)(2)(3)(4)（5）.【举一反三】求下列函数的定义域：(1)(2).【例2】

若的定义域为[0，1]，求函数的定义域．【举一反三】设的定义域为[－2，2]，则的定义域为__

_．【例3】

如图，用长为的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为，求此框架围成的面积与的函数关系式，并指出其定义域．

求值域【例4】

求下列函数的值域：.【举一反三】求函数的值域．

求函数的值域的方法：(1)观察法;【例4】

求下列函数的值域：(2)配方法,图像法求二次函数的值域二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)定义域二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)R判别式a>0a<0图象对称性单调性最值△>0△<0△=0oxyoxyoxyoxyoxyoxy关于x=-

对称b2ax∈(－∞,]单调递减b2ax∈(－∞,]单调递增b2ax∈[,＋∞)单调递增b2ax∈[,＋∞)单调递减b2a最小值为4ac-b24a最大值为4ac-b24a例1.已知函数y=x2-2x-3,求x在下列范围内函数的值域.(1)x∈R(2)0≤x≤3(3)-2≤x≤0(4)3≤x≤4解:配方得:y=(x-1)2-4(1)∵x∈R∴y≥-4∴值域为[-4,+∞)(2)∵0≤x≤3∴值域为[-4,0](3)∵-2≤x≤0∴值域为[-3,5](4)∵3≤x≤4∴值域为[0,5]Oxy-113-4-3二、典型题探究：注：解决二次函数值域问题的一般步骤：(1).配方；(2).画图象；(3).看区间；(4).确定值域。练习:1.求下列函数值域：(1).y=x2-2x-3(-5≤x≤0);(2).f(x)=-x2+4x+5(x∈[1,4]);([-3，32])([5,9])2、求函数

y=x2+2x+3

在下面给定闭区间上的值域:①[-4,-3];②[-4,1];③[-2,1];④[0,1].[6,11];[2,11];[2,6];[3,6].(3)分式分离常数法;例1、求下列函数的值域:（4）、换元法

通过代数换元法或者三角函数换元法,把无理函数、指数函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方法(关注新元范围).例2

求下列函数的值域:(1)

y=x-

x-1;(2)

y=x+

2-x

;34[

,

+∞)（5）判别式法例5

求函数y

=

的值域.

x2+x+1x2-x

主要适用于形如

y

=(a,d不同时为零)的函数(最好是满足分母恒不为零).ax2+bx+c

dx2+ex+f

(1)y=

;

x2+12x例6

求下列函数的值域:

(2)y=(x>1).

x-1x2-2x+5[-1,1]

[4,

+∞)

能转化为

A(y)x2+B(y)x+C(y)=0

的函数常用判别式法求函数的值域.

[1-,

1+

]2332331.求下列函数的值域:练习题(1)y=;x-23x+1(2)y=2x+4

1-x;(3)y=x+1-x;(1)(-∞,3)∪(3,+∞)(2)(-