初等方法建模

第二章初等方法建模2.1比例分析模型2.2代数模型2.3量纲分析模型2.4简单优化模型2.1

比例分析模型2.1.1

包装成本问题2.1.2

划艇比赛成绩

2.1.1包装成本问题

考虑像面粉、洗涤剂或果酱之类的产品，它们常常是包装后出售的。注意到包装比较大的按每克计算的价格较低。人们通常认为这是由于节省了包装和经营的成本的缘故。或许有人会问，这是主要原因吗?是否还有其他重要因素？能否构造一个简单模型来分析？问题研究产品成本如何随包装大小而变化的规律2.1.1包装成本问题模型假设1）计入批发价格的主要成本是:

生产该产品的成本包装该产品的成本运输该产品的成本包装材料的成本2）产品成本显然随商业竞争和经营规模不同而变化，忽略这些因素集中考虑在原料和买卖过程的费用上.设该产品成本与所生产的货物重量成正比,

记为其中为产品重量模型分析与建立

装包时间大致与体积（因而与重量）成比例,而对于体积在一定范围内的包装，后两部分时间相差不大。2.1.1包装成本问题3)包装成本取决于装包、封包以及装箱备运所需要的时间.于是有

每件包装品的材料与包装品的表面积或体积成正比，它取决于摊平后运输(像纸板之类)还是成型后运输(像玻璃器皿之类),所以打包者的成本其中是表面积，

均为常数，因此每件包装所消耗材料量(因而也是每件包装的重量)

与所覆盖的表面积成正比。模型假设2.1.1包装成本问题6）假设各种包装品在几何形状上是大致相似的,体积几乎与线性尺度的立方成正比,表面积几乎与线性尺度的平方成正比，模型分析与建立2.1.1包装成本问题于是每克的批发成本是

模型分析与建立由此看出，当包装增大时，即每包内产重量增大时，每克的成本下降.

现在将比例法中涉及的自变量化为一个自变量——重量。2.1.1包装成本问题进一步的分析可以看到，每克产品的成本下降速度因此当包装比较大时，每克的节省率增加得比较慢。总节省率为这是W的减函数。这也是的减函数。2.1.1包装成本问题直观解释

购买预先包装好看产品时，把小型包装的包装规格(体积)增大一倍，每克所节省的钱，倾向于比大型的包装规格增大一倍所节省的钱多。此模型可推广于零售价格，零售成本取决于批发价、销售成本和仓库成本，后两种成本具有的形式，因此上述结论也适用于零售价格。应用这里说“倾向于”是因为模型是粗糙的。然而在定性预测中往往很可靠。而验证上述解释也是很容易的只须计算的值，其中

2.1.1包装成本问题赛艇2000米成绩t(分)种类1234平均单人7.167.257.287.177.21双人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84艇长l

艇宽b(米)(米)l/b

7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.0空艇重w0(kg)

浆手数n

16.313.618.114.7对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现成绩与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。问题准备调查赛艇的尺寸和重量l/b,w0/n

基本不变2.1.2划艇比赛成绩问题分析

前进阻力~浸没部分与水的摩擦力

前进动力~浆手的划浆功率分析赛艇速度与浆手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定划浆功率

赛艇速度赛艇速度前进动力前进阻力浆手数量艇重浸没面积

对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定

运用合适的物理定律建立模型2.1.2划艇比赛成绩模型假设1）艇形状相同(l/b为常数),w0与n成正比2）v是常数，阻力f与Sv2成正比符号：艇速v,浸没面积

S,浸没体积A,空艇重w0,阻力f,浆手数n,浆手功率

p,浆手体重

w,艇重W艇的静态特性艇的动态特性3）w相同，p不变，p与w成正比浆手的特征模型建立f

Sv2p

wv

(n/S)1/3S1/2

A1/3A

W(=w0+nw)

nS

n2/3v

n1/9比赛成绩

t

n

–1/9np

fv2.1.2划艇比赛成绩模型检验n

t17.2126.8846.3285.84最小二乘法利用4次国际大赛冠军的平均成绩对模型

t

n

–1/9进行检验tn12487.216.886.325.84••••与模型巧合！2.1.2划艇比赛成绩2.4简单的优化法2.4.1

存贮问题2.4.2

森林救火

现实世界中普遍存在着优化问题

静态优化问题指最优解是数(不是函数)

建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数

求解静态优化模型一般用微分法静态优化模型问题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。要求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。2.4.1

存贮问题问题分析与思考

每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元。日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。

10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100=4500元，准备费5000元，总计9500元。

50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…+100=122500元，准备费5000元，总计127500元。平均每天费用950元平均每天费用2550元10天生产一次平均每天费用最小吗?每天费用5000元

这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的总费用作为目标函数目标函数——每天总费用的平均值

周期短，产量小

周期长，产量大问题分析与思考贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小模型假设1.产品每天的需求量为常数r；2.每次生产准备费为c1,每天每件产品贮存费为c2；3.T天生产一次（周期）,每次生产Q件，当贮存量为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；建模目的设r,c1,c2已知，求T,Q

使每天总费用的平均值最小。4.为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。模型建立0tq贮存量表示为时间的函数q(t)TQrt=0生产Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r递减，q(T)=0.一周期总费用每天总费用平均值（目标函数）离散问题连续化一周期贮存费为A=QT/2模型求解求T使模型分析模型应用c1=5000,

c2=1，r=100T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)

回答问题

经济批量订货公式（EOQ公式）每天需求量r，每次订货费c1,每天每件贮存费c2，用于订货、供应、存贮情形不允许缺货的存贮模型

问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？T天订货一次(周期),每次订货Q件，当贮存量降到零时，Q件立即到货。允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求r,出现缺货，造成损失原模型假设：贮存量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货)现假设：允许缺货,每天每件缺货损失费c3,

缺货需补足T一周期贮存费一周期缺货费周期T,t=T1贮存量降到零一周期总费用每天总费用平均值（目标函数）一周期总费用求T,Q使为与不允许缺货的存贮模型相比，T记作T′,Q记作Q‌′不允许缺货模型记允许缺货模型不允许缺货允许缺货模型0qQrT1tT注意：缺货需补足Q~每周期初的存贮量R每周期的生产量R

（或订货量）Q~不允许缺货时的产量(或订货量)森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。问题分析问题记队员人数x,失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,时刻t森林烧毁面积B(t).

损失费f1(x)是x的减函数,由烧毁面积B(t2)决定.

救援费f2(x)是x的增函数,由队员人数和救火时间决定.存在恰当的x，使f1(x),f2(x)之和最小2.4.2森林救火

关键是对B(t)作出合理的简化假设.问题分析失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形t1t20tBB(t2)分析B(t)比较困难,转而讨论森林烧毁速度dB/dt.模型假设3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1(烧毁单位面积损失费）1）0tt1,dB/dt

与t成正比，系数

(火势蔓延速度）2）t1tt2,

降为-x

(为队员的平均灭火速度）4）每个队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用c3假设1）的解释rB火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径r与t成正比面积B与t2成正比，dB/dt与t成正比.模型建立b0t1tt2假设1）目标函数——总费用假设3）4）假设2）模型建立目标函数——总费用模型求解求x使C(x)最小结果解释

/

是火势不继续蔓延的最少队员数b0t1t2t其中c1,c2,c3,t1,