复变函数与积分变换 山东大学

第3章复变函数的积分§3.1复变函数积分的概念和性质§3.2柯西积分定理及其应用§3.3柯西积分公式和解析函数的高阶导数§3.4解析函数与调和函数的关系复习、引入第一型曲线积分

设有光滑曲线

,,.f(x,y)是定义在

L上的连续函数.则:第二型曲线积分设L为光滑或按段光滑曲线:

函数P(x,y)和Q(x,y)在L上连续,则沿L的自然方向有:3.1复变函数积分的概念和性质

一、定义------化整为零,取零为整

设在复平面C上有一条连接Z0及Z两点的简单曲线C。设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上连续的函数。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部。

把曲线C用分点分成n个更小的弧，在这里分点在曲线C上,按从到Z的次序排列的。如果是到的弧上任意一点，那么下列和式的极限(对任意分法和的取法都存在且相同),记与实函数中第二型线积分类比C的参数方程线积分dz«复积分一个复积分的实质是两个实二型线积分二、积分存在的条件及其计算方法1)C为连续函数且是光滑(或按段光滑)曲线时，积分是一定存在的。3)化为参变量的定积分来计算。2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。例1计算其中为以为圆心，为半径的正向圆周,为整数.三、积分的性质例2计算的值，其中为沿从（0，0）到（1，0）的线段与从（1，0）到（1，1）的线段所连结成的折线。

解:例3计算的值，其中为沿

从（0，0）到（1，1）的线段：解:例4计算其中为从原点到点的直线段。解直线的方程可写成

练习:对例4中的积分沿下列路径计算

(1)当C为从原点到(3,0),再从(3,0)到点(3,4)的折线;(2)当C为从原点到(0,3),再从(0,3)到点(3,4)的折线时,积分的结果又为何值呢?

观察例3、例4两个线积分的结果，分析两种被积函数的特征，你会得出怎样的结论？3.2柯西积分定理及其应用回顾一、柯西积分定理二、解析函数的原函数与等价定理定理一如果函数在单连域内处处解析，那么积分与连结从起点到终点的路径无关.定理二如果函数在单连域B内处处解析，那末函数必为B内的解析函数,且，其中F(z)称为f(z)的原函数.

利用原函数的这个关系，推得与牛顿—莱布尼兹公式类似的解析函数积分的计算公式。结论：的任何两个原函数相差一个常数.此时实函数积分的换元、分部积分法均可推广使用定理三

如果函数f(z)在单连域B内处处解析,G(z)为的一个原函数,那么解:

例5计算

例6计算

解：例7计算

解：三、复合闭路定理—柯西定理在多连域的推广所围成的多连通区域，

(互不包含且互不相交)，定理四：四、闭路变形原理—复合闭路定理的特例证明：取这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值。------闭路变形原理例8试求的值，C为包含0和1在内的任何一条正向简单闭曲线。解：闭路变形原理§3.3柯西积分公式若

f(z)在D内解析，则分析：一、柯西积分公式(3.3.1)

上述公式称为柯西积分公式.通过该公式可以把一个函数在C内部任何一点的值,用它在边界上的值表示出来。例9计算(沿圆周正向)

解由公式(3.3.1)得例10

解：二、解析函数的高阶导数其中为函数的解析区域内围绕的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全含于。

一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各阶导数.这一点与实变函数完全不同,关于解析函数的高阶导数我们有:定理:解析函数的导数仍为解析函数,它的阶导数为:二、解析函数的高阶导数其中为函数的解析区域内围绕的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全含于。

一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各阶导数.这一点与实变函数完全不同,关于解析函数的高阶导数我们有:定理:解析函数的导数仍为解析函数,它的阶导数为:例11求下列积分的值,其中C为正向圆周:|z|=r>1.

高阶导数公式的作用,不在于通过积分来求导,而在于利用求导计算积分.§3.4解析函数与调和函数的关系定义1若(称此为调和方程或Laplace方程)

定理1：证明：同样可得且u,v有任意阶连续偏导数注：逆定理显然不成立，即

对区域D内的任意两个调和函数不一定是解析函数.例如：定义2定理2：在区域D内解析

解析函数的虚部必为实部的共轭调和数已知共轭调和函数中的一个，可利用C-R方程求得另一个，从而构成一个解析函数。例1已知调和函数求一解析函数解：（法一）由C-R方程于是（法二）(0,0)(x,y)(x,0)（法三）例2证明：函数都是调和函数但不是解析函数。证由于所以故是全平面上的调和函数，除原点外在全平面上调和。但,不满足C-R条件，所以不是解析函数。例3证明：若为调和函数且不等于常数，则不是调和函数。证因为为调和函数，所以又同理例4求形如的最一般的调和函数。并求其共轭调和函数及其对应的解析函数。令故

即的一般形式的调和函数为其中为任意常